\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP21 Induction electromagnetique}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{MONNET Benjamin}{}{}{}



\subsection*{Niveau : L3}



\subsection*{Commentaires du jury}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Commentaires.PNG}
\end{center}


\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{EM3}, \textbf{BFR}\footnotemark  & Tout le cours est dedans \\ 
\textit{Physique PC-PC*}, \textbf{Tech\& Doc} & Des exemples d'applications \\
\textit{Magnétisme}, \textit{Garing} & D'autres exemples peut être un poil plus complexe
\end{tabular}

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Equations de Maxwell
 \item Potentiel vecteur et potentiel scalaire
 \item ARQS
 \item Electronique de base (bobine)
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item  
	\end{itemize}
\end{minipage}



\tableofcontents
\pagebreak




\section*{Introduction}

\section{Explication du phénomène d'induction}
\subsection{Cadre de l'étude}
Dans l'étude proposée dans ce cours, nous nous intéresserons essentiellement à des circuits "petits", c'est-à-dire dans lequels l'ARQS s'applique. De plus, nous parlerons essentiellement et courant de charge donc on supposera que l'on se place dans la cadre de l'ARQS magnétique. Cela implique plusieurs choses :
\begin{itemize}
 \item On néglige de temps de propagation de l'intéraction électromagnétique dans le circuit (ARQS)
 \item On considère que les sources de courant sont prépondérantes devant les sources de charge : $|\vec{j}| \gg \rho c$
 \item Il n'a y a accumulation de charges
\end{itemize}

Les équations de Maxwell deviennent alors :

\[
div\vec{E}=0 ~~ div\vec{B}=0 ~~ \vec{rot}\vec{E} = -\frac{\partial B}{\partial t} ~~ \vec{rot}\vec{B}=\mu_0 \vec{j}
\]

De plus, le modèle de Drüde nous donne une relation supplémentaire appelée loi d'Ohm locale :

\[
\vec{j}=\gamma \vec{E}
\]

\transition{
On voit alors que un champ $\vec{B}$ crée un courant $\vec{j}$ qui lui même crée un champ $\vec{E}$. C'est ce que l'on appelle l'induction. On en distingue deux types.
}

\subsection{L'induction de Neumann}
On se place dans le cadre où le circuit est immobile mais le champ varie. On obtient donc avec l'équation de Maxwell-Faraday :

\[
e=\oint_C\vec{E}.\vec{dl} = -\frac{d\Phi_B}{dt}
\]

$e$ est appelé force électromotrice et $\Phi_B$ est le flux du champ magnétique à travers le surface délimitée par $C$.

\subsection{L'induction de Lorentz}
Supposons cette fois que dans le référentiel (R) galiléen lié au laboratoire, le champ électromagnétique est statique et uniforme. On considère maintenant un circuit de contour $C$ bougeant à un vitesse rectiligne uniforme à la vitesse $\vec{v_e}$ dans (R). On nomme (R') le référentiel dans lequel ce circuit est immobile. On se place dans un cadre non-relativiste ($|\vec{v_e}| \ll c$). (R') est aussi un référentiel galiléen et on veut donc que la physique dans les deux référentiels soit la même. On trouve donc que le champ électromagnétiques se transforme de la manière suivante :

\[
\vec{E_{R'}}=\vec{E_R}+\vec{v_e} \wedge \vec{B_R} ~~ \vec{B_{R'}}=\vec{B_R}
\]

On remarque alors un champ electrique supplémentaire dû au mouvement du circuit. On observe donc un ddp supplémentaire valant :

\[
e=\oint (\vec{v_e} \wedge \vec{B_R}) .\vec{dl} 
\]

\subsection{Cas général}
Dans le cas général d'un circuit bougeant dans un champ magnétique variable, on peut toujours écrire $e=- \frac{d \Phi}{dt}$ en prenant bien en compte que les bornes de l'intégrale dépendent dû temps. On sait par linéarité des équations de Maxwell que dans ce cas :

\[
e=\oint (\vec{v_e} \wedge \vec{B_R} + \vec{E_R}) .\vec{dl}
\]

\section{Applications}
\subsection{Chauffage à induction}
\livre{tout en un PSI-PSI* p.627}*

On considère un cylindre de rayon a, de longueur L et de conductivité $\sigma$. On suppose qu'il est plongé dans un champ magnétique de la forme $\vec{B}=B_0 \cos (\omega t) \vec{e_Z}$. Nous sommes donc dans le cadre de l'induction de Neumann.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{chauffage.pdf}
\end{center}

On a $\vec{rot}\vec{E}=\omega B_0 \sin (\omega t) $. Au vu des symétries du problème $\vec{E}=E(r) \vec{e_{\theta}}$, ce qui donne :

\[
\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} r E = \omega B_0 \sin (\omega)t
\]
Ce qui donne après intégration et utilisation de la loi d'Ohm :

\[
\vec{j}=\sigma \vec{E}= \frac{1}{2} \sigma B_0 r \omega \sin \omega t ~ \vec{u_{\theta}}
\]

On voudrait savoir si la plaque chauffe, donc on calcul la puissance :

\[
P=\int_0^a <\vec{j}.\vec{E}> 2 \pi r L dr = \frac{\pi}{16} \sigma B_0^2 \omega^2 a^4 L
\]

On a donc montré comment marchent les plaques à inductions. Le vecteur $\vec{j}$ calculé ici s'apelle "courant de Foucault". Les courants de Foucault sont les courants générés par induction (donc variation de champ magnétique). Ils permettent ici les dissipations par effet Joule dans la plaque et donc le chauffage de cette dernière.

