\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP07 Dynamique relativiste}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{MONNET Benjamin}{}{}{}



\subsection*{Niveau : L3}



\subsection*{Commentaires du jury}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{Commentaires.PNG}
\end{center}



\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Mécanique I}, \textbf{BFR} & Biens askip  \\
\textbf{Hladik} & Bien aussi \\
\textbf{Semay} & J'ai rien d'autre... \\
\textit{Mécanique quantique}, \textbf{Perez} & Effet Compton \\ 
\end{tabular}

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Cinématique relativiste
 \item Mécanique classique
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item  
	\end{itemize}
\end{minipage}



\tableofcontents
\pagebreak




\section*{Introduction}
On a eu l'occasion de déjà beaucoup parler du PDF en mécanique classique et de toutes les considérations qui en découlent (conversation d'impulsion, d'énergie, ect...). Néanmoins, nous avons maintenant commencé à développer des nouvelles notions de relativité et le PFD dans l'état actuel des choses ne convient plus. Nous allons donc chercher son équivalent relativiste.

\section{Du PFD classique au PFD relativiste}
\subsection{Rappels}
Quelques rappels sur ce qui a pu être vu en cinématique relativiste :
\begin{itemize}
 \item Le temps propre $\tau$ d'une particule se déplaçant à une vitesse v par rapport à un référentiel $\mathcal{R}$ dans lequel le temps est noté t : $dt = \gamma d\tau$ avec $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ le facteur de Lorentz
 \item La notion de quadri-vecteur : $X^{\mu}=(ct,c,y,z)$
 \item La quadri-vitesse $U^{\mu}=(\gamma c,\gamma \vec{v})$, définie comme $\frac{dX^{\mu}}{d\tau}$
\end{itemize}

\subsection{Energie et impulsion en relativité}
Ce qui nous intéresse, pour retrouver un PFD relativiste, c'est l'impulsion. Mais il faut définir une impulsion \textbf{relativiste}. On s'inspire pour cela de la mécanique classique en multipliant la vitesse relativiste par la masse. On pose donc le quadrivecteur suivant :

\[
\vec{P}=(m\gamma c,m\gamma \vec{v})=(m \gamma c,\vec{p})
\]

\textbf{Attention :} il ne faut pas confondre $\vec{P}$ et $\vec{p}$ !!

$\vec{p}$ est l'impulsion relativiste de la particule. On peut souligner le fait que dans la limite classique, on retrouve bien ce que l'on veut =).

Mais comment interpréter le premier terme du quadrivecteur impulsion ? Multiplions par c. On obtient alors la quadri-vecteur :

\[
c\vec{P}=(m \gamma c^2,c\vec{p})
\]

On se retrouve alors avec un premier terme dont la dimension est l'énergie. On admet qu'il s'agit en fait de l'énergie de la particule (travaux de Lewis et Tolman). On peut s'en convaincre en regardant se qu'il se passe dans la limite classique avec un développement limité :

\[
E=mc^2+\frac{1}{2}mv^2
\]

On retrouve l'énergie de masse au repos et l'énergie cinétique classique ! On peut donc réécrire la quadri-vecteur impulsion :

\[
\vec{P}= (E/c,\gamma m \vec{v})
\]

Si on calcule la pseudo-norme de ce quadri-vecteurn on a :

\[
|P|^2=m^2 \gamma^2 (c^2-v^2)=mc^2=\frac{E^2}{c^2}-c^2p^2
\]

Autrement dit, on trouve une autre expression de l'énergie totale :

\[
E^2=c^2p^2+m^2c^4
\]

Et on trouve ainsi la forme de l'énergie cinétique relativiste : $E_c=(\gamma-1)mc^2$.

\textbf{Remarque :}  En relativité, il n'y a pas nécessairement conservation de la masse mais toujours conservation de l'énergie \livre{BFR p.262}. Par exemple pour la combustion du dihyfrogène, $\Delta E = -241\,\mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}$ donc $\Delta m = \Delta E / c^2 = 2.68\cdot 10^{-12}\,\mathrm{kg\cdot mol^{-1}}$ donc par exemple pour une mole ($m\sim 10\,\mathrm{g}$), la variation relative de masse est $\frac{\Delta m}{m} \sim 10^{-10}$ ce qui est heureusement très faible ! Donc en pratique on ne mesure pas comme ça de variation de masse.

