\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP08 Notion de viscosité. Ecoulements visqueux}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{MONNET Benjamin}{}{}{}



\subsection*{Niveau : L2}



\subsection*{Commentaires du jury}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.9]{Commentaires.PNG}
\end{center}



\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Hydrodynamique physique}, \textbf{Guyon-Hulin-Petit} & Complet \\ 
\url{http://www.fast.u-psud.fr/~rabaud/NotesCours_Agreg.pdf} & cours de Cachan\\
\end{tabular}

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Mécanique newtonienne
 \item Description eulérienne et lagrangienne
 \item Écoulement incompressible
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item  
	\end{itemize}
\end{minipage}



\tableofcontents
\pagebreak




\section*{Introduction}
\manip{On peut faire s'écouler 2 fluides différents genre Miel et Eau.}

La notion de viscosité est souvent déjà un minimum connue du grand public. On va essyer de l'expliquer. Le but de cette leçon va donc être de trouver une équation qui puisse décrire l'écoulement d'un fluide visqueux.

\section{Notion de viscosité}
\subsection{Force surfacique}
\url{https://www.youtube.com/watch?v=p08_KlTKP50}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{couette1.pdf}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{couette2.pdf}
\end{center}

\experience{Ecoulement Couette Plan}{}{}{
P0.33. Il faut du glycérol et du colorant pour glycérol. On montre que la vitesse du fluide semble se transmettre de haut en bas dans le fluide...

\textbf{Remarque :} on obtient pas un profil linéaire car on crée un gradient de pression dans la cuve du coup on a Couette + Poiseuille
}

Or qui dit transmission de vitesse dit transmission de quantité de mouvement et donc présence d'une force ! On remarque que :
\begin{itemize}
 \item La vitesse tout en bas reste toujours nulle
 \item Le fluide est déplacé toujours selon $\vec{e_x}$
 \item Transmission de vitesse présente que si la vitesse n'est pas homogène
\end{itemize}

Ces observation traduisent en fait la présence d'une force de viscosité :

\[
\vec{F}= \eta \frac{dv}{dy} S \vec{e_x}
\]

$\eta$ est la viscosité dynamique et s'exprime en Pa.s.

\textbf{Remarques :}
\begin{itemize}
 \item Cette expression n'est juste que si le fluide est considérée comme incompressible
 \item L'hypothèse d'une relation linéaire n'est pas forcément vérifiée. Si elle est vérifiée, on parle de fluide Newtonien mais il existe des fluides non-newtonien dont les comportements sont multiples
\end{itemize}

\textbf{ODG :}
\bigbreak

\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
Fluide & Air & Eau & Glycérol & Miel \\ \hline
Viscosité (Pa.s) & 2.10$^{-5}$ & 10$^{-3}$ & 1.5 & 10 \\
\end{tabular}

\transition{
On oublie pas notre but : comprendre le comportement d'une particule fluide. Voyons donc l'impact de cette force sur une particule fluide. 
}

\subsection{Equivalent volumique}
Restons dans le cas précédent où la vitesse est sous la forme $\vec{v}=v(y,t) \vec{e_x}$. On considère une particule fluide située en y ey y+dy.
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{volume.pdf}
\end{center}

Les forces de viscosité s'appliquant dessus sont :

\[
\vec{F} = \eta \frac{dv}{dy} (y+dy)dzdx - \eta \frac{dv}{dy}(y)dzdx = \eta \frac{d^2v}{dy^2} dydzdx
\]

Autrement dos, on trouve une force volumique égale à $\eta \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}$. Cette expression se généralise sous la forme :

\[
\vec{f_v} = \eta \Delta \vec{v}
\]

En effet, on peut imaginer que si la vitesse avait dépendu des autres directions , on aurait juste rajouté les contributions et obtenu chaque dérivée partielle.

\transition{
Avant d'établir l'équation du comportement d'une particule fluide, intéressons-nous un peu à l'aspect microscopique de la viscosité.
}

\subsection{Modèle microscopique (gaz)}
On considère un gaz dont la vitesse moyenne liée à l'agitation thermique est u. De plus, on suppose qu'il y a un mouvement d'ensemble de la forme $\vec{v}=v(y)\vec{e_x}$. On adopte le modèle 1/6 résultant du chaos moléculaire vu en thermodynamique : il y a autant de particules bougeant à u selon $\pm O_{x,y,z}$. On note n la densité de particules.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{micro.pdf}
\end{center}

Calculons la quantité de mouvement traversant la surface dS :

\[
\Delta \vec{p} = -\frac{1}{6} n m v(y+l) S u dt \vec{e_x} + \frac{1}{6} nmv(y-l) S u dt\vec{e_x} = \frac{1}{6} n u S m \left( -2 l \frac{dv}{dy} \right) dt \vec{e_x} = \frac{1}{3} nmul \frac{dv}{dy}
\]

On trouve donc une expression de la viscosité :

\[
\eta = \frac{1}{3}nmul
\]

Pour un gaz parfait, $u= \sqrt{\frac{3k_BT}{m}}$ et de manière générale, la viscosité d'un \textbf{GAZ} croit avec la température.

