Invariants ℓ^{2} de relations d’équivalence et de groupes

par Damien GABORIAU

Unité de Mathématiques Pures et Appliquées (UMPA), Unité Mixte de Recherche CNRS 5669 46, allée d’Italie 69364 Lyon cedex 07, France damien.gaboriau@umpa.ens-lyon.fr http://www.umpa.ens-lyon.fr/∼gaboriau/

0 Introduction

On s’intéresse à une étude géométrico-ergodique des groupes discrets dénombrables, en particulier aux liens entre les nombres de Betti ℓ^{2} des groupes et leurs actions mesurables préservant une mesure. On en déduit d’une part des résultats sur la classification des relations d’équivalence standard et d’autre part des résultats sur les nombres de Betti ℓ^{2} des groupes.

Les nombres de Betti ℓ^{2} ont été introduits par M. Atiyah [Ati76] dans un contexte d’actions de groupes cocompactes sur des variétés et en termes de noyau de la chaleur. J. Cheeger et M. Gromov [CG86] ont considérablement étendu les notions, en introduisant la cohomologie ℓ^{2} singulière pour les actions topologiques et en permettant, entre autre, de définir la suite β_{n}(Γ) des nombres de Betti ℓ^{2} pour un groupe dénombrable Γ quelconque. On peut consulter [Gro93, part. 8] pour une multitude de résultats et de questions sur la cohomologie ℓ^{2} et [Lüc98, Eck00] pour une introduction à la cohomologie ℓ^{2} des actions cocompactes sur des CW-complexes ou [Lüc98a] et [Lüc98b] pour une approche alternative. Dans le contexte des feuilletages mesurés, les nombres de Betti ℓ^{2} ont été introduits par A. Connes dans [Co79].

Soit (X, B, μ) un espace borélien standard, muni d’une mesure de probabilité (μ(X) = 1) sans atome. Une action α d’un groupe dénombrable discret Γ sur (X, B, μ), préservant la mesure, produit une relation d’équivalence R_{α} ⊂ X × X borélienne :

R_{α} := {(x, y) ∈ X × X : α(Γ)(x) = α(Γ)(y)}.

Une telle relation d’équivalence est dite dénombrable standard (voir section 1.3). Dans ce contexte mesurable, les ensembles de mesure nulle sont négligés ; ainsi deux relations R_{1} sur (X_{1}, μ_{1}) et R_{2} sur (X_{2}, μ_{2}) sont isomorphes (ou identifiées) s’il existe deux boréliens saturés de mesure totale X′_{1} ⊂ X_{1} et X′_{2} ⊂ X_{2} et un isomorphisme borélien f : X′_{1} → X′_{2}, qui envoie μ_{1} sur μ_{2}, tel que pour tout x, y ∈ X′_{1}, (xR_{1}y) ⇔ (f(x)R_{2}f(y)).

On considère toujours des actions préservant la mesure μ. Une question générale est de savoir la quantité d’information concernant α et Γ qu’on peut retrouver dans R_{α}. En particulier, quels sont les groupes qui peuvent produire les mêmes relations d’équivalence ?

H. Dye a découvert que pour Γ ≃ ZZ, le groupe des entiers, tout ce qui concerne α est effacé : toutes les actions ergodiques du groupe ZZ sur (X, μ) sont orbitalement équivalentes entre elles [Dye59]. Une suite de travaux menés par plusieurs auteurs (notamment H. Dye, A. Connes, J. Feldman, W. Krieger, A. Vershik...) conduit au théorème de D. Ornstein et B. Weiss [OW80] (voir aussi [CFW81]) : si Γ_{1} et Γ_{2} sont deux groupes moyennables infinis, alors toute action ergodique de Γ_{1} est orbitalement équivalente à toute action ergodique de Γ_{2}. L’unique relation d’équivalence produite est caractérisée par le fait qu’elle est limite croissante de relations d’équivalence boréliennes à classes finies.

Si les orbites sont infinies (i.e. dans toutes les situations non triviales), l’espace des orbites ne possède pas de structure borélienne agréable (penser à l’action sur le cercle d’une rotation d’angle irrationnel). En particulier, il n’existe pas de domaine fondamental qui soit mesurable : on ne peut pas choisir mesurablement un point par orbite. La notion suivante donne un sens au fait que deux relations définissent le même espace des orbites ; l’idée étant d’abord, qu’une relation d’équivalence borélienne R a le même espace des orbites que la relation d’équivalence borélienne R_{|A} := R ∩ A × A induite de R sur un borélien A qui rencontre presque toutes les classes.

Une relation R_{1} sur (X_{1}, μ_{1}) est stablement orbitalement équivalente (SOE) à R_{2} sur (X_{2}, μ_{2}) s’il existe des boréliens A_{1} ⊂ X_{1} et A_{2} ⊂ X_{2}, qui rencontrent chaque orbite, tels que les relations induites R_{1|A_{1}} et R_{2|A_{2}} s’identifient par un isomorphisme borélien entre A_{1} et A_{2} qui préserve la mesure à une constante multiplicative près. Le rapport c(R_{1}, R_{2}) = μ_{2}(A_{2})/μ_{1}(A_{1}) est appelé constante de compression de l’équivalence orbitale stable.

On doit rapprocher cela d’une notion introduite par M. Gromov [Gro93, 0.5.E] et étudiée par A. Furman [Fur99a, Fur99b], qui est un analogue ergodique de la quasi-isométrie des groupes : une équivalence mesurable de Γ_{1} à Γ_{2} est un espace borélien standard de mesure infinie (Ω, m) muni d’actions libres commutantes préservant la mesure de Γ_{1} et Γ_{2}, où chacune des deux actions admet un domaine fondamental B_{1} (resp. B_{2}) de mesure finie. On dit alors que Γ_{1} est ME à Γ_{2}, avec constante de compression c = m(B_{2})/m(B_{1}). ME est une relation d’équivalence sur l’ensemble des groupes et l’exemple standard de deux groupes ME est donné par deux réseaux d’un groupe G localement compact à base dénombrable qui agissent sur G par multiplication respectivement à gauche et à droite. On a l’équivalence :

Proposition 6.2 (voir aussi [Fur99b]) Γ_{1} est ME à Γ_{2}, avec constante de compression c si et seulement si Γ_{1} et Γ_{2} admettent des actions libres préservant une probabilité dont les relations d’équivalence associées sont SOE avec constante de compression c.

Le théorème d’Ornstein-Weiss déjà cité montre que tous les groupes moyennables infinis sont dans la même classe de ME que ZZ. La propriété (T) de Kazhdan est un invariant de ME [Fur99a, th. 8.2] et les travaux combinés de F. Furman et R. Zimmer montrent que pour un groupe de Lie simple de rang supérieur, la collection de tous ses réseaux (modulo groupes finis) constitue une classe de ME (voir [Fur99a] pour plus de détails).

Énoncé des résultats

Théorème 6.3 Soient Γ_{1} et Γ_{2} deux groupes discrets dénombrables. Si Γ_{1} est ME à Γ_{2}, alors ils ont des nombres de Betti ℓ^{2} proportionnels : pour tout n ∈ IN,

β_{n}(Γ_{1}) = c.β_{n}(Γ_{2}),

où c est la constante de compression de l’équivalence mesurable de Γ_{1} à Γ_{2}.

Notons qu’il n’y a pas d’hypothèse d’ergodicité. Le théorème 6.3 généralise (et sa preuve utilise) le cas particulier c = 1 :

Théorème 3.12 Si deux groupes ont des actions libres préservant une probabilité qui produisent la même relation d’équivalence alors ils ont les mêmes nombres de Betti ℓ^{2}.

On retrouve en particulier, avec une preuve d’esprit différent (et plus compliquée !), un théorème de Cheeger-Gromov (en effet, Γ produit la même relation qu’une action de ZZ pour lequel le résultat est facile)(voir aussi [Eck00]) :

Corollaire 0.1 ([CG86, th. 0.2]) Si Γ est moyennable infini, alors tous ses nombres de Betti ℓ^{2} sont nuls.

Le corollaire suivant du th. 6.3 est bien connu dans le cas des groupes de Lie ou dans le cas des groupes discrets (il s’agit alors de la formule donnant les nombres de Betti ℓ^{2} pour les sous-groupes d’indice fini).

Corollaire 0.2 Les nombres de Betti ℓ^{2} des réseaux d’un même groupe localement compact à base dénombrable sont dans le même rapport que les covolumes. Il en est de même en particulier de leurs caractéristiques d’Euler virtuelles (lorsqu’elles sont définies).

On obtient des résultats de rigidité par exemple pour des produits de groupes libres.

Corollaire 0.3 Les groupes de la forme F_{p_{1}} × F_{p_{2}} × ⋯ × F_{p_{ℓ}}, p_{j} ≥ 2 sont dans des classes de ME distinctes pour des valeurs distinctes de ℓ. Les groupes libres F_{p} de rang distincts et les groupes de la forme (F_{m} × F_{n}) ∗ F_{k} pour différents k et (m − 1) · (n − 1) produisent des actions libres toutes non orbitalement équivalentes (pour m, n, p, k > 1).

En effet, les β_{j} sont tous nuls sauf β_{ℓ} = ∏_{j=1}^{ℓ}(p_{j} − 1), resp. β_{1} = p − 1, resp. β_{1} = k, β_{2} = (m − 1) · (n − 1). Il est intéressant de comparer ce corollaire aux problèmes difficiles analogues concernant les facteurs (algèbres de von Neumann) des groupes libres.

On obtient aussi de nouveaux résultats de rigidité en rang 1 (puisque les nombres de Betti ℓ^{2} des groupes mis en jeu sont tous nuls sauf exactement en dimension moitié de l’espace symétrique associé, voir aussi 1.6) :

Corollaire 0.4 Si deux réseaux de Sp(n, 1) et Sp(p, 1) sont ME, alors p = n. Si deux réseaux de SU(n, 1) et SU(p, 1) sont ME, alors p = n. Si deux réseaux de SO(2n, 1) et SO(2p, 1) sont ME, alors p = n.

M. Cowling et R. Zimmer ont montré ce résultat dans Sp(n, 1), avec constante de compression c = 1 [CZ89, th. 1.1(a)]. On peut évidemment décliner ces exemples à l’infini. Signalons toutefois l’exemple suivant, qu’il est intéressant de comparer et de combiner avec [CZ89, th. 1.1(b)], où les rigidités mises en jeu sont de natures différentes et où le résultat concerne le produit uniquement des 2m_{i} − 1 :

Corollaire 0.5 Considérons des groupes de Lie de la forme ∏_{i∈I} Sp(m_{i}, 1) × ∏_{j∈J} SU(n_{j}, 1) × ∏_{k∈K} SO(2p_{k}, 1), où I, J, K sont des ensembles finis et les m_{i}, n_{j} ≥ 2 et p_{k} ≥ 1. Si dans de tels groupes de Lie G et G′, on a deux réseaux Γ et Γ′ (irréductibles ou non) qui sont ME, alors les quantités ∑_{i∈I} 2m_{i} + ∑_{j∈J} n_{j} + ∑_{k∈K} p_{k} sont égales pour G et G′.

Rappelons que les résultats de superrigidité des cocycles pour les réseaux des groupes de Lie de rang réel ≥ 2 ne s’appliquent pas ici puisqu’ils nécessitent la simplicité du groupe de Lie (cf. [Zim84, cor. 5.2.2, rem. pp.97–98, Ex. 5.2.12]).

Le cas de SO(n, 1) pour n impair est un peu plus délicat, dans la mesure où ses réseaux ont tous leurs nombres de Betti ℓ^{2} nuls.

Corollaire 6.9 Si deux réseaux de SO(n, 1) et SO(p, 1) sont ME, alors n et p ont même parité. Si deux réseaux de SO(2n + 1, 1) et SO(2p + 1, 1) sont ME, avec p ≤ n, alors n ≤ 2p.

La preuve de la deuxième assertion de ce corollaire m’a été suggérée par B. Okun.

On retrouve aussi un certain nombre des résultats de [Gab00a], notamment : si deux groupes libres de rangs p et q ont des actions libres qui produisent la même relation d’équivalence, alors p = q [Gab00a, cor. 1, p.44]. L’outil principal était la notion, introduite par G. Levitt [Lev95], de coût des graphages et des relations d’équivalence. Un graphage (voir [Gab00a] et ex. 2.2.2) est une manière mesurable de voir chaque classe de la relation R comme ensemble de sommets d’un graphe. Le coût du graphage mesure la quantité d’arêtes et le coût de la relation R est l’infimum des coûts des graphages pour lesquels les graphes associés à chaque orbite sont connexes.

La notion essentielle qu’on introduit dans cet article est celle de structure simpliciale sur une relation d’équivalence R dénombrable standard sur (X, μ) (sect. 2.2.3), déjà évoquée dans [Ada90, def. 1.7] et suggèrée par A. Connes dans les années 70. En première approximation, c’est une manière mesurable de voir chaque classe de R comme ensemble de sommets d’un complexe simplicial. Un graphage en donne un exemple de dimension 1 ; il constitue aussi un 1-squelette dont il s’agit maintenant de boucher des trous. La structure simpliciale est de dimension n (resp. contractile, resp n-connexe...) si le complexe simplicial associé à (presque) chaque orbite satisfait cette propriété.