\transition{Maintenant que l'on a retrouvé les différentes grandeurs que l'on avait en mécanique classique, on peut se pencher sur la question du PFD !}

\subsection{PFD relativiste}
On cherche donc un équivalent de $\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}$ mais avec le quadrivecteur impulsion introduit plus tôt, et avec la notion de temps propre. Autrement dit, on cherche quelque chose de la forme :
\[
\frac{dP^{\mu}}{d\tau}=F^{\mu}
\]

Si on reste dans la partie spatiale, on peut remarquer qu'en introduisant tout simplement $\vec{F}'=\gamma \vec{F}$, on a :

\[
\frac{d\vec{p}}{d\tau}=\vec{F}' \Leftrightarrow \frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}
\]

On a donc déjà trouvé le résultat pour 3 des 4 composantes ! Pour la composante 0, ce qui nous intéresse, c'est l'énergie. Or :

\[
\frac{dE}{dt}= \vec{v}.\vec{F}
\]

Du coup, on peut introduire le quadri-vecteur force :

\[
\mathcal{F}=\left( \frac{\gamma}{c}\vec{v}.\vec{F}, \gamma \vec{F} \right)
\]

La composante 0 traduit le TEC relativiste et la partie spatiale le PFD relativiste. \textbf{Encore une fois, avec la limite classique, on retrouve ce que l'on veut.}

\hspace{7mm}

 Autre façon de faire : on cherche une quadri-force $\tilde{F}$ telle que
\[\begin{split}
    \tilde{F} &= \frac{d\tilde{P}}{d\tau}\\
    \tilde{F} &= \left(\frac{d}{d\tau}\frac{E}{c}, \frac{d}{d\tau}\vec{p}\right) \qquad\text{avec}\quad \frac{d t}{d\tau} = \gamma\\
    \tilde{F} &= \left(\frac{\gamma}{c}\frac{d E}{d t}, \gamma\frac{d\vec{p}}{d t}\right)\\
    \tilde{F} &= \gamma\left(\frac{1}{c}\frac{d E}{d t}, \vec{f}\right)
\end{split}\]
Et on peut expliciter le terme temporel :
\[\begin{split}
    E^2 = m^2c^4 + \vec{p}^2c^2 &\implies 2Ed E = 2c^2\vec{p}d\vec{p}\\
    &\implies \frac{d E}{d t} = c^2\frac{\vec{p}}{E}\frac{d\vec{p}}{d t}
\end{split}\]
Avec $\frac{d\vec{p}}{d t} = \vec{f}$ et aussi $\vec{p} = \gamma m\vec{v}$ et puis $E = \gamma mc^2$, ce qui donne finalement 
\[\tilde{F} = \gamma\left(\frac{1}{c}\vec{f}\cdot\vec{v}, \vec{f}\right)\]
Le terme spatial est le PFD généralisé et le terme temporelle est le théorème de l'énergie cinétique généralisé !

\transition{Passons aux cas pratiques}

\section{Chocs de particules}
On distingue deux types de collision :
\begin{itemize}
 \item Les collisions élastiques qui conservent le nombre et la nature des particules
 \item Les collisions inélastiques qui modifient l'état des particules
\end{itemize}

\subsection{Chocs élastiques : Effet Compton}
\livre{Perez p51-52}

En 1923, Arthur Compton réalise l'expérience suivante : il envoie des photons sur une cible de graphite. Avec un détecteur placé derrière la cible en graphite avec un angle donné, il regardait le spectre qu'il obtenait. Il remarqua alors étonnement qu'il y avait deux pics principaux.

\begin{figure}[htb]
\centering
\begin{subfigure}
  \centering
  \includegraphics[width=0.3\linewidth]{Compton1.pdf}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.3\linewidth]{Compton2.pdf}
\end{subfigure}
\end{figure}


Afin d'interpréter le résultat, il faut écrire la conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement du système électron + photon qui est considéré isolé :

\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Compton3.pdf}
\end{center}

\[
e_{\gamma}+E_e=e_{\gamma}'+E_e' ~~ \text{et} \vec{p_{\gamma}} = \vec{p_{\gamma}}'+\vec{p_{e'}}
\]

On remplace ces expressions dans $E_e'=p_{e'}^2 c^2 + m_e^2 c^4$ ce qui donne :

\[
(e_{\gamma}-e_{\gamma}e)^2+2m_ec^2(e_{\gamma}-e_{\gamma}') - p_{\gamma}^2c^2-p_{\gamma}'+2p_{\gamma}p_{\gamma}' \cos \theta = 0
\]

Autrement dit, avec $e_{\gamma}=p_{\gamma} c$ :

\[
2m_ec^2(e_{\gamma}-e_{\gamma})=2e_{\gamma}e_{\gamma}' (1 - \cos \theta) \Leftrightarrow \lambda'-\lambda = \lambda_C(1-\cos \theta) ~~ \text{avec} ~~ \lambda_C=\frac{h}{m_ec}
\]

Cela explique donc l'observation des deux pics pour une angle $\theta$ donné.

