\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP18 Phenomene de transport}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{MONNET Benjamin}{Mr B}{}{}



\subsection*{Niveau : L2}



\subsection*{Commentaires du jury}




\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Thermodynamique PC-PSI}, \textbf{Le Bréal}\footnotemark  & Base pour cette leçon \\
\textit{Thermodynamique}, \textbf{DGLR} & très (trop) complet \\
\textit{Hydrodynamique physique}, \textbf{Guyon, Hulin, Petit} & pour la dernière partie 
\end{tabular}

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Thermodynamique à l'équilibre
 \item Bilan
 \item Capacité thermique
 \item Diffusion
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item  
	\end{itemize}
\end{minipage}



\tableofcontents
\pagebreak




\section*{Introduction}

Nous avons pu étudier dans le cours précédent des systèmes étant à l'équilibre thermodynamique. Nous nous sommes donc intéresser à des états stationnaires et pas à la transition entre deux états. C'est de ça que nous allons parler dans cette leçon.

\section{Phénomènes de transport et équation de conservation}
\livre{Le Bréal}
\subsection{Les différents phénomènes de transport}
Nous allons tout d'abord nous intéresser au cas de la chaleur. Il y a trois types de transport différents :
\begin{itemize}
 \item \underline{La convection} : elle vient du mouvement macroscopique de la matière qui entraîne aussi le mouvement de la chaleur. C'est le cas du chauffage d'une pièce
 \item \underline{La diffusion} : c'est un modede transport qui a besoin d'un milieu matériel. La diffusion est provoquée par les inhomogénéités du système et peut être observé pour des systèmes immobiles. On peut prendre pour exemple le chauffage d'un pavé de légume au fond d'une poêle.
 \item \underline{Le rayonnement} : il s'agit de l'énergie thermique transmise par rayonnement électromagnétique. L'exemple le plus parlant est le soleil.
\end{itemize}

\subsection{Equation de conservation}
Afin d'obtenir l'équation d'évolution de la température, il nous faut un cadre d'étude. Tout d'abord, il faut que la température en un point donné en tout temps $(\vec{r},t)$ puisse être défini. On suppose pour cela que l'hypothèse d'équilibre thermodynamique local est vérifié. Cela signifie que même si le système macroscopique n'est pas à l'équilibre, on peut le découper en volume mésoscopique qui eux sont à l'équilibre et dont la tempérture et l'entropie peuvent être définies. Cela suppose que l'échelle caractéristique de la variation de température est grande devant l'échelle mésoscopique.

Afin de déterminer l'équation d'évolution de la chaleur, on va effectuer un bilan thermique. Pour cela, on considère un volume V d'énergie U et d'énergie volumique u. On note $\vec{j_Q}$ le flux de chaleur tel que $\vec{j_Q}.\vec{dS}$ corresponde à la quantité  d'énergie thermique traversant $dS$. On introduit pour finir un terme de création de puissance volumique $p_{vol}$. Un bilan thermique du volume immobile V entre l'instant t et t+dt donne :

\[
U(t+dt)-U(t)=-\oiint_{\delta V} \vec{j_Q}.\vec{dS} dt + \iiint_V p_{vol} dV dt
\]

Ce qui donne, avec la densité volumique d'énergie :

\[
\iiint_V \frac{\partial u}{\partial t} + div(\vec{j_Q}) - p_{vol} = 0
\]

Ce qui donne finalement, en faisant apparaitre la température T, la masse volumique $\rho$ et la capacité calorifique volumique c :
\[
\rho c \frac{\partial T}{\partial t} + div(\vec{j_Q}) - p_{vol} = 0
\]

\section{Equation de la chaleur et analogie}
\subsection{Approximation linéaire et équation de la chaleur}
Afin de poursuivre les calculs et de trouver une équation différentielle portant sur la température, nous allons faire l'approximation linéaire. Celle-ci consiste à supposer que le transfert thermique s'écrit sous la forme $\vec{j_Q} = - \kappa \vec{grad} T$, c'est à dire que le flux est proportionnel à la dérivée première de la température. On appelle cela la loi de Fourier. Elle est en accord avec le second principe de la thermodynamique qui assure que les échanges de chaleur se font des sources chaudes aux sources froides. De plus, on remarque que si le milieu est homogène, alors il n'y a pas de flux thermique, ce qui est en accord avec la définition que l'on a donné de la diffusion.

Dans ce cas-là, si on suppose qu'il n'y a pas de création volumique de chaleur, alors l'équation de conservation devient :

\[
\frac{\partial T}{\partial t} = D_{th} \Delta T ~~\text{avec}~~ D_{th}= \frac{\kappa}{\rho c}
\]

On appelle $D_{th}$ le coefficient de diffusion thermique. L'équation ci-dessus est appelée l'"équation de la chaleur". Elle possède deux propriétés notables :

\begin{itemize}
 \item L'équation est linéaire et le théorème de supersposition est par conséquent applicable. De plus, la décompostition en série de Fourier et elle aussi utilisable.
 \item L'équation est d'ordre 1 en temps. Cela signifie qu'elle traduit un phénomène irréversible car le changement $ t \rightarrow -t$ ne laisse pas invariant l'équation.
\end{itemize}

On peut retrouver des valeurs tabulées pour le coefficient de diffusion thermique (cf DGLH page 492). Afin de mieux comprendre son sens physique, on remarque que l'équation de la chaleur donne $L \approx \sqrt{D_{th} \tau}$ où L est la longueur caractéristique de diffusion et $\tau$ le temps de diffusion. On voit ainsi que plus le coefficient de diffusion est élevée, plus la température diffuse vite.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{Coefficients.pdf}
\end{center}

