\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP01 Contact entre deux solides. Frottements}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{MONNET Benjamin}{}{}{}



\subsection*{Niveau : L1, après les cours de dynamique du point et du solide}



\subsection*{Commentaires du jury}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{jury.PNG}
\end{center}




\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Les milieux granulaires}, \textbf{Andreotti}\footnotemark  & Bien pour le cours \\
 \textit{Tec et Doc Physique PC-PC*}, \textbf{Grécias} & Les bases du cours \\
 \textit{MP}, \textbf{Sanz} & Dynamique \\
 \textbf{BUP 822-1} & pour le modèle des brosses
\end{tabular}

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Dynamique du point et du solide
 \item Notion d'hystérésis
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item  
	\end{itemize}
\end{minipage}



\tableofcontents
\pagebreak




\section*{Introduction}

\section{Contact entre deux solides}
\subsection{Description du contact}
Lors du contact de du solide, on peut avoir différentes formes de contact : surfacique, linéique ou ponctuel.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{contacts.PNG}
\end{center}

\transition{Ce contact fait qu'il y a des forces !}

\subsection{Forces de contact}
De manière tout à fait générale, on peut décrire les forces de contact de la manière suivante pour un contact ponctuel :

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{forces.PNG}
\end{center}

On décompose la force $\vec{R}$ selon 2 composantes ainsi que le moment qui correspond' on étudie ici les forces de 2 sur 1). Dans le cas d'un moment purement ponctuel, le moment est nul. On se placera dans cette limite durant tout la leçon.

Attention, cela reste un approximation ! La surface de contact est en fait non négligeable et il y a des des moments à prendre en compte ! On peut par exemple penser à une roue crevée (pour exagérer la chose).

\subsection{Cinématique}
\livre{Sanz MP}

On considère que les deux solides sont en contact dans le référentiel du laboratoire. On définit la vitesse de glissement par :

\[
\vec{v}_{g}(S_1/S_2)= \vec{v}_{\mathcal{R}}(I \in S_1) - \vec{v}_{\mathcal{R}}(I \in S_2)
\]

Prenons un exemple concret : une roue sur le sol.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{roue.PNG}
\end{center}

On note $S_1$ la roue et $S_2$ le sol. I est le point de contact entre les deux solides. On suppose que la roue tourne à une vitesse $\omega$. On note $\mathcal{R}_1$ le référentiel lié à la roue. La vitesse de glissement vaut :

\[
\vec{v}_{g}(S_1/S_2)= \vec{v}_{\mathcal{R}}(I \in S_1) - \vec{v}_{\mathcal{R}}(I \in S_2) = \vec{v}_{\mathcal{R}_1} (I \in S_1) +  \vec{v}_{\mathcal{R}}(G) + \vec{0} = (\vec{omega} \wedge \vec{GI})+\dot{x}_G \vec{e_x} = (\dot{x}_G -R \omega) \vec{e_x}
\]

On peut alors distinguer trois cas :
\begin{itemize}
 \item \textbf{A l'équilibre :} les inconnues sont $\vec{R}_T$ et $\vec{R}_N$. Le PFD donne 3 équations : pas de soucis.
 \item \textbf{Roulement sans glissement :} on a 4 inconnues car il y a maintenant $\dot{x}_G$ et $\theta$. On suppose donc ce qu'o appelle le roulement sans glissement : $\vec{v}_g=\vec{0}$. On obtient ainsi une quatrième équation !
 \item Dans le cas d'un roulement avec glissement, on ne peut pas conclure
\end{itemize}

\textbf{Remarque :} le point I est ici assez facile à choisir. Dans le cas de contact non ponctuel, on peut choisir le centre de la surface à condition qu'elle soit homogène isotrope. Dans le cas contraire, le choix du point I n'est pas trivial...

\section{Théorie des frottements solides}
\subsection{Les lois d'Amontons-Coulomb}
\livre{Andreotti}

Afin de justifier les loi d'Amontons-Coulomb, parlons dans un premier temps de l'expérience de Léonard de Vinci.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{Vinci.PNG}
\end{center}

\manip{Faire l'expérience}

De Vinci a alors fait 3 observations :
\begin{itemize}
 \item La force $F_T$ est identique, que les blocs soit les uns sur les autres ou que les bloc soit côte à côte
 \item La force $F_T$ dépend linéairement de la force normale, qui est ici le poids
 \item Une fois que le patin glisse, la force à maintenir pour que les bloc glisse est moins grande.
\end{itemize}

Ces observations conduisent à la formulation suivante des lois de friction entre 2 solides , établies par Amontons en 1699 et par Coulomb en 1785 :
\begin{itemize}
 \item Au repos, il faut appliqué une force $F_T= \mu_s F_N$ pour mettre en mouvement le patin, où $\mu_s$ est le coefficient de friction dynamique. Tant qu'il n'y a pas mouvement, on a seulement l'inégalité $F_T \leq \mu_s F_N$ (elle compense la force extérieure appliquée)
 \item Une fois le patin en mouvement, la force tangentielle vaut $F_T = \mu_d F_N$ où $\mu_d$ est le coefficient de friction dynamique. La force est dirigée dans le sens opposé de la vitesse. En général, $\mu_d \leq \mu_s$ 
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{coef.PNG}
\end{center}

\subsection{Illustration expérimentale}

\experience{Détermination d'un coefficient de frottement}{}{}{
Montrer l'hystérésis, déterminer rapidement le coefficient de frottement.
}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{plan.PNG}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{hysteresis.pdf}
\end{center}