\subsection{Chocs inélastiques}
On considère un choc inélastique de la forme :

\[
m_1+m_2 \rightarrow m_3+m_4+m_5
\]

La conservation de l'énergie donne, dans le référentiel du laboratoire $\mathcal{R}$ où la particule 2 est immobile :

\[
m_1c^2 + T_1 + m_2c^2=E_3+E_4+E_5
\]

$T_1$ correspond à l'énergie cinétique minimale de 1  permettant la réaction. Dans le référentiel $\mathcal{R}$, on a forcément $\vec{p} \neq \vec{0}$ donc pas de borne inférieur... On passe donc dans le référentiel de masse $\mathcal{R}'$, où $\vec{p}=\vec{0}$. On peut alors écrire $E'\geq \Sigma m_i c^2$. Dans le référentiel du laboratoire on :
\[
P= \begin{pmatrix}
\frac{E_1+m_2c^2}{c} \\
\vec{p_1}
\end{pmatrix}
\]

et dans $\mathcal{R}'$:

\[
P=\begin{pmatrix}
\frac{E'}{c} \\
\vec{0}
\end{pmatrix}
\]

Par invariance de la peuso-norme, on trouve donc :
\[
\frac{E'^2}{c^2} = \frac{(E_1+m_2c^2)^2}{c^2}-p_1^2
\]

D'où :

\[
(E_1+m_2c^2)^2-c^2p_1^2 \geq (\Sigma m_i)^2c^4
\]

On utilise ensuite :

\[
E_1=m_1c^2+p_1^2c^2 ~~\text{et}~~ E_1=m_1c^2+T_1
\]

En réinjectant ça, on trouve finalement :

\[
T_1 \geq \frac{(\Sigma m_i)^2-(m_1+m_2)^2}{2m_2}c
\]

Donc, selon la réaction que l'on souhaite réaliser, il faut une certaine énergie cinétique minimale !

\hspace{7mm}

Pour la réaction p+p$\rightarrow$ p+p, on trouve $T_1 \geq 5.63 GeV$. Pour atteindre de telles énergies, il faut entrer dans un cadre relativiste, donc $v \approx c$ ! Mais comment atteindre de telles vitesses ?


\section{Accélération de particules dans un champ EM}
\subsection{Champ électrique}
On considère une particule de charge $q$ dans un champ $\vec{\mathcal{E}}$ constant. On a, d'après le PFD relativiste, 

\begin{equation*}
    \frac{d \vec{p}}{d t} = q \vec{\mathcal{E}}
\end{equation*}{}

On se place dans le référentiel $\mathcal{R}$ dans lequel l'axe $Ox$ coincide avec la direction du champ $\vec{\mathcal{E}}$. On suppose la vitesse initiale de la particule $\vec{v}_0$ selon $Ox$. On a 
\begin{equation*}
    \frac{d p_x}{d t }= q \mathcal{E} 
\end{equation*}{}

L'intégration donne 
\begin{equation*}
    p_x =q \mathcal{E} t + p_{0x} = q E t 
\end{equation*}{}

On a la relation $ \vec{v} = \vec{p}c^2/E$, donc $v_x=p_x c^2/E$. $E$ est défini par $E=\sqrt{m^2c^4+c^2p^2}$. En combinant ces expressions, il vient 
\begin{equation*}
    v(t) = \frac{c q \mathcal{E} t }{\sqrt{(mc)^2 + (q \mathcal{E}t)^2}}
\end{equation*}{}

Aux temps faibles on retrouve l'expression newtonienne $v(t)=q\mathcal{E}t/m $ et aux temps longs on tend vers $c$, \textbf{TRACER LA COURBE}  
\\

\underline{Aplication}: Les accélérateurs linéaires, comme celui de Stanford de 3 km de long ! Il permet d'atteindre 99.999 999 2 \% de $c$ pour une énergie cinétique de 50 GeV\\

Parler plus des accélérateurs linéaires et des progrès qu'ils ont permis ? \\

\transition{Pour accéder à des énergies plus hautes il faut faire des accélérateurs plus longs (bof) ou on fait des accélérateurs non-linéaires= rôle du champ $\vec{B}$}

