\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP06 Cinematique relativiste}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{MONNET Benjamin}{}{}{}



\subsection*{Niveau : L3}



\subsection*{Commentaires du jury}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{Commentaires.PNG}
\end{center}




\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Relativite resteinte}, \textbf{Semay} & Le cours \\ 
\end{tabular}

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Mécanique classique
 \item Électromagnétisme
 \item Interférences optiques
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item  
	\end{itemize}
\end{minipage}



\tableofcontents
\pagebreak




\section*{Introduction}

\section{Fondements de la relativité restreinte}
\subsection{Incompatibilité de la mécanique classique et de l'électromagnétisme}
Commençons par rappeler que pour étudier un mouvement, il faut un \textbf{référentiel} : 3 axes spatiaux et un axe temporel. Nous avons postulé l'existence de référentiels privilégiés appelés référentiels inertiels dans lesquels la deuxième loi de Newton s'applique. Lorsque l'on a considéré un référentiel $\mathcal{R}'$ en translation rectiligne uniforme à la vitesse $v_e$ selon l'axe $Ox$ par rapport au référentiel inertiel de référence (ex : référentiel du labo) $\mathcal{R}$, nous avons utilisé la transformation de Galilée pour passer d'un référentiel à un autre :

\[
\left\{
\begin{array}{c}
t'=t \\
x'=x-v_et \\
y'=y \\
z'=z
\end{array}
\right.
\]

Autrement dit, on additionne simplement les vitesses (en dérivant une fois) :

\[
\vec{v}'=\vec{v}-\vec{v_e}
\]

Et en dérivant une seconde fois, on trouve que le PFD est identiques dans les deux référentiels. De ce point de vue, la transformée de Galilée est satisfaisante. Néanmoins, en 186, Maxwell publie les équations de l'électromagnétisme et celles-ci supposent l'existence d'une vitesse unique pour la lumière, notée c. Cela pose problème car si la vitesse de la lumière vaut $c$ dans un référentiel, elle peut valoir $c-v_e$ avec une transformation de Galilée. A ce stade là, plusieurs choix se proposent alors (\livre{Semay p14}) :

\begin{itemize}
 \item Admettre que la théorie de l'électromagnétisme de Maxwell est fausse
 \item Rendre compatible les postulats de la mécanique classique et de l'électromagnétisme
 \item Admettre que les postulats de la mécanique sont faux
\end{itemize}

Face aux résultats remarquables de la théorie de Maxwell dans sa confrontation aux expériences, le premier choix fut vite écarté. Le deuxième choit conduisit à l'élaboration du concept d'éther, référentiel privilégié servant de support à la propagation des ondes électromagnétiques et seul référentiel où les équations de Maxwell seraient strictement valables. Afin d'affirmer ou d'infirmer cette hypothèse, de nombreuses expériences furent proposées. Nous allons en particulier nous pencher sur l'expérience de Michelson et Morlay.

\subsection{Expérience de Michelson et Morlay}
Afin de tester l'hypothèse de l'éther, Michelson et Morlay propose une expérience interférométrique. Ils supposent l'existence de l'éther, dans lequel la vitesse de la lumière est $c$. Ils supposent aussi que la composition des vitesses est toujours vrai et construisent alors un interféromètre de la forme suivante :

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{Michelson.PNG}
\end{center}

Supposons de plus que la vitesse de la Terre par rapport à l'éther soit selon un bras de l'interféromètre. Le temps que met la lumière dans ce bras là vaut :

\[
t_1= \frac{L}{c-v}+\frac{L}{c+v}=\frac{2L}{c}\left( 1 + \frac{c^2}{c^2} \right)
\]

Dans l'autre bras, la vitesse vaut $|\vec{c}-\vec{v}|=\sqrt{c^2-v^2}$ donc le temps de parcours dans ce bras là vaut :

\[
t_2= \frac{2l}{\sqrt{c^2-v^2}} \approx \frac{2L}{c} \left( 1 + \frac{v^2}{2c^2} \right)
\]

On attend donc une différence de temps de propagation de :

\[
\Delta t = \frac{L}{c}\frac{v^2}{c^2}
\]

Ce qui correspond à un décalage d'odre de frange de :

\[
\Delta p = \frac{\Delta \delta}{\lambda}=\frac{c \Delta t}{\lambda}
\]

\textbf{ODG :} L=10m, $c=3~10^8m.s^{-1}$ et on prend pour v la vitesse de rotation de la Terre autour du soleil : $v=30000m/s$. On trouve $\Delta p =0.2$. A l'époque, il était possible de détecter des décalage de 0.02 franges. Néanmoins, pas de décalage notable fut observé par Michelson et Morlay, et ce malgré leurs efforts pour améliorer le dispositif autant que possible.