Un autre exemple fondamental est produit de la façon suivante : considérons d’une part une action libre α de Γ sur (X, μ) et d’autre part une action simpliciale libre sur un complexe simplicial K, avec point base ∗. L’espace X × K est muni de l’action diagonale de Γ. À chaque orbite est associée une copie du complexe K ; à chaque point x est associée une copie \overline{Σ}K_{x} basée en (x, ∗) de (K, ∗). On peut noter l’isomorphisme naturel entre X × Γ.∗ et R donné par Θ(x, γ.∗) = (x, γ^{−1}x). Le 0-squelette (X × K^{0}) s’identifie à un nombre de copies de R égal au nombre de Γ-orbites de sommets dans K.

Ce qu’on considère en fait, ce sont certains R-complexes simpliciaux \overline{Σ}, i.e. des champs de complexes simpliciaux x ↦ \overline{Σ}_{x} sur X, sur lesquels R agit (vue comme groupoïde) (cf. section 2).

Certaines relations d’équivalence sont arborables (par exemple celles produites par des actions libres d’un groupe libre) : il est possible d’associer mesurablement à chaque classe une structure d’arbre. D’autres relations ne le sont pas. Par exemple, celles produites par une action libre ergodique d’un groupe infini qui possède la propriété (T) de Kazdhan ([AS90, th. 1.8, lem. 2.1]). De nombreux autres exemples sont fournis par la proposition 6.10 (voir aussi [Gab00a, cor. VI.22]). On réinterprète cela en disant que ces relations admettent ou non des R-complexes simpliciaux de dimension 1 contractiles. De même, on montre que certaines relations n’admettent pas de R-complexes simpliciaux contractile de dimension 2, 3, ...(cor. 3.17).

Une relation R est de dimension n si n est le minimum des dimensions R-complexes simpliciaux contractiles. Les relations produites par les actions libres des groupes du corollaire 0.3 sont de dimensions respectives ℓ, 1 et 2. Une relation d’équivalence possède un arborage si et seulement si elle est de dimension 1. On a montré [Gab00a, th. IV.4] que si une relation R admet un arborage, alors ses sous-relations d’équivalence standard en admettent aussi un, de même que les relations qui lui sont SOE. De manière comparable, on montre :

Proposition 5.8 Les sous-relations d’une relation de dimension ≤ p sont de dimension ≤ p.

Proposition 5.2 Les relations SOE sont de même dimension.

On introduit la notion de dimension ergodique erg-dim(Γ) d’un groupe Γ (déf. 6.4). C’est le minimum des dimensions des relations d’équivalence produite par une action de Γ libre préservant la probabilité sur le borélien standard (X, μ). Dans l’esprit d’une classification des groupes modulo ME, on montre que la dimension ergodique des groupes est un invariant de ME (prop. 6.5). On obtient :

Corollaire 5.9 La dimension ergodique d’un groupe est supérieure ou égale à celle de ses sousgroupes.

Question : Quelle est la dimension ergodique des réseaux de SO(n, 1), SU(n, 1), Sp(n, 1) ? Quelle est la dimension ergodique des groupes fondamentaux des variétés compactes acycliques ?

Question : Toutes les actions libres d’un groupe produisent-elles des relations de même dimension ?

Généralisant la “group measure construction” de Murray et von Neumann ([MvN36, part IV, p.192-209]), W. Krieger [Kri70] et aussi J. Feldman et C. Moore [FM77b] ont associé à une relation d’équivalence R, dénombrable standard préservant une mesure de probabilité μ, une algèbre de von Neumann M à trace finie.

On suppose que μ est une mesure de probabilité. Si \overline{Σ} est un R-complexe simplicial, le champs de complexes simpliciaux x ↦ \overline{Σ}_{x} sur X fournit les champs x ↦ C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}_{x}) de chaînes ℓ^{2} associés.

Ils s’intègrent en des modules de Hilbert sur l’algèbre de von Neumann M. Si les complexes sont uniformément localement bornés, les champs d’opérateurs bord s’intègrent en des opérateurs bornés, fournissant ainsi un complexe de modules de Hilbert C_{∗}^{(2)}(\overline{Σ}). On définit les nombres de Betti L^{2} du R-complexe simplicial \overline{Σ} notés β_{n}(\overline{Σ}, R, μ) comme les M-dimensions de von Neumann des homologies L^{2} réduite de ce complexe.

Plus généralement, sans les hypothèses de finitude, on s’inspire des travaux de J. Cheeger et M. Gromov [CG86] pour définir les nombres de Betti β_{n}(\overline{Σ}, R, μ) d’un R-complexe simplicial quelconque. On démontre, et c’est vraiment de cœur de cet article, que :

Théorème 3.13 Tous les R-complexes simpliciaux qui sont p-connexes ont le même nombre de Betti β_{p}.

Cela permet de définir les nombres de Betti L^{2} de la relation R comme cette valeur commune, qu’on note β_{p}(R, μ).

Ces nombres sont bien entendu à rapprocher des nombres de Betti des feuilletages définis par A. Connes [Co79], [Co82, p.549]. Ils s’interprètent dans le cadre de [Co79] comme dimension formelle de certaines représentations hilbertiennes du groupoïde R. On peut montrer par exemple en utilisant une construction de [HL91] la chose suivante. Considérons une variété compacte munie d’un feuilletage mesuré ergodique F à feuilles contractiles. Fixons une mesure transverse invariante et choisissons une transversale totale X de mesure 1. Les nombres de Betti ℓ^{2} (au sens de A. Connes) de F coïncident avec ceux de la relation d’équivalence R engendrée par les applications d’holonomie sur X. En particulier, ces nombres ne dépendent que de la relation R. On peut illustrer cela grâce à un exemple présenté par A. Connes : Considérons un groupe fondamental Γ d’une surface compacte de genre g qui admet une représentation dans SO(3) produisant une action essentiellement libre sur 𝕊^{2} (construction de A. Borel) et une action libre cocompacte de Γ sur le plan hyperbolique ℍ^{2}. Le feuilletage par plans hyperboliques de ℍ^{2} × 𝕊^{2} étant préservé par l’action diagonale de Γ fournit un feuilletage sur ℍ^{2} × 𝕊^{2}/Γ. Ses nombres de Betti ℓ^{2}, ainsi que ceux de la relation donnée par l’action de Γ sur 𝕊^{2}, sont les mêmes que ceux du groupe Γ (cf. cor. 3.16 ci-dessous), à savoir β_{1} = 2g − 2 et β_{i} = 0 pour i ≠ 1.

On peut consulter aussi l’interprétation combinatoire de G. Elek [Ele97] ainsi que l’article de J. Heitch et C. Lazarov [HL91] sur l’invariance homotopique des nombres de Betti des feuilletages.

La principale difficulté qu’on a rencontrée réside dans le fait que les équivalences d’homotopie qu’on doit considérer entre complexes de chaînes ne conduisent pas, en général, à des opérateurs bornés. On est donc amené à travailler sur des approximations. On doit comparer aussi ce résultat aux idées et questions évoquées dans [Gro93, 8.A_{4}, p.233] et au claim qu’on trouve à cette page : soient Γ_{i}, i = 1, 2, qui admettent des actions isométriques, discrètes et cocompactes sur des variétés contractiles M_{1} et M_{2}. Si M_{1} est mesurablement quasi-isométrique à M_{2}, alors les groupes Γ_{1} et Γ_{2} ont leurs nombres de Betti ℓ^{2} proportionnels. L’hypothèse de quasi-isométrie dans ce cas-là conduit à des opérateurs qui sont bornés.

On démontre aussi qu’on peut calculer les nombres de Betti de certaines relations :

Corollaire 3.16 Si R est produite par une action libre de Γ, préservant la mesure de probabilité, alors Γ et R ont les mêmes nombres de Betti ℓ^{2}.

Dans l’étude générale des relations d’équivalence dénombrables standard [FM77a], il est naturel de considérer plutôt une classe de mesure (au sens de l’absolue continuité) qu’une mesure. Si on remplace la mesure μ par une mesure équivalente (de probabilité et invariante), on obtient la même algèbre de von Neumann. Seule la trace change. Les nombres β_{n}(\overline{Σ}, R, μ) dépendent du choix d’une mesure invariante dans la classe. Cependant, si R est ergodique (tout borélien R-saturé est de μ-mesure nulle ou totale), il n’existe qu’une seule mesure de probabilité invariante dans la classe. Dans ce cas, on peut supprimer a priori la référence à la mesure choisie. Si R est donnée par une action libre d’un groupe Γ, nos résultats montrent qu’on peut a posteriori supprimer la référence à μ.

Les nombres de Betti ℓ^{2} de la relation d’équivalence R sont des invariant des paires algèbre de von neumann/sous-algèbre de Cartan (voir [FM77b]).

Question : Sont-ils en fait des invariants de l’algèbre de von neumann M ?

On obtient des inégalités de Morse (prop. 3.18), une formule d’Euler-Poincaré-Atiyah (prop. 3.19) et une comparaison entre le coût et les premiers nombres de Betti (cor. 3.22) : C(R) − 1 ≥ β_{1}(R) − β_{0}(R), avec égalité pour les relations arborables.

Proposition 6.10 Supposons que le groupe Γ admet une action libre arborable. Alors β_{n}(Γ) = 0 pour tout n ≥ 2. De plus, Γ est moyennable si et seulement si β_{1}(Γ) = 0.

On obtient aussi :

Corollaire 5.13 Si R est une réunion croissante de relations R_{i} alors β_{n}(R) ≤ lim inf_{i∈IN} β_{n}(R_{i}). En particulier, si R est une réunion croissante de relations de dimension ≤ p, alors β_{n}(R) = 0 pour tout n ≥ p + 1.

Soit R une relation d’équivalence dénombrable standard préservant la probabilité μ et Y (muni de la probabilité μ̄ = μ_{|Y} /μ(Y)) un borélien de X qui rencontre toutes les classes de R. On relie (cor. 5.5) les nombres de Betti L^{2} de la relation R avec ceux de la relation R_{|Y} sur (Y, μ̄) : pour tout n ∈ IN, β_{n}(R) = μ(Y).β_{n}(R_{|Y}). On en déduit pour les relations SOE :

Corollaire 5.6 Si R et S sont deux relations d’équivalence préservant une probabilité, stablement orbitalement équivalentes, avec constante de compression c(R, S), alors pour tout n ∈ IN,

β_{n}(R) = c(R, S).β_{n}(S).

On définit ainsi pour T une relation de type II_{∞} ergodique (voir section 5.4), ses nombres de Betti L^{2}, c’est une suite d’invariants numériques (β̂_{n}(T ))_{n∈IN} qui est bien définie à une constante multiplicative près (déf. 5.15). De nombreux énoncés concernant les relations qui préservent une probabilité et leurs nombres de Betti admettent une adaptation immédiate dans le cadre II_{∞}.

On appelle groupe fondamental d’une relation R le sous-groupe multiplicatif de IR engendré par les valeurs des constantes de compression possibles c(R, R).

Corollaire 5.7 Les relations d’équivalence ergodiques R dont un nombre de Betti n’est pas nul ont un groupe fondamental trivial. C’est le cas des relations d’équivalence produites par les actions libres des groupes dont les β_{p} ne sont pas tous nuls, par exemple les groupes libres non abéliens, les groupes donnés dans les corollaires 0.3 et 0.4...

On parvient avec nos techniques à distinguer les actions de nombreux groupes. Elles ne donnent rien pour séparer du point de vue SOE les différentes actions d’un même groupe. Par exemple, pour le groupe libre à n générateurs, on sait qu’il possède au moins deux actions libres non SOE (trois selon A. Vershik).

Question Peut-on construire une infinité d’actions libres non (OE) du groupe libre à deux générateurs ?

Applications en théorie des groupes

Outre les résultats déjà cités (proportionnalité des nombres de betti ℓ^{2} pour les réseaux, pour les groupe mesurablement équivalents,...) on présente quelques résultats particuliers.

On sait que les nombres de Betti ℓ^{2} des groupes satisfont aux formules de Künneth. La question se pose de savoir dans quelle mesure ces formules se généralisent à des extensions avec certaines condition de finitude. Les résultats de [CG86, th. 0.1 et th. 0.2] entraînent qu’un groupe qui contient un sous-groupe normal infini moyennable a tous ses nombres de Betti ℓ^{2} nuls. Les deux théorèmes suivants généralisent des résultats de W. Lück [Lüc94], [Lüc98b, quest. 3.11, th.3.3(5)] qui eux-mêmes répondent à des questions de [Gro93, 8.A_{4} p.229 et p.235]. Rappelons aussi qu’une majoration du β_{1} apporte des informations sur les présentations du groupe : si Γ est de type fini, alors pour toute présentation à g générateurs et r relations, on a g ≤ 1 + β_{1}(Γ) + r (voir par exemple 3.20 ou [Eck00, th. 4.1.1]).

Théorème 6.6 Soit 1 → N → Γ → Λ → 1 une suite exacte de groupes infinis où Λ est moyennable. Si n est un entier pour lequel β_{n}(N) est fini, alors β_{n}(Γ) = 0.

Et sans l’hypothèse de moyennabilité, il reste :

Théorème 6.8 Soit 1 → N → Γ → Λ → 1 une suite exacte de groupes infinis. Si β_{1}(N) est fini, alors β_{1}(Γ) = 0.