\textbf{ODG :} Pour l'air : $u \approx 700 m/s$ et $l \approx 100 nm$. On trouve $\nu = \frac{\eta}{\rho}= \frac{1}{3}ul \approx 2.3~10^{-5} Pa.s$. La valeur expérimentale est de $1.5~10^{5}$ (CNTP), l'ordre de grandeur est donc bon !.

\important{Pour les liquides, la situation est plus complexe et ne sera donc pas abordée dans la leçon. \livre{GHP p 70}. Pour les fluides, la viscosité diminue avec la température}

\section{Equation de Navier-Stokes}
\subsection{Démonstration}
On considère un fluide incompressible et Newtonien. On applique le principe fondamentale de la dynamique dans le référentiel du laboratoire. On prendra comme force : les forces de pression, de visqueusité et de gravité. On a alors :

\[
\begin{array}{c}
\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}.\vec{\nabla})\vec{v} \right) = -\vec{\nabla} P + \rho \vec{g} + \eta \Delta \vec{v} \\
div \vec{v}=0
\end{array}
\]

La première ligne correspond l'équation de \textbf{Navier-Stokes}. Elle est impossible à résoudre analytiquement dans l'état actuel des choses. Cette équation combinée à l'hypothèse d'incompressibilité représente un système fermé car on a 4 inconnues (P +$\vec{c}$) et 4 équations ($\vec{NS}$ + incompressibilité). Il ne reste plus que les conditions au limites. Afin que la force ne diverge pas au voisinage des solides, on suppose que la vitesse tangentielle du fluide est la même que celle du solide. De plus, on suppose que le fluide ne peut pas s'enfoncer dans le solide ou s'en décoller. Donc on a finalement comme conditions aux limites :

\[
\vec{v}=\vec{v}_{solide}
\]

\transition{
On a un système fermé... mais ça ne sert pas à grand chose si on ne peut pas détermienr la forme de la solution ! Il va donc falloir simplifier l'équation de Navier-Stokes.
}

\subsection{Nombre de Reynolds}
On cherche à simplifer l'équation qui vient d'être trouvée. Le terme le plus complexe est le terme non linéaire est l'object de le leçon était la viscosité, nous allons nous intéresser à ces deux termes. On constuit donc le nombre adimenssioné de Reynolds :

\[
Re= \frac{convection}{diffusion} \approx \frac{\rho \frac{U^2}{L}}{\eta \frac{U}{L^2}} = \frac{UL}{\nu}
\]

On distingue en général 2 cas :
\begin{itemize}
\item $Re \ll 1$ : les forces visqueuses sont prépondérantes. On parle d'écoulement laminaire ou rampant
\item $Re \gg 1$ : on a un écoulement turbulent
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Raynolds.JPG}
\end{center}

Prenons quelques exemple :
\textbf{ODG :}
\begin{itemize}
 \item un jet d'eau en sortie de robinet : $U \approx 0.1 ms^{-1}$, $L \approx 0.1 m$ et $\nu=10^{-6} m^2 s^{-1}$ donne $Re= 10^4 \gg 1$
 \item L'air autour d'une voiture :  $U \approx 10 ms^{-1}$, $L \approx 1 m$ et $\nu=10^{-5} m^2 s^{-1}$ donne $Re \gg 1$
 \item
\end{itemize}

En réalité, c'est bien plus complexe que cela et certains écoulements avec des Reynolds de 100 peuvent être considérés laminaires. On se restreindra ici uniquement au cas laminaire.

