\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP17 Rayonnement d'equilibre thermique. Corps noir}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{MONNET Benjamin}{}{}{}



\subsection*{Niveau : L3}



\subsection*{Commentaires du jury}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Commentaires.PNG}
\end{center}



\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Thermodynamique}, \textbf{Olivier et Gié}\footnotemark  & Définition des flux et démonstration radiation \\ 
\textit{Quantique}, \textbf{Perez} & une belle définition du corps noir \\
\textit{Mécanique quantique 1}, \textbf{Aslangul} & démo de Planck \\
\end{tabular}

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Thermodynamique
 \item Émission/absorption
 \item Électromagnétisme
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item  
	\end{itemize}
\end{minipage}



\tableofcontents
\pagebreak




\section*{Introduction}
Une manip introductive avec un thermomètre ?


Vous avez déjà pu voir dans les précédentes leçon les échanges de chaleur par convection et par conduction. Néanmoins, ces deux modes de transport nécessitent un milieu pour se propager. Ils ne permettent donc pas d'expliquer comment la Terre est chauffée par le Soleil (par exemple). Nous allons donc nous intéresser à un nouveau type de flux qu'est le flux radiatif.

\section{Emission, absorption et réflexion}
\livre{Olivier et Gié p459}
\subsection{Flux radiatifs}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{flux.pdf}
\end{center}

Afin de comprendre ce qu'il se passe en terme de rayonnement pour un corps, on défini :
\begin{itemize}
 \item $\phi_e$ le flux surfacique sortant qui correspond à l'émission par rayonnement de l'extérieur
 \item $\phi_r$ le flux surfacique réfléchi qui correspond à la partie de $\phi_i$ qui est réémis
 \item $\phi_a$ le flux surfacique absorbé
\end{itemize}

Ainsi, le flux surfacique qui arrive sur le corps est :

\[
\phi_i=\phi_r +\phi_a
\]

et le flux partant :

\[
\phi_p= \phi_r +\phi_e
\]

Le flux que l'on considèrera donc lors des bilans est la flux radiatif défini par :

\[
\phi_R=\phi_p-\phi_i
\]

Ainsi, pour un corps transparent, $\phi_i=\phi_p$ et pour un corps opaque, $\phi_p=0$.

\subsection{Equilibre thermique et équilibre radiatif}
On se placera dans cette leçon à l'équilibre thermodinamique. On supposera que le système que l'on considère est en contact avec un thermostat $T_0$ et que $T_S=T_0$.

L'équilibre thermodynamique impose $\Delta U = 0$ et donc $\phi_R=0 \leftrightarrow \phi_i=\phi_p$ : il y a autant de flux arrivant que de flux partant. \textbf{L'équilibre thermodynamique implique l'équilibre radiatif}, la réciproque étant fausse.

\subsection{Lien entre rayonnement et énergie}
Afin de pouvoir déterminer la loi que suit la rayonnement d'un corps, on aimerait le mettre en lien avec son énergie qui peut elle même être déterminé à l'aide de la thermodynamique.

On se place toujours dans le cadre d'un équilibre thermodynamique donc :

\[
\phi_i=\phi_p=\phi
\]

Le rayonnement électromagnétique se faisant sur un spectre continu de longueur d'onde, on défini le rayonnement surfacique émis par cette longueur d'onde $\phi_{\lambda}$.

L'énergie passant par une surface dS vaut :

\[
dE= \phi_{\nu}d\nu dS dt
\]

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{dS.pdf}
\end{center}

Afin de relier cette quantité à la densité d'énergie, on considère un cylindre qui correspond à l'arrivée d'énergie sous un angle $\theta$. L'énergie passant par la surface dS vaut donc aussi :

\[
dE= \int u_{\nu} d\nu c dt  \vec{dS}.\vec{n} \frac{d\Omega}{4 \pi}=\int_0^{\pi/2} \int_0^{2\pi}  u_{\nu} c  \cos \theta \sin \theta \frac{d\theta d\psi}{4 \pi} dS dt = \frac{c}{4} u_{\nu} dS d\nu dt
\]

En identifiant les deux expressions, on obtient finalement :

\[
\phi_{\nu}(T,\nu)=\frac{c}{4}u_{\nu}(T,\nu)
\]

Cette relation est très générale et s'applique dès que l'équilibre thermodynamique est vérifié.

