\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP34 Interférences à division d'amplitude}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{MONNET Benjamin}{}{}{}



\subsection*{Niveau : L2}



\subsection*{Commentaires du jury}




\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Optique}, \textbf{Houard}\footnotemark  & LE Michelson et le Fabry-Pérot sont dedans \\
\textit{Optique}, \textbf{Perez} & Là aussi \\
\textit{Optique ondulatoire}, \textbf{H-prépa} & Théorème de locatisation des franges \\
\textit{Optique expérimentale}, \textbf{Sextant} & Pour les expériences \\
\textit{Ondes lumineuses}, \textbf{Champeau} & Démo de la division d'amplitude \\
\end{tabular}

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Optique géométrique
 \item Interférences à division du front d'onde
 \item Notion de cohérence
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item  
	\end{itemize}
\end{minipage}



\tableofcontents
\pagebreak




\section*{Introduction}
Nous avons déjà eu l'occasion de parler d'interférences à deux ondes et nous avons évoqué deux types d'interféromètres : 
\begin{itemize}
 \item \textbf{Division du front d'onde :} c'est la surface d'onde que l'on modifie
 \item \textbf{Division d'amplitude :} Séparation d'un rayon en 2 rayons
\end{itemize}

Nous allons nous attarder dans cette leçon sur le phénomène d'interférences à division d'amplitude uniquement

\section{Localisation des interférence}
\subsection{Condition de non brouillage}
\livre{H-prepa, Champeau}

On s'intéresse ici à une onde monochromatique de longueur d'onde $\lambda$. On considère ici une source étendue et on aimerait savoir sous quelle condition on peut observer des interférences sachant que chaque point de la source émet de façon incohérent entre eux. Afin d'éviter que l'extension spatiale de la source n'engendre un brouillage, il faut que la différence de marche entre les rayons provenant des différents points de la source soit négligeable devant $2 \pi$. Autrement dit, il faut $\delta \ll 2 \pi \rightarrow \delta \approx 0$.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{localisation.pdf}
\end{center}

Par propriété de notre système optique, on sait que $(A_1M)=(A_2M)$. La différence de marche pour un rayon donné vaut :

\[
\delta (S,M) = (SM)_1 -(SM)_2 = SA_2-SA_1
\]

Et maintenant, regardons la différence de marche qui nous intéresse vraiment :

\[
\Delta \delta = \delta (S,M) - \delta (S_0,M) = (SA_2-S_0A_2)-(SA_1-S_0A_1) = d(SA_2)-d(SA1)
\]

Or $d(SA_2)=d(\vec{SA_2}).\vec{u_2}+SA_2 \vec{u_2} d(\vec{u_2)}= d\vec{SA_2}.\vec{u2}$ car $d(\vec{u_2}^2)=0$. Donc finalement, $A_2$ étant immobile : $d(SA_2)= -d\vec{S}.\vec{u_2}=-\vec{S_0S}.\vec{u_2}$.

Finalement, on a donc :

\[
\Delta \delta = (\vec{u_1}-\vec{u_2}).\vec{S_0S}
\]

\transition{
Comment interpréter ce résultat ?
}

\subsection{Théorème de localisation}
Avec la formule précédente, on voit que 2 cas sont possibles pour satisfaire notre besoin :

\begin{itemize}
 \item $\vec{u_1}-\vec{u_2} \perp \vec{S_0S}$, ce qui impose une condition très particulière quant à la forme de la source
 \item $\vec{u_1} = \vec{u_2}$ qui est l'option que nous choisirons. Cela signifie simplement que les interférences proviennent d'un même rayon incident : c'est la division d'amplitude. On en déduit par ailleurs le théorème de localisation :
 
\important{Seuls les inferéromètres à division d'amplitude donnent lieu à l'observation d'interférences contrastées pour une source étendue. Ces interférences sont alors localisées au voisinage des points d'intersection des rayons issus du même rayon incident.}
\end{itemize}

\transition{Nous allons maintenant nous intéresser à des cas pratiques d'interféromètres et essayer de comprendre leur itilité.}

\section{Interféromètre de Michelson}
\subsection{Présentation de l'interféromètre}
\livre{Houard, p223, Perez}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{Michelson.PNG}
\end{center}

L'interféromètre de Michelson est composé de deux miroir $M_1$ et $M_2$. En amont de ces deux miroirs se situent deux lames : la séparatrice et la compensatrice. LA séparatrice divise l'amplitude de l'onde tandis que la compensatrice s'assure que la longueur des chemins dans le verre emprunté dans chacun des bras est  identique afin de ne pas rajouter une erreur permanente \textbf{qui dépendrait de l'angle d'arrivée}.