\subsection{Diffusion de particules et analogies}
L'équation que l'on a trouvé plus tôt est en fait plus général que le cadre de l'étude de la propagation de la chaleur. En effet on la retrouve aussi dans le cadre de la diffusion de particule. Le loi phénoménologique liant le flux concentration de particule n s'appelle la loi de Fick et prend la même forme que la loi de Fourier : $\vec{j_n}=- D \vec{grad}n$. Un bilan sur le nombre de particule dans un volume V amène alors à l'équation de la chaleur (dans l'hypothèse où il n'y a ni création ni dissipation) :

\[
\frac{\partial n}{\partial t} = D \Delta n
\]

On peut alors donner quelques ordres de grandeur :
\begin{itemize}
 \item Pour les gaz : $D \approx 10^{-5} m^2s^{-1}$
 \item Pour les fluides $D \approx 10^{-9} m^2s^{-1}$
 \item Pour les solidese $D \approx 10^{-30} m^2s^{-1}$
\end{itemize}

La diffusion de particules se déroule donc plus rapidement dans un gaz. On peut mettre en évidence la diffusion des particules d'ammoniac dans l'air.

\experience{Diffusion de l'ammoniac}{}{}{
Prendre le dispositif prévu à cet effet.
}

La diffusion et le phénomène de réponse linéaire se retrouve en fait dans de nombreux domaines de la physiques.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{Analogie.PNG}
\end{center}

On peut observer la diffusion de quantité de mouvement assez simplement avec le dispositif suivant :

\experience{Diffusion de quantité de mouvement}{}{}{
Prendre ledispositif pour écoulement couette plan puis coulisser. On voit la diffusion de quantité de mouvement.
}

\transition{
Nous avons jusqu'ici développé des modèles macroscopiques. Il est aussi possible de remonter à la valeur du coefficient de diffusion thermique avec un modèle microscopique.
}

\subsection{Modèle microscopique}
Afin de développer une approche microscopique, nous allons considérer un gaz parfait d'électrons dans un métal. Nous allons essayer de retrouver la loi de Fourier à l'aide des hypothèses suivantes :
\begin{itemize}
 \item Les chocs des électrons avec le réseau se font en un temps moyen $\tau$
 \item Il y a thermalisation des électrons à chaque collision
 \item On adopte le modèle $\frac{1}{6}$ : les électrons n'ont pas de direction privilégiée
\end{itemize}

On note n la densité d'électrons et v leur vitesse. On veut calculer l'énergie qui traverse la surface dS. Le nombre d'électrons traversant dS pendant dt vaut $\delta N \frac{1}{6} nv_x dt dS\rho(\vec{v})$. La variation d'énergie d'un électron vaut, pour un électron venant de la gauche :

\[
\Delta u = u(x) - u(x-v_x \tau) = \frac{du}{dx}v \tau = v \tau c \frac{dT}{dx}
\]

Et pour un électron venant de la droite :

\[
\Delta u ' = u(x+v_x \tau) - u(x) = \frac{du}{dx}v \tau = v \tau c \frac{dT}{dx} = \Delta u
\]

La quantité de chaleur traversant dS vaut donc :

\[
\vec{j} = - 2 \Delta u \delta N = - \frac{1}{3} v^2 \tau c n \frac{dT}{dx}
\]

D'où $\kappa = \frac{1}{3} v^2 \tau c n$.
\textbf{ODG ? Wiedemann-Franz ?}

\transition{
Jusqu'ici, nous avons regardé chaque mode de transport un par par. Mais comme déterminer lequel est prépondérant dansle problème que l'on étudie ?
}

\section{Compétition entre les différents modes de transport}
\livre{Dulong, Hulin, Petit}
\subsection{Nombre de Péclet}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Peclet.pdf}
\end{center}

Dans le cas où le milieu est en mouvement, l'équation de la chaleur devient :

\[
\frac{\partial T}{\partial t} + (\vec{v}.\vec{grad})T = D_{th} \Delta T
\]

Afin de savoirsi on doit prendre en compte l'advection, il faut comparer ce terme à un autre. Ainsi en ordre de grandeur :

\[
\frac{\text{advection}}{\text{diffusion}}=\frac{UL}{D_{th}}=P_e
\]

On appelle ce nombre le nombre de Péclet. On peut remarquer qu'il y a une forte analogie avec le nombre de Reynolds.

\subsection{Nombre de Prandt et couches limites}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Couche_lim1.pdf}
\end{center}


Lors d'un écoulement, on a apparition de chouche limite thermique et visqueuse. On compare pour cela la visqueusité à l'advection :

\[
\frac{|(\vec{v}.\vec{grad})v|}{|\nu \Delta v|} = \frac{\delta_v^2 U}{x \nu}
\]

Ainsi, à l'abscisse x, l'épaisseur de la couche limite vaut $\delta_v= \sqrt{\frac{c\nu}{U}}$. On trouve par analogie pour la couche thermique $\delta_T=\sqrt{\frac{D_{th} x}{v_{lim}}}$. On peut ainsi définir le nombre de Prandt : $Pr= \frac{\nu}{D_{th}}$ qui compare la longueur des deux couches limites. Ainsi, pour :
\begin{itemize}
 \item $Pr \ll 1$, la couche limite visqueuse sera beaucoup plus petite que la couche limite thermique et $v_{lim} = U$.
 \item $Pr \gg 1$ : $v_{lim} = \frac{\delta_T}{\delta_v} U$
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Couche_lim2.pdf}
\end{center}


\section*{Questions}
\begin{itemize}
 \item 
\end{itemize}

\section*{Remarques}
\begin{itemize}
 \item
\end{itemize}




\end{document}
