\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP09 Modele de l'ecoulement parfait d'un fluide}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{MONNET Benjamin}{}{}{}



\subsection*{Niveau : L3}



\subsection*{Commentaires du jury}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{Commentaires.PNG}
\end{center}



\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Hydrodynamique physique}, \textbf{Guyon, Hulin, Petit}\footnotemark  & Il y a tout \\ 
\textbf{Dunod, PC-PC*} & Là aussi \\
\textbf{Jolidon} & Pour les expériences \\
\textbf{Compétences Prépa PC-PC*} & démo propre du thoérème de Bernoulli énergétique (p318) \\
\end{tabular}

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Viscosité
 \item Equation de Navier-Stokes
 \item Bilan macroscopique en système ouvert
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item  
	\end{itemize}
\end{minipage}



\tableofcontents
\pagebreak




\section*{Introduction}
Nous avons déjà eu l'occasion d'établir l'équation de Navier-Stokes et de parler d'incomrpessibilité. Néanmoins, ces deux équations ne sont pas suffisante pour permettre une résolution analytique et il va donc falloir faire des approximations. C'est pour cela que nous allons parler dans ce cours de la notion d'écoulement parfait.

\section{Modèle de l'écoulement parfait}
\subsection{Fluide et écoulement parfaits}
Un \textbf{fluide parfait} est un dluide pour lequel la viscosité dynamique $\eta$ est considérée comme strictement nulle. Cela signifie qu'il n'y a aucune dissipation visqueuse. Ce genre d'hypothèse est réalisable uniquement avec des superfluides, ce qui restreindrait énormément notre étude. On va donc plutôt faire l'hypothèse d'un écoulement parfait.

Un \textbf{écoulement parfait} est un écoulement pour lequel les forces visqueuses sont négligeables. L'équation de Navier-Stokes est alors simplifiée est devient l'équation d'\textbf{Euler} :

\[
\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}.\vec{\nabla}) \vec{v} \right) = - \vec{\nabla} P + \rho \vec{g}
\]

Deux remarques :

\begin{itemize}
 \item Cette équation est aussi vérifiée pour un fluide compressible étant donné que le terme lié à la compressibilité disparaitrait aussi
 \item Négliger la viscosité, c'est négliger la dissipation et donc la notion d'irréversibilité introduit par les frottements disparaissent
\end{itemize}

Au niveau des CAL, on a toujours :

\[
\vec{v_f}.\vec{n}=\vec{v_s}.\vec{n}
\]

à l'interface fluide/solide qui montre la non-pénétrabilité du solide. Et plus généralement, on a toujours :

\[
\vec{v_f}=\vec{v_s}
\]

\remarque{Cela vient du fait que l'on est par juste dans le cas $\eta=0$ ! Il reste du coup de la viscosité au niveau des parois qui entraine ces conditions aux limites !}

\subsection{Validité du modèle}
Nous avons déjà pu voir que pour comparer le terme convectif au terme visqueux/diffusif, on s'intéresse au nombre de Raynolds :

\[
Re= \frac{convection}{diffusion} = \frac{UL}{\nu}
\]

où $\nu= \frac{\eta}{\rho}$ est la \textbf{viscosité cinématique} du fluide (analogue à un coefficient de diffusion). Quelques exemples de nombres de Reynolds :

\begin{itemize}
 \item un jet d'eau en sortie de robinet : $U \approx 0.1 ms^{-1}$, $L \approx 0.1 m$ et $\nu=10^{-6} m^2 s^{-1}$ donne $Re= 10^4 \gg 1$
 \item L'air autour d'une voiture :  $U \approx 10 ms^{-1}$, $L \approx 1 m$ et $\nu=10^{-5} m^2 s^{-1}$ donne $Re \gg 1$
\end{itemize}

Néanmoins, il ne faut pas oublier que la viscosité est tout de même présente dans tous les cas que nous avons cité si l'on regarde la \textbf{couche limite}. Elle est justement définit comme étant la région dans laquelle la viscosité n'est pas négligeable. En notant $\delta$ la taille caractéristique de la couche limite, on peut estimer sa taille avec :

\[
\rho \frac{U^2}{L} \approx \eta \frac{U}{\delta^2} \Leftrightarrow \delta \approx \frac{L}{\sqrt{Re}}
\]

Dans cette zone, l'équation d'Euler n'est plus valable. Néanmoins, si on considère le cas de l'écoulement de l'air autour d'une voiture, on trouve $\delta = 1 mm$, ce qui signifie qu'une faible partie de l'écoulement seulement ne vérifié pas le modèle parfait.