\textbf{Remarques :}
\begin{itemize}
 \item Bien évidement, il ne savait pas selon quel bras était réellement la vitesse v à prendre en compte. Ils tournaient donc le Michelson en espérant observer quelque chose 
 \item Cette expérience ne réfute pas directement l'existence de l'éther... en effet, elle peut juste montrer que l'éther à un caractère "visqueux" qui fait qu'il est entrainé par la Terre et donc il n'y a plus de vitesse relative... Bref, cette expérience à elle seule ne permet pas de conclure.
\end{itemize}

Une des interprétation possible reste la remise en cause de l'existence de l'éther. Ce n'est pas particulièrement cette expérience mais plutôt une accumulation d'expérience remettant en doute l'existence de l'éther qui va pousser la communauté scientifique à plus s'attarder sur le dernier point cité plus tôt : les postulats de la mécanique connus à ce jour sont faux.

\subsection{Les postulats d'Einstein}
Afin de remédier à cela, Einstein propose deux postulats en 1905, qui seront alors à la base de la \textbf{relativité restreinte} :

\begin{itemize}
 \item Tous les référentiels d'inertie sont équivalents. Autrement dit, la formulation mathématique des lois de la physique doit être la même dans tous ces référentiels
 \item La vitesse de la lumière dans le vide est indépendante  de l'état de mouvement de la source
\end{itemize}

\textbf{Remarques :}
\begin{itemize}
 \item Pour expliciter un peu cela, le premier principe suppose donc que les équations de Maxwell conserve la même forme, mais où tout est remplacé par des ' ! E devient E', t devient t', ect...
 \item Le premier principe fait disparaitre la notion de référentiel privilégié. \textbf{Le seul mouvement que l'on puisse observer est le mouvement relatif d'un objet par rapport à un autre.}
 \item C'est ainsi qu'on été posé historiquement les deux postulats. Néanmoins, le deuxième postulat est en fait une conséquence du premier, à condition de faire des hypothèses raisonnables sur la structure de l'espace-temps (cf \livre{Semay P.102})
\end{itemize}

\subsection{Invariant relativiste et transformation de Lorentz}
Faisons rapidement un point de notation et de vocabulaire : on note $\mathcal{R}$ dont les coordonnées sont (x,y,z,t) un référentiel d'inertie et $\mathcal{R'}$ dont les coordonnées sont (x',y',z',t') un autre référentiel d'inertie en translation par rapport au premier. On remarque que maintenant, on ne prend plus un référence de temps unique pour tous les référentiels mais un par référentiel. Un \textbf{évènement} correspond à un point infiniment précis d'un des référentiel, c'est à dire la donnée de (x,y,z,t) pour $\mathcal{R}$ et (x',y',z',t') pour $\mathcal{R}'$.

\livre{Semay p.30}. Considérons qu'à l'instant t=0=t', les origine O et O' coïncident et qu'un signal lumineux soit envoyé depuis ce point. La vitesse de la lumière ne dépendant pas du référentiel, on a :

\[
x^2+y^2+z^2=c^2t^2 ~~ et ~~ x'^2+y'^2+z'^2=c^2t'^2
\]

Autrement dit, on trouve que la quantité

\[
\Delta s = c^2t^2-x^2-y^2-z^2
\]

est un invariant relativiste. (On a ici pris uniquement le cas d'un rayon de lumière, mais on peut montrer que c'est toujours vrai).