En contraposant, on peut voir ce dernier résultat comme une généralisation du théorème de Schreier sur les sous-groupes normaux des groupes libres : Si Γ est un groupe qui vérifie β_{1}(Γ) ≠ 0 et N est un sous-groupe normal tel que β_{1}(N) soit fini (par exemple N de type fini), alors N est fini ou d’indice fini.

Le cadre unificateur entre groupes et relations d’équivalence est celui des groupoïdes. Étant donné les applications qu’on a en vue et pour éviter des complications techniques, on a préféré se restreindre dans ce papier aux relations d’équivalence. Cependant les résultats analogues à ceux présentés ici fonctionnent pour les groupoïdes r-discrets. Cette étude est en projet.

Signalons que certains invariants de torsion comme par exemple les invariants de Novikov-Shubin (voir par exemple [Lüc98, part. 8]) ne sont pas des invariants de relation d’équivalence : ils ne sont pas identiques pour tous les groupes moyennables infinis.

Signalons enfin les analogies numériques constatées entre la notion de coût d’une relation d’équivalence et la théorie de l’entropie libre et de la dimension libre de D. Voiculescu, ainsi que les travaux de D. Shlyakhtenko visant à asseoir ces liens [Shl99a, Shl99b].

Je remercie Alain Valette qui m’a aiguillé sur les nombres de Betti ℓ^{2} des groupes, en remarquant que pour tous les exemples de groupes Γ où les valeurs sont connues C(Γ) − 1 = β_{1}(Γ) − β_{0}(Γ). Pour leur patience et leurs explications, merci à Gilles Carron, Étienne Ghys et Bruno Sévennec. À Carole, Valentine et Alice.

Plan de l’article

0 Introduction 1

1 Rappels 8 1.1 Algèbres de von Neumann, dimension de von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Algèbre de von Neumann et nombres de Betti ℓ^{2} des groupes . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Relations d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Espaces fibrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Algèbre de von Neumann de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Actions simpliciales d’une relation d’équivalence 15 2.1 Espaces fibrés et actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Actions simpliciales d’une relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 Exemple : le R-complexe simplicial universel . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2 Exemple : graphages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.3 Structure simpliciale sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Nombres de Betti L^{2} d’une relation R 19 3.1 Chaînes L^{2} d’un R-complexe simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Si la structure simpliciale est uniformément localement borné . . . . . . . . . . . . 20 3.3 Dans le cas général (structure simpliciale non nécessairement ULB) . . . . . . . . . 21 3.4 Si R est donnée par une action libre de Γ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.5 Nombres de Betti L^{2} de la relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.6 Inégalités de Morse-Caractéristique d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Démonstrations 25

4.1 Démonstration de la proposition 3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2 Démonstration du théorème 3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3 Démonstration du théorème 3.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.4 Preuve de la proposition 3.18 (inégalités de Morse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Induction, relations SOE, sous-relations, limites 31

5.1 Induction et relations SOE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.2 Sous-relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.4 Relations de type II_{∞} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6 Applications 34

6.1 Équivalence mesurable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.2 Théorèmes d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.3 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1 Rappels

1.1 Algèbres de von Neumann, dimension de von Neumann

On rappelle très brièvement quelques faits généraux concernant les algèbres de von Neumann, les modules de Hilbert et leur dimension de von Neumann. J’ai beaucoup profité pour cette section et la suivante des parties introductives des travaux de B. Eckmann et W. Lück [Eck00, Lüc98].

Soit H un espace de Hilbert séparable réel et B(H) l’algèbre de ses opérateurs continus. Un élément f de B(H) est un projecteur orthogonal si p^{2} = p^{∗} = p (c’est le projecteur orthogonal sur Im p) ; une isométrie si f^{∗}f = id, ff^{∗} = id ; une isométrie partielle si f^{∗}f = p et ff^{∗} = q sont des projecteurs (f induit alors une isométrie entre les espaces images de p et q) ; positif si f = gg^{∗} pour un certain g. Considérons une partie S de B(H) ; sa commutante S′ est définie comme l’ensemble {g ∈ B(H)/gs = sg, ∀s ∈ S} et sa bi-commutante comme S′′. Supposons que S est auto-adjointe (S = S^{∗} := {s^{∗}/s ∈ S}). Dans ce cas, S′ et S′′ sont des algèbres auto-adjointes.

Une algèbre de von Neumann A sur H est une sous-algèbre auto-adjointe de B(H), qui est égale à sa bi-commutante. Puisque (S′)′′ = (S′′)′ = S′ l’algèbre de von Neumann engendrée par S (partie auto-adjointe) est A = S′′ ; sa commutante A′ = S′ est l’algèbre de von Neumann engendrée par S′.

Une trace finie τ : A → IR est une application linéaire qui vérifie τ(ab) = τ(ba) pour a, b ∈ A et τ(a) ≥ 0 pour les a positifs. Elle est fidèle si pour les a ∈ A positifs, on a τ(a) = 0 ⇒ a = 0. Elle est normale si pour a ∈ A, qui est le supremum (pour l’ordre usuel sur les opérateurs positifs) d’un filtre croissant {a_{i}/i ∈ I} d’éléments positifs de A, on a τ(a) = sup{τ(a_{i})/i ∈ I}.

Soit A une algèbre de von Neumann qui possède une trace finie fidèle normale τ (en abrégé une trace). On en considèrera deux exemples (sections 1.2 et 1.5). On peut supposer τ(1) = 1. Le produit ⟨a, b⟩ = τ(ab^{∗}) munit A d’une structure préhilbertienne. On note ℓ^{2}(A, τ) sa complétion hilbertienne. Lorsque la trace est sous-entendue, on la note seulement ℓ^{2}(A). Étant donné b ∈ A, les applications linéaires a ↦ ba et a ↦ ab^{∗} de A dans A se prolongent par continuité en des opérateurs L_{b} et R_{b} de ℓ^{2}(A). Cela définit les représentations régulières gauche et droite L, R : A → B(ℓ^{2}(A)). Elles sont fidèles, leurs images sont des algèbres de von Neumann commutantes l’une de l’autre et ⟨L_{b}(1), 1⟩ = τ(b) = ⟨R_{b}(1), 1⟩ voir [Dix69, I.5.2 th. 1, I.6.2 th. 2] ou [Sun87, sect. 2.2].

En résumé, (A, τ) a un espace de représentation favori ℓ^{2}(A, τ) et une algèbre commutante favorite munie elle aussi naturellement d’une trace, encore notée τ. Dans les deux situations qui nous intéresserons, A est donnée par sa représentation régulière.

Notons H^{I} la somme hilbertienne ⊕_{i∈I}H_{i} d’une famille au plus dénombrable (H_{i})_{i∈I} de copies de H = ℓ^{2}(A) et p_{i} le projecteur orthogonal sur la copie H_{i}. Tout opérateur f ∈ B(H^{I}) admet une décomposition matricielle par blocs p_{i}fp_{j} = f_{ij} ∈ B(H). On note π_{I} la représentation diagonale de B(H) sur H^{I}, alors π_{I}(A) est l’algèbre de von Neumann engendrée par π_{I}(S) et les opérateurs f dans la commutante π_{I}(A)′ vérifient f_{ij} ∈ A′.

Si K est un sous-espace fermé S-invariant de H^{I}, alors le projecteur orthogonal p de H^{I} sur K appartient à π_{I}(A)′ (on a : psp = sp, ∀s ∈ S, et en passant aux adjoints avec p = p^{∗}, psp = ps, ∀s ∈ S^{∗}).

Si I est fini, on définit sur π_{I}(A)′ la trace finie fidèle normale

T r(f) = ∑_{i∈I} τ(f_{ii}).

Lorsque I est infini (toujours dénombrable), cette formule s’étend à certains opérateurs de π_{I}(A)′, en particulier aux opérateurs positifs, comme les projecteurs orthogonaux, si on autorise la valeur +∞ (en effet, dans ce cas, f = gg∗, avec g ∈ π_{I}(A)′, et A′ ∋ f_{ii} = ∑_{j∈I} g_{ij}g_{ij}^{∗} ≥ 0).

Soit V un espace de Hilbert et λ une application S → B(V). Supposons qu’il existe un plongement isométrique ψ de V dans un H^{I}, qui soit S-équivariant (π_{I}(s)ψ = ψλ(s), ∀s ∈ S), alors λ s’étend en une représentation λ : A → B(V), indépendante de ψ. En effet, pour deux tels plongements ψ_{1}, ψ_{2}, d’images K_{1}, K_{2}, de projecteurs p_{1}, p_{2}, l’isométrie partielle (on peut supposer I_{1} = I_{2}) φ = p_{2}ψ_{2}ψ_{1}^{−1}p_{1} ∈ B(H^{I}) entre K_{1} et K_{2} commute avec π_{I}(S). L’espace V devient un A-module de Hilbert au sens suivant.

Définition 1.1 On appelle A-module de Hilbert un espace de Hilbert V, qui est muni d’une représentation λ : A → B(V), pour lequel il existe un plongement isométrique A-équivariant ψ de V dans un H^{I}.

On appelle A-dimension (ou dimension de von Neumann) du A-module de Hilbert V et on note

dim_{A}(V) := T r(p) = ∑_{i∈I} τ(p_{ii}),

la trace du projecteur orthogonal p de H^{I} sur l’image de ψ.

Le plongement ψ n’est pas fixé dans la définition du A-module V, mais sa dimension n’en dépend pas (par exemple, pour deux tels plongements avec des I finis, T r(p_{1}) = T r(φφ^{∗}) = T r(φ^{∗}φ) = T r(p_{2})). La dimension n’est pas nécessairement un entier.

Soient U et V des A-modules de Hilbert, W un sous-A-module de Hilbert de U et f : U → V un opérateur borné A-équivariant, alors U/W, Ker f et \overline{Im f} sont des A-modules de Hilbert où \overline{K} désigne l’adhérence de K. De plus, U/W est A-isométrique au supplémentaire orthogonal de W dans U.

Propriétés 1.2 La A-dimension des A-modules de Hilbert vérifie les propriétés suivantes

1. dim_{A}(V) = 0 si et seulement si V = 0

2. dim_{A}(ℓ^{2}(A)) = 1 (puisque τ(1) = 1)

3. si f : U → V est un opérateur borné A-équivariant entre A-modules de Hilbert, alors dim_{A}(U) = dim_{A}(Ker f) + dim_{A}(\overline{Im f}) (théorème du rang)

4. si V_{1} ⊂ V_{2} ⊂ ⋯ ⊂ V_{n} ⊂ ⋯ est une une suite croissante de sous-espace fermés A-invariants d’un A-module de Hilbert, alors dim_{A} \overline{∪_{n}V_{n}} = lim_{n→∞} ↗ dim_{A}(V_{n})

1.2 Algèbre de von Neumann et nombres de Betti ℓ^{2} des groupes

Soit Γ un groupe dénombrable discret. Considérons ℓ^{2}(Γ), l’espace de Hilbert des fonctions sur Γ à valeurs réelles de carré sommable, ξ = ∑_{γ∈Γ} ξ_{γ}γ, et les représentations régulières gauche et droite de Γ données respectivement par λ(γ′)(ξ) = ∑_{γ∈Γ} ξ_{γ}γ′γ et ρ(γ′)(ξ) = ∑_{γ∈Γ} ξ_{γ}γ(γ′)^{−1}. L’algèbre de von Neumann du groupe Γ est par définition l’algèbre N(Γ) = λ(Γ)′′ engendrée par λ(Γ) [MvN43, sect. 5.3]. Sa commutante est l’algèbre λ(Γ)′ = ρ(Γ)′′ engendrée par ρ(Γ). Ces deux algèbres possèdent une trace finie fidèle normale, la trace standard τ(a) = (a(1), 1), où 1 est la fonction caractéristique de l’élément neutre du groupe. L’application a ↦ a(1) induit une identification de ℓ^{2}(N(Γ), τ) avec ℓ^{2}(Γ) et de L(N(Γ)) et R(N(Γ)) avec N(Γ) et N(Γ)′ respectivement. Si Γ est fini, la N(Γ)-dimension d’un N(Γ)-module de Hilbert est sa dimension usuelle divisée par le cardinal de Γ.

Un complexe simplicial K est la donnée d’un ensemble K^{(0)} de sommets et de parties K^{(1)} ⊂

K^{(0)} × K^{(0)}, ⋯, K^{(n)} ⊂ \underbrace{K^{(0)} × ⋯ K^{(0)}}_{n+1 fois}, ⋯ telle que

1. K^{(n)} est invariant par le groupe 𝔖_{n+1} de permutations des coordonnées,

2. si (v_{0}, v_{1}, ⋯, v_{n}) ∈ K^{(n)} alors v_{0} ≠ v_{1}

3. si (v_{0}, v_{1}, ⋯, v_{n}) ∈ K^{(n)} alors (v_{1}, ⋯, v_{n}) ∈ K^{(n−1)}.

Un élément σ = (v_{0}, v_{1}, ⋯, v_{n}) de K^{(n)} est un n + 1-simplexe ordonné et l’ensemble de ses sommets est un simplexe non ordonné.

Soit K un complexe simplicial dénombrable sur lequel Γ agit par automorphismes simpliciaux et librement (i.e. les simplexes non ordonnés ont des stabilisateurs triviaux).