\subsection{Notion de couche limite}
Dans le cadre de l'approximation laminaire, l'équation de Navier-Stokes devient l'équation de Stokes :

\[
\rho \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = -\vec{\nabla} P + \rho \vec{g} + \eta \Delta
\]

\textbf{Propriétés de l'équation :}
\begin{itemize}
 \item Linéarité !!!!
 \item Irréversibilité
 \item Equation de Stokes en stationnaire avec réversibilité (possibilité de manip, voir \livre{GHP p423})... Le problème c'est le temps
\end{itemize}

Cette équation reste valable tant que les forces visqueuses sont prédominantes. Néanmoins comme on a pu le voir plus tôt, ce n'est pas exemple pas le cas pour l'écoulement de l'air autour d'une voiture. Mais il faut bien garder à l'esprit qu'il y a toujours une zone dans laquelle les effets visqueux sont prédominants. Cette zone est la \textbf{couche limite}. On peut trouver une estimations de sa longueur caractéristique toujours en comparant les termes de visqueusité et de convection. On note $\delta$ la longueur caractéristique de la couche limite.

\[
\rho \frac{U^2}{L} \approx \eta \frac{U}{\delta^2} \Leftrightarrow \delta \approx \frac{L}{\sqrt{Re}}
\]

On voit bien que plus le nombre de Reynolds est petit, plus la couche limite est grande. Dans le cas où le nombre de Reynolds est vraiment petit, on peut donc imaginer que la couche limite englobe toute l'expérience et que les effets visqueux prédominent de partout : l'équation de Stokes est alors partout valable.

Mais j'insiste, il est important de se rappeler que cette couche limite existe dans \textbf{tout type d'écoulements}, même à haut Reynolds ! Les effets visqueux ne sont donc jamais complètement négligeable !


\section{Application (à modifier selon le temps restant)}
\subsection{Ecoulement Couette cylindrique}
\livre{GHP p176}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Poiseuille.pdf}
\end{center}

On néglige ici le poids et les forces de pression de dépendent que de r. En écoulement stationnaire, l'équation de Stokes selon $\vec{e_{\theta}}$ devient alors juste :

\[
\Delta \vec{v} =\vec{0}
\]

Avec les  symétries du problème, la vitesse se met sous la forme : $\vec{v} = v_r(r) \vec{e_r} + v_{\theta} (r) \vec{e_{\theta}}$. Avec l'imcompressibilité, on a finalement $v_r(r) =cste$. L'équation de Stokes devient donc :

\[
\frac{\partial^2 v_{\theta}}{\partial r^2} + \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{v_{\theta}}{r} \right)=0
\]

Pour résoudre ce problème, on pose $V= \frac{v_{\theta}}{r}$. On obtient alors :

\[
\frac{d^2V}{dr^2} + \frac{3}{r} \frac{dV}{dr}=0
\]

Ce qui donne :

\[
\frac{dV}{dr} = \frac{A}{r^3}
\]

et donc :

\[
v_{\theta} = Ar+ \frac{B}{r}
\]

Afin de finir la résolution, il faut utiliser les CAL :

\[
\begin{array}{c}
v_{\theta}(r=R_1)=R_1 \Omega_1 \\
v_{\theta} (r=R_2) = R_2 \Omega_2
\end{array}
\]

On prendra $\Omega_2= \omega$ et $\Omega_1 =0$. On obtient alors :

\[
v_{\theta} = \frac{R_2^2 \omega}{R_2^2-R_1^2} \left( r -\frac{R_1^2}{r} \right)
\]

\subsection{Application : viscosimètre}
Le profil de vitesse que l'on a trouvé précédement est indépendant du fluide considéré est ne permet pas à lui seul de remonter à la viscosité d'un fluide. Néanmoins, on sait que le liquide exerce une force sur la paroi et donc un couple. La force appliquée sur la paroi extérieure vaut :

\[
\vec{F} =  \left( - \eta \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r \frac{v}{r}} \vec{e_{\theta}} \right) (R2)
\]

Et par conséquennt, le couple exercé sur la paroi vaut :

\[
C= 2 \pi R_2 h \times F = 4 \pi h \eta \frac{R_1^2R_2^2}{R_2^2-R_1^2} \omega
\]

En mesurant le couple, on peut donc remonter à la viscosité du fluide ! Néanmoins, ce dispositif a ses limites :
\begin{itemize}
 \item Si la vitesse est trop rapide, on entre en régime turbulent et l'expression trouvée n'est plus valable
 \item Si le couple est trop faible ou trop important, on ne peut pas la mesurer
\end{itemize}

