\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP39 Aspect ondulatoire de la matière.Notion de fonction d'onde}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{MONNET Benjamin}{}{}{}



\subsection*{Niveau : L3}



\subsection*{Commentaires du jury}




\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Quantique, fondements et applications}, \textbf{Perez}  & La plupart de la leçon \\ 
\textit{Quantique}, \textbf{Basvedant} & Y'a tout \\
\textit{J'intègre PC-PC*}, \textbf{Sanz} & Très bien aussi \\
\end{tabular}

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Notion de photons
 \item Diffraction et interférences en optique
 \item Ondes planes, relation de dispersion
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item  
	\end{itemize}
\end{minipage}



\tableofcontents
\pagebreak




\section*{Introduction}
Au XIX ème siècle, on distingue encore la matière d'un côté, caractérisé par des particules dont les coordonnées peuvent être connues et les ondes, qui sont des champs continus, définis partout dans l'espace. Néanmoins, l'idée d'une lumière composée de photons émis ; idée qui entremêle ces deux visions jusqu'alors bien distinctes. La question se pose alors : la lumière est-elle une onde ou une particule ?

\section{Aspect ondulatoire de la matière}
\subsection{L'hypothèse de De Broglie}
En 1923, De Broglie généralise la relation $p=\hbar k$, qui est alors une caractéristique des ondes, à la matière :

\[
\lambda_{DB} = \frac{h}{p}
\]

Autrement dit, dans le cadrede la physique newtonienne, cela revient à :

\[
\lambda_{DB} = \frac{h}{mv}
\]

La notion d'onde est étendue ainsi à la matière et les deux s'entremêlent. Néanmoins, si on considère ce que l'on sait des ondes : les phénomène ondulatoires ne sont visibles que si on s'intéresse à des distances inférieures à la longeur d'onde. Prenons donc des ordres de grandeurs :

\textbf{ODG :} 
\begin{itemize}
 \item Pour une balle de tennis de 58 g évoluant à 35 m/s, on trouve $\lambda_{DB}=\frac{6.63.10^{-34}}{58.10^{-3} \times 35} \approx 3.10^{-34}$m. Donc pour une balle de tennis, les effets ondulatoires ne sont pas visibles et l'approche par les mécanique newtonienne est valable
 \item Pour un électrons avec une énergie de 10 eV : $\lambda_{DB}=\frac{h}{\sqrt{2 m_e E}} \approx 0.4$nm, ce qui est caractéristique de la distance interatomique ! Les effets ondulatoires sont donc visibles
\end{itemize}

\transition{
Et bien si les effets ondulatoires sont visibles, visions les !
}

\subsection{Experience de Davisson et Germer}
L'expérience de Davisson et Germer consister à étudier la diffraction d'électrons par un monocristal de Nickel. Les électrons sont accélérés par une tension $V_a$ de telle sorte que la longueur de De Broglie soti égale à :

\[
\lambda_{DB}= \frac{h}{\sqrt{2m_e e V_a}}
\]

On oublie pas que l'on considère ici les électrons comme une onde, donc l'angle $\theta$ de diffraction respecte la relation de Bragg :

\[
2d \sin (\theta) = p \lambda_{DB} = p \frac{h}{\sqrt{2m_e e V_a}}
\]

Davisson et Germer ont pu ainsi observer des pics d'intensité dont l'angle dépend de la tension appliquée pour accélérer les électrons.

\experience{Diffraction des électrons par du graphite}{}{}{
On fait ici en fait l'expérience de Debye et Scherrer. On a à l'ordre 1 On a $\lambda_{DB} = 2d \sin( \theta) \approx \frac{dD}{2L}$, ce qui donne :
\[
\frac{1}{D} = d \frac{\sqrt{2meU}}{2hL}
\]
Remonter aux 2 d différents.
} 

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{Davisson.PNG}
\end{center}

\transition{Il nous faut un formalisme pour décrire cette nouvelle onde}

\section{Description ondulatoire de la matière}
On décrit une particule de masse m à un instant t par une fonction d"onde complexe $\psi (x,t)$. Mais la question qui se pose alors c'est : comment interpréter cette objet mathématique que l'on introduit ?

\subsection{Expérience des fentes d'Young}
Afin de nosu aider dans cette démarche, nous allons parler d'une autre expérience qui est celle des interférences. Pour cela, le montage le plus connu est les fentes d'Young.

\important{\url{http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/quantique/quantique.htm} askip c'est bien mais ça marche que sous certains navigateurs.}

On observe bien des interférances, comme pour des ondes... mais en fait cela signifie que les chances de voir un électron à certains endroits est nulle quand elle est max à d'autres endroits.

\transition{
Ca donne l'interprétation de Born
}

\subsection{Interprétation de Born}
Born propose une interprétation probabiliste de la fonction d'onde :

\important{La probabilité de trouver la particule dans une petit colume $d^3\vec{r}$ à l'instant t est

\[
d^3P=|\psi (\vec{r},t)|^2 d^3 \vec{r}
\]
}

Ainsi, on peut faire un parallèle avec l'optique : $\psi$ est une amplitude de probabilité là où $\vec{A}$ est une amplitude de champ et $|\psi|^2$ est une densité de probabilité là où $I=|\vec{A}|^2$ est l'intensité. Ainsi, on peut interpréter les expériences des fesntes d'Young comme la surperposition de deux ondes $\psi_1$ et $\psi_2$ qui interfèrent. Cette interprétation impose :

\[
\int |\psi (\vec{r},t)|^2 d^3 \vec{r} = 1
\]

On voit donc que la fonction d'onde à une dimension et qu'elle est homogène à $L^{-3/2}$ (parce qu'on est ici en 3D).

