\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP19 Bilans thermiques. Fluw conductifs, convectifs et radiatifs}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{MONNET Benjamin}{}{}{}



\subsection*{Niveau : L3}



\subsection*{Commentaires du jury}




\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Physique tout en un PC-PC*}, \textbf{Sanz}\footnotemark  & Tout \\
\textit{Thermodynamique}, \textbf{Diu} & Pour plus de théorie
\end{tabular}

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Convection
 \item Conduction
 \item Rayonnement du corps noir
 \item Diffusion
 \item Thermodynamique (équilibre thermique, énergie interne, premier principe)
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item  
	\end{itemize}
\end{minipage}



\tableofcontents
\pagebreak




\section*{Introduction}
Nous nous sommes déjà intéressé à l'étude thermodynamique de systèmes à l'équilibre. Nous ne nous sommes pas encore intéressé à l'évolution du système entre deux états d'équilibre : c'est ce que nous allons faire ici, en particulier sur les bilans thermiques. Néanmoins, afin qu'on puisse définir une température T, on va utiliser l'équilibre thermique local. La température peut donc se mettre sous la forme d'un champ $T(\vec{r},t)$. Cela suppose que les variations de températures sont faibles par rapport au volumique mésoscopique !

\section{Bilan thermique}
\livre{Sanz MP, p783}

On s'intéresse particulièrement donc ici aux bilans thermiques. On veut trouver le comportement général de l'évolution de la chaleur/température. On passer pour ça par l'équation de conservation de l'énergie, sachant que l'énergie peut être reliée à la température à l'aide de la capacité calorifique. De manière générale, ce bilan peut être écrit :

\[
dU= P dt +\delta Q
\]

\begin{itemize}
 \item U est l'énergie interne que l'on va relier à la température
 \item P est la production volumique d'énergie. Elle peut venir d'un chauffage, de réactions chimiques, ect...
 \item $\delta Q$ correspond au tranfert thermique entre le systè:e et l'extérieur
\end{itemize}

On se place dans un cadre unidimensionnel. Pour se mettre dans un cadre le plus général possible, on considèrera que le système que l'on considère a une vitesse v.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{bilan.pdf}
\end{center}

Dans ce cas là :

\[
\begin{array}{c}
dU= S dx (u(x +vdt,t+dt)-u(x,t))= S dx \left( \frac{\partial u}{\partial t}dt + \frac{partial u}{\partial x} vdt \right) \\
\delta Q = S(j(x,t)-j(x+dx,t))dt \\
Pdt=p_v S dx dt \\
\end{array}
\]

En utilisant ces trois expressions, on trouve finalement :

\[
\frac{\partial u}{\partial t} + v_x \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial j_Q}{\partial x}=p_v
\]

Enfin, en utilisant la capacité calorifique, on trouve l'équation d'évolution de la température :

\[
\rho c_V \frac{\partial T}{\partial t} + v_c \rho c_V \frac{\partial T}{\partial x}+ \frac{\partial j_Q}{\partial x}=p_V
\]

On peut généraliser cette expression à un écoulement 3D :

\[
\rho c_V \frac{\partial T}{\partial t} + \rho c_V (\vec{v}.\vec{grad}) T+ div(\vec{j_Q})=p_V
\]

Analysons un peu cette équation :

\begin{itemize}
 \item Elle est linéaire (à vitesse fixée !)
 \item On a un terme d'advection qui est liée à la vitesse du milieu. C'est comme quand on touille un café par exemple
 \item Un termde de diffusion qui est lié au flux thermique. Il est présence même sans mouvement macroscopique du milieu
 \item Il reste finalement qu'à expliciter les termes de flux et de puissance pour obtenir l'équation complète sur T ! Ce sera le but de la leçon
\end{itemize}

\important{Si l'évolution est isobare plutôt que isochore, il faudra prendre la capacité thermique à pression constante, et non celle à volume constant}

\transition{On s'intéressera uniquement à des cas \textbf{sans production interne} donc on va se concentrer sur les différents flux thermiques qui existent.}

\section{La conduction thermique}
\livre{Sanz, p779}
\subsection{Loi de Fick}
La conduction thermique se produit dans un milieu donné (donc il faut un milieu, et un seul !). Elle caractérise l'homogénéisation de l'agitation thermique au niveau microscopique à travers les chocs de particules. C'est le type de transfert thermique que l'on a dans de l'eau qui chauffe dans une casserolle par exemple.

