\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP22 Retroactions, oscillations}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{MONNET Benjamin}{}{}{}



\subsection*{Niveau : PSI}

\begin{tabular}{p{8cm}|p{8cm}}
\textbf{Rétroaction}&  quelques  propriétés  relatives  à  la  rétroaction  sur  l’exemple  de  l’amplificateur  linéaire intégré.  L’identification  de  certains  montages  à  des  systèmes  bouclés  permet  de  faire  le  lien  avec  le cours  d’automatique  de  Sciences  Industrielles  pour  l'Ingénieur.  L’étude  des  circuits  est  strictement limitée  à  des  situations  pouvant  être  facilement  abordées  avec  les  outils  introduits  en  première  année (loi  des  mailles,  loi  des  nœuds,  diviseur  de  tension).  La  vitesse  limite  de  balayage  de  l’ALI  est uniquement évoquée en TP afin d’identifier les distorsions harmoniques traduisant un comportement non linéaire.  Les  limitations  associées  aux  courants  de  polarisation  et  la  tension  de  décalage  ne  sont  pas étudiées.\\
\hline
 Modèle de l'ALI défini par une résistance d’entrée infinie, une résistance de sortie nulle, une fonction de  transfert  du  premier  ordre  en  régime  linéaire, une   saturation   de   la   tension   de   sortie,   une saturation de l’intensité de sortie. & Citer  les  hypothèses  du  modèle  et  les  ordres  de grandeur  du gain  différentiel  statique  et  du  temps de réponse.\\
 Montages     amplificateur     non     inverseur     et comparateur à hystérésis. & Représenter   les   relations   entre   les   tensions d’entrée  et  de  sortie  par  un  schéma  fonctionnel associant   un   soustracteur,   un   passe-bas   du premier ordre et un opérateur proportionnel. Analyser la stabilité du régime linéaire.\\
 Compromis  gain/bande  passante  d’un  système bouclé du premier ordre. & Établir   la   conservation   du   produit   gain-bande passante du montage non inverseur. \\
 Limite en fréquence du fonctionnement linéaire. & Identifier  la  manifestation  de  la  vitesse  limite de balayage d’un ALI dans un montage. \\
 Cas  limite  d’un  ALI  idéal  de  gain  infini  en  régime linéaire. & Identifier   la   présence   d’une   rétroaction   sur   la borne  inverseuse  comme  un  indice  de  probable stabilité du régime linéaire. Établir  la  relation  entrée-sortie  des  montages  non inverseur, suiveur, inverseur, intégrateur. Exprimer    les    impédances    d’entrée    de    ces montages. Expliquer l’intérêt d’une forte impédance  d’entrée  et  d’une  faible  impédance  de sortie pour une association en cascade.\\
 Cas  limite  d’un  ALI  idéal  de  gain  infini  en  régime saturé. & Identifier  l’absence  de  rétroaction  ou  la  présence d’une   unique   rétroaction   sur   la   borne   non inverseuse     comme     l’indice     d’un     probable comportement en saturation. Établir  la  relation  entrée-sortie  d’un  comparateur simple.  Pour  une  entrée  sinusoïdale,  faire  le  lien entre  la  non  linéarité  du  système  et  la  génération d’harmoniques en sortie. Établir  le  cycle  d’un  comparateur  à  hystérésis. Décrire  le  phénomène  d’hystérésis  en  relation avec la notion de fonction mémoire. \\
 \end{tabular}
 
 \pagebreak
\begin{tabular}{p{8cm}|p{8cm}}
 \textbf{Oscillateurs} &   étude  non  exhaustive  des  oscillateurs  en  électronique.  Les  exemples  sont choisis à l’initiative du professeur et les fonctions de transfert des filtres utilisés sont fournies. En TP, on complète l’étude par une analyse spectrale des signaux.\\
 \hline
 Oscillateur  quasi-sinusoïdal  réalisé  en  bouclant un filtre passe-bande du deuxième ordre avec un amplificateur. & Exprimer    les    conditions    théoriques    (gain    et fréquence)    d’auto-oscillation    sinusoïdale    d’un système linéaire bouclé. Analyser sur l’équation différentielle l’inégalité que doit vérifier le gain de l’amplificateur afin d’assurer le démarrage des oscillations. Interpréter   le   rôle   des   non   linéarités   dans   la stabilisation de l’amplitude des oscillations. Réaliser   un   oscillateur   quasi-sinusoïdal   et mettre  en  évidence  la  distorsion  harmonique des signaux par une analyse spectrale.\\
 & Approche  documentaire :  en  relation  avec  le cours  sur  les  ondes,  décrire  le  fonctionnement d’un   oscillateur   optique   (laser)   en   termes   de système bouclé auto-oscillant. Relier les fréquences  des  modes  possibles  à  la  taille  de  la cavité. \\
 Oscillateur  de  relaxation  associant  un  intégrateur et un comparateur à hystérésis. Générateur de signaux non sinusoïdaux. & Décrire les différentes séquences de fonctionnement.    Exprimer    les    conditions    de basculement. Déterminer la période d’oscillation. Réaliser    un    oscillateur    de    relaxation    et effectuer    l’analyse    spectrale    des    signaux générés.\\
\end{tabular}