\transition{
Afin de connaitre complètement la forme du rayonnement, il reste donc encore une chose à faire (et pas des moindres) : déterminer $u_{\nu}$
}

\section{Loi de Planck}
\livre{Perez, MQ}
\subsection{Formule de Planck}
En 1900, Planck propose pour la première fois une quantification des échanges entre la lumière et la matière sous la forme $E=h \nu$. Il en déduit grâce à cela l'expression de la densité volumique d'énergie :

\[
u_{\nu} = \frac{8\pi\nu^2}{c^3} \times \frac{1}{e^{\frac{h\nu}{k_BT}}-1} \times h \nu
\]

avec la longueur d'onde :

\[
u_{\lambda} = \frac{8\pi hc}{\lambda^5} \times \frac{1}{e^{\frac{h\nu}{k_BT}}-1} \times h \nu
\]

Cette expression se décompose en trois termes :
\begin{itemize}
 \item $\frac{8\pi\nu^2}{c^3}$ est la densité de mode de vibration à la fréquence $\nu$
 \item $\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{k_BT}}-1}$ correspond au nombre de photons occupant ces modes 
 \item $h \nu$ est l'énergie d'un photon
\end{itemize}

Si on considère les cas limites de cette expression :
\begin{itemize}
 \item A basse fréquence, $\frac{h \nu}{k_B T} \ll 1$, on trouve $u_{\nu} \approx \frac{8 \pi \nu^2}{c^3} k_B T$ qui est la formule de Rayleigh-Jeans qui a pour inconvénient de diverger
 \item A haute fréquence, $u_{\nu} \approx \frac{8 \pi h \nu^3}{c^3}e^{-\frac{h\nu}{k_BT}}$ qui est l'expression de Wien
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Planck.pdf}
\end{center}

\subsection{Loi de Wien}
Comme on peut le voir sur la courbe, la densité d'énergie atteint son maximum pour une fréquence dépendant de la température. Il peut se révéler intéressant de connaitre ce maximum car il permet de déterminer la bande dans laquelle le corps émet. Une simple dérivation de l'expression de Planck permet de trouver son maximum.

On trouve alors ce que l'on appelle la loi de Wien :

\[
\lambda_{max}T=2898 \mu mK
\]

\underline{Exemple} : le corps humain étant à environ 300K, il rayonne donc à des longueurs d'onde de l'ordre de $10 \mu m$, ce qui correspond à l'infrarouge. Le soleil, qui émet dans le visible ($\lambda \approx 0.5 \mu m$) est donc à une température d'environ 6000 K.

\subsection{Loi de Stefan}
Maintenant que l'on a correctement caractérisé la densité volumique d'énergie, on peut revenir à ec qui nous intéresse : le flux. Afin d'avoir le flux total, il va falloir intégrer sur toutes les longueurs d'ondes.

\[
\phi_i=\phi_p= \int_0^{+ \infty} \frac{c}{4} u(\nu,T) d\nu = \sigma T^4
\]

Avec $\sigma = \frac{2 \pi^5}{12} \frac{k_B^4}{h^3c^2}=5,67~10^{-8} W.m^{-2}K^{-4}$ la constante de Stefan.

\transition{
Nous avons jusqu'à maintenant développé une théorie qu'il va falloir à présent confronté à la pratique. Pour cela, nous allons avoir besoin d'un hypothèse : l'hypothèse du corps noir.
}

\section{Modèle du corps noir}
Le corps noir est défini comme un obsorbateur idéal sur la totalité du spectre : tout le rayonnement incident est absorbé.

