\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP20 Conversion de puissance électromécanique}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{MONNET Benjamin}{Mr B}{}{}



\subsection*{Niveau : L3}



\subsection*{Commentaires du jury}
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Commentaires}
\end{center}



\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{PSI-PSI*}, \textbf{Tech et Doc}  & Très bien pour le moteur à courant continu mais incomplet pour le reste \\
\textit{Electronique}, \textbf{Le Bréal} & Complet et très bien pour cette leçon. Manque peut être de détails pour les questions. \\
\textit{Electronique}, \textbf{Hprepa} & Calculs complets de tous les couples de tous les moteurs (en particulier asynchrones). Complet mais moins compréhensible que Le Bréal \\
\textit{Electrotechnique}, \textbf{Parcours IUT} & Très... et même beaucoup trop complet et très compréhensible. Permet d'anticiper les questions.  
\end{tabular}

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Induction
 \item Mécanique du solide
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item Rail de Laplace
	\item Aiguille dans un champ tournant
	\item Cage d'écureuil dans un champ tournant
	\end{itemize}
\end{minipage}



\tableofcontents
\pagebreak




\section*{Introduction}
Les moteurs sont utilisés de partout autour de nous. On pense en particulier aux voitures, aux trains ou aux photocopieurs (qui comportent plusieurs petits moteurs). Dans cette leçon, on va présenter le fonctionnement de différents moteurs, utilisant tous le même principe : la conversion électromécanique.

On commencera, afin d'expliquer le principe de cette conversion, par étudier l'exemple des rails de Laplace.


\section{Exemple introductif : les rails de Laplace}
\livre{Le Bréal Electrotechnique p 122}

\experience{Rail de Laplace}{}{}{
L'idée est juste de mettre en mouvement un rail de Laplace avec un courant puis de montrer que l'on voit un courant si on fait bouger nous-mêmes le rails. Cet exemple est très bon pour illustrer la conversion électromécanique.
}

\subsection{Principe}
Quand on met un courant i dans la barre dans le champ $\vec{B}$, des forces de Laplace de formule $\int i \vec{dl} \wedge \vec{B}$ apparaissent, ce qui met en mouvement  la barre métallique.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1.2]{Laplace1.pdf}
\end{center}

Dans le cas où l'on bouge la barre nous même, nous modifions le flux coupé par le circuit, ce qui crée donc des courants induits.

Dans tous les cas, le fait que les rails de Laplace bougent génèrent une force électromotrice (fem) égale à :

\[
e= \int (\vec{V} \wedge \vec{B}).\vec{dl}
\]

On peut donc résumer avec le schéma équivalent :

\begin{center}
\includegraphics[scale=1.2]{Laplace2.pdf}
\end{center}

\underline{Remarques :}
\begin{itemize}
 \item Dans le cas où l'on fonctionne en mode moteur, c'est-à-dire dans le cas où l'on met en mouvement la barre, la fem $e$ s'oppose par loi de Lenz à la tension d'alimentation $U$. Donc sur le schéma précédent, $e<0$
 \item Dans le cas où l'on fonctionne en mode générateur, la fem $e$ sera donc positive mais le schéma équivalent reste le même
\end{itemize}

\subsection{Réversibilité du phénomène}
Intéressons nous maintenant un peu plus aux détails mathématiques. On notre $\vec{v}$ la vitesse des porteurs de charge. La puissance appliquée par la force magnétique vaut :

\[
P=(-q(\vec{v}+\vec{V})\wedge \vec{B}).(\vec{v}+\vec{V})=0
\]

En développant cette expression, on obtient :

\[
P= (-q\vec{v}\wedge \vec{B}).\vec{V}+(-q\vec{V}\wedge\vec{B}).\vec{v}=P_m+P_e=0
\]

On remarque que la puissance $P_m$ correspond à une force colinéaire à $\vec{V}$, donc à une puissance qui tend  à faire bouger la barre métallique. C'est en fait une force qui s'applique aux électrons mais qui est transmise à la barre car ces derniers sont accrochés à leur réseau cristallin. On a donc eu ici un transfert de l'énergie électrique (mouvement des électrons) en énergie mécanique.
\newline
Pour ce qui est la puissance $P_e$, on remarque qu'elle correspond à une force selon l'axe de la barre. On a donc cette fois-ci transfert d'énergie mécanique en énergie électrique.
\newline
Dans tous les cas, le bilan $P_m+P_e=0$ signifie que toutes la puissance mécanique provient de la puissance électrique et inversement ! Elle traduit la convertion de l'énergie et son passage d'une forme à une autre (mécanique ou électrique).

