\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP46 Propriétés macroscopiques des corps ferromagnétiques}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{MONNET Benjamin}{}{}{}



\subsection*{Niveau : L3}



\subsection*{Commentaires du jury}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.85]{Commentaires.PNG}
\end{center}


\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{EM4}, \textbf{BFR}  & La base du cours\\ 
\textit{Électrotechnique PSI}, \textbf{Le Bréal} & Cycle d'hystérésis \\
\textit{Magnétisme I et II}, \textbf{Trémolet} & Pour compléter
\end{tabular} 
\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Équations de Maxwell
 \item Électronique
 \item Paramagnétisme
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item  
	\end{itemize}
\end{minipage}



\tableofcontents
\pagebreak




\section*{Introduction}
Nous avons déjà pu parler dans de précédentes leçons de corps paramagnétiques, dont les moments magnétiques s'alignent avec le champ magnétique et des corps diamagnétiques, dont les moments magnétiques s'orientent dans le sens inverse. Néanmoins, dans les deux cas, l'existence d'une aimantation nécessitait la présence d'un champ extérieur. Ces deux types de magnétisme n'expliquent donc pas qu'ils puissent exister des aimants permanents comme on connait.

\hspace{7mm}

Nous allons donc introduire dans ce cours la notion de matériau ferromagnétique ainsi que leurs caractéristiques, afin de comprendre comment il est possible d'obtenir des aimantation permanentes.

\section{Description du ferromagnétisme}
\subsection{Équations de Maxwell}
On rappelle que l'on a déjà vu que les équations de Maxwell dans les milieux magnétiques s'écrivent en statique :

\[
\begin{array}{c}
div \vec{B}=0 \\
\vec{rot} \vec{H}= \vec{j}_{libres} \\
\vec{H}= \frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}
\end{array}
\]

$\vec{H}$ est le \textbf{vecteur d'excitation magnétique}, de même unité que l'aimantation $\vec{M}$ : A.m$^{-1}$. Dans l'état actuel des choses nous avons :
\begin{itemize}
 \item 6 équations (1+2+3)
 \item 9 inconnues
\end{itemize}

Le système n'est donc pas fermé et on ne peut pas le résoudre. Il faut donc rajouter une \textbf{relation constitutive}

\subsection{Relation constitutive}
L'aimantation $\vec{M}$ variant avec l'excitation magnétique $\vec{H}$, on peut donc poser une relation constitutive de la forme :

\[
\vec{M} = \chi_m (\vec{H}) \vec{H}
\]

\begin{itemize}
 \item Pour rappel, dans le cas des matériaux paramagnétiques et diamagnétiques, nous avons vu que le susceptibilité magnétique $\chi_m$ était indépendante de $\vec{H}$. Pour un matériau paramagnétique, $\chi_m>0$ et $\chi_m \approx 10^{-3}-10^{-6}$. Pour un matériau diamagnétique, $\chi_m<0$ et $\chi_m \approx 10^{-6}-10^{-9}$
 \item Pour les ferromagnétiques, $\chi_m$ dépend de l'excitation magnétique et sa valeur est beaucoup plus important : Fer $\chi_m=200$, Ni $\chi_m=114$, Permalloy (alliage) $\chi_m=100 000$
\end{itemize}

La relation entre $\vec{M}$ et$\vec{H}$ n'étant plus linéaire, on peut avec $\vec{M} \neq \vec{0}$ alors que $\vec{H}=\vec{0}$ ! On voit donc qu'il est possible d'avoir des aimants permanents. Finalement, on va la relation constitutive que l'on vient de poser, on peut réécrite $\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}$ :

\[
\vec{B}=\mu \vec{H} ~~\text{avec}~~ \mu=\mu_0(1+\chi_m) ~~\text{la perméabilité}
\]

\transition{On voit alors une forte analogie avec l'électrostatique dans les milieux diélectriques où l'on avait introduit la permittivité électrique.}

\subsection{Réluctance magnétique}
\livre{Tremolet II p137}

\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c}
Relation & Electrique & Magnétisme \\ \hline
Relation constitutive & $\vec{j} = \sigma \vec{E}$ & $\vec{B}=\mu \vec{H}$ \\
Flux & $i=\int_S\vec{j}.\vec{dS}$ &  $\Phi = \int_S \vec{B}.\Vec
dS$ \\
Potentiel & $U=\oint \vec{E}.\vec{dl}$ & $C=\oint \vec{H}.\vec{dl}$ \\
Loi macroscopique & $U=Ri$ & $C=R_m\Phi$ \\
Résistance, réluctance & $R= \int_C \frac{dl}{\sigma S}$ & $R_m=\int_C \frac{dl}{\mu S}$ \\
\end{tabular}
\end{center}

Les lignes de champs suivent donc le chemin de moindre réluctance. Autrement dit, un matériau ferromagnétique canalise les lignes de champs !