Pour rappel, en mécanique classique, on utilisait les transformées de Galilée pour passer d'un référentiel à un autre. On aimerait ici trouver un équivalent, qui s'appelle en fait les transformée de Lorentz. On cherche donc une transformation de la forme :

\[
\left\{
\begin{array}{c}
t=t(t',x',y',z') \\
x=x(t',x',y',z') \\
y=y(t',x',y',z') \\
z=z(t',x',y',z')
\end{array}
\right.
\]

On peut montrer que cette transformation est forcément linéaire. En utilisant l'invariant trouvé plus tôt, on peut finalement montrer que dans le cas d'une vitesse relative $v_x=v$ et $v_y=0=v_z$, on trouve la transformation suivante (\livre{Semay p30-34}) :

\[
\begin{array}{c}
ct = \gamma (ct'+\beta x') \\
x=\gamma (x'+\beta ct') \\
y=y \\
z=z
\end{array}
\]

ou

\[
\begin{array}{c}
ct' = \gamma (ct-\beta x) \\
x'=\gamma (x-\beta ct) \\
y=y \\
z=z
\end{array}
\]

Avec $\beta = \frac{v}{c}$ et $\gamma= \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$.

\textbf{Remarques :}
\begin{itemize}
 \item On peut montrer que cette transformation laisse bien l'invariant relativiste...invariant (mais ne le faire que s'il y a le temps) (PS : on s'en fout de y et z) :

\[
s^2=ct^2-x^2=\gamma^2 (ct'^2+\beta^2x'^2+2 \beta ct'x')-\gamma^2 (x'^2+\beta^2 c^2t'^2+2x' \beta ct') = \gamma^2 (c^2t'^2 (1+\beta) + x'^2 (1+\beta))=c^2t'^2+x'^2
\]
 \item On a donné ici un exemple particulier dans la cas d'un translation selon Ox. La cas général est plus complexe... et je le connais pas en fait mdr.
 \item Dans la limite $v \ll c$, on retrouve Galilée.
\end{itemize}

\transition{Contrairement aux transformations de Galilée, les transformations de Lorentz mêlent temps et espace. On va voir que ça a des répercutions très impressionnantes et contre intuitives.}

\section{Conséquences de la relativité restreinte}
\textbf{Ca vaut sûrement le coup d'introduire tout de suite le diagramme de Minkowski puis de faire l'application à chaque fois}
\subsection{Perte de simultanéité}
Imaginons que l'on ait 2 évènements simultanés dans le référentiel $\mathcal{R}$. Cela signifie concrètement que la coordonnée temporelle des deux évènements est identique : $t_1=t_2 \Leftrightarrow \Delta t=0$. On a alors :

\[
\Delta t' = \gamma\left( \Delta t - \frac{v\Delta x}{c^2} \right) = - \gamma \frac{v\Delta x}{c} \neq 0
\]

\textbf{Deux évènements simultanés dans $\mathcal{R}$ ne sont donc pas simultanés dans $\mathcal{R}'$ !}

Exemple : Imaginons qu'un passager de train se mette au milieu du wagon. Il envoie une signal lumineux de chaque côté. Pour lui les signaux lumineux arrivent en même temps de chaque côté. Pour une personne sur le quai, il voit la lumière d'abord arrivée au fond du wagon car ce dernier se rapport du signal lumineux.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{dilat_temps1.pdf}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{dilat_temps2.pdf}
\end{center}

\subsection{Dilatation du temps}
Supposons cette fois que dans $\mathcal{R}$, deux évènements arrivent au même endroit, mais pas au même moment. On a alors :

\[
\Delta t' = \gamma \delta t
\]

On a donc $\Delta t' > \Delta t$. Donc une horloge dans $\mathcal{R}$ semble ralentie du point de vue de l'horloge dans $\mathcal{R}'$. Néanmoins, si on inverse les rôles, on trouve que dans $\mathcal{R}$, l'horloge de $\mathcal{R}'$ semble ralentie elle aussi ! La dilatation du temps est \textbf{réciproque}. Mais est-ce un paradoxe ? (\livre{Semay p.61})

\hspace{7mm}

Prenons un exemple connu du grand public : le paradoxe des jumeaux. Un jumeau part en voyage dans l'espace et l'autre reste sur Terre. Lequel est le plus jeune lors du retour de celui parti dans l'espace ? Et bien on peut montrer avec la relativité restreinte qu'en faisant faire l'aller-retour  à une horloge dans une fusée... elle finit synchronisée avec celles sur Terre quand elle atterrit ! On ne peut pas réellement comparé deux horloges tant qu'elles ne sont pas mises côte à côte ! En réalité, on voit que le jumeau qui a voyagé a rajeuni, mais ce n'est pas dû à la relativité restreinte : c'est en fait le résultat des moments où le référentiel ne peut pas être considéré comme \textbf{inertiel !}

