\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP03 Caractère non galiléen du référentiel terrestre}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{MONNET Benjamin}{}{}{}



\subsection*{Niveau : L3}



\subsection*{Commentaires du jury}




\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{MP}, \textbf{Sanz}  & Référentiels, déviation vers l'Est et pendule de Foucault \\
\textit{Mécanique I}, \textbf{BFR} & Pour le cours \\
\textit{Mecanique}, \textbf{P.Brasselet} & Cours \\
\textit{Mecanique du point}, \textbf{Gruber Benoit} & Déviation vers l'Est, Pendule de Foucault \\
\textit{La physique par la pratique}, \textbf{Portelli} & \\
\url{https://www.lmd.jussieu.fr/~fcodron/COURS/notes_dynam1.pdf} et \url{https://people.mio.osupytheas.fr/~doglioli/DoglioliPetrenko_NotesCoursTD_DynamiqueOceanique.pdf} & Vents géostrophiques (p10-12 et p23-26 respectivement) \\
\url{https://femto-physique.fr/mecanique/dynamique-terrestre.php} & tout \\
\end{tabular}

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Mécanique du point
 \item Changement de référentiel
 \item Mécanique des fluides
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item  
	\end{itemize}
\end{minipage}



\tableofcontents
\pagebreak




\section*{Introduction}
Le choix d'un référentiel et de son caractère galiléen sont deux points très importants dans un problème de mécanique. En effet, la caractère galiléen permet d'appliquer les lois que nous connaissons. A priori, le Terre tournant sur elle-même, le référentiel terrestre n'es pas galiléen ! Et pourtant, c'est ce que l'on a utilisé à de nombreuses reprises...

Nous allons donc nous attarder dans ce cours sur le référentiel terrestre et son caractère non galiléen : dans quelles limites il peut être considéré galiléen et dans le cas inverse, quelles en sont les conséquences.

\section{Le référentiel terrestre}
Comme on a pu le voir dans un cours précédent, on définit souvent un référentiel galiléen par rapport à un autre. Il faut donc qu'on trouve dans un premier temps le référentiel qui parait être le plus galiléen possible.

\textbf{Faire les schémas au tableau}
\subsection{Identification d'un référentiel galiléen}
On distingue en général trois référentiels différents :
\begin{itemize}
 \item \textbf{Le référentiel terrestre} $\mathcal{R}_T$ : c'est celui que l'on utilise le plus souvent. L'origine est un point sur Terre, un axe est normal à sa surface et les deux autres sont tangents. Ce référentiel est en rotation car la Terre tourne sur elle même avec une période de l'ordre de $T_T$=24H. Cela donne un ordre de grandeur de temps caractéristique de non galiléanité.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{ref_terrestre.pdf}
\end{center} 
 
 \item \textbf{Le référentiel géocentrique} $\mathcal{R}_G$ : l'origine est le centre de masse de la Terre et les axes points vers des étoiles lointaines... si lointaines qu'on peut les supposer fixes à l'échelle du temps de rotation de la Terre autour du soleil, qui est d'ailleurs de l'ordre de $T_G$=365 jours.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{ref_geocentrique.pdf}
\end{center}  
 
 \item \textbf{Le référentiel de Copernic} $\mathcal{R}_C$ : l'origine est au centre de masse du système solaire, il est donc légèrement à côté du centre de masse du soleil. Les axes pointes vers des étoiles lointaines considérées fixes. Sa période de révolution autour de notre galaxie est de $T_C$=200.10$^6$ années.
 
 \begin{center}
\includegraphics[scale=1]{ref_copernic.pdf}
\end{center} 
\end{itemize}

Pour rappel, un référentiel tournant peut en général être considéré comme galiléen si le temps de l'expérience $T_{exp}$ est tel que $T_{exp} \ll T$. Donc on voit que le référentiel qui se rapproche le plus d'un référentiel galiléen est le référentiel de Copernic.

\important{On prend comme référentiel galiléen de référence le référenciel de Copernic.}

En effet, il est facile d'avoir $T_{exp} \ll T_C$ lol. On notera, que si en plus de cela, $T_{exp} \ll T_G$, alors le référentiel géocentrique peut aussi être considéré comme galiléen.

