\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP04 Précession dans les domaines macroscopiques et microscopiques}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{MONNET Benjamin}{}{}{}



\subsection*{Niveau : L3}



\subsection*{Commentaires du jury}




\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Mecanique}, \textbf{Perez}\footnotemark  & Angles d'Euler et gyroscope \\
\textit{Mecanique}, \textbf{Gruber Benoit}\footnotemark  & Angles d'Euler et gyroscope \\ 
\textit{MPhysique atomique}, \textbf{Cagnac}\footnotemark  & RMN \\ 
\end{tabular}

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Mécanique du solide
 \item Changements de référentiel
 \item Moment magnétique
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item  
	\end{itemize}
\end{minipage}



\tableofcontents
\pagebreak




\section*{Introduction}
\experience{Lancer une toupie}{}{}{}

\url{https://www.youtube.com/watch?v=Mnz4QJ_qR2E} à 2 minutes 10
 
\section{Toupie et approximation gyroscopique}
\subsection{Angles d'Euler}
Afin de mettre en équation le problème de la toupie, il va nous falloir appliquer le théorème du moment cinétique dans une base bien choisie. Nous ferons l'hypothèse ici que la toupie a un axe de symétrie qui est celui de sa rotation la plus rapide. Afin de décrire au mieux la vitesse de rotation de la toupie, nous allons utilisé les angles d'Euler qui sont définies sur la figure suivante (\textbf{Bien les expliciter à l'oral)} :

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{AngleEuler.PNG}
\end{center}

On notera dans la suite $\mathcal{R}$ le référientiel lié au laboratoire et $\mathcal{R}'$ celui lié à la base $(O,e_{x'},e_{y'},e_{z'})$. Dans $\mathcal{R}'$ la toupie est au repos. Ce référentiel tourne donc à la vitesse angluaire $\vec{\omega}$ par rapport à $\mathcal{R}$ avec :

\[
\omega = \dot{\psi} \vec{e_z} + \dot{\theta} \vec{e_u} + \dot{\phi} \vec{e_{z'}}
\]

\subsection{Axysymétrie et approximation gyroscopique}

La toupie étant axysymétrique, on peut former le repère $\mathcal{R}_e=(O,\vec{e_u},\vec{e_w},\vec{e_{z'}})$ car la matrice de moment d'inertie ainsi que le vecteur rotation seront faciles à exprimés dans cette base. En effet, avec $\vec{e_z}=\sin(\theta) \vec{e_w}+\cos (\theta) \vec{e_{z'}}$, on a :

\[
\vec{\omega} = \dot{\theta} \vec{e_u} + \dot{\psi} \sin (\theta) \vec{e_w} + (\dot{\phi} + \dot{\psi} \cos (\theta)) \vec{e_{z'}}
\]

Et le moment d'inertie s'exprime simplement :

\[
I=
\begin{pmatrix}
I&0&0\\
0&I&0\\
0&0&I_3\\
\end{pmatrix}
\]

Le moment cinétique s'exprime alors simplement sous la forme :

\[
\vec{L_O}|_{\mathcal{R}_e} = 
\begin{pmatrix}
I\dot{\theta}\\
I\dot{\psi} \sin (\theta)\\
I_3 (\dot{\phi}+\dot{\psi} \cos(\theta))\\
\end{pmatrix}
\]

Avant de se lancer dans la suite des calculs, nous allons faire ce qu'on appelle l'approximation gyroscopique. Quand on voit la toupie tournée, on se rend compte que $\dot{\phi}$ a l'air d'être plus grand que $\dot{\psi}$ ou encore $\dot{\theta}$. Si on considère que les moments d'inertie sont à peut près du même ordrede grandeur $I_3 \approx I$, alors on se rend compte que le moment cinétique selon l'axe de révolution est beaucoup plus grand que le reste et on se retrouve alors avec :

\[
\vec{L_O}|_{\mathcal{R}_e} \approx I_3 \dot{\phi} \vec{e_{z'}}
\]

L'approximation gyroscopique consiste à utiliser le fait que $\dot{\phi} \gg \dot{\phi}, \dot{\theta}$ pour conclure sur $L_{Oz'} \gg L_{Ou},L_{Ow}$

\subsection{Equation de précession}
Maintenant que l'on a grandement simplifié le problème à l'aide des observations, nous allons pouvoir appliqué le théorème du moment cinétique dans $\mathcal{R}$.
Pour cela on calcul :

\[
\left( \frac{d\vec{L_O}}{dt} \right)_{\mathcal{R}} = - l\vec{e_{z'}} \wedge mgl \vec{e_z}
\]

Avec l'approximation gyroscopique, on peut réécrire cela :

\[
\left( \frac{d\vec{L_O}}{dt} \right)_{\mathcal{R}} = \vec{\omega_p} \wedge \vec{L_O} ~~ \text{avec} ~~ \vec{\omega_p}= \frac{mgl}{I_3 \dot{\phi}}
\]

$\vec{\omega_p}$ est appelée pulsation précession. On peut montrer que cette équation implique :
\begin{itemize}
 \item $|\vec{L_O}|= \text{cste}$
 \item $L_{Oz}= \text{cste}$
\end{itemize}

Cela permet d'affirmer que le moment cinétique décrit un cône d'axe de révolution $O_z$. Le moment cinétique tourne autour de cet axe car la gravité entraîne la rotation. Cette remarque assez étrange sur le fait qu'une force horizontale engendre un mouvement radiale peut s'illustrer à l'aide d'un gyroscope.

