\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP36 Diffraction par des structures périodiques}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{MONNET Benjamin}{}{}{}



\subsection*{Niveau : L3}



\subsection*{Commentaires du jury}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{Commentaires.PNG}
\end{center}



\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Optique}, \textbf{Houard}  & très bien pour le cours, un peu moins pour le calcul des fentes \\
\textit{Optique}, \textbf{Perez} & Moins bien que le Houard mais le calcul des fentes est bien \\
\textit{Physique des solides}, \textbf{Aschcroft} & Diffraction par rayons X \\
\end{tabular}

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Transformée de Fourier
 \item Diffraction de Fraunhoffer
 \item Matière condensée (cristallographie)
 \item Longueur d'onde de De Broglie
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item  
	\end{itemize}
\end{minipage}



\tableofcontents
\pagebreak




\section*{Introduction}
\experience{Illustration du plhénomène}{un DVD}{}{
Montrer les couleurs sur un DVD qui apparaissent
}

On voit sur le DVD apparaitre tout un spectre de couleur. Cela vient en fait de la diffraction par une structure périodique. Nous nous sommes pour l'instant arrêté à de la diffraction par des objets simples, mais nous allons maintenant nous intéresser à de la diffraction par des structures périodiques et voir les applications possibles.

\section{Le réseau de fentes}
\subsection{Généralités}
Il existe deux types de réseaux :
\begin{itemize}
 \item Les réseaux de phase, qui modifient périodiquement la phase de l'onde incidente en faisant par exemple une lame de verre dont l'épaisseur varie périodiquement. 
 \item Les réseaux d'amplitude, qui consiste à modifier périodiquement l'amplitude de l'onde incidente. C'est le cas qui nous intéressera.
\end{itemize}

Le réseaux d'amplitude que nous allons considérer est une association de fentes de largeur b, séparées d'une distance a. On notera L la longueur total du réseaux de tel sorte que le nombre de fente par mètre s'écrit :

\[
n=\frac{L}{a}
\]

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{res.pdf}
\end{center}



\subsection{Formule des réseaux}
On aimerait maintenant savoir ce qu'il se passe si on envoie un lumière sur ce réseau. On va en particulier s'intéresser ici au cas d'un réseau par transmission et non pas par réflexion (comme c'était le cas du CD présenté en introduction.

\begin{center}
\includegraphics[scale=5]{reseau.pdf}
\end{center}

On note $\theta$ l'angle de l'onde incidente sur le réseau et $\theta'$ l'angle avec lequel il repart. Avec le théorème de Malus, on sait que les plans perpendiculaires aux rayons sont des plans d'équiphases. On en déduit donc que la différence de marche vaut :

\[
\delta_{tot}=\delta + \delta ' = a \sin (\theta) - a\sin (\theta') =a (\sin \theta - \sin \theta ')
\]

\remarque{Il faut bien faire attention au signe dans cette relation}

La condition d'interférences constructives impose :

\[
\delta_{tot} = n \lambda ~~ n \in \mathcal{Z}
\]

On trouve alors ce qu'on appelle la formule des réseaux qui s'écrit :

\[
\sin \theta - \sin \theta ' =\frac{n \lambda}{a}
\]

\textbf{Remarque :} pour une arrivée en incidence normale, on remarque que le nombre d'ordre observable est limité :

\[
\sin \theta ' \leq 1 \Leftrightarrow n \leq \frac{a}{\lambda}
\]

Autrement dit : si la distance entre deux fentes est trop faible, on observe aucun odre. Dans le sens inverse, si $a$ est trop grand, on verra pleins d'ordres, ce qui est ensuite dur à interpréter.

\transition{
On a toujours pas l'intensité observée !
}

\subsection{Calcul de l'intensité diffractée}
On calcule comme d'habitude l'amplitude de l'onde dans un premier temps. Pour cela, on se place dans le cadre de l'approximation de Fraunhoffer, ce qui permet d'écrire :

\[
\psi (u) = \int t(x) e^{-i2 \pi u x} dx
\]

avec, dans notre cas, $u=\frac{\sin (\theta) - \sin (\theta '}{\lambda}$. Le réseau est composé de N fentes identiques régulièrement espacées, ce qui permet d'écrire :

\[
t(x) = \Sigma_{m=N/2}^{m=N/2} t_f(x-ma)
\]

où $t_f$ est la transmittence d'une unique fente. Ainsi, l'amplitude vaut :

\[
\psi (u) = \int \Sigma_{m=N/2}^{m=N/2} t_f(x-ma) e^{-i2 \pi u x} dx = \Sigma_{m=N/2}^{m=N/2} e^{-i2 \pi u ma} \int t_f (X) e^{-i2 \pi u X} dX
\]