\subsection{Dynamique dans le référentiel terrestre}
On se placera dans le cadre situé plus tôt : on considère le référentiel géocentrique comme galiléen. On s'intéresse à la dynamique d'un point matériel M dans le référentiel terrestre $\mathcal{R}'$, en rotation autour du référentiel géocentrique $\mathcal{R}$ à la vitesse $\omega$. (Perez p35) La loi de composition des vitesses donne :

\[
\begin{array}{c}
\vec{v}_{M/R} = \vec{v}_{M/R'} + \vec{v}_{O'/R} + \vec{\omega} \wedge \vec{O'M} \\
\vec{a}_{M/R} = \vec{a}_{M/R'} +\vec{a}_{O'/R} + \vec{\omega} \wedge (\vec{\omega} \wedge \vec{O'M)} + \frac{d \omega}{dt} \wedge \vec{O'M} + 2 \vec{\omega} \wedge \vec{v}_{M/R'} \\
\vec{a}_{M/R} = \vec{a}_{M/R'} + \vec{\omega} \wedge (\vec{\omega} \wedge \vec{O'M)} + 2 \vec{\omega} \wedge \vec{v}_{M/R'} ~~ \text{dans notre cas (rotation indépendante du temps et pas de translation)}
\end{array}
\]

Le PDF appliqué dans  le \textbf{référentiel galiléen} (car c'est pas possible autrement !) $\mathcal{R}$ donne :

\[
m \vec{a}_{M/R} = \Sigma \vec{F}_{ext}
\]

En utilisant la relation entre les accélérations trouvées précédemment, on trouve l'évolution de l'accélération dans $\mathcal{R}'$ :

\[
m \vec{a}_{M/R'} = \Sigma \vec{F}_{ext} - m \vec{a_e} - m \vec{a_c}
\]

où :
\begin{itemize}
 \item $\vec{a_e} =\vec{\omega} \wedge (\vec{\omega} \wedge \vec{O'M)}$ est la force d'entrainement par rotation
 \item $\vec{a_c} =2 \vec{\omega} \wedge \vec{v}_{M/R'}$ est la force d'inertie de Coriolis. Elle n'est présente que si le point M est en mouvement !
\end{itemize}

Bien que le référentiel terrestre ne soit pas galiléen, on a pu trouver un équivalent !

\transition{Quelle est l'influence sur la dynamique en référentiel terrestre}

\section{Caractéristique de la dynamique en référentiel terrestre}
\subsection{Forme de la Terre}
\livre{Grubert p490}

On sait que la Terre est aplatie à ses pôles : cela vient de la force centrifuge, on tend à écarter la Terre de son centre ! Au pôle, on a que la force gravitationnelle. On calcule :

\[
\frac{F_{equateur}-F_{pole}}{F_{moy}} \approx \frac{\omega^2 R_{equateur}}{g}
\]

Avec $R_{equateur}=6478$ km et $R_{pole}=6357$ km, on trouve bien 
\[
\frac{R_{equateur}-R_{pole}}{R_{moyen}} = \frac{F_{equateur}-F_{pole}}{F_{moy}} = \frac{1}{300}
\]


\subsection{Poids}
\livre{Brasselet p175, Grubert p490}

On utilise souvent le poids, mais comment est-il défini ? Le poids est défini comme l'inverse de la force de tension appliquée sur un fil portant une masse m. Ainsi, en utilisant les équations précédentes :

\[
0= \vec{T}+ \vec{F}_G - m \vec{\omega} \wedge (\vec{\omega} \wedge \vec{O'M})
\]

D'où :

\[
\vec{P} = \vec{F}_G - m \vec{\omega} \wedge (\vec{\omega} \wedge \vec{O'M})
\]

\important{Le poids ne se résume pas à l'attraction gravitationnelle}

On a donc :

\[
\vec{g} = -\frac{\mathcal{G} M_T}{R_T^2} \vec{e_r} + \omega^2 \vec{HM}
\]