L’espace C_{(2)}^{n}(K) des n-cochaînes ℓ^{2} de K est l’espace des cochaînes dont les cœfficients sont

de carré sommable. Il est isomorphe par dualité à l’espace C_{n}^{(2)}(K) des n-chaînes ℓ^{2} de K : une base hilbertienne de ce dernier s’obtient en choisissant une famille de n-simplexes ordonnés qui constitue un domaine fondamental pour l’action du groupe 𝔖_{n+1} de permutation des sommets ; i.e. en choisissant un simplexe ordonné associé à chaque simplexe non-ordonné. Un telle famille sera choisie Γ-invariante.

Cela permet de définir une identification Γ-équivariante de C_{n}^{(2)}(K) avec une somme ⊕_{i=1}^{i=α_{n}}ℓ^{2}(Γ), (où α_{n} est égal au nombre de Γ-orbites de n-simplexes) et de munir C_{n}^{(2)}(K) d’une structure de N(Γ)-module de Hilbert.

Si l’action est cocompacte. Les opérateurs bord sont bornés et s’étendent par continuité en des opérateurs bornés ∂_{n} : C_{n}^{(2)}(K) → C_{n−1}^{(2)}(K), qui sont N(Γ)-équivariants. Ils vérifient ∂_{n}∂_{n+1} = 0. On appelle homologie ℓ^{2} réduite de l’action (K : Γ) l’espace

H̄_{n}^{(2)}(K : Γ) := Ker ∂_{n}/\overline{Im ∂_{n+1}}.

Il se plonge isométriquement dans Ker ∂_{n} ⊂ C_{n}^{(2)}(K) comme supplémentaire orthogonal de \overline{Im ∂_{n+1}} et c’est N(Γ)-module. L’image de ce plongement est par définition l’espace, noté H_{n}(K), des chaînes harmoniques ℓ^{2}. Les nombres de Betti ℓ^{2} de l’action sont les dimensions

β_{n}(K : Γ) := dim_{N(Γ)} H̄_{n}^{(2)}(K : Γ).

Dans le cas général (action non nécessairement cocompacte). Soit ℭ_{K} la catégorie dont les objets sont tous les sous-complexes Γ-invariants cocompacts de K, et les seuls morphismes sont les inclusions. À une telle inclusion K_{[α]} ⊂ K_{[β]} correspond en homologie le morphisme

j_{α,β} : H̄_{n}^{(2)}(K_{[α]} : Γ) → H̄_{n}^{(2)}(K_{[β]} : Γ).

Posons

∇_{n}(K_{[α]}, K_{[β]}) := dim_{N(Γ)} \overline{Im (j_{α,β})}.

Pour les K_{[α]} ⊂ K_{[β]}, la fonction ∇_{n} est décroissante en K_{[β]} et croissante en K_{[α]} (par le théorème du rang 1.2).

Définition 1.3 L’homologie ℓ^{2} réduite de l’action de Γ sur K est la limite inductive (ou directe ou colimite) suivant ℭ_{K} :

H̄_{n}^{(2)}(K : Γ) = lim_{ℭ_{K}} H̄_{n}^{(2)}(K_{[α]} : Γ).

Cet espace est muni d’une action de N(Γ) mais n’est pas en général un espace de Hilbert. Cependant, Cheeger et Gromov donnent un sens à la notion de N(Γ)-dimension pour cet espace.

On appelle n-ème nombre de Betti L^{2} de K la quantité :

β_{n}(K, R, μ) = sup{inf{∇_{n}(K_{[α]}, K_{[β]}) / K_{[β]} ∈ ℭ_{K}, K_{[α]} ⊂ K_{[β]}} / K_{[α]} ∈ ℭ_{K}}.

En fait J. Cheeger et M. Gromov [CG86] définissent la cohomologie singulière ℓ^{2} d’une action topologique, et ses nombres de Betti ℓ^{2} (bien que ça ne soit pas un module de Hilbert) et ils montrent que ces nombres sont donnés par la formule ci-dessous dans le cas des actions simpliciales libres. Voir [Lüc98a] pour une approche alternative. Étant donné que cela suffit à nos applications, on adoptera cette formule comme définition. On est passé en homologie pour des raisons techniques (l’existence de la suite L requise dans [CG86, (3) p.197] n’est pas assurée en général dans notre situation et n’est pas nécessaire en homologie) mais les valeurs obtenues sont les mêmes puisque par dualité les adhérences des espaces Im (H̄_{n}^{(2)}(K_{s} : Γ) → H̄_{n}^{(2)}(K_{t} : Γ)) et Im (H̄_{(2)}^{n}(K_{t} : Γ) → H̄_{(2)}^{n}(K_{s} : Γ)) ont même dimension.

Définition 1.4 [CG86, (2.8) p.198] Soit (K_{s})_{s∈IN} une suite croissante exhaustive de sous-comple-xes Γ-invariants cocompacts de K. On appelle n-ème nombre de Betti ℓ^{2} de l’action de Γ sur K la quantité :

β_{n}(K : Γ) = lim_{s→∞}↗ lim_{t≥s t→∞} ↘ ∇_{n}(K_{s}, K_{t}).

Ces nombres ne dépendent pas du choix de la suite exhaustive, ce sont des invariants d’homotopie Γ-équivariante [CG86, p.198]. En particulier, les nombres de Betti ℓ^{2} du groupe Γ sont définis comme ceux de l’action de Γ sur le revêtement universel EΓ de n’importe quel modèle de l’espace classifiant de Γ :

β_{n}(Γ) = β_{n}(EΓ : Γ).

Propriétés 1.5

Γ_{1} ∗ Γ_{2}  (n = 1)  {β_{1}(Γ_{1} ∗ Γ_{2}) = β_{1}(Γ_{1}) + β_{1}(Γ_{2}) + 1 \atop −(β_{0}(Γ_{1}) + β_{0}(Γ_{2}))}
(n ≥ 2)  β_{n}(Γ_{1} ∗ Γ_{2}) = β_{n}(Γ_{1}) + β_{n}(Γ_{2})

Γ_{1} ∗_{Γ_{3}} Γ_{2} où Γ_{3} est moyennable infini

(Mayer-Vietoris et [CG86])

β_{n}(Γ_{1} ∗_{Γ_{3}} Γ_{2}) = β_{n}(Γ_{1}) + β_{n}(Γ_{2})

Γ_{1} × Γ_{2} (formule de Künneth)

β_{n}(Γ_{1} × Γ_{2}) = ∑_{i+j=n} β_{i}(Γ_{1}).β_{j}(Γ_{2}),
avec 0.∞ = 0

Si Γ est le groupe fondamental d’une variété fermée acyclique de dimension p (dualité de Poincaré)

β_{n}(Γ) = β_{p−n}(Γ)

Si Γ est engendré par une partie de car-

dinal g

β_{1}(Γ) ≤ g

Si Λ est d’indice fini dans Γ  β_{n}(Λ) = [Γ : Λ].β_{n}(Γ)

Exemple 1.6 Exemples de valeurs des nombres de Betti ℓ^{2} de groupes Γ

Groupe Nombres de Betti ℓ^{2} β_{0}, β_{1}, β_{2} … β_{n}, ⋯

Γ fini  β_{0}(Γ) = \frac{1}{|Γ|}  les autres β_{i}(Γ) = 0
Γ infini  β_{0}(Γ) = 0

Γ moyennable infini [CG86, th.0.2] (cf.

cor. 0.1)

tous les β_{i}(Γ) = 0
groupe libre à n générateurs  β_{1}(Γ) = n − 1  les autres β_{i}(Γ) = 0

groupe fondamental de la surface ori-

entable de genre g

β_{1}(Γ) = 2g − 2 les autres β_{i}(Γ) = 0
réseau de Sp(p, q)  β_{2pq}(Γ) ≠ 0  les autres β_{i}(Γ) = 0
réseau de SU(p, q)  β_{pq}(Γ) ≠ 0  les autres β_{i}(Γ) = 0
réseau de SO(p, q) (si p ou q est pair)  β_{pq/2}(Γ) ≠ 0  les autres β_{i}(Γ) = 0
(si p et q sont impairs)  tous les β_{i}(Γ) = 0
réseau de SL(n, IR) (n > 2)  tous les β_{i}(Γ) = 0

Les formules de ce tableau qui concernent les réseaux des groupes de Lie résultent des travaux de A. Borel [Bor85].

1.3 Relations d’équivalence

On rappelle dans cette sous-section un certain nombre de définitions et de résultats concernant les relations d’équivalence standard, et on renvoie à [FM77a] pour des preuves ou des références plus complètes, voir aussi [Moo82, Sch87].

Soit X un espace borélien standard de σ-algèbre B, muni d’une mesure de probabilité μ sans atome.

Soit Γ un groupe dénombrable et α une action de Γ sur (X, μ) par automorphismes boréliens préservant la mesure μ. Cette action engendre la relation d’équivalence “être dans la même orbite” :

R_{α} = {(x, γ.x) : x ∈ X, γ ∈ Γ}.

Comme partie de X ×X, cette relation est simplement la réunion des graphes des automorphismes α(γ) (on note indifféremment α(γ)(x) et γ.x). L’action du groupe Γ est libre si pour tout γ ∈ Γ\{1} et pour μ-presque tout x ∈ X, on a γ.x ≠ x. Voici quelques exemples qu’on peut avoir en tête :

Exemples 1.7 1. L’action de ZZ^{n} par rotations rationnellement indépendantes sur le cercle muni de la mesure de Lebesgue.

2. Une action d’un groupe discret préservant le volume sur une variété de volume fini.

3. (X, μ) = (K, Haar) est un groupe compact muni de sa mesure de Haar et Γ est un sous-groupe qui agit par multiplication.

4. L’action par décalage des indices (shift de Bernoulli) de Γ sur l’espace X = {0, 1}^{Γ} des suites de 0 et de 1 indexées par Γ (les parties de Γ), avec n’importe quelle mesure invariante, par exemple le produit de l’équiprobabilité sur {0, 1}. cette action est libre.

La simple remarque suivante aura des conséquences importantes :

Remarque 1.8 Un isomorphisme partiel φ : A → B est un isomorphisme borélien entre deux parties boréliennes de X. Si son graphe est contenu dans R, c’est-à-dire si pour tout x ∈ A, on a (x, φ(x)) ∈ R, alors A admet une partition A = ∐_{γ∈Γ} A_{γ} telle que x ∈ A_{γ} ⇒ φ(x) = γ.x. Cela entraîne que φ préserve la mesure μ.

La relation d’équivalence R = R_{α} vérifie les propriétés suivantes :

1. les classes d’équivalence de R sont dénombrables

2. R comme partie de X × X est une partie borélienne pour la tribu B × B

3. tout isomorphisme partiel φ : A → B dont le graphe est contenu dans R preserve la mesure μ.

Plus généralement, une relation d’équivalence dénombrable standard préservant la mesure μ sur (X, B, μ) est une relation d’équivalence R qui vérifie les trois points ci-dessus. On supposera toujours que μ est invariante et μ(X) = 1, sauf dans la section 5.4 où on considérera une relation R_{∞} sur l’espace X × IN de mesure infinie.

On notera indifféremment (x, y) ∈ R ou xRy ou x ∼ y si R est sous-entendue. Les classes d’équivalence sont aussi appelées orbites. Le saturé d’un borélien B est la réunion des orbites des points de B. On le note R.B ; c’est un borélien. La relation est ergodique si les boréliens saturés sont de mesure ou de co-mesure nulle.

Définition 1.9 La collection des automorphismes boréliens de X dont le graphe est contenu dans la relation R est appelé le groupe plein de R et noté [R]. Il est, en général, non dénombrable. L’ensemble de tous les isomorphismes partiels dont le graphe est contenu dans R sera noté [[R]]. Si (φ : A → B), (φ′ : A′ → B′) ∈ [[R]], l’isomorphisme partiel φφ′ : φ^{′−1}(A ∩ B′) → φ(A ∩ B′) est défini par φφ′(z) = φ(φ′(z)) et φ^{−1} : B → A par φ^{−1}φ(z) = z, pour tout z ∈ A.

Théorème 1.10 [FM77a, th. 1] Si R est une relation d’équivalence dénombrable standard préservant μ sur (X, B), alors il existe un groupe dénombrable G d’automorphismes boréliens de X tel que R = R_{G}.

Signalons qu’A. Furman [Fur99b] a récemment donné des exemples de relations ergodiques pour lesquelles aucun tel groupe G n’agit librement.

Bien qu’on puisse toujours considérer une relation d’équivalence dénombrable standard comme étant produite par une action d’un groupe dénombrable, on trouve des situations où le groupe d’automorphismes n’apparaît pas de manière évidente. Par exemple lorsqu’on considère la restriction d’une relation à un borélien de X (cf. section 5.1). Par exemple aussi lorsqu’on étudie un feuilletage ou une lamination mesuré(e) ergodique. Sur une transversale totale X de mesure finie, le pseudogroupe d’holonomie engendre une telle relation d’équivalence.

Deux telles relations R_{1} sur (X_{1}, μ_{1}) et R_{2} sur (X_{2}, μ_{2}) sont isomorphes (ou identifiées) s’il existe deux boréliens saturés de mesure totale X′_{1} ⊂ X_{1} et X′_{2} ⊂ X_{2} et un isomorphisme borélien f : X′_{1} → X′_{2}, qui envoie μ_{1} sur μ_{2}, tel que pour tout x, y ∈ X′_{1}, (xR_{1}y) ⇔ (f(x)R_{2}f(y)).