\transition{On va maintenant essayer de comprendre le fonctionnement et en particulier on va essayer de déterminer la différence de marche entre un rayon qui emprunte un bras ou l'autre.}

\subsection{Configuration lame d'air}
En l'ame d'air, les deux mirrois sont parallèles. Afin se comprendre ce qu'il se passe, on va s'aider de schémas équivalents :

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{Michelson2.PNG}
\end{center}

\textbf{Observation des interférences :} 

On éclaire ici par une source étendue. Le théorème de localisation nous dit que les interférences ont lieu là où les rayons se croisent... c'est-à-dire à l'infini dans ce cas là ! Il faut donc utiliser une lentille convergente en sortie du Michelson et regarder dans son plan forcal image.

\experience{Michelson en lame d'air}{Sextant}{}{
On utilise une grande lentille de projection qui avoir le meilleur grandissement possible. On parle ensuite de la symétrie de révolution qui est conservée, de la localisation à l'infini.
}

\textbf{Calcul de la différence de marche :}

On supopse que l'on est dans l'air dont l'indice est pris égale à 1 ici. Avec le schéma équivalent + le théorème de Malus, on a 

\[
\delta = 2 e \cos (i)
\]

Avec la formule de Fresnel, on a donc l'intensité suivante :

\[
I=I_0 \left[ 1 + \cos \left( \frac{4 \pi}{\lambda} e \cos (i) \right) \right]
\]

On retrouve donc la symétrie de révolution que l'on a observé.

\important{Je ne pense pas qu'il y ait le temps de le faire :}

\textbf{Application au doublet du soodium :} On va s'intéresser ici au doublet du sodium. En TD, vous aurez l'occasion de montrer la formule :

\[
I=I_0 \left[1 + \cos \left( \frac{\pi \Delta \lambda}{\lambda_0^2} 2 e \cos (i) \right) \cos \left( \frac{2 \pi}{\lambda_0} \delta \right) \right]
\]

On observe donc des brouillages tous les $e_k= \frac{\lambda_0^2}{2\Delta \lambda \cos i}k$, ce qui permet de remonter à $\Delta \lambda$

\important{Plus rapide et plus intéressant :}

\experience{Localisation de sinterférences}{}{}{
Lame au sodium avec un diaphragme. On met pas la lentille de projection pour l'instant. On voit les interférences. Ouverture du diaphragme : plus d'interférences !! On met la lentille : tout va bien en fait.
}

\subsection{Configuration coin d'air}
Cette fois, les deux miroirs ne sont plus parallèles mais penchés l'un par rapport à l'autre d'un angle $\alpha$.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{coin.pdf}
\end{center}

Le théorème de localisation stipule cette fois que les interférences se font au niveau des miroirs. On va donc devoir projeter les miroirs à l'aide d'une lentille (on oublie pas le $D \geq 4f$.

\experience{Michelson en coin d'air}{Sextant}{}{
On montre rapidement les franges d'égales épaisseures en justifiant leur forme.
}

\textbf{Calcul de la différence de marche :}

On utilise le schéma : $\delta = 2 \alpha x $ donc :

\[
I=I_0 \left[ 1 + \cos \left( \frac{4 \pi \alpha}{\lambda} x \right) \right]
\]

On retrouve bien ce que l'on observe.