La vérification expérimentale de la dilatation des durées la plus frappante date de 1963 (Frisch et Smith). Elle consista à déterminer le temps de vie des muons émis par la haute atmosphère. La durée de vie moyenne des muons étant de $\tau_0= 2,2~10^{-6}$ s (soit une distance moyenne de parcours majorée par $c \tau_0$  = 660 m) on s’attendrait en physique non relativiste à ce que le flux de muons détecté au niveau de la mer soit au moins 18 fois plus faible qu’à une altitude de 1910 m. \\ Ceci n’est pas vérifié parce que les muons sont ultra-relativistes et donc dans le référentiel du laboratoire, le muon a un temps de vie moyen bien plus long en vertu de la dilatation du temps. Après avoir sélectionné les muons dont la vitesse est comprise entre $0.9950c$ et $0.9954c$, Frisch et Smith ont mesuré les flux
de muons aux deux altitudes mentionnées ci-dessus, et en ont déduit une durée de vie dans le référentiel terrestre de
$\tau = (8.8 \pm 0.8)\tau_0$, en accord avec le facteur de Lorentz théorique  = 8.

\transition{Bon on s'est uniquement intéressé au temps. Regardons ce qu'il en est des longueurs}

\subsection{Dilatation des longueurs}
Prenons pas exemple le cas d'une règle, immobile dans $\mathcal{R}$, de longueur $L=\Delta x$. Dans $\mathcal{R}'$, on a :

\[
L'=\Delta x'= \gamma(L-v\Delta t)
\]

et

\[
\Delta t'=0=\gamma \left( \Delta t -\frac{vL}{c^2} \right)
\]

Donc finalement :

\[
L'= \gamma L \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)= \frac{L}{\gamma}
\]

On remarque alors que \textbf{la longueur mesurée dans un référentiel en mouvement sera toujours inférieure à la longueur mesurée dans le référentiel où l'objet est immobile.} C'est ce que l'on nomme la contraction des longueurs.

Un exemple impressionnant : un train ne peut donc pas entièrement rentré dans un tunnel "de même taille" que lui ! Enfin si ? En fait ça dépend du référentiel !

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{dilat_long1.pdf}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{dilat_long2.pdf}
\end{center}

\subsection{Composition des vitesses (pas la partie la plus intéressante)}
Avec les transformations de Galilée, c'était pas trop dur. Voyons ce que ça donne avec les transformations de Lorentz ! En différenciant, on a :

\[
\begin{array}{c}
\frac{dx'}{dt'} = \frac{\frac{dx}{dt}-v}{1-\frac{v}{c^2}\frac{dx}{dt}} \\
\frac{dy'}{dt'} = \frac{\frac{dy}{dt}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{v}{c^2}\frac{dx}{dt}}
\end{array}
\]

Donc :

\[
\begin{array}{c}
v_x' = \frac{v_x-v}{1-\frac{v}{c^2}v_x} \\
v_{y,z}' = \frac{v_{y,z}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{v}{c^2}v_x}
\end{array}
\]

\textbf{Remarque :}
\begin{itemize}
 \item dans la limite classique, on retrouve le cas Galilée ! 
 \item Cette fois, même les vitesse orthogonales sont affectées
\end{itemize}

\transition{On va voir un petit truc qui permet de bien se représenter tout ça}

\subsection{Diagrammes de Minkowski}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{Minkowski.PNG}
\end{center}

Pour aider à répondre rapidement aux problèmes de relativité restreinte, on peut utiliser un diagramme de Minkowski.

\begin{itemize}
 \item Axe ct' trouvé avec $x'=0 \Leftrightarrow x= \beta ct$
 \item Axe x' trouvé avec $ct'=0 \Leftrightarrow x= \frac{1}{\beta}ct$
 \item On a un angle $\theta$ tel que $\tan \theta = \frac{x}{ct}$ entre les deux repères
 \item On considère un évènement E : on peut trouvé ses coordonées dans $\mathcal{R}$ et dans $\mathcal{R}'$
 \item On peut y observer les contractions/dilatations dont on a parlé. Les calculs pour la dilatation du temps sont en annexes.
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Minkow.pdf}
\end{center}