\subsection*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item \textbf{2015: }Dans le cas des oscillateurs auto-entretenus, les conditions d’apparition des oscillations et la limitation de
leur amplitude doivent être discutées.
Le jury souhaiterait que le terme de résonance soit dûment justifié sans oublier une discussion du facteur de
qualité. Il n’est pas indispensable de se restreindre à l’électronique.
\item \textbf{2009-2013: }Le jury n’attend pas une présentation générale et abstraite de la notion de système bouclé. Il
estime indispensable de s’appuyer sur au moins un exemple concret et détaillé avec soin.
\item \textbf{2007: }La stabilité des systèmes bouclés est mal
comprise. Le bouclage ne se limite pas uniquement à une fonction d’asservissement. Le lien entre les réponses
temporelle et fréquentielle est un aspect important.
\end{itemize}



\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Electronique}, \textbf{Le Bréal}\footnotemark  & Tout le cours y est \\
\textit{Elec}, \textbf{Duffait} & Asservissement en position et oscillateur de Wien \\
\textbf{Krob} & Oscillateur de Wien \\
 
\end{tabular}

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Transformée de Laplace
 \item Transformée de Fourier
 \item Filtres linéaires
 \item AO
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item  
	\end{itemize}
\end{minipage}



\tableofcontents
\pagebreak




\section*{Introduction}
Exemple de rétroaction/système asservi : quelqu'un qui veut être à 130 sur l'autoroute ou bien quelqu'un qui prend sa douche

\section{Système bouclé linéaire}
\subsection{Fonction de transfert}
\livre{Le Bréal, p195}

On commence par expliquer la logique de ce schéma par rapport à un exemple donné en introduction :
\begin{itemize}
 \item On a une entrée E : on veut aller à 130 km/h
 \item On compare à la vitesse actuelle pour avoir $\epsilon$
 \item On appuie plus ou moins sur la pédale d'accélarateur, ce qui correspond au bloc $A$
 \item Le fait d'appuyer plus ou moins sur l'accélérateur modifie la vitesse, ce qui correspond au bloc $B$
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{bloc1.pdf}
\end{center}

Le but de de comprendre le comportement de la sortie en fonction de l'entrée. On définit donc la fonction de transfert :

\[
H(p)= \frac{S(p)}{E(p)}
\]


Avec le schéma, on a :

\[
S(p)=A(p) \epsilon (p) ~~ R(p)=B(p) S(p) ~~\text{et} ~~ \epsilon (p) = E(p) - R(p)
\]

Donc :

\[
S(p)=A(p)[E(p)-B(p)S(p)]
\]

Ce qui donne :

\[
H(p)= \frac{A(p)}{1+A(p)B(p)}
\]

\transition{
Prenons un exemple concret : l'ampli non inversur
}

\subsection{L'ampli non inverseur à AO}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{ampli.pdf}
\end{center}

On identifie les différents éléments sur le montage :
\begin{itemize}
 \item L'AO joue le rôle à la fois le rôle de comparateur et de chaine directe
 \item Le pont diviseur de tension formé par les résistances joue le rôle de chaîne retour
\end{itemize}

On a donc :

\[
R(p) = \frac{R_1}{R_2+R_1} S(p) ~~~~ S(p) = \frac{\mu_0}{1+\frac{p}{\omega_{AO}}} \epsilon (p)
\]

La fonction de transfert devient donc :

\[
H(p) = \frac{\frac{\mu_0}{1+\frac{p}{\omega_{AO}}}}{1+\frac{\mu_0}{1+\frac{p}{\omega_{AO}}} \times \frac{R_1}{R_1+R_2}} = \frac{H_0}{1+j \frac{\omega}{\omega_0}} ~~ \text{en notation complexe}
\]

avec $H_0= \frac{\mu_0}{1+\frac{\mu_0 R_1}{R_1+R_2}}$ et $\omega_0 = \omega_{AO} \left( 1 + \frac{\mu_0 R_1}{R_1 + R_2} \right)$. On retombe donc bien sur la forme souhaitée. Dans ce cas particulier, on trouve une  fonction de transfert d'ordre 1 et on aimerait discuter de l'impact de cette fonction de transfert sur notre système.