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{poids.pdf}
\end{center}

\begin{itemize}
 \item $R_T \omega^2 \approx 3.2~10^{-2} ms^{-2} \ll g$
 \item sur les pôles, on a g = 9.83 m.s$^{-2}$ contre g = 9.78 m.s$^{-2}$ à l'équateur
 \item L'angle de déviation entre $\vec{g}$ et la verticale terreste est inférieur à 0.1 $\degree$. Considérer $\vec{g}$ radial, de norme 9.8 m.s$^{-2}$ est donc une bonne approximation à 0.5 \% !
 \item Attention, le champ gravitationnel change aussi avec l'altitude :
 \[
 \frac{\mathcal{G}M_T}{(R_T+h)^2} \approx \frac{\mathcal{G}M_T}{R_T^2} \left( 1 - \frac{2h}{R_T} \right)
 \]
 D'où
 \[
 \frac{g(h)-g(0)}{g(h)} \approx 2\frac{h}{R_T}
 \]
 On atteint une variation de 0.5 \% pour une altitude de 16 km. Donc finalement, Considérer $\vec{g}$ radial, de norme 9.8 m.s$^{-2}$ est donc une bonne approximation à 0.5 \% \textbf{en dessous de 16km d'altitude}.
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{deformation.PNG}
\end{center}

\section{Applications pratiques}
\subsection{Déviations vers l'Est}
La caractère non galiléen de la Terre a été observé à grâce à la "déviation vers l'Est". Une balle est lachée à une certaine hauteur h et on se rend compte qu'au lieu de tomber tout droit, elle dévie légèrement vers l'est. Cela s'explique avec la force de Coriolis ! \textbf{Hypothèse :} on néglige les frottements, le référentiel géocentrique est galiléen.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{chutte.pdf}
\end{center}

\textbf{Résolution :}
\[
\vec{F}_c=-2m\vec{\omega} \wedge \vec{v} = -2m \begin{pmatrix}
-\omega \cos \lambda \\
0 \\
\omega \sin \lambda
\end{pmatrix}
\wedge
\begin{pmatrix}
\dot{x} \\
\dot{y} \\
\dot{z} \\
\end{pmatrix}
\]

Ce qui donne, en notant $g= \frac{\mathcal{G}M_T}{R_T^2}$ :

\[
\left\{
\begin{array}{c}
\ddot{x}=2 \omega \sin \lambda \dot{y} \\
\ddot{y} = -2 \omega ( \dot{x} \sin \lambda + \dot{z} \cos \lambda) \\
\ddot{z} = -g + 2 \omega \dot{y} \cos \lambda
\end{array}
\right.
\]

Comme $g \gg \omega$, $\Delta z \ gg \Delta x, \Delta y$ et il reste :

\[
\left\{
\begin{array}{c}
\ddot{x}=2 \omega \sin \lambda \dot{y} \\
\ddot{y} = -2 \omega \dot{z} \cos \lambda \\
\ddot{z} = -g
\end{array}
\right.
\]

Ce qui donne finalement :


\[
\left\{
\begin{array}{c}
z(t) = h - \frac{gt^2}{2} \\
y(t) = \frac{\omega g t^3 \cos \lambda}{3} \\
x(t) = \frac{\omega^2 g t^4 \cos \lambda \sin \lambda}{6}
\end{array}
\right.
\]

Avec $\lambda = 45 \degree$ et h=100 m, on trouve : $y_f=0.011 m=1mm$ et $x_f=8.7~10^{-6}m$. Il y a donc une légère déviation vers l'est (celle vers le sud est négligeable).

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{deviation.PNG}
\end{center}

\transition{Autre manifestations : vents geostrophiques}

\subsection{Vents géostrophiques}
\livre{\url{https://www.lmd.jussieu.fr/~fcodron/COURS/notes_dynam1.pdf} p10-12 et \url{https://people.mio.osupytheas.fr/~doglioli/DoglioliPetrenko_NotesCoursTD_DynamiqueOceanique.pdf} p 23-26 

Pour décrire les fluides, l'équation utilisée est l'équation de Naviers-Stokes :

\[
\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}.\vec{\nabla}) \vec{v} \right) = - \vec{\nabla} P + \rho \vec{g} - 2 \rho \vec{\omega} \wedge \vec{v}
\]