\subsection{Champ magnétique}
\[
\frac{d\vec{p}}{dt}=q\vec{v}\wedge \vec{B}
\]

La force magnétique étant orthogonale à la vitesse, elle ne travaille pas et la vitesse est donc constante. Donc $\gamma$ est une constante d'où :

\[
\frac{d\vec{v}}{dt}= \frac{\omega_c}{B} \vec{v} \wedge \vec{B}
\]

Avec $\omega_c=\frac{qB}{\gamma(v) m}$

\subsection{Application aux accélérateurs de particules ?}

\section*{Annexes}
\subsection*{Effet Doppler relativiste}
En classique, on comprend que si par exemple une source s'éloigne d'un récepteur, la longueur d'onde reçue sera plus élevée... C'est ce qui se passe lorsqu'on parle du fameux "red-shift", témoin de l'extension de l'univers (la majorité des étoiles s'éloignent du système solaire). Mais est-ce si logique et naturel ? Après tout on parle de lumière donc on DOIT traiter le problème dans le cadre de la relativité !\\

Déjà reprenons l'effet \textsc{Doppler} classique. On imagine une source qui s'éloigne à une vitesse constante $v$ du récepteur. Notons $t_1$ et $t_2>t_1$ les instants d'émission de signal et $T_1, T_2$ les instants des réception :
\[\left\{\begin{split}
    T_1 &= t_1 + \frac{d}{c}\\
    T_2 &= t_2 + \frac{d + v\Delta t}{c}
\end{split}\right.\implies \Delta T = (1 + \beta)\Delta t\]

On a posé, avec $c$ la vitesse de propagation de l'onde :
\[\Delta t = t_2 - t_1 \qquad \Delta T = T_2 - T_1 \qquad \beta = \frac{v}{c}\]

En relativité on garde ce résultat, mais on doit également prendre en compte que la notion de temps n'est plus absolue ! On garde les mêmes notations pour la référentiel $\mathcal{R}$ du récepteur, mais on rajoute des ' pour les coordonnées dans $\mathcal{R}'$, le référentiel de la source :
\[\Delta T = (1 + \beta)\Delta t = \underset{\text{LP 06}}{\underset{\uparrow}{=}}\; \underbrace{(1 + \beta)}_{\text{classique}}\;\underbrace{\gamma}_{\text{relat}}\;\Delta t' = \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}\Delta t'\]

Alors on peut voir $\Delta t'$ la période d'une onde vu dans le référentiel de la source :
\[f_{source} = \frac{1}{\Delta t'}\]
Alors la fréquence vue par le récepteur est telle que 
\important{\[f_{rec}  = \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}}\,f_{source} < \frac{f_{source}}{1-\beta}\]}

\important{Doppler relativiste = Doppler classique + dilatation du temps}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[height = 3.5cm]{doppler.pdf}
    \caption{L'effet \textsc{Doppler} relativiste prend en compte la dilatation du temps}
\end{figure}

Notons que l'on pouvait obtenir plus rapidement ce résultat à partir des quadri-vecteurs : pour un photon, on a
\[E = \hbar\omega \qquad \vec{p} = \hbar\vec{k}\]

Donc on peut définir un nouveau quadri-vecteur "pulsation-vecteur d'onde" au quadrivecteur énergie-impulsion pour un photon :
\[\left(\begin{array}{c}
\omega / c\\
\vec{k}
\end{array}\right) = \frac{1}{\hbar}\mathcal{P}\]

Donc il s'agit d'un quadri-vecteur contravariant qui se transforme comme n'importe quel quadri-vecteur contravariant sous \textsc{Lorentz} :
\[\left(\begin{array}{c}
\omega / c\\
\vec{k}
\end{array}\right) = \Lambda \left(\begin{array}{c}
\omega' / c\\
\vec{k}'
\end{array}\right)\]

Alors $\omega'$ est la pulsation de la source dans son référentiel $\mathcal{R}'$ et $\omega$ est la pulsation reçue par le récepteur dans $\mathcal{R}$. On a bien la même relation au final :

\[
\omega = \gamma\omega' - \beta c \gamma k' = \gamma\, (1+\beta)\omega' = \sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\omega'
\]

On remarque que pour de faibles vitesses, à l'odre 1 en $\beta$, on a $\gamma = 1$ donc on retombe sur la même formule qu'en classique.

\textbf{Relation de (non)-dispersion}.

