% !TeX program = lualatex
\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage{agrphy}     % package d'agreg
\usepackage{physics}    % package général de physique
\usepackage{esint}      % \oiint à charger après amsmath donc après physics
\usepackage{float}      % placement fin des éléments flottants
\usepackage{siunitx}    % gestion des unités
\sisetup{
    range-phrase = \text{--} ,
    range-units = single,
    list-final-separator = ,
    separate-uncertainty = true,
    locale=FR,
    }

\usepackage[version=4]{mhchem}     % formules chimiques
\usepackage{chemmacros}
\chemsetup{modules = all}
\usepackage{booktabs}   % jolis tableaux

\numberwithin{equation}{section} % numerotation des equations par section

\title{LP 46 -- Propriétés macroscopiques des corps ferromagnétiques}
\date{\today}
\begin{document}

\titre{Antoine Chauchat}{Valentin Dorel}
{%citation
}{%auteur de la citation
}

\subsection*{Niveau~: L3}

\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.4\linewidth} @{$\longrightarrow$ }p{0.45\linewidth}}
\textit{LP 46 2020}, \textbf{Cléments de la Salle et Colléaux}  &  Les gars surs
\end{tabular}

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}

\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}%[label=\ding{226}]
 \item électromagnétisme dans la matière
 \item aimantation et moments magnétiques
 \item paramagnétisme et diamagnétisme
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item 
	\end{itemize}
\end{minipage}

\tableofcontents
\pagebreak


\section*{Introduction}

    On désigne par ferromagnétisme la propriété qu'ont certains corps de s'aimanter trsès fortement sous l'effet d'un champ magnétique extérieur, l'effet est \num{e6} fois plus important que pour des matériaux paramagnétiques et peuvent souvent garder une aimantation importante même en champ nul, il sont devenus aimants.

\section{Description du ferromagnétisme}
    \subsection{Équations de Maxwell et relations constitutives}
        Dans nos derniers cours sur l'éléctromagnétisme dans la matière nous nous étions arrêtés à ce système d'équations avec $\va{M}$ le vecteur aimantation~:
        \begin{equation}
            \div \va{B} = 0 \qq{} \curl \va{H} = \va{j}_\text{libres} \qq{} \va{H} = \frac{\va{B}}{\mu_0} - \va{M}
        \end{equation}
        où on avait défini le \emph{vecteur d'excitation magnétique} $\va{H} = \frac{\va{B}}{\mu_0} - \va{M}$ de même unité que $\va{M}$ en \si{A \per m}. 
        
        Dans la suite de ce cours comme en TP nous utiliserons beaucoup le vecteur $\va{H}$ car c'est la quantité à laquelle on a accès expérimentalement. On nomme de manière évidente milieu magnétique tout matériau de vecteur $\va{M}$ non nul.
        
        \remarque{Rappel}{Les champs $\va{B}$ et $\va{H}$ sont les champs totaux régnant dans le matériau donc la somme des champs extérieurs $\va{B}_0$ et $\va{H}_0 = \frac{\va{B}_0}{\mu_0}$ et des champs réponses du matériau $\va{B}_M$ et $\va{H}_M = \frac{\va{B}_M}{\mu_0}-\va{M}$.}
        
        \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=0.5\textwidth]{reponse}
        \caption{Schéma résumant la réponse de la matière.}
        \label{fig:my_label}
        \end{figure}
        
        La dernière relation à prendre en compte est la relation constitutive du matériau, relation entre $\va{M}$ et $\va{H}$ qui permet de définir la susceptibilité magnétique $\chi_m$~:
        \begin{equation}
            \va{M} = \chi_m (\va{H}) \va{H}
        \end{equation}
        
        On distingue alors trois cas~:
        \begin{itemize}
            \item Les matériau diamagnétiques ($\chi_m <0$) et paramagnétiques ($\chi_m >0$) qui possèdent une aimantation lorsqu'ils sont exposés à un champ magnétique extérieur et perdent cette aimantation quand le champ disparaît. $\chi_m$ est constante et vaut entre \num{1e-6} et \num{1e-3} pour des paramagnétiques et entre \num{1e-9} et \num{1e-6} pour des diamagnétiques.
            \item Les matériaux ferromagnétiques qui possèdent une aimantation permanente même en l'absence de champ magnétique extérieur. Leur suceptibilité magnétique est bien plus grandes, pour le fer $\chi_m \sim 200$, et pour des alliages, par exemple la ferrite \ce{Fe Ni Zn} $\chi_m \sim 2000$ ou le Permalloy \ce{Fe Ni Mg $\chi_m \sim 100$ 000}.
            