On note $\Phi = 2 \pi u a$, de telle sorte que :

\[
\psi (u) = \hat{t}_f (u) \frac{\sin (N \Phi /2)}{\sin (\Phi/2)}
\]

En utilisant la formule de diffraction d'une fente de largueur b :

\[
\hat{t}_f = \int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} e^{-i2 \pi u x dx}= b \frac{\sin (\pi u b}{\pi u b}
\]

On trouve finalement une intensité diffractée valant :

\[
I=I_0 \left( \frac{\sin (\pi u b}{\pi u b} \right)^2 \left( \frac{\sin (N \pi u a)}{\sin (\pi u a)} \right)^2
\]

On voit que l'intensité est maximale pour $u=\frac{n}{a}$, ce qui permet de retrouver la formule des réseaux établies plus tôt.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{diff.pdf}
\end{center}

\experience{Diffraction de la lumière d'une lampe à vapeur de Mercure}{Sextant}{}{
Faire l'image d'une fente sur un écran à l'aide une lentille convergente. Placer entre le réseau juste après la lentille.

Faire d'abord ave un filtre qui sélectionne une longueur d'onde puis ensuite avec toutes les couleurs.
}

\section{Spectromètre à réseau}
\subsection{Pouvoir dispersif (partie que l'on peut ignorer)}
Nous venons de voir que les réseaux permettaient de disperser les différentes longueurs d'onde. On peut donc l'utiliser  pour étutier le spectre d'une lumière. Pour cela, on peut caractériser un spectromètre par sa capacité à séparer deux longueur d'onde. La grandeur physique qui traduit cela s'appelle le pouvoir dispersif et vaut :

\[
D= \frac{d\theta '}{d \lambda}
\]

Avec la formule des réseaux, on trouve :

\[
D= \frac{n}{a \cos \theta '}
\]

On peut noter que pour de petits angles, le pouvoir dispersif est constant et ne dépend donc pas de $\lambda$, ce qui signifie que le décalage observé sur l'écran est proportionnel  à la longueur d'onde observée.

\remarque{Calcul de \livre{Houard} p321 ?}

\subsection{Pouvoir de résolution : critère de Rayleigh}
Afin de pouvoir différencier deux pics de longueur d'onde différente, il faut \textbf{que le maximum du pic principal de diffraction pour la raie de longueur d'onde $\lambda + \delta \lambda$ corresponde au premier minimum du pic principal de dirraction pour la raie de longueur d'onde $\lambda$}.

\textbf{Schéma}

Le maximum du pic d'ordre n  est observé pour $\sin \theta - \sin \theta ') = n \frac{\lambda}{a}$ et son premier minimum est observé pour $\Phi = 2 \pi n \pm \frac{2 \pi}{N}$, ce qui correspond à $\sin (\theta + \epsilon) - \sin (\theta ') = n \frac{\lambda}{a} \pm \frac{\lambda}{aN}$. Autrement dit, cela correspond à un écart angulaire de $\delta (\sin(\theta)) = \frac{\lambda}{aN}$.

De plus , les deux maximum sont séparés par $\delta (\sin (\theta)) = n \frac{\delta \lambda}{a}$.

Le critère de Rayleigh impose donc :

\[
n \frac{\delta \lambda}{a} > \frac{\lambda}{a N}
\]

Le pouvoir de résolution intrinsèque est alors défini par :

\[
R= \frac{\lambda}{\delta \lambda_{min}} = nN
\]

Autrement dit, plus le nombre de traits du réseaux est important, plus on pourra distinguer des longueurs d'onde proches !

\remarque{On doit pouvoir le mettre en évidence en directe avec le doublet jaune du mercure}

\transition{
Nous nous sommes ici intéressés à la diffraction dans le visible afin de pouvoir étudier le spectre de la lumière. Néanmoins, il est aussi d'envisager d'étudier une structure périodique et c'est ce que nous allons voir dans la prochaine partie
}

\section{Propriétés d'un réseau de diffraction}
\livre{Aschcroft}
\subsection{Proprétés d'un cristal}
Nous allons maintenant essayer de sonder la marière solide, que l'on sait ordonnée.

\textbf{Rappels :} un cristal est défini par un motif qui se répète le long d'un réseau de Bravais $\vec{R}= n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c}$, les nombres de ces trois vecteurs engendrant le paramètre de maille.