La loi qui décrit ce type de tranfert thermique est la \textbf{loi de Fourier} :

\[
\vec{j_Q} = - \lambda \vec{grad} T
\]

où $\lambda$ est appelée conductivité thermique. Cette loi traduit :
\begin{itemize}
 \item la présence de transfert thermique uniquement si la température est non uniforme
 \item le transfert de chaleur qui se fait du chaud vers le froid avec le signe -
 \item Il s'agit d'une loi phénomènologique. Elle est linéaire car elle est en faible valable que si les inhomogénéités de températures ne sont pas "trop importantes"
 \item Analogie avec loi d'Ohm locale ?
\end{itemize}


Dans le cas où le système est au repos, on a donc l'équation différentielle suivante :
\[
\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\lambda}{\rho c_V} \Delta T = D \Delta T
\]

On voit apparaitre un coefficient de diffusion thermique $D= \frac{\lambda}{\rho c_V}$, qui est l'équivalent du coefficient de diffusion des particules mais pour la chaleur.

\subsection{Application au plongeur}
\livre{Sanz}

Afin de ne pas se protéger du froid, les pongeurs utilisent des combinaisons de plonée. Un être humain tombe en hypothermie lorsqua'il apsse en dessous de la barre des $T_c=35 \degree C$. On considère un plongeur dans une eau à $T_e=17 \degree C$. On va supposer que la variation de température du plongeur soit assez lente pour se placer dans l'ARSQ. Pour cela, il faut vérifier que les temps typiques qui nous intéressent soient grand devant le temps de diffusion thermique. En considérent une combinaison de plongée d'épaisseur $e \approx 3mm$ et de coefficient de diffusion thermique $D \approx 10^{-7} m^2s^{-1}$. Cela donne $\tau_{th} \approx \frac{D}{e^2} \approx 1 min \ll 1h$ qui est le temps typique d'une plongée. L'ARQS est donc vérifiée.

La température vérifiée alors $\Delta T = 0$ et donc on trouve un flux :

\[
\vec{j_Q}= \lambda \frac{\delta T}{e}
\]

Donc le flux total reçu par le plongeur par conduction vaut :

\[
\Phi_c =  \frac{\lambda}{Se} \delta T
\]

On remarque alors que l'on peut faire une analogie thermo-électrique :

\begin{tabular}{c|c|c}
 & Thermique & Electronique \\ \hline
Flux & $\Phi_C$ & i \\
Différence de potentiel/température & $\delta T$ & $\Delta V$ \\
Résistance & $R_c=\frac{e}{\lambda S}$ & $\frac{e}{\rho S}$ \\ 
\end{tabular}

On peut donc schématisé le problème dans l'état actuel dans lequel il est de la manière suivante :

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Resistance1.PNG}
\end{center}

La température du coprs du plongeur est à environ 37 degrés initialement et sa résistance thermique sera prise égale à $R_p=3,0.10^{-2} KW^{-1}$. Pour une surface $S=1.3m^{2}$ et une conductivité thermique de $\lambda = 4,4.10^{-2} Wm^{-1}K^{-1}$
, on trouve $R_c=5,2.10{-2} KW^{-1}$.

\transition{On a étudié ce qu'il se passait dans la combinaison mais pas à l'interface combinaison/eau. C'est l'objet de notre prochaine partie} 

\section{Flux convectif}
\subsection{Loi de refroidissement de Newton}
La convection a lieu à à l'interface entre deux phases dont les températures sont différentes. Dans le cas générale, il est impossible d'obtenir un comportement du flux thermiques correspondant. On peut néanmoins l'exprimer dans le cas d'un interface fluide/solide par la \textbf{loi phénoménologique de Newton} :

\[
\vec{j_Q}= h(T_s-T_f) \vec{n}
\]

$T_s$ est la température du fluide, $T_f$ celle du fluide et le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur sortant perpenduculaire à la surface du solide. h est le coefficient de transfert thermique.

Peut être naturelle ou forcée

\textbf{ODG} : convection libre : 5-25 pour l'air et 100-900 pour l'eau. Convection forcée : 10-500 air et 100-15000 eau.