\section{Conséquences de la rétroaction}
\subsection{Gain et bande passante}
\livre{Bréal, p209}
On voit que le gain a diminué... mais la bande passante a augmenté ! En fait, on remarque que le produit gain x bande passante reste constant. 

\textbf{ODG} : $R_1 = 1 k\Omega$, $R_2=100 k\Omega$, $\omega_0 = 10^5 rad.s^{-1}$.

Essayons de comprendre un peu mieux maintenant ce que cette fonction de transfert signifie :

\[
H(p)E(p)=S(p) \Leftrightarrow S(p) + \frac{p}{\omega_0} S(p) = H_0 E(p) \Leftrightarrow s(t) + \tau_0 \frac{d s}{dt}=H_0 e(t)~~\tau_0=\frac{1}{\omega_0}
\]

Prenons le cas de la réponse à un échelon. La sortie vaut alors :

\[
s(t) =H_0 E \left( 1 - e^{-\frac{t}{\tau_0}} \right)
\]

On remarque alors que le temps caractéristique $\tau_0$ détermine le temps de réaction de la sortie à la réponse. Le produit gain bande est donc un compromis entre le temps de réponse et l'amplification. Le temps de réponse est amélioré de $\frac{1}{1+\frac{\mu_0 R_2}{R_1+R_2}}$ alors que le gain est diminué de cette même quantité.

\subsection{Stabilité}
\livre{Duffait p338, Bréal p205}

Nous n'avons présenté qu'un système d'ordre 1. Imaginons que l'on ait un système d'ordre 2 de la forme :

\[
H(p)= \frac{1}{a_3 + a_2 p + a_1 p^2}
\]

Dans ce cas là, l'équation différentielle devient :

\[
a_1 \frac{d^2s}{dt^2} + a_2 \frac{ds}{dt} + a_3 \omega_0^2 = e(t)
\]

On peut alors montrer qu'un tel système n'est stable que si les $a_i$ sont de même signe. Mais prenons un exemple concret : l'asservissement en position. La fonction de transfert du montage se met sous la forme :

\[
H(p) = \frac{\omega_0^2}{p^2 + 2p m \omega_0 + \omega_0^2}
\]

ce qui donne l'équation différentielle suivante :

\[
\frac{d^2s}{dt^2} + 2m \omega_0 \frac{ds}{dt} + \omega_0^2 s = \omega_0^2 e
\]

A priori, le système est donc stable. Néanmoins, ce n'est pas la seule chose qui nous intéresse. En effet, nous avons vu que le temps de réponse pouvait être modifié mais en plus avec un système d'ordre 2, on peut avoir un \textit{dépassement de la consigne}. Afin de mieux s'en rendre compte, on écrit la solution de l'équation différentielle lorque l'on met un échelon en entrée :

\[
s(t) =
   \left\{
\begin{array}{c}
  E(1- e^{-m \omega_0 t} \cos (\omega t + \Phi)) ~~ \text{avec} ~~ \omega = \omega_0 \sqrt{1-m^2} ~~ \text{si m<1}  \\
E(1-e^{-\alpha t}) ~~ \text{si} ~~ m>1
\end{array}
\right.
\]

On voit alors que selon la valeur du paramètre m, on a pas le même comportement.

\textbf{Graphe}

\experience{Asservissement en position}{Duffait p 338}{}{
On peut montrer les différents comportements.
}

\section{Oscillations auto-entretenues}
\subsection{Critère de Barkhausen}
On reprend le problème de départ mais cette fois, on met un additionneur au lieu d'un comparateur.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{bloc2.pdf}
\end{center}

Cela modifie la fonction de transfert de la manière suivante :

\[
H(p) = \frac{A(p)}{1-B(p)A(p)}
\]

On voit donc que pour $A(p)B(p)=1$, on a une divergence et donc on peut générer un signal à partir du bruit électronique. On appelle cela la condition de Barkhausen. La condition est à la fois sur le gain et sur la phase !!

\[
\begin{array}{c}
|A(j \omega) B(j \omega)|=1 \\
arg(A(j \omega))+ arg(B(j \omega))|=0
\end{array}
\]

Si on regarde ce que l'on a fait plus tôt, les solutions avec une entrée nulle sont de la forme :

\[
s(t)=A e^{-m \omega_0 t} \cos (\omega t + \Phi)
\]

Autrement dit, selon le signe de m, on peut avoir une solution sinusoïdale. Bien sûr, il faut que l'on puisse avoir un peu de signal pour espérer avoir une sortie : on utilise donc le bruit électrique et on se place légèrement au dessu de m=1. De toute manière, on a jamais exactement m=1.