\subsection{Le Gyroscope}
\experience{Faire joujou avec le gyroscope}{}{}{}

On peut expliquer simplement ce phénomène à l'aide du théorème du moment cinétique au centre de gravité :

\[
\left( \frac{d\vec{L_C}}{dt} \right)_{\mathcal{R}} = \vec{CA} \wedge \vec{F}
\]

Ainsi, si  $\vec{F}$ est verticale, la variation de moment cinétique est horizontale et réciproquement

\textbf{A revoir un peu} Autre manière de le voir. En notant $\vec{\Gamma}$ le couple extérieur :

\[
\left( \frac{d\vec{L_C}}{dt} \right)_{\mathcal{R}} = \left( \frac{d\vec{L_C}}{dt} \right)_{\mathcal{R'}} + \omega \wedge \vec{L_0} = \vec{\Gamma}
\]

Donc 
\[
\omega \wedge \vec{L_0} = \vec{\Gamma}
\]


\underline{Quelques ordres de grandeur :}
\begin{itemize}
    \item période de précession de la terre : 26 000 ans
    \item nutation de la terre : 23$\degree$ 26'12.555'', variant de + ou - 9.2'' avec une période de 18.6 ans.
\end{itemize}

\transition{
L'équation de précession que nous avons vu se retrouve aussi dans le domaine microscopique et est donc beaucoup générale que ce que l'on pourrait croire.
}

\section{Rotation de moment magnétique et RMN}
\subsection{Facteur gyromagnétique}
On considère un électron décrit dans le modèle de Bohr orbitant autour d'un proton. Son moment magnétique s'écrit :

\[
\vec{M} = -\frac{e}{T} \pi r^2 \vec{e_z} = - \frac{evr}{2} \vec{e_z}
\]

D'un autre côté, le moment magnétique de l'électron vaut :

\[
\vec{L} = \vec{r} \vec{e_r} \wedge m_e v \vec{e_{\theta}} = mvr \vec{e_z}
\]

On se rend alors compte que l'on peut écrire :

\[
\vec{M} = \gamma \vec{L} ~~ \text{avec} ~~ \gamma = - \frac{e}{2m_e} ~~ \text{le facteur gyromagnétique}
\]

\subsection{Equation de précession}
Dans le cas où l'électron étudié précédement est plongé dans un champ magnétqiue $\vec{B_0}$ uniforme, il subit un couple $\vec{C_0}=\vec{M} \wedge \vec{B_0}$. Le théorème du moment cinétique donne donc :

\[
\frac{d\vec{L_O}}{dt} = \vec{M} \wedge \vec{B_0} = \vec{\omega_0} \wedge \vec{L_0}
\]

avec $\omega_0= - \gamma \vec{B_0}$. On retrouve donc l'équation de précession que nous aons trouvé plus tôt pour le fonctionnement d'un toupie. $\gamma$ étant négatif, le moment cinétique tourne bien autour du champ magnétique $\vec{B_0}$ extérieur.

\underline{ODG} : avec un champ amgnétique $B= 1T$, on trouve $\omega_0 = 8,9.10^{10}$rad/s.

\subsection{Application à la RMN}
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{RMN.pdf}
\end{center}

On rajoute maintenant un champ $\vec{B_1}$ perpendiculaire au champ $\vec{B_0}$ tournant à la vitesse angulaire $\omega$. LE TMC dans le référentiel $\mathcal{R}$ donne :

\[
\left( \frac{d\vec{L_O}}{dt} \right)_{\mathcal{R}} = (\vec{\omega_0} + \vec{\omega_1}) \wedge \vec{L_0} ~~ \text{avec} ~~ \omega_1=-\gamma \vec{B_1}
\]

On se place ensuite dans la base $\mathcal{R}'$ dans lequel le champ $\vec{B_1}$ est fixe. On trouve alors :

\[
\left( \frac{d\vec{L_O}}{dt} \right)_{\mathcal{R}'} = (\vec{\omega_0} + \vec{\omega_1}-\vec{\omega}) \wedge \vec{L_0}
\]

On voit alors que :
\begin{itemize}
\item Si $|\vec{\omega}-\vec{\omega_0}| \gg |\vec{omega1}|$, $\left( \frac{d\vec{L_O}}{dt} \right)_{\mathcal{R}'} (\vec{\omega_0}-\vec{\omega}) \wedge \vec{L_0}$ et le champ tourne donc autour de $\vec{B_0}$
\item Si $|\vec{\omega}-\vec{\omega_0}| \l |\vec{omega1}|$,$\left( \frac{d\vec{L_O}}{dt} \right)_{\mathcal{R}'} \vec{\omega_1} \wedge \vec{L_0}$ et le champ tourne donc autour de $\vec{B_1}$
\end{itemize}

Le moment cinétique de l'électron tourne donc brusquement lorsque $\omega \approx \omega_1$. C'est ainsi que la RMN repère les protons.

