\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{MP28 Instabilités et phénomènes non-linéaires}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{MONNET Benjamin}{}{}{}



\subsection*{Niveau : L3}



\subsection*{Commentaires du jury}




\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Nom du bouquin}, \textbf{auteur}\footnotemark  & A quoi ser ce livre ? \\ 
\end{tabular}

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item 
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{Expériences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item  
	\end{itemize}
\end{minipage}



\tableofcontents
\pagebreak




\section*{Introduction}

\section{Le pendule pesant}
\subsection{Calibration du dispositif}
L'équation du pendule est :

\[
\ddot{\theta} + \omega_0^2 \theta =0
\]

qui est non linéaire. Néanmoins, on connait des positions d'aquilibre d'un tel système :
\begin{itemize}
 \item $\theta=0$ : équilibre stable
 \item $\theta = \pi$ : équilibre instable.
\end{itemize}

Afin de pouvoir étudier l'angle du pendule pesant, il nous faut un système qui permette de remonter à cet angle. Nous avons pour ça un capteur potentiométrique dont la tension en sortie est reliée à l'angle du pendule. Afin de remonter à l'angle du capteur, il faut la caractéristique $U=f(\theta)$

\experience{Linéarité du capteur}{}{}{
On mesure la tension en sortie à l'aide d'un multimètre pour différents angles afin de vérifier la linéarité et on trace U=f($\theta$). On vérifie qu'un modèle linéaire est pertinent.
}

\subsection{Formule de Borda}
Afin d'observer des non-linéarité dans notre étude, il va falloir étudier le pendule aux grands angles. En développant le sinus, on peut montrer que la période se met sous la forme

\[
T=T_0 \left( 1 + \frac{\theta^2}{16} \right)
\]

qui correspond à l'équation différentielle :

\[
\ddot{\theta} + \omega_0^2 \left( \theta - \frac{\theta^3}{6} \right) =0
\]

On remarque par ailleurs qu'avec le terme en $\theta^3$, on s'attend à voir apparaitre une pulsation à $3 \omega$ dans le signal. En poussant encore plus loin le développement, on peut montrer que la période s'écrit :

\[
T=T_0 \left( 1 + \frac{\theta^2}{16} + \frac{11}{3072} \theta^4 \right)
\]

On remarque alors une perte d'isochronisme qui est un phénomène typique de la non-linéarité : la période dépend de l'amplitude.

\experience{Formule de Borda}{Jolidon}{}{
\underline{Matériel} : pendule pesant P79.14 et oscilloscope.

Il y a ensuite deux méthodes défférentes pour remontrer à la formule de Borda.
\begin{itemize}
 \item On exploite la perte d'énergie du pendule pour remonter à $T=f(\theta)$ en une seule acquisition longue avec le code suivant :
 
 lisser la courbe et la centrer autour de zéro : thetaL = Lissage(theta) - Moy(theta)
 
Détection de l’enveloppe des amplitudes d’oscillations, c’est-à-dire les maxima locaux supérieurs à 0,1 radian par exemple :
Env = CreteMaxi(thetaL;0.1)

Repérage des temps de passage par zéro : Tpas = Seuil(thetaL;0;1)

Création d'un vecteur rampe pour dériver les variables : n = Rampe(1;10000;10000)

Calcul la période entre deux passages par zéro en dérivant : Tper = Deriv(Tpas;n)

 \item Ou alors plus précis : on fait des acquisitions pour différents angles (demander aux techniciens). Bien penser aux incertitudes.
\end{itemize}
}

\remarque{Ne pas oublier que les frottements peuvent fortement impacter les mesures, en particulier aux grands angles.}

\subsection{Enrichissement du spectre}
On peu tracer le portrait de phase. Pour les petits angles, on voit que la trajectoire est une belle ellipse et si on regarde la FFT : on a une seule pulsation. Néanmoins , aux angles plus grand, l'ellipse s'applatit et on voit une pulsation à $3 \omega$ apparaitre.

\transition{
Après avoir vu quelques caractéristiques de la non linéarité, nous allons maintenant voir comment en générer dans le domaine électrique.
}


\section{Oscillateur de Van der Pol}
\subsection{Présentation du Van der Pol et principe}
\livre{Krob, p167}

Un oscillateur de Van der Pol est un oscillateur non linéaire suivant l'équation différentielle

\[
\ddot{s} - \epsilon \omega_0 \left(1-\frac{s^2}{s_0^2} \right) \dot{s} + \omega_0^2 s = 0
\]

Cette équation non linéaire à un comportement déterminé par le préfacteur $\epsilon \omega_0 \left(1-\frac{s^2}{s_0^2} \right)$. Si $s<s_0$, alors on a croissance des oscillations et si $s>s_0$, on a décroissance.

\remarque{Si $\epsilon$ est négatif, alors le point $s=\frac{ds}{dt}=0$ est toujours stable et l'oscillateur ne se lancera pas.}

\subsection{L'élément non-linéaire}
Afin de fonctionner, l'oscillateur de Van der Pol a besoin d'un élément non-linéaire. Il correspond à l'assemblage suivant :

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{NL.PNG}
\end{center}

On a alors :

\[
s= \alpha e  + \beta e^3
\]

\experience{Caractéristique de l'élément non-linéaire}{Krob, p169}{}{
Après avoir alimenter l'élément non liéaire (P42.46), in met en entrée un signal d'amplitude 3V et de fréquence 100Hz puis on relève entrée et sortie sur Latis-Pro. Un ajustement permet ensuite de remontrer à $\alpha$ et $\beta$.
}

\subsection{Démarrage des oscillations : bifurcation}
Le Van der Pol se construit de la manière suivante :

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{VdP.pdf}
\end{center}

On peut alors montrer que l'équation différentielle suivie par s est la suivante :

\[
\ddot{s} + \frac{1}{C_1} \left( \frac{\alpha}{R_{NL}}+\frac{1}{R_{C1}} \right)\omega_0 \left( \frac{s^2}{s_0^2} \right) \dot{s} + \frac{1}{R_1R_2C_1C_2}s=0
\]

avec 

\[
\begin{array}{c}
s_0=2\sqrt{-\frac{\alpha}{3\beta}-\frac{R_{NL}}{3\beta R_{C1}}} \\
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}} \\
\epsilon = - \sqrt{\frac{R_1R_2C_2}{C_1}} \frac{\alpha R_{C1}-R_{NL}}{R_{C1}R_{NL}} \\
\end{array}
\]

Comme dit précédement, les oscillations ne peuvent apparaitre que si l'on a $\epsilon >0$ et donc $R_{NL} < \alpha R_{C1}$.

\experience{Bifurcation et valeur limite}{Kbrob}{}{
\textbf{Attention au sens de l'élément NL.}

On utilise les valeurs p172 du Krob. On cherche la valeur limite de $R_{NL}$ (vers 20/25 k$\Omega$). On peut tracer le portrait de phase et montrer l'enrichissement spectral. On peut voir en débranchant, rebranchant la convergence vers un cycle limtite.
}

\subsection{Vérification de l'amplitude}

\experience{Amplitude}{Krob}{}{
On mesure $s_0^2=f(R_{NL})$. Penser aux incertitudes !
}

\section{Multiplication des points d'équilibre}

\experience{Double puit}{}{}{
Dédoublement des points fixes à l'aide des aimants. \textbf{A essayer}
}


\section*{Questions}
\begin{itemize}
 \item 
\end{itemize}

\section*{Remarques}
\begin{itemize}
 \item
\end{itemize}




\end{document}