\textbf{Quelques ordres de grandeurs :} Les distances interatomiques sont de l'ordre de la centaine de picomètre. Afin de sonder la matière par diffraction, il va falloir des ondes dont la longueur d'onde est environ du même ordre de grandeur, donc de l'ordre de $10^{-10}m$, ce qui correspond à des rayons X (entre $10^{-8} et 10^{-12} m$)

\remarque{Selon le temps, choisir entre le critère de Bragg ou le critère de Von Laue}

\transition{
Que se passe-t-il lorsque l'on envoie une telle onde sur un cristal
}

\subsection{Critère de Bragg}
On suppose que les rayons peuvent se réléchir sur les plans réticulaires du cristal.

\begin{center}
\includegraphics[scale=5]{reseau_cristal.pdf}
\end{center}

Ainsi, on trouve la condition de Bragg (pour des interférences constructives) :

\[
n \lambda = 2d \sin (\theta)
\]

\remarque{On pourrait faire ici une rapide analogie avec un réseau par réflexion avec le même angle à l'arrivée qu'après la réflexion !}

\subsection{Critère de Von Laue}
On suppose ici que la lumière ne peut se réfléchir que sur un atome du cristal.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{Von_Laue.pdf}
\end{center}

La différence de marche vaut :

\[
\delta = d \cos \theta + d \cos \theta ' = \vec{d}. (\vec{\hat{n}}- \vec{\hat{n}'})
\]

La condition d'interférences constructives donne donc :

\[
\vec{d}.(\vec{k}-\vec{k'})=2\pi n
\]

En prenant en compte que l'on souhaite avoir des interférences constructives pour \textbf{tous le réseau}, on se retrouve avec :

\[
\vec{R}.(\vec{k}-\vec{k'})=2 \pi n \Leftrightarrow \vec{k}-\vec{k'} = \vec{K}
\]

$\vec{k}-\vec{k'}$ appartient donc au réseau réciproque ! Or il est possible de montrer que $\vec{K}=m \frac{2 \pi}{d}$. De plus, avec la figure suivante :

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Von_Laue2.PNG}
\end{center}

On montre que $K= 2 k \sin \theta$ (on suppose une diffusion élastique). Donc finalement :

\[
k \sin \theta = \frac{\pi n}{d}
\]

appelée relation de Bragg.

\subsection{Mise en évidence des paramètres de maille du graphite}
On utilise un faisceau d'électrons accélérés plutôt que des rayons X (car dangereux).

On a $\lambda = 2d \sin( \theta) \approx \frac{dD}{2L}$ avec D le diamètre des anneaux. Ensuite, avec $\lambda = \frac{h}{p}$ et $eU=\frac{p^2}{2m}$, on trouve :

\[
\frac{1}{D} = d \frac{\sqrt{2meU}}{2hL}
\]

\experience{Mise en évidence des paramètres de maille du graphite}{}{}{
BIEN LIRE LA NOTICE
}

\subsection{Contruction d'Ewald}
Y'aura jamais le temps de le faire.

\section*{Conclusion}
Ouverture sur la spectroscopie en astrophysique.

\section*{Questions}
\begin{itemize}
 \item 
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Questions1.PNG}
\end{center}

\begin{itemize}
 \item Phase : $t=e^{i\Phi}$. Amplitude : $t=r<1$
 \item Réseau blazé = en dents de scie.
 \item Graphite = poudres donc isotrope donc cercle. Dans le matos de l'ENS c'est un réseau en réflexion je pense ?
 \item Diffraction cohérente = avec des sources cohérentes. Du coup on somme les amplitude et pas les intensités.
 \item La deuxième lentille est juste une lentille de projection, comme celle que l'on met souvent en optique pour bien observer ce que l'on souhaite.
 \item \url{http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optiondu/blaze.html} Figure de diffraction d'un réseau blazé. Ca change rien au pouvoir de résolution j'ai l'impression. Y'a juste un décalage d'angle.
 \item\begin{center}
 \includegraphics[scale=1]{Czerny-turner_monochromator.PNG}
 \end{center}
 La lumière est diffracté par un réseau D ou bien dispersé par un prisme puis ensuite on met un trou là où il y a la couleur que l'on souhaite récupérer
 \item Une haute tension électrique est établie entre 2 électrodes pour générer un courant d'électrons dont la longueur de De Broglie est dans le domaine des rayons X
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Questions2.PNG}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{Questions3.PNG}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{Questions4.PNG}
\end{center}

\section*{Remarques}
\begin{itemize}
 \item
\end{itemize}




\end{document}