Notons que dans la littérature, on s’intéresse habituellement à des relations d’équivalence sur un espace muni d’une classe de mesure, autrement dit, on remplace “qui envoie μ_{1} sur μ_{2}” par “qui envoie μ_{1} sur une mesure équivalente à μ_{2}”. La remarque 1.8 permet de montrer que dans ce cas, la mesure f_{∗}(μ_{1}) est elle aussi invariante pour R_{2}. Lorsque R est ergodique, la condition mesure de probabilité invariante caractérise μ de manière unique.

Lorsque R_{1} et R_{2} sont produites par des actions α_{1} et α_{2} de groupes Γ_{1} et Γ_{2}, on dit aussi que les actions sont orbitalement équivalentes (OE). L’isomorphisme f permet par conjugaison de définir une action de Γ_{1} qui a exactement les mêmes orbites que l’action de Γ_{2} sur X′_{2}. Pour chaque γ ∈ Γ_{1}, on peut partitionner X′_{2} de sorte que sur chaque pièce, γ coïncide avec un élément ω de Γ_{2} (remarque 1.8). Si on s’est donné une partie génératrice de Γ_{2}, ce changement de variables n’est, en général, pas borné. C’est-à-dire que la longueur des ω n’est pas bornée. De nombreuses difficultés vont venir de ce fait.

Remarque 1.11 Une relation R est dite hyperfinie si elle est réunion croissante de sous-relation dont toutes les classes sont finies. Dans le cadre où la mesure finie μ sur un borélien standard est préservée, H. Dye a montré que :

– toutes les relations ergodiques hyperfinies sont isomorphes entre elles

– toutes les relations hyperfinies sont donnée par une action de ZZ, – toutes les actions de Γ = ZZ [Dye59, th.1 p.143 et th.5 p. 154], et toutes actions des groupes Γ abéliens ou à croissance polynomiale [Dye63, th.1, p. 560] sont hyperfinies. Ornstein-Weiss ont étendu le résultat : les actions des groupes moyennables sont toutes hyperfinies [OW80]. On a aussi une réciproque : si Γ possède une action libre α préservant μ telle que R_{α} soit hyperfinie, alors Γ est moyennable.

Signalons enfin que toute relation R dont les classes sont infinies contient une sous-relation hyperfinie à classes infinies (voir par exemple la preuve de l’item -2- de la proposition III.3 de [Gab00a]).

1.4 Espaces fibrés

On appellera espace fibré standard sur X un espace borélien standard U muni d’une application borélienne donnée π : U → X, à fibres dénombrables. On désignera π comme la projection. La mesure naturelle ν_{U} sur (U, π) est définie comme produit de la mesure μ sur X avec la mesure de comptage dans les fibres. Plus précisément,

ν^{U}(C) = ∫_{X} |π^{−1}(x) ∩ C|dμ(x),

où |S| désigne le cardinal de S. On notera seulement ν lorsque l’espace U est sous-entendu.

Exemple 1.12 Soit R une relation dénombrable standard sur (X, B, μ) préservant la mesure μ. La relation d’équivalence elle-même, vue comme espace R ⊂ X × X, est équipée de la tribu induite B × B ∩ R. Elle est munie de deux projections

π_{l}(x, y) = x et π_{r}(x, y) = y

sur les abscisses (resp. les ordonnées), à fibres dénombrables, qui envoient les boréliens de R sur des boréliens de X. Elle a donc deux structures de fibré standard sur X. L’invariance de μ assure qu’on obtient la même mesure naturelle ν sur R en échangeant les rôles de π_{l} et π_{r}. De la même façon, en utilisant n’importe laquelle des projections π_{i} sur la coordonnée x_{i}, l’espace

R^{(m)} := {(x_{0}, x_{1}, ⋯, x_{m}) : (x_{i}, x_{i+1}) ∈ R}

est un espace fibré standard sur X, muni d’une mesure naturelle ν^{m}.

1.5 Algèbre de von Neumann de R

L’algèbre de von Neumann associée à une action libre d’un groupe dénombrable sur un espace borélien préservant une classe mesure fut introduite par Murray et von Neumann [MvN36, part IV, pp.192–209] dans ce qu’on appelle la group measure space construction. C’est un invariant d’équivalence orbitale. W. Krieger s’est affranchi de l’hypothèse que l’action est libre [Kri70]. Enfin Feldman et Moore ont défini et étudié l’algèbre de von Neumann associée à une relation d’équivalence dénombrable standard préservant la classe de μ [FM77b], voir aussi [Moo82]. Cette algèbre combine les aspects espace mesuré, puisqu’elle contient L^{∞}(X, μ) comme sous-algèbre de Cartan, et les aspects dynamiques de la relation d’équivalence. Les propriétés de la relation se traduisent en termes de l’algèbre ou en termes de la paire algèbre/sous-algèbre de Cartan. On rappelle ici quelques faits basiques.

On considère l’espace (R, ν) et l’espace de Hilbert séparable L^{2}(R, ν) . On définit la représentation régulière gauche de R: Pour tout isomorphisme partiel (φ : A → B) ∈ [[R]] (cf. définition 1.9),

L_{φ}.η(x, y) = χ_{B}(x) · η(φ^{−1}(x), y)

i.e. L_{φ}.η(x, y) = η(φ^{−1}(x), y) si x ∈ B et L_{φ}.η(x, y) = 0 sinon.

On a L_{φφ′} = L_{φ}L_{φ′} et L_{φ}^{∗} = L_{φ^{−1}}.

De même, on définit la représentation régulière droite de R :

R_{φ}.η(x, y) = χ_{B}(y) · η(x, φ^{−1}(y)).

L’algèbre de von Neumann engendrée par les opérateurs continus R_{φ} de L^{2}(R, ν) est notée M_{R} et celle engendrée par les L_{φ} est notée M_{L}. Cette algèbre M_{L} est caractérisée comme l’algèbre des opérateurs continus de L^{2}(R, ν) qui commutent avec les R_{φ} (et inversement pour M_{R}). Les deux algèbres M_{L} et M_{R} sont commutantes l’une de l’autre [FM77b, Prop. 2.5].

On appelle M := M_{L} l’algèbre de von Neumann de la relation d’équivalence R.

Remarque 1.13 L’algèbre M_{L} contient L^{∞}(X, μ) : en effet, si ϕ ∈ L^{∞}(X, μ), alors l’opérateur L_{ϕ} défini par L_{ϕ}.η(x, y) = ϕ(x) · η(x, y) commute avec les R_{φ}. On a bien sûr l’analogue pour M_{R}. En vertu de la remarque 1.8, M est aussi engendrée par {L_{g}, L_{ϕ} : g ∈ [R], ϕ ∈ L^{∞}(X, μ)}. On dira encore que les L_{g}, L_{ϕ} pour g ∈ [R], ϕ ∈ L^{∞}(X, μ) forment une représentation de R. Si G est un groupe dénombrable tel que R = R_{G}, alors {L_{g}, L_{ϕ} : g ∈ G, ϕ ∈ L^{∞}(X, μ)} engendre M.

Notons χ_{D} ∈ L^{2}(R) la fonction caractéristique de la diagonale D de R.

Les deux algèbres ont un vecteur cyclique (M_{L}χ_{D} (resp. M_{R}χ_{D}) est dense dans L^{2}(R, ν)) et séparant (pour a ∈ M_{L} (resp. a ∈ M_{R}) aχ_{D} = 0 ⇒ a = 0). Elles possèdent une trace finie : pour tout a ∈ M_{L} (resp a ∈ M_{R}),

τ(a) := (aχ_{D}/χ_{D}).

L’application a ↦ aχ_{D} induit une identification de ℓ^{2}(M, τ) avec L^{2}(R, ν) et les représentations régulières gauche et droite de M correspondent à M_{L} et M_{R} (voir section 1.1). Si H est un sousespace fermé M-invariant de L^{2}(R, ν), alors le projecteur orthogonal P_{H} sur H appartient à M_{R} et la M-dimension de H est la trace τ(P_{H}) (voir 1.1)

dim_{M}(H) := τ(P_{H}) = (P_{H}χ_{D}/χ_{D}).

Exemple 1.14 Soit A un borélien de X (on pense à X comme étant vertical), et Ã = π_{r}^{−1}(A) sa préimage dans R (bande horizontale). L’espace L^{2}(Ã, ν_{|Ã}) est M_{L}-invariant, c’est l’image du projecteur orthogonal R_{χ_{A}}, sa M-dimension est égale à (R_{χ_{A}}(χ_{D})/χ_{D}) = ∫_{R} χ_{D∩A×A} · χ_{D}dν = μ(A). En particulier, dim_{M}(L^{2}(R, ν)) = 1. Si P ∈ M_{R} est le projecteur orthogonal sur un sous-espace fermé M-invariant H de L^{2}(Ã, ν_{|Ã}), alors dim_{M} H = (P χ_{B}/χ_{B}), où B est une π_{r}- section borélienne de A. En effet, si π_{l} est injective (à un ensemble de mesure nulle près), alors χ_{A} = L_{φ}χ_{B} où L_{φ} ∈ M_{L} est une isométrie de L^{2}(Ã, ν_{|Ã}). Le cas général s’y ramène en considérant une partiytion dénombrable de A.

On rappelle qu’un M-module de Hilbert est un espace de Hilbert H muni d’une représentation de [[R]] qui admet un plongement isométrique équivariant dans une somme hilbertienne dénombrable ⊕L^{2}(R, ν). Sa M-dimension dim_{M}(H) est la somme des traces des termes diagonaux dans la décomposition par blocs du projecteur orthogonal sur l’image de H dans ⊕L^{2}(R, ν) (voir 1.1).

2 Actions simpliciales d’une relation d’équivalence

2.1 Espaces fibrés et actions

On retrouve dans cette section quelques cas particuliers élémentaires de notions introduites par A. Connes dans [Co79].

Étant donnés deux espaces fibrés standard (U, π) et (V, π′) sur X, leur produit fibré (l’ensemble des paires qui ont même projection) est un espace fibré standard sur X :

U ∗ V = {(u, v) ∈ U × V/ π(u) = π′(v)}.

Soit sur (X, B, μ) une relation R dénombrable standard, préservant la mesure μ.

Une R-action à gauche est une application borélienne

R ∗ U → U, ((x, y), u) ↦ (x, y).u,

où R fibre sur X via π_{r} (cf. ex. 1.12) et (U, π) est un espace fibré standard sur X, telle que l’identité évidente (x, y).[(y, z).u] = (x, z).u soit vérifiée dès qu’elle a un sens, i.e. pour tout u ∈ U et x ∼ y ∼ z ∈ X tels que z = π(u). On dit que (U, π) est un R-espace fibré standard.

L’orbite de u est l’ensemble R.u := {(x, y).u : (x, y) ∈ R, y = π(u)} et le saturé d’un borélien B ⊂ U est la réunion R.B des orbites qui rencontrent B. On pourra omettre le qualificatif “à gauche”. L’espace (X, id) lui-même est un R-espace fibré standard avec action ((x, y), y) ↦ x et pour un R-espace fibré standard (U, π) quelconque, la projection est R-équivariante : π((x, y).u) = (x, y).π(u).

Définition 2.1 Une R-action à gauche est discrete si elle admet un domaine fondamental borélien F, i.e. s’il existe un borélien F ⊂ U qui rencontre chaque orbite une fois et une seule. On dit alors que U est un R-espace discret.

Exemple 2.2 Un exemple évident de R-espace discret est l’espace fibré (U, π) = (R, π_{l}) lui-même, avec l’action R∗U → U, ((x, y), (y, z)) ↦ (x, z). La diagonale D de R est un domaine fondamental.

Soit F un domaine fondamental de la R-action sur U. La projection étant à fibres dénombrables, on peut trouver une partition dénombrable F = ∐_{j∈J} F_{j} telle que π soit injective sur chaque F_{j}. On a alors une identification naturelle de chaque F_{j} avec la partie diagonale D_{j} = {(z, z) : z ∈ π(F_{j})} ⊂ R qui préserve le mesure et qui s’étend par équivariance (ex. 2.2) en un isomorphisme borélien entre les saturés R.F_{j} et R.D_{j} = π_{r}^{−1}(π(F_{j})). On obtient ainsi un isomorphisme de R-espaces fibrés standard entre U = ∐_{j∈J} R.F_{j} et ∐_{j∈J} R.D_{j} ⊂ ∐_{j∈J} R. On a montré :

Lemme 2.3 Tout espace fibré standard (U, π) sur X muni d’une R action discrète admet une identification R-équivariante avec un borelien saturé dans la réunion disjointe d’une infinité dénombrable de copies de R. L’image de ν_{U} dans chaque copie de R est égale à la restriction de ν.

Si g ∈ [R], on note g.u pour (x, y).u, où y = π(u) et x = g(y).

Définition 2.4 Pour g ∈ [R] ou ϕ ∈ L^{∞}(X, μ), on dispose d’une représentation de R : la famille des opérateurs continus

L^{2}(U, ν_{U}) ⟶ L^{2}(U, ν_{U}) L_{g}^{U}.η(u) = η(g^{−1}.u) L_{ϕ}^{U}.η(u) = ϕ(π(u)).η(u).

Soient U et V deux R-espaces discrets. Une application linéaire h : L^{2}(U, ν_{U}) ⟶ L^{2}(V, ν_{V}) est R-équivariante si L_{∗}^{V} ∘ h = h ∘ L_{∗}^{U}.