            \important{La relation n'est \emph{plus linéaire} dans ce cas. En effet pour $\va{H} = 0$ on a $\va{M} \neq 0$. C'est pour cela que l'on peut fabriquer des aimants permanents c'est à dire une aimantation non nulle sans excitation.} 
        \end{itemize}
        
        On a alors~:
        \begin{equation}
            \va{M} = \chi_m \va{H} \qq{et} \va{B} = \mu_0 \qty(\va{H} + \va{M}) \implies \va{B} = \mu_0 \qty(1+\chi_m)\va{H}
        \end{equation}
         Ainsi~:
         \important{
         \begin{equation}
            \va{B} = \mu \va{H} \qq{avec} \mu = \mu_0(1+\chi_m) = \mu_0 \mu_r
         \end{equation}}
         
         Pour les matériaux ferromagnétiques on a toujours $\va{B}= \mu (\va{H}) \va{H}$.
         
         \textbf{OdG~:} Pour le Permalloy $\mu =\SI{0.15}{H \per m}$ et pour l'air $\mu = \mu_0$.
         
         
         \transition{On va dans la prochaine sous partie montrer les analogies possibles entre les milieux magnétiques et les milieux conducteurs, ce qui nous servira dans la suite de la leçon.}
    
    \subsection{Analogie Électrique/Magnétique}
        \begin{table}[H]
        \centering
        \begin{tabular}{ccc}
         \toprule
         Circuit & Électrique & Magnétique \\
         \midrule
         Champ   & $\va{E}$  & $\va{H}$ \\
         Relation constitutive & $\va{j} = \sigma \va{E}$ & $\va{B} = \mu \va{H}$ \\
         Conservation du flux &  $\div \va{j} = 0$ & $\div \va{B} =0$ \\
         Flux intégré & $i = \iint_S \va{j} \vdot \dd \va{S}$ & $\phi = \iint_S \va{B} \vdot \dd \va{S}$\\
         Circulation & $ U = \oint_C \va{E}\vdot \dd \va{l}$ & $C_m = \oint_C \va{H}\vdot \dd \va{l}$  \\
         Résistance / Réluctance & $R = \oint_C \frac{\dd l}{\sigma S}$ & $R_m = \oint_C \frac{\dd l}{\mu S}$\\
         Loi & $U=RI$ & $C_m = R_m \phi $ \\
         \bottomrule
        \end{tabular}
        \caption{Récapitulatif des analogies}
        \label{tab:anal}
        \end{table}    
        
        Notion importante pour les circuits magnétiques, la réluctance qui caractérise la capacité d'un circuit magnétique à s'opposer à la pénétration du flux magnétique.
        
        Dans un circuit électrique, le courant $i$ suit des trajectoires qui minimisent $R$. Il se passe la même chose dans un circuit magnétique, les lignes de champ vont chercher à passer par le chemin de moindre réluctance. On a $\mu_\text{ferro} \gg \mu_\text{air}$ ainsi $ R_{m,\text{ferro}} \ \ll R_{m,\text{air}}$.
        
        \important{Un matériau ferromagnétique canalise les lignes de champ magnétique, plus précisément il canalise le flux magnétique. C'est l'une des grandes caractéristiques de ces matériaux notamment utilisé dans les bobines des électroaimants pour canaliser le flux créé.}
    
        \transition{Nous avons vu qu'un matériau ferromagnétique était entre autres caractérisé par sa relation non linéaire entre $\va{M}$ et $\va{H}$ }
        
\section{Aimantation d'un matériau ferromagnétique}
    \subsection{Cycle d'hystérésis}
        Le champ magnétique $\va{B}_0$ appliqué par la bobine crée une aimantation $\va{M}$ dans le ferro. Dans cette géométrie, on peut montrer que le champ magnétique $\va{B}_M$ créé par l'aimantation est égal à 
        
        \begin{equation}
        \va{B}_M = \mu_0 \va{M}. 
        \end{equation}
        
        Ainsi $\va{H}_M = \va{0}$ et ainsi $\va{H} = \va{H}_0 + \va{H}_M = \va{H}_0 = \frac{\va{B}_0}{\mu_0} = \va{H}$. Le but de cette manip est de tracer $\va{M}$ en fonction de $\va{H}$ mais l'aimantation n'est pas facile à mesurer. C'est pourquoi on va mesurer $\va{B}$ et $\va{H}$ et revenir au couple $(\va{M},\va{H})$ ensuite. Enfin, le matérieau est supposé isotrope (comme depuis le début du cours car $\chi_M$ est un scalaire) donc le relations vectorielles entre $\va{B}, \va{H}$ et $\va{M}$ deviennent des rélations scalaires entre $B,H$ et $M$.
        