\important{Il faut absolument regarder la théorie de Nyquist dans le Manneville}

\subsection{Oscillateur de Wien}
\livre{Krob p 131, Duffait p181 (mieux)}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Wien.pdf}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Bloc_Wien.pdf}
\end{center}

La condition $V_{e1}=V_S$ donne $AB=1$ donc on retrouve le critère de Barkhausen.

Pour ce montage, on a :

\[
\begin{array}{c}
A= \frac{R_1+R_2}{R_1} \\
B= \frac{1}{3+j \left( RC \omega - \frac{1}{RC \omega} \right) }
\end{array}
\]

Pour avoir des aoscillations, on prend :

\[
\begin{array}{c}
\omega=\omega_0 = \frac{1}{RC}\\
A=3
\end{array}
\]

\experience{Pont de Wien}{Krob, Duffait}{}{
On prend $R_1= 1 k \Omega$, $R_2$ variable, R=1 k$\Omega$ et C= 1 $\mu$F. On part de $R_2 \approx 1900 \Omega$ puis on monte petit à petit pour montrer la naissance des oscillations. On peut comparer la période à la valeur attendue.
}

\section*{Questions}
\begin{itemize}
 \item Exemple où l'AO est saturé ? \textit{Comparateur} Pas saturé ? \textit{Suiveur}
 \item Exemple de système du troisième ordre ? \textit{Capteur de température avec un filtre passe bande}
 \item Revoir le fonctionnement d'un push/pull
 \item Système aps électronique avec rétroactions ? \textit{Vase de Tantale, Laser, "oiseaux buveurs" (assez bien expliqué sur Wikipédia)} \textbf{ça peut être cool pour la conclusion ça.}
\end{itemize}

\textbf{Dans vos différents exemples, c’est des rétroactions positives ou négatives ?}
Systèmes asservis (ampli non inverseur, ascenseur, régulateur de vitesse...) = rétroaction négative pour avoir une stabilisation, oscillateur auto-entretenus = rétroaction positive car oscillations dues à une déstabilisation/instabilité
\bigbreak
\textbf{Dans l’oscillateur
à pont de Wien, la condition de Barkhausen sur la phase c’est quoi ? Pourquoi vous ne l’avez pas dit alors ?}
parce
que la condition sur le gain est toujours intuitive quand on abandonne Barkhausen pour regarder plutôt Nyquist,
alors que la condition sur la phase n’est utile que dans le cadre très restreint de Barkhausen
\bigbreak
\textbf{Quand on boucle
l’ampli non inverseur, on change le type de circuit ?}
Non juste le gain et la bande passante
\bigbreak
\textbf{Il n’y a pas un truc qui est conservé quand on passe de l’AO à l’ampli non inverseur ?}
Produit gain-bande passante
\bigbreak
\textbf{Là un élève demanderait,
pourquoi vous dites Re > 0 alors que sur le diagramme de Nyquist c’est Re < -1 ?}

\bigbreak
\textbf{Comment on pourrait modéliser
les pertes par les miroirs dans votre schéma à rétroaction positive ? Vous pouvez réexpliquer ce qui se passe quand
vous prenez une résistance R2 très grande ? Il se passerait quoi si on augmentait le R des miroirs ? La forme des
pics s’appellerait comment ?}

\bigbreak
\textbf{C’est quoi l’équivalent pour le pont de Wien ?}

\bigbreak
\textbf{Exemple de système asservi pour
éviter les fluctuations thermiques ?}

\bigbreak
\textbf{Vous parlez de quel laser
dans votre exemple ? Il est fait de quoi le milieu amplificateur dans un He-Ne ? Comment on fait le pompage ?
C’est quoi la condition sur le nombre de niveaux pour qu’il y ait amplification ? Autres conditions à respecter ?}

\bigbreak
\textbf{On cherche toujours à avoir des lasers monomodes ? En pratique c’est des lasers monomodes qu’on a ? C’est des
modes transverses ou longitudinaux ?}

\bigbreak
\textbf{Dans l’oscillateur de Wien, c’est quoi l’équivalent du pompage ?}
Alimentation de l'AO
\bigbreak
\textbf{Vous dites
que si la croissance des oscillations s’arrête, c’est à cause de la saturation de l’AO, mais là c’est plutôt 4.5V que
15V, pourquoi ?}

