\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP28 Ondes electromagnétiques dans les milieux dielectriques}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{MONNET Benjamin}{}{}{}



\subsection*{Niveau : L2}



\subsection*{Commentaires du jury}




\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Électromagnétisme 4}, \textbf{Bertin Faroux Renault}  & Apporte plein de précisions \\
\textit{Ondes MP-PC-PSI}, \textbf{Hprépa} & La base du cours \\ 
\textit{Milieux diélectriques}, \textbf{Garing} & Électron élastiquement lié \\
\end{tabular}

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Électromagnétisme dans le vide
 \item Mécanique du point
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item  
	\end{itemize}
\end{minipage}



\tableofcontents
\pagebreak




\section*{Introduction}
Nous avons étudié la propagation des ondes dans le vide mais nous ne nous sommes pas intéresser à la matière, à sa réponse et à la propagation des ondes dans la matière. Dans cette leçon, nous allons donc étudier la réponse d'un milieu à un champ électrique, étudier la propagation des ondes dans le milieu puis essayer de développer un modèle microscopique.

\section{Equations de Maxwell dans un diélectrique}
\subsection{Réponse du milieu}
Dans un milieu donné, on peut trouver deux types d'électrons :
\begin{itemize}
 \item Les électrons libres, qui se déplacer l'ensemble du matériau : on a alors un milieu conducteur. On parle de \textbf{charges libres} et de \textbf{courants libres}
 \item Les électrons liés, qui ne bougent que sur des distances typiques inférieures à la distance atomique et qui restent proche de leur noyau
\end{itemize}

Nous allons nous intéresser dans cette leçon en particulier aux \textbf{milieux diélectriques} : ce sont des milieux isolants, qui ne possèdent pas de charges libres. Les charges sont donc uniquement liées. Néanmoins, une charge négative reliée à une charge positive, ça réagit à un champ électrique et ça les écarte l'une de l'autre : ça génère donc un dipôle.

Il y a donc apparition de dipôles induits dans le milieu diélectriques. On notre $d\vec{p}$ la somme de tous les dipôles induits dans un volume $d\tau$. La \textbf{polarisation} (en C.m$^{-2}$ est alors définie par :

\[
\vec{P} = \frac{d\vec{p}}{d\tau}
\]

Il peut y avoir plusieurs origines à la polarisation induite :

\begin{itemize}
 \item La polarisation électronique, que l'on vient d'évoquer
 \item La polarisation d'orientation : si le milieu est constitué d'atomes avec un moment dipolaire de base, ces derniers peuvent s'orienter selon le champ électriques, moyennant les effets d'agitation thermiques
 \item La polarisation électronique : C'est la même choque que la polarisation induite mais à plus grande échelle : cela concerne les solides ioniques
\end{itemize}


\textbf{Remarque :} on s'intéressera surtout à la polarisation électronique dans cette leçon.

\hspace{7mm}

La présence de moments dipolaires crée alors une densité volumique de charge (faire un schéma ou dire que ce sera démontrer en TD ?) :

\[
\rho_l=-div \vec{P}
\]

Afin de respecter la conservation de la charge $\frac{\partial \rho_l}{\partial t} + div \vec{j_l}=0$, on trouve donc qu'il apparait un courant de polarisation $\vec{j_l}$ :

\[
\vec{j_l} = \frac{\partial P}{\partial t}
\]

\subsection{Equations de Maxwell}

Les équations de Maxwell se mettent donc à présent sous la forme :

\[
\begin{array}{c}
div \vec{D} =\rho ~~~~ \vec{rot} \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\
div \vec{B} = 0 ~~~~ \vec{rot} \left( \frac{B}{\mu_0}-\vec{M} \right) = \vec{j} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}
\end{array}
\]

avec $\vec{D}=\epsilon_0 \vec{E}+\vec{P}$ le \textbf{déplacement électrique}. Autrement dit, actuellement nous avons :
\begin{itemize}
 \item 6 équations de Maxwell + 6 équations qui vient des relations entre E,P,D et H,M,B = 12 équations
 \item 18 inconnues (3*6) : E,P,D,H,M,B
\end{itemize}