\transition{
Maitenant que nous comprenons l'origine de la conversation électromécanique de puissance, intéressons-nous aux machines réelles utilisées.
}

\section{La machine à courant continu}
\livre{Tech et Doc PSI-PSI*}
\subsection{Modèle simplifié}

\begin{figure}[htb]
\centering
\begin{subfigure}
  \centering
  \includegraphics[scale=1]{MCC1.pdf}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}
  \centering
   \includegraphics[scale=0.8]{MCC2.pdf}
\end{subfigure}
\end{figure}


On considère une spire parcourue par une courant $i$ (appelée rotor) plongée dans un champ $\vec{B}$ généré par une partie fixe appelé stator. Au vue des symétries de notre problème, le champ $\vec{B}$ est de la forme $\vec{B}=B(r,\theta) \vec{u_r}$ avec $B(r,\theta+\pi)=-B(r,\theta)$. On voit sur la figure que la spire subit deux forces de Laplace. Les deux  sont de norme $F_L=iLB$ mais de sens opposé. Donc $\vec{F_{tot}}=\vec{0}$. Néanmoins, le couple exercé par ces deux forces est non nulles et vaut :

\[
\vec{C_L}=idLB \vec{u_{\theta}}
\]

dont on nottera la norme $C_L$. On peut retrouver l'équation de conservation de la puissance que l'on a mis en avant plus tôt.

\begin{itemize}
 \item La puissance mécanique vaut $P_m=C_L \omega$
 \item La puissance vaut $P_e=e.i$ avec $e=-2\int (\vec{v} \wedge \vec{V}).\vec{dl} = -dLB \omega$
\end{itemize}

\subsection{Cas d'un enroulement de spire et équations de fonctionnement}
Afin d'augmenter l'efficacité des moteurs, on utlise pas une seule spire mais un enroulement de spire. On peut garder en toute généralité les relations suivantes :

\begin{itemize}
 \item La force électromotrice est proportionnelle à la vitesse angulaire de rotation $e=- \Phi \omega$ (\textbf{avec notre convention, e est négative !!}) ($\Phi$ est directement relié au flux du champ magnétique)
 \item La conservation de la puissance donne $ei+C_L \omega=0$ donc $C_L= \Phi i$
\end{itemize}

\underline{Remarque :} On négligera l'auto-induction du circuit dans toutes la suite
\newline
Les équation de fonctionnement s'écrivent donc :

\[
U=e+Ri ~~ \text{pour l'équation électrique}
\]

\[
J \frac{d \Phi}{dt}= \Phi i - C_r ~~ \text{où} ~~ C_r ~~ \text{est un couple résistant (typiquement les frottements ou la charge)}
\]

La  vitesse de rotation va donc augmenter jusqu'à avoir $\Phi i = C_r$. Avec $U=Ri+ \Phi \omega$ et $C_L=\Phi I$, on trouve $C_L= \Phi \frac{U}{R}-\frac{\Phi^2}{R}\omega$. On peut résumer cela sur le schéma suivant :

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{MCC3.pdf}
\end{center}

Enfin, on peut écrire avec $U = e+Ri$, $e=\Phi \omega$ et $\Gamma = \Phi i$ que $U= \Phi \omega + \frac{R}{k \Phi} C_L$. En régime stationnaire, on en déduit :

\[
\omega = \frac{1}{k \Phi} \left( U - \frac{R}{k \Phi} C_r \right)
\]

On en déduit \textbf{qu'il ne faut jamais couper l'alimentation de l'inducteur en premier} ! Autrement l'induit s'emballe et la machine explose.

\subsection{Machines réelles}
Comme on peut le remarquer sur le schéma présenté plus tôt, la spire s'arrêterait en fait de tourner afin que son moment magnétique $\vec{M}$ soit aligné avecle champ $\vec{B}$. Afin d'éviter ce problème, on ajoute un dispositif redresseur formé de balais et de collecteur. Les collecteurs font en sorte que le courant qui arrivent dans les balais alimentent les bonnes spires, c'est-à-dire celles qui vont permettre une rotation permanentes des spires :

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{MCC4.pdf}
\end{center}


Nous n'avons pas spécialement parlé de pertes jusqu'à présent mais il faut avoir conscience qu'elles existent : il ya a les pertes par effet Joule, les pertes par courant de Foucault ou les pertes par hystérésis ainsi que les pertes mécaniques, liées aux frottements. Une machine réelle atteint tout de même un rendement d'environ 80\%.
\newline

\textbf{IL FAUT PARLER DE L'UTILISATION DES FERRO !!}

Les moteurs à courant continus étaient utilisés en 1981 pour les trains en France. La puissance totale du moteur était de 6.4 MW.