\subsection{Couette plan si il faut combler ou débit en poiseuille}

\section{Annexes}
\subsection{Fluides non newtonien}
Différents types de fluides non newtonien :
\begin{itemize}
 \item \textbf{Rhéofluidifiants :} quand on les agite ou qu'on les presse, ils deviennent plus fluides. (la viscosité diminue avec la contrainte)
 \item \textbf{Rhéoépaissisants :} la viscosité augmente avec la contrainte
 \item \textbf{Fluides à seuil :}ils ne s'écoulent pas en dessous d'un seul de contrainte
\end{itemize}

Loi mathématique (proposée par Ostwald), qui ne marche pas pour les faibles taux de cisaillement :
\[
\eta = D \dot{\gamma}
\]
avec $\dot{\gamma}= \frac{\partial v_x}{\partial y}$ dans le cas d'un cisaillement simple. La difinition prise pour $\eta$ est $\eta=\frac{\sigma}{\dot{\gamma}}$ et fais donc le lien contrainte/déformation. Pour les fluides rhéofluidifiants, $\alpha >0$ alors que $\alpha <0$ pour les rhéoépaississants. Ce modèle marche pas toujours, y'en a plusieurs différents... (cf \livre{GHP} p.145-147) :
\[
\frac{\eta-\eta_{\infty}}{\eta_0-\eta_{\infty}} = \frac{1}{1+\beta^2\dot{\gamma}^2}^p
\]

\subsection{Modèle pour la viscosité pour un liquide}
On suppose en gros que les molécules de liquides sont toutes identiques et se comportent comme des grains de poudre et doivent donc passer une barrière de potentiel de hauteur $\Delta g_0$ pour passer un autre grain. On trouve alors
\[
\eta \propto e^{-\frac{\Delta g_0}{k_B T}}
\]

\subsection{NS dans le cas compressible}
\[
\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}.\vec{\nabla})\vec{v} \right) = \rho \vec{f} - \vec{\nabla} P +\eta \Delta \vec{v} +\left( \xi + \frac{\eta}{3} \right) \vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}v)
\]

\subsection{Force de frottements fluides}
D'une manière générale, on écrit :
\[
F=\frac{1}{2} \rho U^2D^2f(Re)
\]
\begin{itemize}
 \item Pour une écoulement laminaire, $f(Re) \propto \frac{1}{Re}$ donc on a une force proportionnelle à la vitesse
 \item Pour un écoulement turbulent $f(Re) \propto 1$ et on a donc une vitesse quadratique avec un coefficient $C_x$ qui varie avec le Reynolds
\end{itemize}


\section*{Questions}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Questions1.PNG}
\end{center}
\begin{itemize}
 \item Je pense que ça vient des dissipations visqueuses ?
 \item cf annexe 1
 \item Dentifrice = fluide à seuil
 \item cf annexe 3
 \item \begin{center}
 \includegraphics[scale=1]{trainee.PNG}
 \end{center}
 \item Le terme de viscosité élongationnelle est utilisé en rhéologie pour caractériser l'écoulement d'un corps incompressible soumis à une contrainte uniaxiale. La viscosité élongationnelle vaut $\eta _{e}=3\eta$ (loi de Trouton).
 \item La viscosité turbulente désigne une quantité utilisée pour décrire la dissipation turbulente. Elle est l'analogue de la viscosité dynamique pour la relation contraintes-déformations dans le milieu mais n'est pas une caractéristique de ce milieu et son expression doit être adaptée à chaque situation physique.
 \item Ce qui compte pour lui c'est Reynolds !
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Questions2.PNG}
\end{center}

\begin{itemize}
 \item Fluide incompressible = $\rho$ dépend pas de la pression ou d'un autre paramètre. Ecoulement incompressible : le long d'une ligne de courant, $\rho = cste$
 \item Une cellule de Hele-Shaw consiste en deux plaques de verre très rapprochées l'une de l'autre entre lesquelles on injecte un ou plusieurs fluides. Ce système est utilisé comme modèle bidimensionnel d'un milieu poreux.
 \item La turbulence désigne l'état de l'écoulement d'un fluide, liquide ou gaz, dans lequel la vitesse présente en tout point un caractère tourbillonnaire : tourbillons dont la taille, la localisation et l'orientation varient constamment
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Questions3.PNG}
\end{center}

\begin{itemize}
 \item Le verre c'est particulier il y a une transition vitreuse qui fait passer du verre solide au verre liquide... Mais du coup on peut dire qu'il a une très très grande viscosité de l'ordre de $10^{20}$ Pa.s
\end{itemize}

\section*{Remarques}
\begin{itemize}
 \item
\end{itemize}




\end{document}