Proposition 2.5

(1) Les opérateurs L_{g}^{U}, L_{ϕ}^{U} induisent sur l’espace L^{2}(U, ν_{U}) une structure de M-module de Hilbert ; on note L^{U} la représentation correspondante de M.

(2) Soit H un sous-espace fermé M-invariant de L^{2}(U, ν_{U}), alors dim_{M}(H) = ∑_{j∈J}(P (χ_{F_{j}})/χ_{F_{j}}) où P est le projecteur orthogonal sur H et les χ_{F_{j}} sont les fonctions caractéristiques des F_{j}.

Démonstration. L’isomorphisme entre U = ∐_{j∈J} R.F_{j} et ∐_{j∈J} R.D_{j} ⊂ ∐_{j∈J} R induit un isomorphisme :

L^{2}(U, ν_{U}) = ⊕_{j∈J}L^{2}(R.F_{j}, ν_{U}) ≃ ⊕_{j∈J}L^{2}(R.D_{j}, ν) ⊂ ⊕_{j∈J}L^{2}(R, ν),

qui est R-équivariant. La structure de M-module de Hilbert de L^{2}(U, ν_{U}) s’en déduit. Par définition, la M-dimension de l’image H′ de H dans ⊕_{j∈J}L^{2}(R, ν) s’obtient comme dim_{M} H′ = ∑_{j∈J}(P′(χ_{Δ_{j}})/χ_{Δ_{j}}), où P′ est le projecteur orthogonal de ⊕_{j∈J}L^{2}(R, ν) sur H′ et où χ_{Δ_{j}} est la fonction caractéristique de la diagonale de la j-ème copie de R. Puisque P′(χ_{Δ_{j}}) = P′(χ_{D_{j}}), on en déduit dim_{M} H = dim_{M} H′ = ∑_{j∈J}(P′(χ_{D_{j}})/χ_{D_{j}}) = ∑_{j∈J}(P (χ_{F_{j}})/χ_{F_{j}}). ■

Si U est un R-espace discret de domaine fondamental F, alors U ∗ U ∗ ⋯ ∗ U est un R-espace discret de domaine fondamental F ∗ U ∗ ⋯ ∗ U. Par exemple, avec (U, π) = (R, π_{l}), le produit fibré U ∗ U ∗ ⋯ ∗ U = {((x_{0}, x_{1}), (x_{0}, x_{2}), ⋯, (x_{0}, x_{n})) : x_{0} ∼ x_{1} ∼ ⋯ ∼ x_{n}} s’identifie avec R^{(n)} := {(x_{0}, x_{1}, ⋯, x_{n}) : x_{0} ∼ x_{1} ∼ ⋯ ∼ x_{n}}. Le groupe de permutations des coordonnées dans \underbrace{U ∗ ⋯ ∗ U}_{n times} sera noté 𝔖_{n}. Observons qu’il commute avec l’action de R.

2.2 Actions simpliciales d’une relation d’équivalence

Définition 2.6 Un R-complexe simplicial \overline{Σ} consiste en la donnée suivante :

– un R-espace discret \overline{Σ}^{(0)}, de fibration \overline{Σ}^{(0)} →^{π} X

– des parties boréliennes \overline{Σ}^{(1)}, \overline{Σ}^{(2)}, ⋯, \overline{Σ}^{(n)}, ⋯, où \overline{Σ}^{(n)} ⊂ \underbrace{\overline{Σ}^{(0)} ∗ ⋯ ∗ \overline{Σ}^{(0)}}_{n+1 times},

telles que pour tout n > 0

1. R.\overline{Σ}^{(n)} = \overline{Σ}^{(n)} (invariance)

2. si (v_{0}, v_{1}, ⋯, v_{n+1}) ∈ \overline{Σ}^{(n+1)}alors (v_{0}, ⋯, v̂_{i}, ⋯, v_{n+1}) ∈ \overline{Σ}^{(n)}, pour tout i (condition de bord)

3. \overline{Σ}^{(n)} est invariant par permutations des coordonnées dans \overline{Σ}^{(0)} ∗ ⋯ ∗ \overline{Σ}^{(0)} (permutations)

4. si (v_{0}, v_{1}, ⋯, v_{n}) ∈ \overline{Σ}^{(n)} alors v_{0} ≠ v_{1} (non dégénérescence).

Un point (v_{0}, v_{1}, ⋯, v_{n}) ∈ \overline{Σ}^{(n)} est un n-simplexe ordonné, son i-ème sommet est v_{i} et on obtient sa i-ème face (v_{0}, v_{1}, ⋯, v̂_{i}, ⋯, v_{n}) en supprimant v_{i}. Un point de \overline{Σ}^{(0)} est aussi appelé un sommet. Un point de \overline{Σ}^{(n)}/𝔖_{n+1} est un n-simplexe (non ordonné, non orienté).

Associé à un R-complexe simplicial \overline{Σ}, on a un champ de complexes simpliciaux R-équivariant sur X : à x ∈ X correspond le complexe simplicial \overline{Σ}_{x} (non nécessairement connexe a priori), dont les n-simplexes sont constitués des points de \overline{Σ}^{(n)} dans la fibre de x. Si (x, y) ∈ R, l’action de R fournit un isomorphisme simplicial évident entre \overline{Σ}_{x} et \overline{Σ}_{y}. On notera ν^{n} la mesure naturelle sur \overline{Σ}^{(n)}.

Définition 2.7 On dit que \overline{Σ} est

- uniformément localement borné (ULB) s’il existe un entier N tel que (presque) tout point h ∈ \overline{Σ}^{(0)} est un sommet d’au plus N simplexes, et si de plus \overline{Σ}^{(0)} a un domaine fondamental de ν-mesure finie,

- de dimension n, resp. contractile, resp. n-connexe, si pour μ presque tout x ∈ X, le complexe simplicial \overline{Σ}_{x} est de dimension n, resp. contractile, resp. n-connexe.

Remarque : Un R-complexe simplicial ULB est nécessairement de dimension finie. Un complexe simplicial usuel n-connexe pour n ≥ 0 ou contractile est non vide.

2.2.1 Exemple : le R-complexe simplicial universel

On introduit maintenant un “espace classifiant” pour la relation d’équivalence R. On doit bien entendu rapprocher cette construction de celle du classifiant d’un feuilletage ou d’un groupoïde défini par A. Haefliger [Hae71, 5] ou de celle donnée A. Connes dans ses cours (voir aussi [BCH94]). Ici, la trivialité des groupes d’isotropie permet même de considérer un espace très simple et naturel qui contient tous les R-complexes simpliciaux (lemme 2.8 ci-dessous).

Le R-complexe simplicial universel ER est défini comme le plus gros R-complexe simplicial possible, (ER^{(0)}, π) est la réunion disjointe d’une infinité dénombrable de copies de (R, π_{l}):

ER^{(0)} := ∐_{i∈IN} R = {v = (x, y, i) : x, y ∈ X, i ∈ IN, x ∼ y} et π(x, y, i) = x

et

ER^{(n)} := \{(v_{0}, v_{1}, ⋯, v_{n}) ∈ \underbrace{ER^{(0)} ∗ ⋯ ∗ ER^{(0)}}_{n+1 times} : v_{s} ≠ v_{t} pour s ≠ t\}

C’est un exemple de R-complexe simplicial contractile. Il est de dimension infinie. Un point (v_{0}, v_{1}, ⋯, v_{n}) ∈ ER^{(n)} où v_{j} = (x, y_{j}, i_{j}) sera aussi noté (x, (y_{0}, i_{0}), (y_{1}, i_{1}), ⋯, (y_{n}, i_{n})). Un domaine fondamental pour ER^{(0)} est donné par la réunion des diagonales de ∐_{i∈IN} R, à savoir ∐_{i∈IN} D_{i} = {v = (x, x, i) : x ∈ X, i ∈ IN}.

Lemme 2.8 Tout R-complexe simplicial \overline{Σ} se plonge de façon R-équivariante comme un souscomplexe simplicial R-invariant dans ER.

■

2.2.2 Exemple : graphages

Un graphage sur R est une famille dénombrable Φ = (φ_{j} : A_{j} → B_{j})_{j∈I} d’isomorphismes boréliens entre parties boréliennes A_{j}, B_{j} de X dont les graphes sont contenus dans R (voir [Lev95, Gab00a]). Supposons que Φ n’a ni boucles ni arêtes doubles c’est à dire que les graphes des φ_{j}^{±1} ne rencontrent pas la diagonale de R et sont deux à deux disjoints. Un tel graphage Φ dans R définit un Rcomplexe simplicial \overline{Σ}Φ de dimension 1 :

\overline{Σ}Φ^{(0)} = R, \overline{Σ}Φ^{(1)} = ∪_{j∈I}\{(x, u, v) : x ∼ u ∼ v, v = φ_{j}^{±1}(u)\}

où l’on note (x, u, v) au lieu de ((x, u), (x, v)). L’ensemble

F^{(1)} = ∪_{j∈J}{(u, u, φ_{j}(u)) : u ∈ A_{j}} ∪ {(v, φ_{j}(v), v) : v ∈ A_{j}}

forme un domaine fondamental pour l’action de R sur \overline{Σ}Φ^{(1)}.

Rappelons que le coût de Φ [Lev95, Gab00a] est défini par C(Φ) = ∑_{j∈I} μ(A_{j}) = \frac{1}{2}ν^{1}(D^{(1)}) = \frac{1}{2}ν^{1}(\overline{Σ}Φ^{(1)}/R) et que le coût C(R) de la relation R est défini comme l’infimum des coûts des graphages pour lesquels \overline{Σ}Φ est connexe (= presque tous les \overline{Σ}Φ_{x} sont connexes). Le graphage Φ est un arborage de R si \overline{Σ}Φ est simplement connexe (=si chaque \overline{Σ}Φ_{x} est un arbre). Dans ce cas, C(Φ) = C(R) [Gab00a, th. IV.1].

On peut montrer que R est arborable (elle admet un arborage) si et seulement si elle admet un R-complexe simplicial contractile de dimension 1.

2.2.3 Structure simpliciale sur R

Soit \overline{Σ} un R-complexe simplicial. L’espace \overline{Σ}^{(0)}/R s’identifie avec un borélien de X × IN. On appelle le quotient \overline{Σ}/R une structure simpliciale sur R. C’est un complexe simplicial mesurable sur l’ensemble des sommets \overline{Σ}^{(0)}/R. La mesure ν^{n}(\overline{Σ}^{(n)}/R) est égale à celle d’un domaine fondamental F pour l’action de R sur \overline{Σ}^{(n)}.

3 Nombres de Betti L^{2} d’une relation R

3.1 Chaînes L^{2} d’un R-complexe simplicial

Étant donné un R-complexe simplicial \overline{Σ}, on dispose, associé au champ de complexes simpliciaux x ↦ \overline{Σ}_{x} des champs d’espaces de chaînes entières :

x ↦ C_{n}(\overline{Σ}_{x}, ZZ)

et des champs d’espaces de chaînes ℓ^{2} :

x ↦ C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}_{x}).

Le but de ce qui suit est essentiellement de munir ces champs d’espaces de Hilbert d’une structure de champs mesurables, de montrer que leur intégrale hilbertienne C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}) = ∫^{⊕} C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}_{x})dμ(x) est naturellement un M-module de Hilbert et de décrire comment on y calcule les M-dimensions.

Toute section borélienne s du fibré \overline{Σ}^{(n)} → X définit un champ de simplexes ordonnés ; elle définit donc un champ de vecteurs x ↦ s(x) à valeurs dans C_{n}(\overline{Σ}_{x}, ZZ) ⊂ C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}_{x}). Un champ de vecteurs x ↦ σ(x) ∈ C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}_{x}) est dit borélien si x ↦ ⟨σ(x)/s(x)⟩_{x} est une fonction borélienne pour toute section borélienne s.

L’intégrale hilbertienne des espaces C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}_{x}) est appelé espace des n-chaînes L^{2} et notée :

C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}) := ∫_{X}^{⊕} C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}_{x})dμ(x).

Rappelons qu’elle est définie comme l’espace des champs de vecteurs boréliens σ qui sont de carré intégrable : x ↦ ||σ(x)||_{x} ∈ L^{2}(X, μ), avec le produit scalaire (σ|σ′) = ∫_{X}(σ(x)|σ′(x))_{x}dμ(x).

Rappelons que l’action du groupe de permutations des coordonnées de \underbrace{\overline{Σ}^{(0)} ∗ ⋯ ∗ \overline{Σ}^{(0)}}_{n+1 times} sur \overline{Σ}^{(n)} commute avec celle de R.

Soit \overline{Σ}_{ro}^{(n)} un domaine fondamental (borélien) R-invariant pour cette action de 𝔖_{n+1} sur \overline{Σ}^{(n)}. Il selectionne mesurablement pour chaque R-orbite de simplexes non ordonnés (constituée de (n+1)! R-orbites de simplexes ordonnés) une R-orbite de représentants ordonnés (ro).

Soit F′ un domaine fondamental (borélien) du R-espace discret \overline{Σ}_{ro}^{(n)}. C’est aussi un domaine fondamental pour l’action de R × 𝔖_{n+1}.

Soit F′ = ∐_{j∈J} F′_{j} une partition (borélienne) de F′ telle que la projection π : \overline{Σ}^{(n)} → X soit injective sur chaque F_{j}.