\transition{
On s'est limité ici à une séparation en deux ondes, mais il est possible d'imaginer des interférences avec une infinité d'onde.
}

\section{Interféromètre de Fabry-Pérot}
\livre{Toujouts les mêmes}
\subsection{Présentation}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{Fabry.PNG}
\end{center}

Un rayon arrive en faisant un angle i avec la normale aux 2 miroirs parralèles. Il peut ensuite sur chaque miroir être transmis ou réfléchi, ce qui fait que l'on a beaucoup de rayons différents en sortie si le miroir réfléchit bien. Pour observer les interférences, on se retrouve donc dans le même cas que pour le Michelson en coin d'air : il faut projeter avec une lentille (si possible que grande focale pour avoir un grandissement plus stylé).

\subsection{Intensité transmise}
On remarque que le calcul de la différence de marche est le même que pour le Michelson en lame d'air ! On a donc directement $\delta = 2 e \cos (i)$ entre 2 rayons successifs. On note $\Phi= \frac{2 \pi}{\lambda} \delta$ Si on note $A_0$ l'amplitude de l'onde incidente, on peut noter l'amplitude du premier rayon $a_1= A_0 t^2$ et celle du deuxième : $a_2=a_1 r^2 e^{-i\Phi}$, ect... ce qui donne :

\[
a_{tot} = \Sigma a_1 (Re^{i \Phi})^n = \frac{A_0 T}{1-Re^{-i \Phi}}
\]

On peut donc calculer l'intensité totale :

\[
I=a_{tot}a_{tot}*= \frac{(1-R)^2I_0}{1+R^2-2R \cos (\Phi)} = \frac{I_0}{1+\frac{4R}{(1-R)^2} \sin ^2 \frac{\Phi}{2}}
\]

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{Fabry2.PNG}
\end{center}

On remarque donc que l'intensité est maximale pour $\Phi = 2p \pi$. Calculons le contraste :

\[
C=\frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}} = \frac{2R}{1+R^2}
\]

Puis R se rapproche de 1, plus le contraste est bon ! Etudions un peu plus l'intensité obtenue.

\subsection{Finesse et pouvoir de résolution}
La principale caractéristique de l'interféromètre de Fabry-Pérot est sa finesse. Elle se définit comme le rapport entre la période des pics et la largeur à mi-hauteur de ces pics. Pour connaitre sa valeur, il faut résoudre $I(\Delta \Phi /2)I_0/2$, ce qui donne en considérant $\Delta \Phi \ll 2\pi$ : $\Delta \Phi = \frac{2(1-R)}{\sqrt{R}}$. La finesse vaut donc :

\[
F= \frac{2 \pi}{\Delta Phi}= \frac{\pi \sqrt{R}}{1-R}
\]

La finesse est directement relié au pouvoir de résolution déterminé par le critère de Rayleigh. On a donc :

\[
PR= p F
\]

avec p l'ordre de l'interférence.

\transition{L'interféromètre de Fabry-Pérot permet d'avoir une bonne résolution spectrale comparé à l'interféromètre de Michelson, mais est plus dur à mettre en oeuvre expériemntalement.}

\section*{Questions}
\textbf{Quel siècle pour Newton ? Redonner la définition de la longueur de cohérence, est-ce ce qu’on mesure sur
l’écran ? Peut-on faire de la division du front d’onde avec un Michelson ?}

\bigbreak
\textbf{Pour la séparatrice, vous avez parlé de dépôt métallique, comment fait-on autrement pour avoir un coefficient
de réflexion bien contrôlé ? On a vu des anneaux pas parfaitement ronds, à quoi est-ce dû ? Applications d’un
Fabry-Pérot ? Comment marche un filtre interférentiel ? À quoi sert la compensatrice ? Seulement à corriger une
différence de marche constante ? Et en lumière polychromatique ? Vous pensez vraiment que la dispersion par
les lois de Descartes joue un rôle ? Est-ce que le parallélisme des faces de la séparatrice est important ? De la
compensatrice ? Et leur planéité ? Quel écart à la planéité de la lame d’air peut on détecter, c’est-à-dire quel est
l’angle de coin d’air résultant alors qu’on a l’impression d’être en lame d’air ? Comment le mesurer ? Je veux
mesurer un défaut de planéité de lame d’air de 200 nm, c’est possible ? Et un défaut de planéité de compensatrice
d’autant ? Est-ce que vous pouvez retrouver par un argument simple le déphasage du coin d’air, sans faire de
calcul de chemin optique ?}
Filtre interférentiel = fabry-pérot\\
\bigbreak
\textbf{Expliquer la localisation des franges pour le coin d’air. Quelles autres applications du Michelson en lame
d’air connaissez-vous ? Pourquoi les sources images vibrent-elles en phase ? Justifier la façon de calculer le chemin
optique dans le cas de la lame d’air. Vous avez dit « charioter » à plusieurs reprises, est-ce que c’est français}