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{lignes.PNG}
\end{center}

\transition{Maintenant que l'on a posé les bases théoriques du modèle, on aimerait pouvoir remonter à l'évolution de $\vec{B}$ et/ou $\vec{M}$ en fonction de $\vec{H}$, dont le comportement est pilotée par $\chi_m$.}

\section{Aimantation d'un matériau ferromagnétique}
\subsection{Cycle d'hystérésis}
Il nous faut donc un montage capable de mesurer les deux grandeurs qui nous intéressent. Pour cela, on utilise le montage suivant :

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{montage.PNG}
\end{center}

Au primaire, avec le théorème d'Ampère, on obtient :

\[
\int_C \vec{H}.\vec{dl}=i_{enlacé} \Leftrightarrow H= \frac{N_1}{rl}u
\]

Avec la tension $u$, on remonte donc à l'excitation magnétique ! Dans le secondaire, on a dans un premier temps avec la loi de Faraday :

\[
V_e=-\frac{d\Phi}{dt}=-N_2S\frac{dB}{dt}
\]

Et donc, après l'intégrateur :

\[
V_s=\frac{N_2S}{RC}B +V_s(B=0)
\]

On peut donc remonter aux deux grandeurs qui nous intéressent !

\experience{Tracé d'un cycle d'hystérésis}{Duffait ?}{}{
\begin{itemize}
 \item \textbf{Bien expliquer} le montage : où est le primaire, le secondaire, ect...
 \item Justifier le choix de la fréquence
 \item Pour un acier dur on a $B_r \approx 0.2 T$ et $H_c \approx 10 000 A/m$
 \item On montre en mode XY (oscillo ou Latis pro ?)
\end{itemize}
}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{hysteresis.PNG}
\end{center}

On introduit le notion d'hytérèse, de \textbf{champ rémanent}, qui explique l'existence d'aimant permanent, de \textbf{champ coercitif}, d'\textbf{aimantation rémanente et à saturation}.

On distingue alors deux catégories de ferromagnétiques :
\begin{itemize}
 \item \textbf{Les matériaux doux :} faible champ coerxitif, $H_c \leq 100$ A/m. Exemple : Fe, Si 3\%. Il est facile d'en modifier l'aimantatoon.
 \item \textbf{Les matériaux durs :} fort champ coercitif. Il est difficile de leur enlever leur champ rémanent.
\end{itemize}

\subsection{Aspects énergétiques}
\livre{Précis p64}

On va montrer que la présence d'un cycle d'hystérésis donne lieu à des pertes énergétiques. La puissance consommée au primaire vaut :

\[
P=ui=\left( ri-N_1 \frac{d\Phi}{dt} \right) i
\]

Avec les expression précédentes, on a :

\[
i= \frac{lH}{N_1} ~~ N_1 \frac{d\Phi_1}{dt}=N_1 S \frac{dB}{dt}
\]
On trouve donc en puissance moyenne :

\[
\langle P\rangle = \frac{1}{T} \int_0^TR_1i^2dt+lS\frac{1}{T}\in_0^TH(t)dB(t)
\]

\begin{itemize}
 \item Le premier terme est la puissance dissipée par \textbf{effet Joule}
 \item Le deuxième terme est un terme de perte fer et est relié à l'aire du cycle d'hystérésis
 \item Attention, tout n'est pas pris en compte dans ses calculs. Il y a en réalité aussi des pertes par courants de Foucault qui dépendent de la fréquence ! Plus la fréquence est élevée, plus les pertes sont élevées. (Ce sont des pertes fer)
\end{itemize}

Par conséquente, on utilise des ferromagnétiques durs pour faire des aimants permanents. Mais pour des utilisations industrielles (transformateur par exemple), on utilise des ferromagnétiques doux pour limiter la perte par hystérésis.