La fonction caractéristique χ_{F_{j}} définit un champ de vecteurs σ_{j} ∈ C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}), où : σ_{j}(x) = 0 si x n’appartient pas à π(F_{j}) et σ_{j}(x) ∈ C_{n}(\overline{Σ}_{x}, ZZ) est le n-simplexe orienté associé au n-simplexe ordonné π^{−1}(x) ∈ F_{j}, sinon.

Définition 3.1 On dit que (σ_{j}) est une famille de champs de représentants de \overline{Σ}^{(n)}.

On justifie l’existence de tels objets :

Une identification de \overline{Σ} avec un sous-complexe R-invariant de ER (lemme 2.8) assure qu’il suffit de montrer leur existence pour ER, le cas général s’obtenant alors par restrictions. Puisque X est un borélien standard, on peut supposer que X = [0, 1] et choisir un ordre total sur X × IN. On peut alors prendre pour ER_{ro}^{(n)} l’ensemble des (x, (y_{0}, i_{0}), (y_{1}, i_{1}), ⋯, (y_{n}, i_{n})) pour lesquels (y_{0}, i_{0}) < (y_{1}, i_{1}) < ⋯ < (y_{n}, i_{n}), et pour F′ ajouter la condition y_{0} = x.

On considère (cf. définition 2.4) pour g ∈ [R] ou ϕ ∈ L^{∞}(X, μ), les opérateurs continus L^{2}(\overline{Σ}^{n}, ν^{n+1}) ⟶ L^{2}(\overline{Σ}^{n}, ν^{n+1}) L_{g}^{n}.η(u) = η(g^{−1}.u) et L_{ϕ}^{n}.η(u) = ϕ(π(u)).η(u).

Proposition 3.2

(1) Les opérateurs L_{g}^{n}, L_{ϕ}^{n} sur L^{2}(\overline{Σ}^{n}, ν^{n+1}) induisent sur les espaces C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}) une structure de M-module de Hilbert ; on note L^{n} la représentation correspondante de M.

(2) Soit H un sous-espace fermé M-invariant de alors dim_{M}(H) = ∑_{j∈J_{n}}(p(σ_{j})/σ_{j}) où P est le

projecteur orthogonal sur H et les σ_{j} parcourent une famille de champs de représentants de \overline{Σ}^{(n)}.

(3) En particulier, dim_{M} C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}) = \frac{1}{(n+1)!}ν^{n}(Σ^{n}).

Ce qu’on vient de définir fournit des isomorphismes naturels

C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}) ≃ L^{2}(\overline{Σ}_{ro}^{(n)}, ν) ≃ L^{2}(\overline{Σ}^{(n)}/𝔖_{n+1}, ν).

On applique alors la proposition 2.5. La structure de M-module de Hilbert ne dépend évidemment pas des choix. Pour différents choix, on obtient différents plongements isométriques R-équivariants de C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}) dans ⊕_{j∈J}L^{2}(R, ν). Puisque M est engendrée par la représentation de R sur L^{2}(R, ν), ces différents plongements sont M-isomorphes. Le (3) s’obtient immédiatement par définition des champs de représentants et par 2.2.3. Le terme \frac{1}{(n+1)!} vient de l’action de 𝔖_{n+1}. ■

L’espace \overline{Σ}^{(n)}/𝔖_{n+1}, quotient de l’action sur \overline{Σ}^{(n)} du groupe de permutations des coordonnées de \underbrace{\overline{Σ}^{(0)} ∗ ⋯ ∗ \overline{Σ}^{(0)}}_{n+1 times} (action commute avec celle de R) est un R-espace discret et on a un isomor-

phisme naturel

C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}) ≃ L^{2}(\overline{Σ}^{(n)}/𝔖_{n+1}, ν)

.

Définition 3.3 Une suite exhaustive de champs de vecteurs est une suite de champs mesurables (τ_{i})_{i∈IN} à valeurs dans C_{n}(Σ_{x}, ZZ) telle que pour tout x, la suite (τ_{i}(x))_{i} parcourt l’ensemble dénombrable C_{n}(Σ_{x}, ZZ) tout entier.

Prenons une famille de champs de représentants (σ_{j})_{j∈J} et un groupe dénombrable G tel que R = R_{G}. La famille dénombrable des (x ↦ σ_{j}(g^{−1}.x))_{g∈G,j∈J_{n}} exhauste tous les n-simplexes. Les combinaisons linéaires à cœfficients entiers de ces champs forment une suite exhaustive de champs de vecteurs.

Définition 3.4 Étant donnés deux R-complexes simpliciaux \overline{Σ} et \overline{Σ}′, on appelle champ borélien équivariant d’applications linéaires entières la donnée pour chaque x ∈ X d’une application linéaire t_{x} : C_{n}(\overline{Σ}_{x}, ZZ) → C_{p}(\overline{Σ}′_{x}, ZZ) tel que

(1) les champs (t_{x}τ_{j}) sont mesurables, pour une suite de champs de vecteurs (τ_{j})_{j} telle que pour tout x ∈ X, la suite (τ_{j}(x))_{j} engendre C_{n}(\overline{Σ}_{x}, ZZ),

(2) t_{g.x}L_{g}^{n} = L_{g}^{p}t_{x} pour tout x ∈ X et g ∈ [R].

De tels champs s’étendent en des champs d’applications linéaires densément définies sur les champs de chaînes ℓ^{2}. Si les t_{x} sont uniformément bornés, le champs s’intègre en un opérateur borné T = ∫^{⊕} t_{x}dμ(x) [Dix69, chap. II, §2], qui est M-équivariant. Les champs d’applications bord en fournissent des exemples :

∂_{n}^{x} : C_{n}(Σ_{x}, ZZ) → C_{n+1}(Σ_{x}, ZZ).

3.2 Si la structure simpliciale est uniformément localement borné

Si \overline{Σ} est uniformément localement borné (ULB)(définition 2.7), alors les ∂_{n}^{x} sont uniformément bornés et s’intègrent en des opérateurs bornés M-équivariants (on peut se référer au lemme 4.11) et on dispose alors d’un complexe de M-modules de Hilbert :

0 \underleftarrow{∂_{0}} C_{0}^{(2)}(\overline{Σ}) \underleftarrow{∂_{1}} C_{1}^{(2)}(\overline{Σ}) \underleftarrow{∂_{2}} ⋯ \underleftarrow{∂_{n}} C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}) \underleftarrow{∂_{n+1}} C_{n+1}^{(2)}(\overline{Σ}) \underleftarrow{∂_{n+2}} ⋯

Définition 3.5 L’homologie L^{2} réduite du R-complexe simplicial uniformément localement borné \overline{Σ} est constituée des M-modules de Hilbert :

H̄_{n}^{(2)}(\overline{Σ}, R, μ) = Ker ∂_{n}/\overline{Im ∂_{n+1}},

où \overline{Im ∂_{n+1}} est l’adhérence de Im ∂_{n+1}. Leurs M-dimensions donnent les nombres de Betti L^{2} de \overline{Σ} :

β_{n}(\overline{Σ}, R, μ) := dim_{M}(H̄_{n}^{(2)}(\overline{Σ}, R, μ)).

Définition 3.6 Le M-module H̄_{n}^{(2)}(\overline{Σ}, R, μ) se plonge isométriquement dans ker ∂_{n} ⊂ C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}) comme supplémentaire orthogonal de \overline{Im ∂_{n+1}}. L’image de ce plongement, noté H_{n}^{(2)}(\overline{Σ}) est appelé l’espace des n-chaînes harmoniques L^{2} de \overline{Σ}. De même, dualement, avec l’opérateur ∂_{n+1}^{∗} : C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}) → C_{n+1}^{(2)}(\overline{Σ}), on définit la cohomologie réduite H̄_{(2)}^{n}(\overline{Σ}, R, μ) = Ker ∂_{n+1}^{∗}/\overline{Im ∂_{n}^{∗}} et l’espace des co-chaînes harmoniques H_{(2)}^{n}(\overline{Σ}) = Ker ∂_{n+1}^{∗} ⊖ \overline{Im ∂_{n}^{∗}}.

On a des isomorphismes naturels de M-modules de Hilbert

H̄_{n}^{(2)}(\overline{Σ}) ≃ H_{n}^{(2)}(\overline{Σ}) = Ker Δ_{n} ≃ H_{(2)}^{n}(\overline{Σ}) = H̄_{(2)}^{n}(\overline{Σ})

où Δ_{n} est le laplacien Δ_{n} = ∂_{n}^{∗}∂_{n} + ∂_{n+1}∂_{n+1}^{∗} sur C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}).

3.3 Dans le cas général (structure simpliciale non nécessairement ULB)

Soit ℭ\overline{Σ} la catégorie dont les objets sont tous les sous-complexes simpliciaux R-invariants uniformément localement bornés de \overline{Σ}, et les seuls morphismes sont les inclusions. À une telle inclusion \overline{Σ}_{α} ⊂ \overline{Σ}_{β} correspond en homologie le morphisme

J_{α,β} : H̄_{n}^{(2)}(\overline{Σ}_{α}, R, μ) → H̄_{n}^{(2)}(\overline{Σ}_{β}, R, μ).

Posons

∇_{n}(\overline{Σ}_{α}, \overline{Σ}_{β}) := dim_{M} \overline{Im (J_{α,β})}.

Pour les \overline{Σ}_{α} ⊂ \overline{Σ}_{β}, la fonction ∇_{n} est décroissante en \overline{Σ}_{β} et croissante en \overline{Σ}_{α} (par le théorème du rang 1.2).

Définition 3.7 L’homologie L^{2} réduite du R-complexe simplicial \overline{Σ} est la limite inductive (ou directe ou colimite) suivant ℭ\overline{Σ} :

H̄_{n}^{(2)}(\overline{Σ}, R, μ) = lim_{ℭ\overline{Σ}} H̄_{n}^{(2)}(\overline{Σ}_{α}, R, μ).

On appelle n-ème nombre de Betti L^{2} de \overline{Σ} la quantité :

(3.7.∗)  β_{n}(\overline{Σ}, R, μ) = sup\{inf\{∇_{n}(\overline{Σ}_{α}, \overline{Σ}_{β}) / \overline{Σ}_{β} ∈ ℭ\overline{Σ}, \overline{Σ}_{α} ⊂ \overline{Σ}_{β}\} / \overline{Σ}_{α} ∈ ℭ\overline{Σ}\}.

Proposition 3.8 Si \overline{Σ} est ULB, alors ces définitions coïncident avec celle de (3.5).

Remarque-Démonstration de 3.8 : La limite inductive H̄_{n}^{(2)}(\overline{Σ}, R, μ) est un M-module (pas nécessairement de Hilbert). Il possède une dimension généralisée au sens de W. Lück. Cette dimension prolonge la dimension de von Neumann et est précisément donnée par la formule (3.7.∗) [Lüc98a, th. 2.9]. Si \overline{Σ} est ULB, ℭ\overline{Σ} a pour objet final \overline{Σ} et les définitions de l’homologie coïncident donc. Le résultat de W. Lück permet de conclure que les nombres de Betti dans les deux définitions sont les mêmes. Cependant, une preuve directe s’obtient en appliquant le lemme 4.2.(1), après avoir remarqué que par décroissance de ∇_{n} pour α fixé, inf_{β≥α}\{∇_{n}(\overline{Σ}_{[α]}, \overline{Σ}_{[β]})\} = ∇_{n}(\overline{Σ}_{[α]}, \overline{Σ}).

Proposition 3.9 Soit (\overline{Σ}_{s})_{s∈IN} une suite croissante exhaustive de sous-complexes R-invariants ULB de \overline{Σ}. Alors

β_{n}(\overline{Σ}, R, μ) = lim_{s→∞}↗ lim_{t≥s t→∞} ↘ ∇_{n}(\overline{Σ}_{s}, \overline{Σ}_{t}).

Autrement dit, dans la formule (3.7.∗), on peut remplacer ℭ\overline{Σ} par n’importe quelle suite croissante exhaustive. Cette proposition essentielle sera prouvée en section 4.1.

3.4 Si R est donnée par une action libre de Γ.

Définition 3.10 Soit K un complexe simplicial dénombrable sur lequel Γ agit librement. L’espace

\overline{Σ}K := X × K

est muni de l’action diagonale de Γ. Cette action s’étend en une R-action pour faire de \overline{Σ}K un R-complexe simplicial. Plus précisément, l’espace \overline{Σ}K^{(0)} := X × K^{(0)} est un espace fibré standard de la façon la plus naturelle : π(x, s) = x. L’action diagonale de Γ sur X × K^{(0)} s’étend en une action disrète de R : (γ.x, x).(x, s) = (γ.x, γ.s). Les espaces de n-simplexes ordonnés s’obtiennent à partir de ceux de K : \overline{Σ}K^{(n)} = X × K^{(n)}.