        \begin{figure}
        \centering
        \includegraphics[width=.8\textwidth]{hysteresis}
        \caption{Montage du tracé d'un cycle d'hystérésis}
        \label{fig:hysteresis}
        \end{figure}
        
        \experience{Tracé d'un cycle d'hystérésis d'acier dur}{Fascicule de TP}{\SIrange{5}{10}{\minute}}{
        Liste des choses à faire
        \begin{itemize}
            \item Projeter un schéma du montage (\autoref{fig:hysteresis}) et bien l'expliquer
            \item Retransmettre l'oscillo avec une flexcam
            \item Justifier le choix de la fréquence
            \item Pour le dur (\SI{2.1}{V}, rhéostat de \SI{33}{\ohm}) bien faire attention au branchement des masses. Pour un acier dur, $B_\text{r} \simeq \SI{0.2}{T}$ et $H_\text{c} \simeq \SI{10 000}{\ampere\per\metre}$
        \end{itemize}}
        
        Au primaire, le théorème d'Ampère, $\int_\mathcal{C} \va{H} \vdot \va{\dd{l}} = i_\text{enlacé}$, déjà évoqué, permet de faire le lien entre le courant $i = \frac{U}{r}$ qui passe dans la bobine 1. On a lors, en négligeant $i_2$ par la différence des résistances pondérées par le nombre de spire (\SI{33}{\ohm} au primaire et \SI{10 000}{\ohm} au secondaire avec le même nombre de spire), 
        
        \begin{equation}
        H = \frac{N_1}{rl}u \propto u,
        \end{equation}
        
        avec $N_1$ le nombre de spires du primaire et $l$ la longueur totale du tore.
        
        Au secondaire, en notant $\phi$ le flux, du champ créé par le primaire, la loi de Faraday indique que
        
        \begin{equation}
        V_e = -\dv{\phi}{t} = - N_2 S \dv{B}{t} \propto \dv{B}{t},
        \end{equation}
        
        avec $N_2$ le nombre de spires du secondaire et $S$ la surface d'une spire. À l'aide d'un circuit intégrateur comme un simple RC, on peut alors remonter à la valeur du champ $B$ en mesurant
        
        \begin{equation}
            V_\text{s} = - \frac{1}{RC} V_\text{e} \dd{t} = \frac{N_2 S}{RC}B + \text{cste} \qq{d'où}
        \end{equation}
        
        \begin{equation}
        V_\text{s} = \frac{N_2S}{RC} B + \text{cste} \propto B.
        \end{equation}
        
        Ainsi en traçant $U$ et $V_\text{s}$ sur un oscillo en mode XY on peut tracer, à des constantes multiplicatives près $B$ en fonction de $H$ et ainsi étudier cette relation non linéaire.
        
    \subsection{Interprétation}
        On peut faire plusieurs remarques importantes et définir certaines grandeurs qui seront projetées~:
        
        \begin{itemize}
            \item On voit un cycle d'hystérésis, la valeur de $B$ dépend de l'histoire du matériau.
            \item Pour des grands $\va{H}$, la relation de vient affine, la pente théorique est de $\mu_0$
            \item Quand l'excitation extérieur est nulle, $H = 0$ on remarque que le champ $B$ créé par le matériau est non nul, c'est une propriété caractéristique d'un matériau ferromagnétique. Qunad le cycle est le plus grand possible $B(H=0)  = B_\text{r}$ est le champ rémanent.
            \item pour annuler le champ $B$, il faut appliquer un champ $H_\text{c}$ non nul appelé champ coercitif.
        \end{itemize}
        
        Il peut être intéressant de tracer $M$ en fonction de $H$ pour faire apparaître la dépendance de $\chi_m$ en $H$. Pour cela, avec $\va{H} = \frac{1}{\mu_0}\va{B} - \va{M}$, on trace $\frac{1}{\mu_0}B - H = M(H)$ en fonction de $H$.
        