\subsection{Interprétation mésoscopique}
L'interprétation du ferromagnétisme est basée sur l'hypothèse du physicien français Pierre Weiss, qui suppose en 1907 qu'un matériau ferromagnétique est divisé en domaines appelés \textbf{domaine de Weiss}. Chacun de ses domaines  est aimanté : tous les dipôles qu'il contient sont aimantés dans le même direction. Ces domaines sont le résultat de la compétition de 2 énergies :

\begin{itemize}
 \item \textbf{Une énergie volumique :} plus le champ magnétique totale du matériau est frand, plus l'énergie associée est grande. En ayant des orientations différentes, le vecteur $\vec{B}$ résultant est plus faible et donc l'énergie est plus faible.
 \item \textbf{Une énergie surfacique :} les parois entre les différents domaines génèrent des barrières d'énergie.
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{Weiss.PNG}
\end{center}

Lorsque l'on applique un champ extérieur, les domaines de Weiss orientés dans le sens du champ vont s'agrandir, afin de minimiser l'énergie.

\begin{itemize}
 \item \textbf{Pour les champs faibles}, ces déplacements sont réversible et si le champ extérieur disparait, l'aimantation du matériau reste nulle
 \item \textbf{Pour les champs forts :} les parois des domaines bougent et rencontrent des impuretés ou des défauts, ce qui rend leur déplacement \textbf{irréversible}. Si le champ magnétique extérieur est éteint, les domaines de Weiss ne reviennent pas à l'état initiale à cause des défauts du cristal.
 \item \textbf{Pour des champs très forts (à saturation) :} tout le matériau est orienté selon le champ extérieur et son aimantation ne peut donc plus augmenter : on est à l'aimantation à saturation.
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{Weiss2.PNG}
\end{center}

\transition{Voyons à quoi peuvent servir les matériaux ferromagnétiques !}

\subsection{Température de Curie}
Il reste une dernière propriété des ferromagnétiques à voir : la température de Curie. C'est la température à laquelle la matériau transite d'un comportement ferromagnétique à une comportement paramagnétique. Cette température est en générale proche des 1000 K.

\experience{Chauffage du clou}{}{}{}

\section{Applications du ferromagnétisme}
\subsection{Modèle du transformateur parfait}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{transfo.PNG}
\end{center}

Le but d'un transformateur des de diviser la tension par une certaine quantité tout en ne perdant pas de puissance. On suppose que le transformateur est parfait, c'est à dire :
\begin{itemize}
 \item Toutes les lignes de champs sont canalisées par le ferromagnétique (c-à-d $\mu \rightarrow \infty$)
 \item La résistance des enroulements en nulle
\end{itemize}

La loi des mailles et la loi de Faraday permettent d'obtenir :

\[
-u_1=e_1=-n_1 \frac{d\Phi}{dt} ~~\text{et}~~ u_2=e_2=N_2 \frac{d\Phi}{dt}
\]

D'où, en égalant les flux :

\[
\frac{u_1}{u_2}=\frac{n_2}{n_1}=m
\]

Puis, avec $\oint \vec{H}.\vec{dl}=n_1i_1-n_2i_2$, $\vec{B}=\mu \vec{H}$ et l'hypothèse $\mu$ infini alors que le flux est fini, donc B est fini, on a H=0 d'où :

\[
\frac{i_1}{i_2}=\frac{1}{m}
\]

Ainsi, la puissance est conservée mais la tension est augmentée ou abaissée.

\experience{Mesure du rapport d'un transformateur}{Bréal}{}{
Bien expliquer.
}

\subsection{Stockage d'informations}
\livre{La physique par les objets quotidiens p.100}

Un disque dur est constitué d'un semble de plateaux recouverts d'une couche ferromagnétique qui stockes les données sous forme binaire. Les têtes d'écriture sont des bobinages miniatures parcourus par un courant électrique : chacune aimante des zones d'un plateau dans un sens ou dans un autre selon le sens du courant. La direction de l'aimantation rémanente donne donc un code binaire. La lecture des données est fondée sur la variation de la résistance d'un circuit placé dans la tête de lecture, provoquée par le changement du sens de l'aimantation des zones visitées. Elle contient un ferromagnétique doux. Le principe utilité pour lire les données est la \textbf{magnétorésistance géante} (GMR) découverte en 1988, qui a valu le prix Nobel à Albert Fert en 2007.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{disque1.PNG}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{disque2.PNG}
\end{center}


\subsection{Paléomagnétisme}
\livre{Trémolet II p397}


\section*{Questions}
\begin{itemize}
 \item 
\end{itemize}

\section*{Remarques}
\begin{itemize}
 \item
\end{itemize}




\end{document}