\bigbreak
\textbf{Qu’est-ce qu’un ordre d’interférence ? Pourquoi la résolution du Michelson est-elle inférieure à celle du
Fabry-Pérot ?}

\bigbreak
\textbf{Quel est le lien entre l'intensité spectrale de la source et sa figure d'interférence ?} Théorème de
Wiener Kintchine : Contraste=$\int I(\nu)e^{2i\pi \nu \frac{L}{c}}d\nu$

\bigbreak
\textbf{Pourquoi ne regarde-t-on pas en transmission sur une lame d'air en coin ? 
}
La différence
d'amplitude entre les deux ondes donne un mauvais contraste.
\bigbreak
\textbf{D'où vient la proximité entre les deux raies du sodium ?}
 Dédoublement isotopique du sodium.
\bigbreak
\textbf{Qu'est ce qui limite la finesse des fabry-pérot en pratique ?}
 Le parallèlisme des lames de verre.
\bigbreak
\textbf{Est ce que avec des interféromètres par division d'amplitude on s'affranchit complétement de
l'étendue spatialle de la source ? }
Non il faut quand même qu'elle soit inférieure à la taille de l'image
formée car par translation d'un point source on translate d'une même quantité l'image formée.
\bigbreak
\textbf{Est ce que l'on place la compenstrice avant ou après la séparatrice ? }
Avant
\bigbreak
\textbf{Comment une variation de température modifie t-elle l'indice de l'air ? }
Loi de Goldstone
\bigbreak
\textbf{}
En chimie les appareils utilisent toujours des réseaux et non des interféromètres à division
d'amplitude.
\bigbreak
\textbf{Peut on réaliser de la spectroscopie par transformée de Fourier avec le Fabry-Pérot ?}
 Non car
cette propriéte repose sur la variation cosinusoidale de l'intensité de l'onde transmise.
\bigbreak
\textbf{Dans quel cas utilise t'on plutôt un Michelson ou un fabry-Pérot ? .}
Fabry Pérot pour effet
Zeeman, lorsque qu'on cherche à déterminer des raies très proches mais sinon le Michelson est plus
simple d'utilisation et moins d'énergie est réfléchie à l'entrée
\bigbreak
\textbf{Ordres de grandeurs dans Virgo
— Virgo : interféromètre de Michelson avec des bras de 3km et une précision de la dizaine
de nanomètre sur la position des miroirs.
— Cavité Fabry-Pérot placée dans chaque bras pour augmenter la longueur du chemin
optique suivi.
— Détection de signaux de l’ordre de $10^{-22}$
— Les interférences dans la vie de tous les jours :
— Michelson permet de reproduire : lames minces (films de savons, bulles, lames d’air (coin
d’air)
— Utilisation technologique : traitement anti-relflet, métrologie, cavités laser
— en sciences : Analyse spectrale, métrologie, Virgo
— Histoire des sciences : Ether
— Les rayons se croisent toujours au voisinage des miroirs : Non, mais on fait les hypothèses
pour que ce soit le cas et ensuite on éclaire en lumière parallèle pour se placer dans les
conditions expérimentales correspondant à nos hypothèses.
— Nombre d’AR dans un Fabry-Pérot : dépend du r des miroirs. L’ordre de grandeur est
donnée par la finesse de la cavité.
— Ordre de grandeur de : de l’ordre de 104rad
— Séparatrice et compensatrice : Avec uniquement la séparatrice, les rayons ne traversent pas le
même nombre de fois la lame. Ainsi le rôle de la compensatrice est de rattraper la différence
de chemin optique introduite par la séparatrice.}

\section*{Remarques}
\begin{itemize}
 \item
\end{itemize}




\end{document}