Cela se traduit par $\phi_i=\phi_a$. Autrement dit, ce flux partant est uniquement le flux émis car le flux réfléchi est nul ! On peut alors stipulé que la loi de Stefan s'applique au corps noir dans le sens où le flux partant d'un corps noir suit la loi de Stefan.

Dans la pratique, il n'existe pas de corps noir mais une cavité avec un trou est ce qui s'en rapproche le plus.

\subsection{Application : détermination de la température de la Terre sans atmosphère}
On va supposer que la Terre ainsis que le Soleil sont deux corps noir à l'équilibre thermodynamique. Afin de faire les applications numériques, on précise : $R_S=6.97~10^5km$, $d=1.44~10^{11} dm$ et $R_T = 6400 km$.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Terre1.pdf}
\end{center}

Afin de trouver la température de la Terre, on égalise le flux reçu et le flux émis :

\[
\begin{array}{c}
P_e = 4 \pi R_T^2 \sigma T_T^4 \\
P_r = 4 \pi R_s^2 \sigma T_S^4 \frac{\pi R_T^2}{4 \pi d^2} \\
\end{array}
\]

En égalisant ces deux expressions, on trouve :

\[
T_T=T_S \sqrt{\frac{R_S}{2d}} \approx 275 K
\]

On voit que la température trouvée est trop faible. En réalité, il faut aussi prendre en compte ce qu'on appelle l'albedo qui correspond à la fraction de rayonnement réfléchi par la Terre (et donc son écart au modèle du corps noir). Dans ce cas là, la puissance émise par le soleil n'est pas complètement absorbée, mais partiellement réfléchie, ce que l'on modélise par :

\[
P_r =(1-A) 4 \pi R_s^2 \sigma T_S^4 \frac{\pi R_T^2}{4 \pi d^2}
\]

et :

\[
T_T=T_S \sqrt{\frac{R_S}{2d}} (1-A)^{\frac{1}{4}} \approx 251 K ~~\text{avec A=0.3}
\]

On trouve une température trop basse car la température moyenne se situe aux alentours de 295K. Cela vient du fait qu'il faut prendre en compte l'atmosphère.

\subsection{Application : détermination de la température de la Terre avec atmosphère}
On suppose que l'atmosphère se comporte elle-aussi comme un corps noir. On suppose que de plus que l'atmosphère :
\begin{itemize}
 \item absorbe une fraction $\alpha$ du rayonnement solaire
 \item absorbe une fraction $\beta$ du rayonnement terrestre
 \item rayonne vers la terre et vers l'espace une fraction $\gamma$ de la puissance $P_a$
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Terre2.pdf}
\end{center}

Cela donne :

\[
\begin{array}{c}
\alpha P_s+\beta P_T = 2 \gamma P_a ~~\text{pour l'atmosphère} \\
(1-\alpha) P_s+ \gamma P_a = P_T ~~\text{pour la Terre}
\end{array}
\]

En remplaçant les puissances à l'aide de la loi de Stefan, le calcul mène au résultat suivant :

\[
T'=\sqrt{\frac{2-\alpha}{2-\beta}} \sqrt{\frac{R_S}{2d}} T_S
\]

Avec par exemple $\alpha =0.5$ et $\beta=0.9$, on obtient $T'=297K$. On voit donc que l'atmosphère réchauffe la Terre.

\section*{Conclusion}
Méca Q

\section*{Questions}
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Questions.PNG}
\end{center}

\begin{itemize}
 \item Emittance = flux lumineux émis par unité de surface
 \item Coefficient d'émissivité : rapport entre la puissance réellement émise et la puissance émise par un corps noir à la même température
 \item $u_{\nu}d\nu=u_{\lambda}d\lambda$ et $c=\frac{c}{\nu}$
\end{itemize}

\section*{Remarques}
\begin{itemize}
 \item
\end{itemize}




\end{document}