\bigbreak
\textbf{fonctionnement d’un AO ?}

\bigbreak
\textbf{fonctionnement montre à quartz ?}

\bigbreak
\textbf{autres types d’oscillateurs ?}

\bigbreak
\textbf{questions sur d’autres critères de performance d’un asservissement, le but était de me faire parler
des limites de sécurité d’un asservissement.}
Temps de réponse, dépassement
\bigbreak
\textbf{Système physique non électrique avec des oscillations due à la rétroaction ? comment
le système pouvait être traité avec Barkausen et ensuite quelle était la source de démarrage du laser ?}
Laser.
\bigbreak
\textbf{comment est-ce que l’on peut stabiliser un oscillateur à pont de Wien avec une
ampoule à incandescence ?}
Si stabiliser = avoir des oscillations qui durent, on peut mettre l'ampoule à la place de R2, et la résistance du filament augmente avec la température donc plus on va mettre de puissance dans l'ampoule plus on va augmenter la résistace jusqu'à respecter Barkhausen.
\bigbreak
\textbf{Quelle est la caractéristique principale des systèmes bouclés ?}
Produit gain-bande = constante (ex: ampli non inverseur)
\bigbreak
\textbf{Qu’est-ce qui
limite l’amplitude des oscillations dans l’oscillateur à pont de Wien ? D’où viennent les non
linéarités ?}
Effets non linéaires dus aux transistors de l'AO.
\bigbreak
\textbf{Que se passe-t-il si on modifie la valeur de la résistance variable dans
l’oscillateur à pont de Wien ?}
Déformation du signal, on s’éloigne des oscillations quasi sinusoïdales.
\bigbreak
\textbf{Qu’est-ce qui
caractérise un oscillateur ? Que vaut-il pour l’oscillateur à pont de Wien ?}
Son facteur de qualité, 1/3 pour le pont de Wien.
\bigbreak
\textbf{Quel est l’intérêt de Nyquist ?}
prévision du comportement en boucle fermée à partir de l’étude en
boucle ouverte.
\bigbreak
\textbf{Un système instable est-il toujours un oscillateur ? Si non, sous quelle(s)
condition(s) l’est-il ?}

\bigbreak
\textbf{Pourquoi utiliser la transformée de Laplace et pas la transformée de Fourier ?}
La transformée de Laplace permet de traiter les régimes transitoires alors que la transformée de Fourier
ne peut être employée que pour les régimes permanents.
\bigbreak
\textbf{Quelles hypothèses sont nécessaires sur l’amplificateur opérationnel ?}
Bien préciser que l’on se place en régime linéaire ou en saturation, et que l’AO est supposé idéal.
\bigbreak
\textbf{Qu’est-ce que la bande passante d’un amplificateur non-inverseur ?}
Il s’agit d’un passe-bas, toutes les fréquences inférieures à la fréquence de coupure $\omega_0$ passent. La bande
passante est donc simplement $\omega_0$.
\bigbreak
\textbf{Pourquoi y a-t-il un dépassement de consigne avec le moteur asservi en position ?}
Les systèmes asservis du premier ordre n’ont, en théorie, pas de dépassement de consigne, mais ce
n’est pas le cas des systèmes du second ordre comme le moteur asservi. Pour avoir l’ordre du système, il
faut regarder la chaîne directe dans son intégralité. En l’occurrence, il s’agit d’une succession de modules
d’ordre 1, la chaîne globale est au moins d’ordre 2.
\bigbreak
\textbf{Est-ce que pour le pont de Wien, on a obligatoirement les mêmes résistances et condensateurs? }
Pas forcément mais au moins ici la FTBO a une forme plutôt simple
\bigbreak
\textbf{Donnez l’équation différentielle associée à une notation de Laplace. Est-ce que pour la notation de Laplace revient juste à remplacer j omega par p? }
Même équa diff qu'en Fourier si on a la CI = 0
\bigbreak
\textbf{Qu’est-ce que le facteur de qualité? Connaissez-vous des oscillateurs avec un meilleur facteur de qualité? }
Q=f/ delta f\\
Oscillateur à quartz
\bigbreak
\textbf{Quand la fonction de transfert est plus grande que 1 pour toute une bande pourquoi on ne voit pas toutes les fréquences apparaître? Comment sont créées les oscillations quand on boucle le système?}

\section*{Remarques}
\begin{itemize}
 \item
\end{itemize}




\end{document}