        \begin{itemize}
            \item On remarque une saturation de l'aimantation du matériau correspondant à une aimantation à saturation $M_\text{s}$
            \item Pour les mêmes raisons que le champ rémanent, on peut définir l'aimantation rémanente d'où la possibilité de faire des aimants permanents et la nécessité de les faire dans des matériaux ferromagnétiques.
            \item Enfin, on peut aussi définir un champ coercitif $H_\text{c}^M$ pour annuler l'aimantation, légèrement différent de $H_\text{c}$
        \end{itemize}
        
        On peut aussi s'intéresser aux pertes énergétiques d'un cycle d'hystérésis et pour cela en dériver l'expression. Le générateur qui produit la tension d'alimentation de la bobine lutte contre la fem induite dans le ferromagnétique $e = -\dv{\phi}{t}$ et fournit pour cela le travail $\delta W = i \delta \phi$.
        
        Étudions cette expression dans le cas du ferro entrouré par la boine. Tout d'abord, le théorème d'Ampère dans la matière donne $Hl = N_1 i$ et $\delta \phi = N_1 S \delta B$, d'où en notant $V = lS$ le volume du ferro,
        
        \begin{equation}
        \delta W = \qty(\frac{l}{N_1}H)\qty(N_1 S \delta B) = V H \delta B.
        \end{equation}
        
        Pour un cycle on a donc
        
        \begin{equation}
        W_\text{cycle} = \iiint \dd{\tau} \oint H \delta B.
        \end{equation}
        Ainsi l'aire de la courbe $(B,H)$ nous renseigne sur l'importance des pertes énergétiques pendant un cycle~! On peut alors distinguer deux types de matériaux ferromagnétiques, illustrés en \autoref{fig:douxdur}
        
        \begin{itemize}
        \item Les ferromagnétiques doux (fer doux, Permalloy \SI{20}{\percent} Fe, \SI{80}{\percent} Ni) avec des cycles étrois, pour lesquels on atteint $M_\text{sat}$ pour des champs $H = \frac{B_0}{\mu_0}$ assez faibles. Odg Permalloy, $\mu = \num{e-2}, B_\text{r} = \SI{0.8}{\tesla}, H_\text{c} = \SI{4}{\ampere\per\metre}$
        \item Les ferromagnétiques durs (fer durs, aimants néodyme NdFeB, Alnico 5 \SI{52}{\percent} Fe, \SI{13}{\percent} Ni, \SI{24}{\percent} Co, \SI{8}{\percent} Al, \SI{3}{\percent} Cu) qui ont des cycles larges qui nécessitent des $H$ de 4/5 ordres de grandeurs plus grands pour atteindre la saturation. OdG, Alnico 5 $B_\text{r} = \SI{1.2}{T}$ et $H_\text{c} = \SI{4.6e4}{\ampere\per\metre}$ On compare au $\mu = \num{1.5}$ qui donne un ordre de grandeur du champ $B$ correspondant énorme.
        \end{itemize}
        
        \begin{figure}
            \centering
            \includegraphics[width=.7\textwidth]{durdoux}
            \caption{Comparaison de cycles de ferro doux (mumétal) et dur (Alnico 5)}
            \label{fig:douxdur}
        \end{figure}
        
        Ainsi, dans les systèmes (transformateurs électro-aimants, relais,…) qui demandent de parcourir un grand nombre de cycles (aimantations et désaimantantions fréquentes On cherche à minimiser l'énergie dissipée par cycle, on utilise donc majoritairement des ferro doux. Les ferro durs servent quant à eux à réaliser des aimants permanents grâce à leur important magnétisme rémanent.
    
    \subsection{Interprétation mésoscopique}
    
        Dans un ferro, à l'échelle microscopique, tous les spins ont tendance à s'aligner. Cependant, ce n'est pas le cas à une échelle mésoscopique, il faut prendre deux énergies en compte
        
        \begin{itemize}
        \item Une énergie volumique, plus le champ magnétique total du matériau est grand, plus l'énergie associée est grande. De ce fait, séparer le matériau en domaines de directions de spins, et donc de $\va{B}$ différentes diminue le champ résultant et donc l'énergie globale.
        \item Une énergie surfacique pour créer les parois entre domaines, puisque celles-ci séparent des zones où les spins sont orientés différemment, ce qui est énergétiquement défavorable
        \end{itemize}
        