Le système n'est donc pas fermé ! Il manque 6 équations. On s'intéressera à des milieux donc l'aimantation est négligeable. Autrement dit, $\vec{M} \approx \vec{0}$. Il nous reste encore 3 inconnues... On utilise alors une équation de fermeture ! On pose

\[
\vec{P} (\omega) = \epsilon_0 [\chi_E] (E,\omega, \vec{r}) \vec{E} (\omega)
\]

Ainsi, on fait transparaitre à travers cette équation constitutive le fait que la polarisation dépend du champs électrique et on introduit une grandeur adimensionnée $[\chi_E]$ qui est à priori un tenseur dépendant du champ électrique. Plusieurs remarques :

\begin{itemize}
 \item \textbf{Attention :} cette relation n'est valable que dans le domaine des pulsations ! Néanmoins, on ne s'intéressera qu'à des ondes monochromatiques durant toute la leçon. On supposera donc que cette équation est aussi valable dans le domaine temporelle
 \item Dans cette expression, on suppose que le champ électrique à prendre en compte est le champ macroscopiquement appliqué au milieu... Or la présence des autres dipôles génère un champ supplémentaire. On supposera donc que le milieu est suffisamment \textbf{dilué} pour que l'on considère ce champ supplémentaire négligeable
\end{itemize}



\subsection{Cas d'un milieu LHI}
La relation de structure proposée est, dans l'état actuelle, dure à utiliser. Tout d'abord, on peut montrer que le tenseur de susceptibilité est symétrique : il peut donc se diagonaliser. On va donc faire plusieurs hypothèses :

\begin{itemize}
 \item Le milieu est \textbf{linéaire} : cela signifie que le champ électrique étant pas trop important, on peut supposer que la suceptibilité électrique n'en dépend pas $[\chi_E](E, \vec{r}) \Rightarrow [\chi_E] (\vec{r})$
 \item Le milieu est \textbf{homogène} : $[\chi_E] (\vec{r}) \Rightarrow [chi_E]$
 \item Le milieu est \textbf{isotrope} : aucune direction n'est privilégiée donc  $[chi_E] \Rightarrow chi_E$
\end{itemize}

La relation de fermeture devient finalement uniquement :


\[
\vec{P}= \epsilon_0 \chi_E) \vec{E} 
\]

Finalement, dans un DLHI, on a :

\[
\begin{array}{c @{~~} c}
div \vec{D} = 0 \Leftrightarrow div \vec{E} =0 & \vec{rot} \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\
div \vec{B} =0 & \vec{rot} \vec{B} = \mu_0 \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \Leftrightarrow div \vec{B} = \vec{rot} \vec{B} = \frac{\epsilon_r}{c^2} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
\end{array}
\]

avec $\epsilon_r$ la \textbf{permittivité relative} du milieu.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{sucep.PNG}
\end{center}

\section{Propagation d'onde électromagnétiques dans les diélectriques}
\subsection{Equation de propagation}
On prend les équations de Maxwell, on fait un coup de rot de rot et hop :

\[
\Delta \vec{E} - \frac{\epsilon_r}{c^2} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
\]

On remarque que :
\begin{itemize}
 \item On a presque la même forme que dans le vite, ua $\epsilon_r$ près
 \item $\epsilon_r$ peut être complexe !
\end{itemize} 

\transition{L'équation est linéaire, donc on peut utiliser la décomposition de Fourier et s'intéresser à des ondes monochromatiques.}