Cet écart au modèle parfait reste cependant très important car il impose les conditions aux limites ! Il faut donc bien le garder en tête pour tout ce qui va suivre.

\transition{
Essayons d'utiliser l'équation que l'on vient de trouver pour expliquer une effet de la vie de tous les jours : l'effet Coanda.
}

\subsection{Application : l'effet Coanda}
On place une balle de ping-pong au dessus d'un sèche cheveux qui souffle dessus. Si on est dans cette configuration, la force exercée par le sèche-cheveux compense le poids. Néanmoins, il on met de l'angle, on voit que la balle reste suspendu encore, ce qui paraitre bizarre ! Afin de l'expliquer, on prend une vitesse sous la forme $\vec{v}=v(r,z,t) \vec{e_{\theta}}$ dans des coordonnées polaires Le centre du repère est en fait le centre de courbure des lignes de courants.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{Coanda.PNG}
\end{center}

L'équation d'Euler donne :

\[
\begin{array}{c}
\rho \frac{\partial v}{\partial t} \vec{e_{\theta}} + \rho v \frac{1}{r} \frac{\partial(v\vec{e_{\theta}})}{\partial \theta} = -\frac{\partial P}{\partial r} \vec{e_r} \\
\Leftrightarrow \rho \frac{\partial v}{\partial t} \vec{e_{\theta}} - \rho \frac{v^2}{r} \vec{e_r} = - \frac{\partial P}{\partial r} \\
\Rightarrow \frac{\partial P}{\partial r} = \rho \frac{v^2}{r} > 0
\end{array}
\]

Autrement dit, on trouve que plus on s'éloigne , plus la pression est forte. Ainsi, une nouvelle force apparait et stabilise la balle car elle tend à la faire aller vers l'intérieur du flux. Ce phénomène est appelé \textbf{l'effet Coanda}.

\transition{
Nous nous sommes pour l'instant uniquement reposé sur l'équation d'Euler, qui reste encore assez complexe à manipuler. Il en découle néanmoins un théorème beaucoup plus pratique : le théorème de Bernoulli
}

\section{Le théorème de Bernoulli}
\subsection{Démonstration du théorème}
On se place toujours dans le cas d'un écoulement \textbf{parfait et incompressible} masi on rajoute ici en plus l'hypothèse de \textbf{stationnarité}. On intègre l'équation de Stokes le long d'une ligne de courant :

\[
\int_A^B \rho \left( \vec{grad} \frac{v^2}{2} + \vec{rot} \vec{v} \wedge \vec{v} \right).\vec{dl} = - \int_A^B \vec{grad} P . \vec{dl} + \rho \int_A^B \vec{g} \vec{dl}
\]

Comme $\vec{v}// \vec{dl}$, l'intégration donne :

\[
\left[ \frac{v^2}{2} + \frac{P}{\rho} + gz \right]_A^B =0
\]

Autrement dit, sur une \textbf{ligne de courant}, la quantité $\frac{v^2}{2} + \frac{P}{\rho} + gz$ est conservée : c'est le théorème de Bernoulli.

Quelques remarques :
\begin{itemize}
 \item On retrouve la statique des gluides
 \item Une deuxième version de ce théorème consiste à supposer que l'écoulement est non pas stationnaire mais irrotationnel. Cela permet de généraliser le théorème de Bernoulli à tout l'espace. Néanmoins, la charge conservée n'est plus la même mais $\frac{\partial \Phi}{\partial t} + \frac{v^2}{2} + \frac{P}{\rho} + gz$
\end{itemize}

\transition{
Ce theorème a en fait une interprétation énergétique comme nous allons le voir.
}

\subsection{Approche énergétique du théorème de Bernoulli}
On se place dans le cadre d'un écoulement \textbf{stationnaire}. Nous allosn faire un bilan d'énergie sur un système ouvert.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Bilan.pdf}
\end{center}

La variation d'énergie cinétique de $\Sigma$ :

\[
dE_c= \left( E_c (t+dt) + \frac{1}{2} \delta m_s v_s^2 \right) - \left( E_c (t+dt) + \frac{1}{2} \delta m_s v_e^2 \right)
\]