On explique le cycle et le dessin :
\begin{itemize}
 \item Tant que la résultante est dans le cône, il n'y a pas frottement : c'est la condition $F_T \leq \mu_s F_N$. Cela correspond à la limite $tan \alpha \leq \mu_s$.
 \item Une fois que la résultante sort du cône, il y a glissement. On peut baisser l'angle $\alpha$ jusqu'à $\tan \alpha = \mu_d \leq \mu_s$ sans que le solide ne s'arrête.
\end{itemize}

\subsection{Aspect énergétique}
Dans le cas que l'on vient de voir, si on calcule la puissance liée aux frottements solides, on a :

\[
P=\vec{R}.\vec{v_g} = -R_T v_g
\]

La puissance est négative donc les frottements dissipes de l'énergie, sauf s'il n'y a pas glissement.

\subsection{Aspects microscopiques}
\livre{Andreotti}

A l'échelle microscopique, les surfaces ne sont pas lisses mais constituées de nombreuses aspérités.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{micro.PNG}
\end{center}

Par conséquent, lorsqu'un solide s'appuie sur un autre, la surface de contact n'est pas la surface macroscopique comme on peut l'entendre. La surface réelle de contact est plus faible. Le solide se déforme donc en certains points précis de sa surface. Pour une surface donnée, plus la force normale est grande, plus les déformations sont importantes et plus la surface en contact est grande. Ainsi, si on augmente la surface macroscopique, on diminue la pression subit par chaque pic : le nombre de contact par unité de surface diminue mais la surface augmente ! Ces deux effets se compensent  et on obtient alors le fait que la force ne dépend pas de la surface de contact.

\textbf{Remarque :} on peut aussi montrer $R_T \propto R_N$ avec ce modèle mais je suis pas sûr que ce soit une bonne idée pour al leçon.

\hspace{7mm}

Ce modèle n'explique pas pour autant le phénomène d'hystérèse. Pour cela, on utilise le phénomène des brosses \textbf{lire le BUP}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{brosses.PNG}
\end{center}

\transition{Application dans la vie courante}

\section{Applications}
\subsection{Stick-slip}
\url{https://www.youtube.com/watch?v=TcebgBomjRs}

\experience{Stick-slip}{}{}{
Montrer et expliquer. Calculs en annexe
}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{stick_slip.PNG}
\end{center}

La conséquence : son des violons, crissement de la craie !

\subsection{Revient, revient pas ?}
\livre{Sanz MP p279}

Sûrement pas le temps de le faire :
\hspace{7mm}
On considère une boule de billard qui part avec une vitesse de rotation $\omega$ et on aimerait savoir si elle va faire demie tour ou pas. Dans le référentiel terrestre $\mathcal{R}$, on note $\vec{\omega}= \omega \vec{e_z}$, $\vec{v}_{\mathcal{R}}(G)= \dot{x} \vec{e_x}$. La première phase est une phase de glissement avec $\vec{v}_g=(\dot{x}+R\omega) \vec{e_x}$.

De plus, le TMC donne $J\dot{\omega}=-TR$.
\begin{itemize}
 \item \textbf{Première phase :} on a glissement, on a $T=\mu mg$ donc $\omega(t)=-\frac{\mu mgR}{J}t+\omega_0$ et $\dot{x}=-\mu g \Leftrightarrow x(t) = -\mu g t +x_0$. Pour savoir quand on passe en roulement sans glissement, on cherche $\tau$ tel que $v_g(\tau)=0$ : 
 
 \[
 \tau = \frac{v_0+R\omega_0}{\mu g \left( 1+\frac{mR^2}{J} \right)}
 \]
 \item Pour savoir si la boule revient où non, on regarde le signe de la vitesse à ce moment là :
 
 \[
 \dot{x}(\tau)=v_0-\frac{v_0+R\omega_0}{1+\frac{mR^2}{J}}
 \]
 
 Donc si $\omega_0 > \frac{v_0 m R}{J}$, le boule revient. Sinon, elle ne revient pas.
\end{itemize}


\section{Annexes}
\subsection{Biblio supplémentaire}
\begin{itemize}
 \item \url{https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00002808/document}
 \item \url{https://fr.wikibooks.org/wiki/Tribologie/Mod%C3%A9lisation_des_actions_de_contact}
\end{itemize}

\subsection{Stick and slip}
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{stick.PNG}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{slip.PNG}
\end{center}

\subsection{Remarques quelconques}
On remarque en pratique que les coefficients d'adhérences croissent lentement avec le temps. Cet effet peut avoir des origines physiques comme chimiques. On peut citer par exemple le fluage et le pontage capillaire (\textbf{se renseigner}).

\hspace{7mm}

Il ne faut pas oublier qu'il y a aussi des résistance au pivotement et au roulement. Pour la résistance au pivotement, il suffit d'intégrer la forme pour avoir le moment.

\hspace{7mm}

"Remède" contre les frottements : roulements à billes ou paliers fluides (ou paliers hydrodynamiques)

\subsection{Fluage}
Le fluage est le phénomène physique qui provoque la déformation irréversible différée (c'est-à-dire non-instantanée) d'un matériau soumis à une contrainte constante (notée $\sigma _{0}$), même inférieure à la limite d'élasticité du matériau, pendant une durée suffisante.
\section*{Questions}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Questions.PNG}
\end{center}

\section*{Remarques}
\begin{itemize}
 \item
\end{itemize}




\end{document}