Deux fonctions ne différenciant que par une phase représentent le même état physique ! Les fonctions d'ondes sont donc définis à une phase complexe prêt.

\transition{
Maintenant que nous avons introduit l'objet physique à étudier, il nous reste à connaitre son évolution temporelle
}

\section{Dynamique d'une fonction d'onde}
\subsection{Equation de Schödinger}
Une particule dans un potentiel $V(\vec{r},t)$ vérifie l'équation de Schrödinger :

\[
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \Delta \psi + V \psi
\]

Cette équation est un postulat de la mécanique quantique et par conséquent ne se démontre pas.

\begin{itemize}
 \item Cette équation est linéaire, ce qui signifie que l'on peut superposer les solutions
 \item La dérivée première en temps en fait une équation irréversible
 \item On peut remarquer une certaine analogie avec la diffusion même si les fonctions ainsi que l'équations sont complexes
\end{itemize}

\subsection{Particule libre}
Comme on l'a dit, cette équation est linéaire, ce qui suppose que l'analyse de Fourier est applicable. Essayons d'analyser la propagation d'une particule libre sous forme d'onde plane. L'équationde Schrödinger donne :

\[
i \hbar (-i \omega) = \frac{\hbar^2}{2m} k^2 = \frac{p^2}{2m}
\]

On retrouve donc $E= \hbar \omega$ en utilisant $p= \hbar k$ la relation de De Broglie. On peut aussi obtenir la vitesse de groupe et la vitesse de phase :

\[
\begin{array}{c}
v_{\Phi}= \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar^2}{2m} \\
v_{g}= \frac{d \omega}{dk} = \frac{\hbar^2}{m}
\end{array}
\]

La propagation est donc dispersive ! La fonction d'onde se met donc sous la forme $\psi = e^{i(\omega t - kx)}$, ce qui n'est pas une solution acceptable car elle n'est pas normalisable ! Comme pour les ondes dans les autrds domaines, il faut donc considérer un paquet d'onde.

\subsection{Paquet d'onde et incertitude d'Heisenberg}
\livre{Perez, p109}

On peut néanmoins montrer qu'un tel paquet d'onde est soumis au principe d'incertitudes d'Heisenberg :

\[
\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}
\]

Cela signifie que la position ou l'impulsion d'une particule ne peut pas être connue avec une précision infinie. Cela se ressent bien évidement dans le paquet d'onde car son étalement spatial et impulsionnel doivent donc respecter cette inégalité.

\textbf{ODG :}
\begin{itemize}
 \item Pour un objet macroscopique, on peut connaitre sa position à quelques nanomètres près donc $\Delta x \approx 10^{-9}$. Cela donne $\Delta v \geq 5.10^{-17} m.s^{-1}$, ce qui est bien plus précis que ce que permet nos capteurs ! 
 \item Retour sur l'expérience des fentes ? \livre{Perez p 111}
\end{itemize}

Insister sur le fait que c'est pas juste une histoire d'incertitudes expérimentales.

\subsection{Si y'a le temps : le puit infini ?}
\livre{Basdevant}

On se place ici à une seule dimension avec un puit infini de potentiel. On peut réécrire l'équation de Schrödinger :
\[
\frac{d^2 \psi}{dx^2}(x)+\frac{2m}{\hbar^2}(E-V(x)) \psi(x)=0
\]
On considère un potentiel de la forme suivante :

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{puit_infini.eps}
\end{center}
\end{figure}

On remarque alors que l'on a la même équation et les mêmes conditions limites que pour la corde de la melde avec cette fois $k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$. On en déduit $kL=n \pi$ donc $\psi (x)=\sqrt{\frac{2}{L}} sin \left( \frac{n \pi x}{L} \right)$ avec la condition de normalisation. On trouve donc bien une énergie quantifiée :

\important{
\begin{center}
$E_n=n^2 \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2} $ avec $n \in \mathbb{N}^*$
\end{center}
}

L'analogie avec la corde de Melde peut être résumée dans le tableau suivant :

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{Campar_Melde.JPG}
\end{center}
\end{figure}

On voit bien que la quantification vient donc de l'aspect ondulatoire de la lumière.

\section*{Questions}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Questions1.PNG}
\end{center}

\begin{itemize}
 \item Lorsqu'on la mesure, on la force à passer par une des deux fentes. C'est comme si on localisait tout notre faisceau lumineux sur un trou. Finalement, en mesurant , on a la même chose qu'avec 2 rayons lumineux (1 pour chaque trou). Le fait de mesurer localise spatialement la fonction.
 \item Incertitudes d'Heisenberg qui force une délocalisation spatiale. En méca classique, elle est souvent négligeable.
 \item Particule libre : V=0
 \item Si les trous sont trop écartés on a rien j'imagine. Faut que la distance entre les deux trous soit de l'ordre de $\Delta x$
 \item Plus grosses particules : 50 atomes de carbones en forme de sphère
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Questions2.PNG}
\end{center}

\begin{itemize}
 \item la longueur de cohérence ?
 \item Contrairement à la mécanique classique, la particule sort un peu du puit.
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Questions3.PNG}
\end{center}

\begin{itemize}
 \item même chose que Fente d'Young
 \item Message à transmettre : tout est une onde. Attention, l'aspect ondulatoire ne se voit pas forcément
 \item Plusieurs anneaux car plusieurs plan possibles. Des anneaux par isotropie de l'échantillon.
 \item Impulsion et temps
 \item Impulsion lié à longueur d'onde et TF
\end{itemize}

\section*{Remarques}
\begin{itemize}
 \item
\end{itemize}




\end{document}