De part la conservation du débit dûe à l'incomrpessibilité de l'écoulement, on a $\delta m_e= D_m dt = \delta m_s$ où $D_m= \rho v S$ est le débit massique. On a donc finalement :

\[
\frac{dE_c}{dt} = \frac{1}{2}D_m (v_s^2-v_e^2) = P_{int}+P_{ext}
\]

$P_{ext}$ est dû aux forces de pression et au point donc :

\[
\begin{array}{c}
P_{ext,p} = P_eS_ev_e-P_sS_sv_s = D_m \left( \frac{P_e}{\rho} - \frac{P_s}{\rho} \right) \\
P_{ext,g} = \rho g (S_ev_ez_e-S_sv_sz_s)= D_m g (z_e-z_s)
\end{array}
\]

On a donc finelemnt :

\[
P_{int} = D_m \left[ \frac{v^2}{2} + \frac{P}{\rho} +gz \right]
\]

On en conclut donc que le théorème de Bernoulli est virifié si la puissance interne du système se conserve et réciproquement. Cela fait écho au fait que la viscosité doit être négligée afin qu'il n'y ait aps de dissipation visqueuse !

\subsection{Exemple d'application : l'effet Venturi}

On considère la montage suivant :

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{Venturi.PNG}
\end{center}

On a $P_0=P_{A'}=P_{B'}=P_{C'}$. La loi de la statique des fluides donne :

\[
P_i = P_0 + \rho g h_i
\]

En combinant cela au théorème de Bernoulli, on trouve :

\[
\frac{v_A^2}{2}+g h_A=\frac{v_B^2}{2}+g h_B=\frac{v_C^2}{2}+g h_C
\]

Et finalement, on utilise $vS=cste$ et on comprend ce qui est observé.

\experience{Effet Venturi}{Jolidon}{}{
Lire le Jolidon, qui parle en particulier des pertes par frottemetns visqueux qui impliquent $h_C<h_A$
}

\section{Applications pratique}
\subsection{Le tube de Pitot}
Dans une soufflerie ou même dans un avion, il est important de connaitre la vitesse de l'écoulement. On utilise pour ça un tube de Pitot.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{Pitot.PNG}
\end{center}

A est considéré comme un point d'arrent, c'est-à-dire $v(A)=0$ et la vittesse en B est la vitesse que l'on souhaite déterminée. On note $\Delta P= P_A-P_B= \rho_{liq} g h$ obtenu par la statique des fluides. De plus, avec Bernoulli, on a $\Delta P=\frac{1}{2} \rho_{air} V^2$, ce qui donne :

\[
V^2=2 \frac{\rho_{eau}}{\rho_{air}}gh
\]

\subsection{L'effet Magnus}
L'effet Magnus est observé aux sports avec des balles auquelles on donne un effet. Le fait que la balle tourne sur elle-même engendre une force qui modifie sa trajectoire.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{Magnus.PNG}
\end{center}

On suppose l'écoulement parfait, incompressible et stationnaire. Ainsi, le théorème de Bernoulli donne :

\[
\begin{array}{c}
P_A + \rho \frac{v_A^2}{2} = P_{A'} + \rho \frac{v_{A'}^2}{2} \\
P_B + \rho \frac{v_B^2}{2} = P_{B'} + \rho \frac{v_{B'}^2}{2}
\end{array}
\]

Ce qui donne :

\[
P_{B'} + \rho \frac{v_{B'}^2}{2}= P_{A'} + \rho \frac{v_{A'}^2}{2}
\]

Or, on voit sur le dessin que suite à la rotation de la balle, on a $v_{B'} > v_{A'}$. On a donc $P_{B'} < P_{A'}$ et la baller part vers le haut ! Cela explique donc que la trajectoire ne soit pas droite.