\transition{
Nous avons parlé ici de moteur fonctionnant avec une tension continue. Le réseau fournit était alternatif, nous allons nous intéresser à des machines fonctionnant avec des sources alternatives.
}

\section{Les machines synchrones}
\subsection{Principe de fonctionnement}
Une machine synchrone repose sur le fait qu'un moment magnétique $\vec{M}$ tend à s'aligner avec un champ extérieur $\vec{B}$ car le couple que subit le système vaut :

\[
\vec{\Gamma} = \vec{M} \wedge \vec{B}
\]

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Msynch1.pdf}
\end{center}

Ainsi, on utilisant un champ tournant, on va pouvoir faire tourner le moment magnétique $\vec{M}$. Afin de réaliser un champ tournant, on peut utiliser deux bobines déphasées de $\pi$. Ainsi, le champ total vaut :

\[
\vec{B}=B_0(\cos (\omega_0 t) \vec{u_x}+\sin (\omega t) \vec{u_y})
\]

ce qui correspond bien à un champ magnétique total tournant à la vitesse $\omega$

\experience{aiguille qui tourne}{}{}{
Ca peut être cool de montrer l'expérience avec l'aiguille là !
}

\subsection{Calcul du couple}
On considère que le moment magnétique $\vec{M}$ tourne à la vitesse $\omega$. Donc :

\[
\vec{M}=M(\cos (\omega t + \theta_0) \vec{u_x} + \sin (\omega t + \theta_0) \vec{u_y})
\]

On trouve après calcul que le couple s'exerçant sur l'aiguille vaut :

\[
\vec{\Gamma} = MB_0 \sin ( (\omega_0-\omega)t - \theta_0)
\]

On remarque alors que \textbf{le couple moyen est nul sauf si la vitesse de rotation du moment magnétique est la même que celle du champ magnétique}. Par conséquent, l'aiguille tourne forcément à la même vitesse que le champ magnétique. C'est de là que vient le nom de moteur synchrone.
\newline
De nouveau, on a à l'équilibre $C_r=-\Gamma= M B_0 \sin (\theta_0)$, ce qui se résume sur le graphe suivant :

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Msynch2.pdf}
\end{center}

On a alors deux positions d'équilibre possibles :
\begin{itemize}
 \item La position à $\theta_0 = \theta_1$, qui correspond à un état stable : si l'angle augmente, la vitesse de rotation diminue et inversement
 \item La position à $\theta_0 = \theta_2$, qui correspond à un état instable. Dans ce cas, si l'angle diminue, la vitesse de rotation va diminuer et la vitesse de rotation va continuer de diminuer.
\end{itemize}

\subsection{Machine réelle et critiques}
Une machine synchrone réelle à un très bon rendement allant de 85\% à 95\% et a l'avantage d'avoir une vitesse de rotation facilement règlable. Néanmoins son gros défaut est qu'il ne peut pas être lancé sans un autre moteur. De plus, en cas de surcharge, il y a un décrochage.
\newline
Pour ce qui est de leur utilisation, 8 moteurs synchrones ont été installé en 1988 pour la ligne TGV "Atlantique" d'une puissance de 1,1 MW et pesant 1 450 kg.

\transition{
On va essayer maintenant de palier au gros défaut du moteur synchrone qui est que le couple en nul si les vitesses de rotation ne sont pas les mêmes
}

\section{Moteurs asynchrones}
\experience{cage d'écucu}{}{}{
Mettre cage d'écureuil à la place de l'aiguille.
}

Il suffit dans un moteur synchrone de remplacer le moment magnétique permanant $\vec{M}$ par des spires. La variations de champ magnétique dans les spires vont induire un courant $i$ qui va lui même induire un moment magnétique $\vec{M_{induit}}$. En introduisant R la résistance des spires et L leur inductance, on peut montrer après calcul que le couple appliqué sur les spires vaut :

\[
\Gamma (\omega) = \frac{1}{2} \frac{\Phi_0^2 R (\omega_0 - \omega)}{R^2+L^2(\omega_0-\omega)^2}
\]

On peut résumer cela sur le graphe suivant :

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Masynch.pdf}
\end{center}

On remarque alors plusieurs choses :
\begin{itemize}
 \item Le couple pour une vitesse $\omega \neq \omega_0$ est non nul ! En particulier, $\Gamma(0) \neq 0$ ! On résoud ainsi le problème majeur du moteur synchrone.
 \item Cette fois, la vitesse de rotation n'est pas tout le temps $\omega_0$ mais varie avec la charge imposé !
 \item On a toujours un décrochage si la charge est trop importante
\end{itemize}

\section*{Questions}
\begin{itemize}
 \item Justifie l'orientation de B ? Mettre les lignes de champs, parler de l'utilisation des ferro.
 \item le vrai B c'est pas que celui du stator y'a aussi le rotor qui génère du B d'ordre 2 qui diminue l'efficacité
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Questions1.PNG}
\end{center}
\begin{itemize}
 \item Je pense qu'on souhaite que les lignes de champ soit radial pour que ce soit optimal mais c'est pas vraiment possible
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Questions2.PNG}
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Questions3.PNG}
\end{center}
\section*{Remarques}
\begin{itemize}
 \item Attention à bien tout définir dans cette leçon.
\end{itemize}




\end{document}