Pour l'étude des vents géostrophiques, on décompose la vitesse selon l'axe horizontale (U) et verticale (W), de taille caractéristique L (horizontale) et H (verticale). On prend les ordres de grandeur suivant : L=1000 km, H=1000 m et U=100 m/s. L'incompressibilité donne W = 10$^{-5}$ m/s. Le nombre de Raynolds est grand devant 1 donc on ne s'intéressera pas à la viscosité

Calculons l'ordre de grandeur des différents termes :

\[
\begin{array}{c}
\frac{U^2}{L} = 10^{-10} m.s^{-2} = \frac{WU}{H} \gg \frac{W^2}{H} \\
\omega v \approx 10^{-6} m.s^{-2} \\
g \approx 10 m.s^{-2}
\end{array}
\]

Autrement dit, les termes non linéaires sont complètements négligeables. On se place alors dans l'approximation géostrophique et on a :

\[
\vec{\nabla} P = -2 \rho \vec{\omega} \wedge \vec{v}
\]

Le gradient de pression est donc perpendiculaire au gradient de pression ! En fait, la force de Coriolis se charge de compenser les gradients de pression. On peut à l'aide de cette équation retrouver le sens de rotation des cyclones et des anti-cyclones ! En effet, on peut réécrire l'équation que l'on vient de trouver comme :

\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial P}{\partial r} = 2 \omega g v_{\theta} \sin \lambda \\
\frac{1}{r}\frac{\partial P}{\partial \theta} = -2 \omega g v_r \sin \lambda
\end{array}
\]

Considérons le cas d'un cyclone, dont le centre est de plus basse pression que la périphérie. On a $\frac{\partial P}{\partial r} >0$. Dans l'hémisphère nord, $\sin \lambda >0$ donc les cyclones tournent dans le sens trigonométrique. Dans l'hémisphère sud, on a l'inverse. Et pour des anticyclones, il suffit de tout inverser.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{cyclone.pdf}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{anticyclone.pdf}
\end{center}

\subsection{Pendule de Foucault}
\livre{Grubert p493}

Le pendule de Foucault, présent au Panthéon, permet de bien mettre en évidence la rotation de la Terre (il fait 67 m et 28 kg). Les différentes forces s'appliquant sur le pendule sont :
\begin{itemize}
 \item La tension du fil : $\vec{T} \approx \frac{T}{l} (-x,-y,l-z)$
 \item La force de gravitation : $\vec{F}_G = (0,0,-mg)$
 \item La force de Coriolis : $\vec{F}_c = 2m \omega(\dot{y} \sin \lambda, -\dot{z} \cos \lambda - \dot{x} \sin \lambda, \dot{y} \cos \lambda)$
\end{itemize}

... résolution dans le Grubert.

\url{https://www.youtube.com/watch?v=qOxxAWICYdY&t=21s}

\section*{Version de 30 minutes}
Enlever le II. Mettre "Poids" dans le I et pas faire le pendule de Foucault.

\section{Biblio supplémentaire}
Cours prof Colléaux : url{http://www.seigne.free.fr/Cours/TerreNG.pdf}


\section*{Conclusion}
Sur les sous parties non évoquées ou sur le caractère non galiléen du référentiel géocentrique qui fait apparaitre les forces de marrée (\livre{Brasselet p.165}).

\section*{Questions}
\begin{itemize}
 \item C'est quoi le mouvement de la Terre dans le référentiel Copernic ? \textit{Translation sous la forme d'une ellipse dont un foyer est le centre du référentiel}
 \item Cas concret pour la déviation vers l'Est ? \textit{Grosse Bertha pendant la guerre. ça part à 800 km/h sur 1000 km. Déviation de 1600m}
 \item Nombre sans dimension qui permet de déterminer l'impact de la force de Coriolis ? \textit{Nombre de Rossby} $R_o=\frac{v}{\Omega L}$
 \item C'est quoi le terme de marré ? \textit{Différence de champ gravitationnel entre un point M et le point O}
 \item Qu'est ce que l'on peut considérer comme une pseudo force en relativité ? Du au fait de la courbure de l'espace temps ? \textit{La gravité}
\end{itemize}

\section*{Remarques}
\begin{itemize}
 \item \textbf{Ne pas oublier de parler d'origine temporelle}
\end{itemize}




\end{document}