Au passage, en prenant la norme du ce "quadri-vecteur d'onde", on trouve 
\[\left(\frac{\omega}{c}\right)^2-\vec{k}^2 = \frac{1}{\hbar}\mathcal{P}^\mu\mathcal{P}_\mu = \left(\frac{mc^2}{\hbar}\right)^2 = 0\]
Car comme on l'a vu pour un photon $m = 0$. On retrouve bien la relation linéaire $\omega = |\vec{k}|c$.
\hspace{7mm}

\textbf{Interprétation}. 

Donc pour une étoile qui s'éloigne, on verra $\beta > 0 \implies f < f_{source}$ donc $\lambda > \lambda_{source}$ d'où un décalage vers le rouge !
\hspace{7mm}
\textbf{Cas limite}

On remarque que, comme dans l'effet classique, la fréquence tend vers l'infini si $\beta = -1$, ce qui correspond au franchissement du mur du son (ou "mur de lumière" cf. effet \textsc{Cherenkov} \livre{Hladik}). Par contre si la source s'éloigne à la vitesse de l'onde, alors que la fréquence est simplement divisée par 2 dans le cas classique. Dans le cas relativiste, la fréquence reçue est nulle ! Ceci traduit le fait qu'on ne pourra jamais recevoir de signal d'un corps s'éloignant à la vitesse de la lumière... Ceci est caché dans le terme $\gamma \xrightarrow +\infty$ de la dilatation du temps.

\subsection*{Abberations}
\livre{Semay p181}

Un truc stylé qui fait que quand tu voyages dand un vaisseau, tu vois les étoiles avec un angle plus faible !

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[height = 5cm]{Aberration.PNG}
    \caption{Stylééééé}
\end{figure}

\section{Version 30 minutes}
Partie II et III deviennent qu'une partie d'applications.

\section{Questions}
\begin{itemize}
 \item Pourquoi on a besoin d'un formalisme quadrivectorielle ? \textit{On en a pas besoin mais c'est pratique ici. De plus, les pseudo-normes sont conservées.}
 \item Tu peux montrer que le pseudo-vecteur vitesse est de norme carré $c^2$ ?
 \item Est-ce qu'une particule massive peut aller à la vitesse de la lumière ? \textit{Non autrement énergie infinie car $E\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$}
 \item On dit souvent que la force est un invariant galiléen. Ca veut dire quoi ? \textit{La forme de la force ne dépend pas du référentiel.} Ok et est-ce que c'est un invariant lorentzien ? \textit{Dépend du référentiel car il y a un facteur $\gamma$}
 \item Est-ce que tu peux donner les trois principes de la mécanique de Newton et leur évolution avec la relativité restreinte ? \textit{PFD relativiste : il a été généralisé. Pincipe d'inertie reste valable. Pour la réciprocité, on est pas dans les même référentiels... donc faut faire une transformation de Lorentz et ça change tout.}
 \item Tu peux motiver la forme du quadri-vecteur force ? \textit{On veut conserver la forme des equations de Maxwell}
 \item Est-ce que tu peux montrer avec le PFD que $E$ c'est vraiment l'énergie de notre système (parce que tu l'as justifié par un DL qui montrait qu'on retrouvait l'énergie cinétique) ?
 \item Tu peux développer les calculs pour la collisions de Compton ?
 \item Qu'est-ce qui te permet d'écrire la relation entre les quadri-vecteurs impulsions ? \textit{Conservation} Ca vient d'où ? \textit{Système isolé}
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Questions1.PNG}
\end{center}

\begin{itemize}
 \item Quadrivecteur se transforme par transformations de Lorentz ?
 \item Scalaire = nombre
 \item On rappelle qu'en relativité restreinte, l'énergie d'une particule de masse m s'écrit :

\[
E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
\]

Ainsi, on voit que pour qu'une particule aille à $v=c$, il faut une énergie infinie... à moins que celle-ci ait une masse nulle !
 \item Expérimentalement $m_{photon}<10^{-54}$ kg
 \item Perte de simultanéité, le temps n'est plus le même pour tout le monde
 \item Avec les formules classiques, ça parait compliqué un tel changement de champs...
 \item Référentiel du centre masse permet de faire $\vec{p}=0$ c'est cool ?
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Questions2.PNG}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Questions3.PNG}
\end{center}

\section{Remarques}
\begin{itemize}
 \item On a construit des quadri-vecteurs parce que les transfo de Lorentz s'appliquent vachement bien dessus
\end{itemize}





\end{document}