\subsection{Relation de dispersion}
On cherche donc la relation entre la pulsation temporelle $\omega$ et la pulsation spatiale $k$ d'une onde plane monochromatique de la forme $\vec{E}=\vec{E}_0 e^{i(\omega t- \vec{k}.\vec{r})}$ :

\[
k^2 = \frac{n^2 \omega^2}{c^2}
\]

où on a posé $n^2=\epsilon_r$. Ce dernier pouvant être complexe, on écrit $\vec{k}=\vec{k'}-i \vec{k}''$ et l'onde a donc la forme :

\[
\vec{E}=\vec{E}_0 e^{-\vec{k}''.\vec{r}} \cos (\omega t - \vec{k}'.\vec{r})
\]

La partie imaginaire du vecteur d'onde représente donc l'atténuation du milieu et la partie réelle la propagation. On définition alors les vitesses de phases et de groupe par :

\[
\left\{
\begin{array}{c}
v_{\phi} = \frac{\omega}{k'} \\
v_g = \frac{d \omega}{dk'}
\end{array}
\right.
\]

\transition{
On aimerait retrouver les résultats expérimentaux avec un modèle théorique...
}

\section{Modèle de l'électron élastiquement lié}
\subsection{Position du problème}
On considère :
\begin{itemize}
 \item Un électron de valence lié à un noyau fixe par une force élastique
 \item Tous les atomes sont identiques (milieu homogène)
 \item Milieu dense : le champ $\vec{E}$ est le champ appliqué macroscopiquement
 \item L'électron subit aussi une force de frottement
\end{itemize}

On applique alors le TRC dans le référientiel lié au noyau supposé galiléen :

\[
\begin{array}{c}
m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = -k \vec{r} - \frac{m}{\tau} \frac{d \vec{r}}{dt} -e \vec{E} \\
\Leftrightarrow \ddot{\vec{r}} + \frac{\omega_0}{Q} \dot{\vec{r}}+\omega_0^2 \vec{r} = - \frac{e}{m} \vec{E}
\end{array}
\]

avec $\omega_0^2=\frac{k}{m}$ et $Q=\omega_0 \tau$

\subsection{Réponse et indice du milieu}
On peut relier le moment dipolaire au vecteur position par :$\vec{P}=ne \vec{r}$. En passant en RSF, on a :

\[
\vec{P}= \frac{\frac{ne^2}{m}}{\omega_0^2-\omega^2+i \frac{\omega}{Q}} \vec{E}
\]

On a donc trouvé la suceptibilité électrique ! On peut en sortir les parties réelles et imaginaires et on obtient : 
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{electron.PNG}
\end{center}

Quelques ordres de grandeurs :
\begin{itemize}
 \item Polarisation électronique : $f \approx 10^{14}-10^{15}$ Hz
 \item Polarisation ionique : $f \approx 10^{12}-10^{45}$ Hz
 \item $Q \approx 10^4$ en moyenne
\end{itemize}

Et quelques remarques :
\begin{itemize}
 \item La partie réelle de $\chi_E$ est souvent très grande devant sa partie imaginaire
 \item Il y a un pic d'absorption ! On peut l'exploiter... avec un micro-onde par exemple !
\end{itemize}

\subsection{Formule de Cauchy}
Dans le verre, pour le domaine visible, on a $\omega \ll \omega_0$ et on considère $Q\approx \infty$ :

\[
\epsilon_r = 1 +\chi_0 \frac{1}{1 - \frac{\omega^2}{\omega_0^2}}
\]

avec $\chi_0 = \frac{ne^2}{m\epsilon_0 \omega_0^2}$ et donc on peut faire un développement limité pour obtenir n :

\[
n \approx 1 + \chi_0 + \chi_0 \left( \frac{n \pi c}{\omega_0} \right)^2 \frac{1}{\lambda^2}
\]

Ça explique la dispersion de la lumière dans un prisme
\section*{Questions}
\begin{itemize}
 \item 
\end{itemize}

\section*{Remarques}
\begin{itemize}
 \item
\end{itemize}




\end{document}