        L'organisation globale des spins qui résult de la compétition de ces énergies est l'existence des domaines de Weiss, des domaines mésoscopiques dans lesquels les spins sont alignés pour une orientation globale par domaine. Le matériau est donc composé de domaines d'orientation différente de spin donc d'aimantation comme illustré en \autoref{fig:weiss}
        
        \begin{figure}
            \centering
            \includegraphics[width=.2\textwidth]{weiss1}
            
            \includegraphics[width=.6\textwidth]{weiss2}
            \caption{Représentation schématique des domaines de Weiss}
            \label{fig:weiss}
        \end{figure}
        
        \manip{Domaines de Weiss}{Montrer les domaines de Weiss, dire qu'on peut retrouver le cycle d'hystérésis en analysant l'image, cycle et vidéo \href{http://perso.ens-lyon.fr/valentin.dorel/Ressources/}{ici}}
        
\section{Applications du ferromagnétisme}
    \subsection{Transformateur parfait}
        \manip{Transformateur parfait}{Cf. le fascicule de TP. Monter le transfo en expliquant, vérification expérimentale du rapport de transformation. }
        Hypothèses du transformateur parfait~:
        \begin{itemize}
            \item Il n'y a aucune ligne de champ magnétique en dehors du ferro.
            \item Matériaux utilisés non linéaire, homogènes et isotropes.
            \item On suppose la perméabilité relative $\mu_r$ infinie (ce qui doit implique la première hypothèse)
            \item La résistance électrique des enroulements est nulle.
        \end{itemize}
        \begin{figure}
            \centering
            \includegraphics[width=\textwidth]{transfo}
            \caption{Schéma d'un transformateur. L'enroulement primaire de $n_1$ spires est relié à la source d'alimentation qui impose $u_1$. L'enroulement secondaire est composé de $n_2$ spires. On note $phi$ le flux du champ magnétique dans le matériau.}
            \label{fig:transfo}
        \end{figure}
        Par les loi des mailles et de faraday, on a~:
        \begin{equation}
            -u_1 = e_1 = -n_1 \dv{\phi}{t} \qq{et} u_2 = e_2= n_2 \dv{\phi}{t}
        \end{equation}
        Ainsi $\frac{u_1}{u_2} = \frac{n_2}{n_1} = m$ où on a appelé $m$ le rapport de transformation.
        
        Si on applique le théorème d'Ampère sur une ligne de champ magnétique à l'intérieur du ferro, on a~:
        \begin{equation}
            \oint_C \va{H} \vdot \dd \va{l} = n_1 i_1 - n_2 i_2
        \end{equation}
        
        Or on a a la relation $\va{B} = \mu \va{H}$ et la prise en compte d'un flux fini $\phi = \va{B} \vdot \va{S}$ implique un champ $B$ fini. Avec $\mu \to \infty$ on a alors $H \to 0$. On en tire alors $n_1 i_1 = n_2 i_2$ d'où $\frac{i_2}{i_1} = \frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{m}$. Ceci se déduit du théorème d'ampère appliqué dans le matériau.
        \begin{equation}
            n_1 i_1 - n_2 i_2 = Hl
        \end{equation}
        On vérifie alors que $u_1 i_1 = u_2 i_2$, toute la puissance est transmise du primaire au secondaire. Un des intérêts de ce montage est de pouvoir modifier la tension à puissance fixée. Ainsi, à $m<1$, on a $u_1 = mu_2 < u_2$, on parle ici d'élévateur de tension et dans le cas contraire d'abaisseur de tension.
    \subsection{Écriture de données}
        On peut l'évoquer à l'aide des schémas de la \autoref{fig:donnees}
        
        \begin{figure}
            \centering
            \includegraphics[width=.9\textwidth]{données}
            \caption{Principe d'écriture et de lecture de données}
            \label{fig:donnees}
        \end{figure}

\section*{Conclusion}
Dans cette leçon on a vu les propriétés des matériaux ferromagnétiques, qui exhibent un cycle d'hystérésis, ils permettent de faire des aimants permanents ou des transformateurs /moteurs.

Le comportement ferromagnétique est à distinguer du comportement diamagnétique et paramagnétique. Les ferromagnétiques peuvent transitionner vers le paramagnétisme.

Les matériaux ferromagnétiques sont très utiles pour la conversion de puissance électromécanique et pour la production, conversion et transport d'énergie électrique.

\end{document}