\url{https://www.youtube.com/watch?v=2OSrvzNW9FE}

\remarque{On peut s'attarder un peu sur ce qu'on vient de dire. On suppose que la balle "entraine" l'air dans sa rotation, ce qui explique la différence de vitesse. Néanmoins, cela n'est possible que s'il y a de la viscosité ! Et c'est là tout l'importance de la couche limite}

\important{Normalement, ici il n'y a plus de temps et il faut passer à la conclusion. Néanmoins, voici de quoi combler les dernière minutes si besoin :}

On considère l'écoulement \textbf{parfait, incompressible ,irrotationnel et stationnaire}. Le théorème de Bernoulli donne :

\[
\frac{P_0}{\rho} + \frac{U^2}{2} = \frac{P(R)}{\rho} + \frac{v^2(R)}{2}
\]

Par analogie électristatique/mécanique des fluides, on peut écrire le potentiel :

\[
\Phi = Ur\cos \theta - \frac{p \cos \theta}{2\pi r}+ \frac{\Gamma}{2 \pi} \theta
\]

Le premier terme vient de l'acoulement à l'infini, le deuxième à celui d'un dipole et le troisième terme traduit la rotation du cylindre sur lui même. On en déduit :

\[
\begin{array}{c}
v_r = U \cos \theta + \frac{p \cos \theta}{2 \pi r^2} \\
v_{\theta} = -U \sin \theta + \frac{p \sin \theta}{2 \pi r^2} + \frac{\Gamma}{2\pi r}
\end{array}
\]

La condition $v_r(R)=0$ donne $p=-2\pi R^2 R$. D'où :

\[
\begin{array}{c}
v_r = U \cos \left( 1 - \frac{R^2}{r^2} \right) \\
v_{\theta} = -U \sin \theta \left( 1 + \frac{R^2}{r^2} \right) + \frac{\Gamma}{2\pi r}
\end{array}
\]

Le théorème de Bernoulli permet ensuite d'obtenir la pression au niveau de la balle :

\[
P(R)=P_0 + \frac{1}{2} \rho U^2 \left[ 1 - \left( -2 \sin (\theta + \frac{\Gamma}{2\pi RU} \right)^2 \right]
\]

On obtient alors l'expression des deux composantes de la force :

\begin{itemize}
 \item La force de trainée :
 
 \[
 F_t= \int_0^{2\pi} P \cos \theta d\theta =0
 \]
 On en déduit donc que la  force de trainée est nulle ici.
 \item La force de portance
 \[
 F_p= \int_0^{2\pi} P \sin \theta d\theta = \rho \Gamma U
 \]
 On en déduit donc qu'il y a bien une force qui dévie la balle ! Cette force serait nulle sans rotation de la balle sur elle-même, qui est à l'origine du facteur $\Gamma$
\end{itemize}

\section*{Questions}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Questions1.PNG}
\end{center}
\begin{itemize}
 \item Pour plus de précision historique : l'équation d'Euler a été proposée en 1823, puis Navier et Stokes donne la forme finale en 1845
 \item Décollement de la couche limite = la couche limite ne suit plus les contours du corps
 \item Pour l'équation d'Euler comrpessible : cf LP08, annexe 3.
 \item Relation d'Einstein : $D=\eta k_B T$
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Questions2.PNG}
\end{center}
\begin{itemize}
\item Paradoxe de d'Alembert : si on étudie une cylindrique dans un fluide à la vitesse V, on trouve avec un écoulement irrotationnel et incompressible que aucune force de portance ne s'applique sur l'aile.7
 \item Il suffit d'être en dehors de cette couche limite pour que ce soit bon, pas besoin non plus d'être très loin
 \item La compressibilité pour Bernoulli est pas évidente parce qu'on peut pas rentrer la densité dans les gradients. Du coup on laisse sous forme intégrale. Après on peut avoir fluide compressible et écoulement incompressible.
 \item Sur wiki : "La différence entre les deux isotopes de l'hélium est que les atomes d'hélium 4 sont des bosons, alors que les atomes d'hélium 3 sont des fermions, ce qui fait que leur comportement à très basse température suit des lois radicalement différentes." $^3$He devient superfluide en dessous de 2,65 mK.
 \item Pour les fluides non newtonien, voir LP08
 \item Les fluides complexes sont des mélanges binaires présentant une coexistence entre deux phases : solide-liquide (suspensions ou solutions contenant des macromolécules telles que des polymères ou des micelles géantes), solide-gaz (milieux granulaires), liquide-gaz (mousses) et liquide-liquide (émulsions).
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Questions3.PNG}
\end{center}

\begin{itemize}
 \item Faut rajouter des termes pour les forces de Coriolis et entrainement. Pour Coriolis, on peut mettre sous forme d'un gradient mais pour la force d'entraînement c'est plus complexe.
 \item si la couche est turbulente, c'est plus grand
\end{itemize}

\section*{Remarques}
\begin{itemize}
 \item
\end{itemize}




\end{document}