\underline{Remarque :} il est important de garder en tête que la calcul ici est en fait erroné : les courants de Foucault génèrent un champ magnétique qui est négligeable devant celui-là uniquement si $a \ll \frac{2}{\mu_0 \sigma \omega}$, ce qui n'est pas forcément le cas. Il faut alors partir de $\vec{rot}\vec{rot}\vec{B}$ pour avoir le champ magnétique total.

\subsection{Freinage par induction}
On considère la chute d'un cadre de longueur a et de résistance électrique R. Le cadre rentre dans un champ magnétique $\vec{B}$ uniforme et constant. On se trouve donc ici dans le cadre de l'induction de Lorentz. 

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{freinage.pdf}
\end{center}

Pendant que le cadre rentre dans la champ magnétique, on a :

\[
-\frac{d\Phi}{dt} = -Ba \dot{z} ~~ \text{et donc un courant} ~~ i=\frac{Ba \dot{z}}{R}
\]

Ensuite, il faut calculer la force de Laplace qui s'exerce sur le cadre :

\[
\vec{F_L}=-\frac{B^2a^2\dot{z}}{R} \vec{e_z} ~~ \text{après intégration}
\]

Finalement, on a avec le PFD :

\[
\dot{v} + \frac{v}{\tau} = g
\]

L'induction agit donc comme une force de frottement fluide qui ralentit le cadre. C'est ce que l'on appelle le freinage par induction.

\underline{Remarque :} Il peut être intéressant dans cet exercice d'insister sur la direction du courant qui doit être tel que le champ qu'il génère s'oppose au champ $\vec{B}$ déjà présent. Cela permet d'illustrer la loi de Lenz.

\section{Coefficients d'induction}
\subsection{Induction propre}
L'inductance propre est définie comme $L= \frac{\Phi}{i}$. On remarque alors que la tension induite vaut $e=-\frac{d \Phi}{dt} = -L \frac{di}{dt}$ en convention générateur, soit $e=Li$ en convention récepteur, ce qui est la loi qui a déjà été vue en élec. Introduire cette grandeur permet de relier les grandeurs d'élec entre elles afin d'établir des équations différentielles.

\subsection{Inductance propre d'une bobine}
On sait que pour N spires superposées, la valeur du champ magnétique en leur centre vaut :

\[
\vec{B}= N \frac{\mu_0}{L} I \vec{e_Z}
\]

Donc on trouve pour l'inductance propre :

\[
L = \pi R^2 \frac{N^2}{L} \mu_0 ~~ \text{pour N spires}
\]

On compare ensuite avec la bobine posée sur la paillasse.

\subsection{Inductance mutuelle}
Imaginons que l'on a deux spires et que l'une des deux est parcourue par un courant $i_1$. Elle génère alors un champ magnétique $B_1$ et donc un flux $\Phi_{1 \rightarrow 2}$ qui va induire un courant $i_2$ dans la deuxième spire. On définit le coefficient d'induction mutuelle par :

\[
\Phi_{1 \rightarrow 2} = M_{1 \rightarrow 2} i_1
\]

\subsection{Application au transformateur}
Si on considère le cas de deux bobines qui s'influent mutuellement, les fem induites valent :

\[
e_1 = -L_1 \frac{di_1}{dt}-M \frac{di_2}{dt} ~~ \text{et} ~~ e_2 = -L_2 \frac{di_2}{dt}-M \frac{di_1}{dt}
\] 

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{inducmut.pdf}
\end{center}

La puissance stockée vaut $-e_1i_1-e_2i_2$ ce qui donne :

\[
E=\frac{1}{2}L_1 i_1^2+\frac{1}{2}L_2i_2^2 + Mi_1i_2
\]

On peut montrer que le couplage est maximal pour $M^2=L_1L_2$ et dans ce cas-là, si les deux bobines ont les mêmes symétries :

\[
\frac{U_2}{U_1}=\frac{N_2}{N_1}
\]

\underline{Remarque :} Ici, il est important d'insister sur les conventions générateurs/récepteurs pour justifier les calculs.

\section*{Questions}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Questions1.PNG}
\end{center}

\begin{itemize}
 \item Plaques à induction dans le plan
 \item Parce que ça génère du travail ?
 \item Sans f.e.m : champ B fait bouger les charges
 \item Déjà on a la tension en convention \textbf{générateur.} Ensuite on a forcément une résistance
 \item Un phénomène physique tend à s'opposer aux effets qui lui ont donné naissance
 \item On peut montrer la loi de faraday dans le cadre de l'induction de Lorentz mais c'est pas évident parce qu'il faut prendre des bornes changeantes pour l'intégrale et utiliser un théorème de math
 \item Revoir la validité pour Faraday...
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Questions2.PNG}
\end{center}

\begin{itemize}
 \item On prend le cas général $e=-\frac{d\Phi}{dt}$
 \item Je comprends pas trop la question mais ce sont les $\vec{j}$ qui sont reliés aux $\vec{E}$ dont le comportement est piloté par un rotationnel
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Questions3.PNG}
\end{center}


\section*{Remarques}
\begin{itemize}
 \item
\end{itemize}




\end{document}