\section*{Version 30 minutes}
Enlever le gyroscope devrait suffire

\section*{Questions}
\begin{itemize}
 \item C'est quoi l'expression générale du tenseur d'inertie ? $\int ...$
 \item Pourquoi les coeff off diag sont nuls ? Askip ça se voit bien dans le calcul direct.
 \item Bateau qui part avec un gyroscope vers le Nord il se passe quoi ? \textit{Il faut entretenir le gyroscope pour compenser les frottementes}. Ouai masi le gyroscope au cours d'une journée il fait un tour sur lui même à cause de la rotation de la Terre. \textbf{Regarder ça de nouveau dans la bilio}
 \item Même idée : il se passe quoi en une année ? Y'a la révolution de la Terre autour du Soleil.
 \item Dans la partie microscopique, quand tu fais le calcul avec l'électron autour d'un axe pour trouver le magnéton de Bohr, il est important de préciser que ce n'est pas réaliste. Qu'est-ce qu'on peut citer comme truc pour montrer que le modèle n'est pas bon ? \textit{Puissanc rayonnée de Larmor ?} Ok c'était pas ma question mais ok !  Je voulais parler du facteur de Landé.
 \item Si jamais je prends des spins dans un matériau et j'allume un champ magnétique. On a une précession mais la projection selon z reste la même pour chaque donc en moyenne nulle. Du coup pourquoi y'a du paramagnétisme ? \textit{C'est parce qu'il y a des effets dissiatifs qui font un régime transitoire}
 \item Différence entre equation de precession et PFD ? \textit{Le PFD c'est invariant sous inversion temporelle et pas l'équation de précession.} Après le PFD c'est la dérivée première de $\vec{p}$... Y'a plus de symétrie dans l'équation de précession.
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Questions1.PNG}
\end{center}

\begin{itemize}
 \item La précession des équinoxes est le lent changement de direction de l'axe de rotation de la Terre (une rotation tous les 26 000 ans environ). Cette dernière subit l'influence des effets de marée de la Lune et du Soleil qui causent une variation de l'axe terrestre de grande amplitude. En raison de l'attraction conjuguée du Soleil et de la Lune, la nutation se traduit par une oscillation de l'axe de rotation de la Terre pouvant aller jusqu'à plus ou moins 17,2"
 \item Forces de marée viennent du caractère non galiléen d'un référentiel, de la gravité et de l'accélération d'entrainement.
 \item Si on regarde la forme du tenseur d'inertie on voit directement la symétrie :
 
 \[I=
 \begin{pmatrix}
 \int(y^2+z^2) \rho d \tau & -\int yx \rho d \tau & -\int zx \rho d \tau \\
 -\int xy \rho d \tau & \int(x^2+z^2) \rho d \tau & -\int zy \rho d \tau \\
 -\int xz \rho d \tau & -\int yz \rho d \tau & \int(x^2+y^2) \rho d \tau \\
 \end{pmatrix}
 \]
 \item Y'a l'axe avec le plus petit moment d'inertie où ça part en steak
 \item On peut jamais approximer l'orbite d'un électron à une spire circulaire à cause de la MQ ?
 \item Non, aucune approximation pour le milieu micro !
 \item Il me semble que RMN c'est quantique mais on peut l'expliquer quand même qualitativement avec la méca classique
 \item Juste en méca Q le gamma a une valeur dépendante de l'atome étudié
 \item Facteur de Landé c'est la correction de MQ justement
 \item Conservation de L$_z$
 \item La version dans la vidéo est bien car on met de la masse loin de l'axe vers le bas ainsi on maximise I$_3$ tout en évitant de trop monter I
 \item La roue se met à tourner (effet du gyroscope cf I.4)
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Questions2.PNG}
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Questions3.PNG}
\end{center}

\begin{itemize}
 \item Jour solaire c'est ce que l'on connait mais le jour sidéral c'est un tour de la Terre autour de soi même et en fait un peu moins que 24H : 23H56 minutes
 \item Les saisons c'est simplement parce que la Terre est penchée par rapport au soleil du coup un endroit donné de la planète n'a pas le même éclairement selon le moment de l'année.
\end{itemize}

\section*{Remarques}
\begin{itemize}
 \item Au niveau L2/L3, c'est difficile de parler autant du macro et du micro...
\end{itemize}




\end{document}