\subsection{Les intervalles}
\begin{itemize}
 \item $\Delta s^2 <0$ : ailleurs : on ne peut pas rejoindre cette zone
 \item $\Delta s^2>0$ et $\Delta t <0$ : passé
 \item $\Delta s^2>0$ et $\Delta t >0$ : futur
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{ailleurs.PNG}
\end{center}

\section{Annexes}
\subsection{Calculs avec diagramme de Minkowski}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{calcul_dilat_temp.PNG}
\end{center}

\subsection{Expérience de Fizeau}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{Fizeau.PNG}
\end{center}

Avec la composition des vitesses on trouve $\delta t = -2 \frac{L}{\frac{c}{n}+u} + 2 \frac{L}{\frac{c}{n}-u}$. On observe alors un décalage de frange avec u=0 de l'ordre de $\Delta p \approx \frac{4Ln^2u}{\lambda c}$. Désaccord théorie expérience.

Dans le cas relativiste :

\[
v'= \frac{\frac{c}{n} \pm v}{1 \pm \frac{v}{cn}}
\]

Donc

\[
v'= \approx  \frac{c}{n} \pm \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) v
\]

... on a pas le même résultat.

\section{Questions}
\begin{itemize}
 \item \textit{Aujourdh'ui, vitesse de la lumière fixée.}
 \item Est-ce que tu peux réexpliquer en quelques mots l'expérience de Michelson-Morlay ? \textit{Ils ont supposé une composition des vitesses}. Est-ce que c'est important de connaitre la direction du Michelson ? Pourquoi l'avoir tourné ? \textit{Dans les faits, ils connaissaient pas la direction de la vitesse du Michelson par rapport à l'éther. Simplification des calculs.} \textbf{Attention la conclusion de l'expérience c'est sur l'existence de l'éther ! Et encore...}
 \item C'est la seule expérience Michelson-Morlay pour montrer la relat ? \textit{Fizeau}
 \item Tu entends quoi par "les lois de la physique sont invariantes par changement de référentiel" ?
 \item Ce principe il sert à quoi dans la suite ?
 \item Une preuve expérimentale de la constance de la vitesse de la lumière ? \textit{Experience d'Arago, pions dans des accélarateurs de particules.}
 \item Comment on retrouve les transformations de Lorentz ?
 \item C'est quoi un invariant par translation temporelle ? Un exemple ? \textit{Les intervalles de temps} Donc les différences sont invariantes. Donc les transformations de Lorentz sont linéaires ! Et ensuite ? \textit{On utilise $x-ct =x'-ct'$}.
 \item Est-ce que l'invariant est une conséquence des transfo de Lorentz ou l'inverse ? Est-ce que c'est un invariant de toutes les transfo de Lorentz ? \textit{C'est invariant implique Lorentz}
 \item Dans l'espace de Minkowski, l'invariant c'est quoi ? \textit{Le produit scalaire avec la métrique de Minkowski}
 \item C'est quoi la simultanéité ?
 \item Perte de simultanéité = perte de causalité ? \textit{NON !}
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{Questions1.PNG}
\end{center}

\section{Remarques}
\begin{itemize}
 \item L'expérience de Michelson-Morlay montre pas grand chose en fait... Il faut + décrire l'expérience en tout cas ! La présenter comme une expérience qui pose problème. Ou présenter Fizeau.
 \item Invariance = c'est la même force ! ie les eq de maxwell ont la même forme. Mais on a pas E'=E qui sera la covariance.
 \item Les postulats c'est l'essentiel à noter.
 \item On impose la linéarité, puis la vitesse de la lumière qui impose l'invariance de l'espace temps. Ensuite avec $ds^2=0$, on trouve les transfo Lorentz.
 \item Regarder les premières pages du Langlois.
 \item Mettre la perte de simultanéité juste après les postulats c'est mieux
 \item C'est important de montrer comment ça marche les calculs avec Lorentz
 \item Important de donner les dates, quelques ODG
 \item Il peut y avoir des questions sur Doppler relativiste
 \item Faire des diagrammes de Minkowski si y'a le temps et la maitrise c'est un +
\end{itemize}




\end{document}