\livre{Sanz, MP p815 !}

\subsection{Application au plongeur}
On a donc un flux supplémentaire entre la combinaison et l'eau qui s'exprime de la manière suivant :

\[
\Phi = hS(T-T_e)
\]

On voit donc apparaitre une nouvelle résistance qui va venir s'additionner :

\[
R_a= \frac{1}{hS}
\]

Avec $h=10 Wm^{-2}K^{-1}$, on trouve $R_a \approx 7,7.10^{-2} KW^{-1}$. On a donc trouvé la résistance qui était inconnu dans le schéma précédent !

\transition{En fait, notre raisonnement est encore incomplet. Nous avons uniquement parlé des transferts thermiques ayant lieu avec un support matériel. Néanmoins, il existe un dernier type de transfert thermique qui est lui toujours présent : le rayonnement thermique.}

\section{Le rayonnement thermique}
\subsection{Loi de Stefan}
Les flux radiations sont des modes de transport d'énergie qui s'effectue à travers les ondes électromagnétique. le rayonnement émis par un corps à la température T s'exprime alros avec la \textbf{loi de Stefan} :

\[
\vec{j_Q} = \sigma T^4
\]

où $\sigma=\frac{2 \pi^2}{15} \frac{k_B}{h^3c^2} \approx 5,67.10^{-8} Wm^{-2}K^{-4}$ est la constante de Stefan

\subsection{Application au plongeur}
La flux reçu par le plongeur, ou plus exactement par sa combinaisons vaut donc :

\[
\Phi_r = s \sigma (T^4-T_e^4)
\]

Cette expression est non linéaire et donc dans la plupart des cas, le calcul explicite de l'évolution de la température avec le temps est impossible. Néanmoins, dans le limite $\delta T \ll T$, on a :

\[
\phi_r = 4S\sigma T_e^3 \delta T
\]

On trouve donc encore une fois une nouvelle résistance qui vaut :

\[
R_r= \frac{1}{4S \sigma T_e^3} \approx 1,4.10^{-1} WK^{-1}
\]

Finalement, on peut compléter le schéma électrique équivalent :

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Resistance2.PNG}
\end{center}

Et on peut finalement écrire le flux totale reçu par le plonguer par l'extérieur :

\[
\Phi_{tot} = \frac{T(t)-T_e}{R_{eq}}
\]

avec $R_{eq}=R_p+R_c+ \frac{R_aR_r}{R_a+R_r} \approx 1,3.10^{-1} WK^{-1}$.

On peut donc finalement calculer au bout de combien temps le plongeur sera en hypothermie. Pour cela, on considère une plongeur de m = 75 kg, donc la capacité massique vaut environ $c_M \approx3,5.10^{3} J.K^{-1}kg^{-1}$. Le corps humain se réchauffe bien entendu et on a donc de la création d'énergie thermique par unité de temps donc une puissance $P=120 W$. On a donc :

\[
\frac{T(t)-T_e}{R_{eq}}dt = Pdt - mc_m \frac{dT}{dt}dt
\]

D'où, avec $\tau = mc_m R_{eq}$ et $t_{\infty}=PR_{eq}+T_e$, on trouve :

\[
T(t) = T_{\infty} + (T_0 - T_{\infty}) e^{-\frac{t}{\tau}}
\]

On peut donc trouver le temps que mettrait le corps à atteindre la température critique $T_c$ et on trouve environ 6.5 heures !

\important{Dans le cas de l'exercice du plongeur, les flux et les résistances étaient à peu près tous du même ordre de grandeur. Néanmoins, dans beaucoup de cas, un flux prédomine par rapport aux autres et on peut alors se contenter d'en prendre qu'un seul en compte.}

\section{Conclusion}

\begin{tabular}{c|c|c|c}
 & Conduction & Convection & Rayonnement \\ \hline
loi locale & $\vec{j_Q} = - \lambda \vec{grad} T$ & $\vec{j_Q}=h(T_1-T_2) \vec{n}$ & $\vec{j_Q}=\sigma (T_1^4-T_2^4) \vec{n}$ \\
Résistance & $\frac{L}{\lambda S}$ & $\frac{1}{hS}$ & $\frac{1}{4 \sigma S T^3}$ mais pas toujours !!! \\
\end{tabular}

\section*{Questions}
\begin{itemize}
 \item 
\end{itemize}

\section*{Remarques}
\begin{itemize}
 \item
\end{itemize}




\end{document}