Une identification mesurable Θ de \overline{Σ} avec un sous-complexe R-invariant de ER s’obtient comme suit : Choisissons un ensemble {s_{0}, s_{1}, s_{2} ⋯} de représentants des orbites de Γ sur le 0-squelette K^{0} de K. Posons Θ(x, γ_{0}s_{j}) = (x, γ_{0}^{−1}x, j) ∈ ER^{(0)} pour (x, γ_{0}s_{j}) ∈ \overline{Σ}K^{(0)}. Alors via Θ, l’action de Γ n’est que sur la première coordonnée : Θ(γ.(x, γ_{0}s_{j})) = (γ.x, γ_{0}^{−1}x, j). Plus généralement, si σ est un n-simplexe ordonné de K de la forme σ = (γ_{0}s_{j_{0}}, γ_{1}s_{j_{1}}, ⋯, γ_{n}s_{j_{n}}), on a Θ(γ(x, σ)) = (γx, (γ_{0}^{−1}x, j_{0}), (γ_{1}^{−1}x, j_{1}), ⋯, (γ_{n}^{−1}x, j_{n})). Chaque \overline{Σ}K_{x}, basé en (x, s_{0}), s’identifie avec K basé en s_{0}.

Théorème 3.11 Si Γ agit librement en préservant la probabilité μ sur X et si Γ agit librement sur le complexe simplicial K, alors pour tout n ∈ IN :

β_{n}(K : Γ) = β_{n}(\overline{Σ}K, R).

Ce théorème sera démontré en section 4.2.

Théorème 3.12 Si Γ_{1} et Γ_{2} admettent des actions libres préservant la probabilité μ sur X qui produisent la même relation d’équivalence R, alors pour tout n ∈ IN,

β_{n}(Γ_{1}) = β_{n}(Γ_{2}).

La preuve est très simple maintenant que les objets sont définis et quand on dispose du théorème 3.11.

Démonstration du théorème 3.12. Soient K_{1} = EΓ_{1} et K_{2} = EΓ_{2} les revêtements universels des espaces classifiants de Γ_{i} obtenus en prenant le joint infini de Milnor d’une infinité dénombrables de copies de Γ_{i}. Les nombres β_{n}(K_{i} : Γ_{i}) sont les nombres de Betti ℓ^{2} de Γ_{i}. Considérons les Rcomplexes simpliciaux associés \overline{Σ}K_{1} et \overline{Σ}K_{2} (ils s’identifient à l’espace introduit dans [Hae71, 5]). Quitte à ôter une partie négligeable de X, ils s’identifient. Plus précisément leurs images dans ER via Θ sont identiques : \overline{Σ}K_{i}^{(0)} ≃ ER^{(0)} (on a une infinité d’orbites de sommets dans K_{i}, indexés par les entiers) ; les n-simplexes sont formés de tous les n + 1-uplets de points v_{i} = (x, y_{i}, j_{i}) qui sont dans la même fibre (même x) et dont les j_{i} sont deux à deux distincts. Par conséquent, grâce au théorème 3.11 :

β_{n}(Γ_{1}) = β_{n}(K_{1} : Γ_{1}) = β_{n}(\overline{Σ}K_{1}, R) = β_{n}(\overline{Σ}K_{2}, R) = β_{n}(K_{2} : Γ_{2}) = β_{n}(Γ_{2}).

■

3.5 Nombres de Betti L^{2} de la relation

Théorème 3.13 Tous les R-complexes simpliciaux p-connexes ont le même nombre de Betti β_{p}. Si \overline{Σ} et \overline{Ψ} sont deux R-complexes simpliciaux telles que \overline{Σ} soit p-connexe et \overline{Ψ} soit (p − 1)-connexe, alors

β_{p}(\overline{Σ}, R) ≤ β_{p}(\overline{Ψ}, R).

Ce théorème est le résultat central de ce papier. Il sera démontré en section 4.3.

Définition 3.14 On appelle alors n-ème nombre de Betti L^{2} de la relation d’équivalence R et on note

β_{n}(R, μ)

le n-ème nombre de Betti L^{2} de n’importe quel R-complexe simplicial n-connexe, par exemple celui de son R-complexe simplicial universel ER (voir section 2.2.1).

Propriétés 3.15 1. Si \overline{Σ} est de dimension ≤ p, alors pour tout n > p on a β_{n}(\overline{Σ}, R, μ) = 0 .

2. Si les classes de R sont infinies, alors β_{0}(R) = 0.

Seul l’item (2) demande une explication. Si \overline{Σ} est un R-complexe simplicial ULB et si σ ∈ H_{(2)}^{0}(\overline{Σ}, R, μ), alors σ est constante sur les composantes connexes, donc nulle sur les composantes connexes infinies.

On peut trouver une suite croissante (\overline{Σ}_{s})_{s∈IN} de R-complexes simpliciaux ULB de dimension 1 pour lesquels les \overline{Σ}_{sx} ont toutes leurs composantes connexes infinies et dont la réunion \overline{Σ} = ∪_{s}\overline{Σ}_{s} est connexe. En effet, considérons un graphage Φ = (φ_{1}, ⋯, φ_{j}, ⋯) sur R pour lequel les \overline{Σ}Φ sont connexes (cf. exemple 2.2.2). Soit une sous-relation de R hyperfinie à classes infinies (cf. 1.11). Elle est donnée par une action libre de ZZ, engendrée par un isomorphisme φ : X → X. La suite de R-complexes simpliciaux \overline{Σ}Φ_{s} associée aux graphages Φ_{s} = (φ, φ_{1}, ⋯, φ_{s}) vérifient la condition.

On en déduit que dim_{M} H_{(2)}^{0}(\overline{Σ}_{s}, R, μ) = 0, pour tout s, et donc β_{0}(R) = β_{0}(\overline{Σ}, R, μ) = 0. ■

On obtient comme corollaires immédiats du théorème :

Corollaire 3.16 Si R est produite par une action libre de Γ préservant μ sur X, alors pour tout n ∈ IN

β_{n}(R, μ) = β_{n}(Γ).

Corollaire 3.17

S’il existe un R-complexe simplicial contractile de dimension ≤ p, alors β_{n}(R) = 0, pour n > p.

Si R est produite par une action libre de Γ et si R admet un R-complexe simplicial contractile de dimension ≤ p, alors β_{n}(Γ) = 0, pour tout n > p .

On appelle dimension de R le minimum des dimensions des R-complexes simpliciaux contractiles. Par exemple, les relations R dont (presque) toutes les orbites sont finies sont de dimension 0. Une relation d’équivalence arborable est de dimension 1.

3.6 Inégalités de Morse-Caractéristique d’Euler

Soit \overline{Σ} un R-complexe simplicial. Posons α_{i}(\overline{Σ}) = dim_{M} C_{i}^{(2)}(\overline{Σ}) = \frac{ν^{i}(\overline{Σ}^{i}/R)}{(i+1)!}.

Proposition 3.18 (Inégalités de Morse) Si les α_{i}(\overline{Σ}) sont finis pour i = 0, ⋯, n, alors :

α_{n}(\overline{Σ}) − α_{n−1}(\overline{Σ}) + ⋯ + (−1)^{n}α_{0}(\overline{Σ}) ≥ β_{n}(\overline{Σ}) − β_{n−1}(\overline{Σ}) + ⋯ + (−1)^{n}β_{0}(\overline{Σ}).

Cette proposition sera démontrée en section 4.4.

On appelle caractéristique d’Euler de \overline{Σ} la somme alternée des mesures des espaces de isimplexes non ordonnés, lorsque les α_{i}(\overline{Σ}) sont finis et cette série convergente :

χ(\overline{Σ}) = ∑_{i}(−1)^{i} \frac{ν^{i}(\overline{Σ}^{(i)})}{(i + 1)!} = ∑_{i}(−1)^{i}α_{i}(\overline{Σ}).

De même si les séries sont convergentes, on définit la caractéristique d’Euler L^{2} de \overline{Σ} et la caractéristique d’Euler L^{2} de R :

χ^{(2)}(\overline{Σ}) = ∑_{i}(−1)^{i}β_{i}(\overline{Σ})

χ^{(2)}(R) = ∑_{i}(−1)^{i}β_{i}(R).

Proposition 3.19 (formule d’Euler-Poincaré-Atiyah) Si la caractéristique d’Euler de \overline{Σ} est bien définie, alors la caractéristique d’Euler L^{2} de \overline{Σ} est bien définie et on a l’égalité :

χ(\overline{Σ}) = χ^{(2)}(\overline{Σ}).

Démonstration de la proposition 3.19. Les inégalités de Morse fournissent les encadrements : ∑_{i=0}^{2n+1}(−1)^{i}α_{i}(\overline{Σ}) ≤ ∑_{i=0}^{2n+1}(−1)^{i}β_{i}(\overline{Σ}) ≤ ∑_{i=0}^{2n}(−1)^{i}β_{i}(\overline{Σ}) ≤ ∑_{i=0}^{2n}(−1)^{i}α_{i}(\overline{Σ}). Cela assure la convergence de la caractéristique d’Euler L^{2} de \overline{Σ} et l’égalité annoncée. ■

On retrouve alors, avec la même preuve que [Eck00, th. 4.1.1], le lien entre β_{1}(Γ) et les présentations de Γ, pour Γ de type fini :

Corollaire 3.20 Si Γ est de type fini, alors pour toute présentation de Γ à g générateurs et r relations, on a l’inégalité : g ≤ 1 + β_{1}(Γ) + r.

Si Γ est infini, de présentation finie, il agit librement sur son complexe de Cayley, qui est un CW-complexe de dimension 2 simplement connexe, à 1 (resp. g, resp. r) cellules de dimension 0 (resp. 1, resp. 2). Il agit alors librement sur un complexe simplicial K tel que 1 − g + r = α_{0}(\overline{Σ}K) − α_{1}(\overline{Σ}K) + α_{2}(\overline{Σ}K) = β_{0}(\overline{Σ}K) − β_{1}(\overline{Σ}K) + β_{2}(\overline{Σ}K) ≥ −β_{1}(Γ). ■

Lorsque \overline{Σ} est ULB (donc de dimension finie) et \overline{Σ}^{(0)} = R, la caractéristique d’Euler χ(\overline{Σ}) s’interprète bien sûr comme une courbure moyenne sur les sommets x ∈ X des complexes simpliciaux \overline{Σ}_{x}, où la courbure au sommet x est la somme alternée des nombres, pondérés par \frac{1}{i+1}, de i-simplexes ordonnés contenant x (voir aussi [Ele97, th. 2]).

Proposition 3.21 Si R est produite par une action libre de Γ et si la caractéristique d’Euler virtuelle de Γ est bien définie (voir par exemple [Bro82, IX.7]) alors

χ_{virt}(Γ) = χ^{(2)}(R).

En effet, on sait que la caractéristique d’Euler virtuelle est égale à la somme alternée des nombres de Betti ℓ^{2} de Γ (=la caractéristique d’Euler ℓ^{2} de Γ [CG86, prop. 0.4 et (0.25)]). On conclut à l’aide du théorème 3.16.

Corollaire 3.22 On a une inégalité C(R) − 1 ≥ β_{1}(R) − β_{0}(R), entre le coût et les premiers nombres de Betti L^{2} de R. Si R est une relation arborable, alors on obtient égalité.

Démonstration. Si Φ est un graphage de la relation R, comme dans l’exemple 2.2.2, alors dim_{M} C_{1}^{(2)}(\overline{Σ}Φ) = α_{1} = C(Φ). L’égalité de la proposition 3.19 entre les caractéristiques d’Euler (avec α_{0} = 1), et l’inégalité du théorème 3.13 assurent pour tout graphage Φ de R : C(Φ) − 1 = β_{1}(\overline{Σ}Φ) − β_{0}(\overline{Σ}Φ) ≥ β_{1}(R) − β_{0}(R), avec égalité si Φ est un arborage. Les énoncés s’en déduisent par définition de C(R) comme infimum (exemple 2.2.2). ■

Question On ne connait aucun exemple d’inégalité stricte. A-t-on toujours l’égalité C(R) − 1 = β_{1}(R) − β_{0}(R) ? Plus généralement, a-t-on toujours l’égalité inf\{α_{n}(\overline{Σ}) − α_{n−1}(\overline{Σ}) + ⋯ + (−1)^{n}α_{0}(\overline{Σ})\} = β_{n}(R) − β_{n−1}(R) + ⋯ + (−1)^{n}β_{0}(R), où l’infimum est pris sur tous les R-complexes simpliciaux (n − 1)-connexes ?

4 Démonstrations

On dit qu’un morphisme de M-modules h : A → B est un ϵ-isomorphisme si son noyau Ker (h) et son “conoyau” B/\overline{Im (h)} sont de M-dimensions inférieures à ϵ. On note

d(\overline{Σ}, \overline{Σ}′) = ∑_{j=0}^{∞} \frac{1}{(j + 1)!}ν^{j}(\overline{Σ}^{j}Δ\overline{Σ}^{′j})

(où \overline{Σ}^{j}Δ\overline{Σ}^{′j} est la différence symétrique) la “distance” entre deux sous-complexes simpliciaux Rinvariants d’un R-complexe simplicial donné, quantité finie lorsque les structures sont ULB.

Lemme 4.1 Considérons un diagramme commutatif : \begin{matrix}A & \underrightarrow{s} & C \\ g ↓ & & ↓ h \\ B & \underrightarrow{t} & D \end{matrix} de M-modules de

Hilbert. Si dim_{M} Ker (t) ≤ ϵ et dim_{M} C/\overline{s(A)} ≤ ϵ alors la restriction t′ : \overline{Im (g)} ⟶ \overline{Im (h)} de t est alors un ϵ-isomorphisme.

Démonstration du lemme 4.1. Par commutation, t′ est bien défini. Son noyau est contenu dans celui de t. Par ailleurs h induit entre C/\overline{s(A)} et \overline{Im h}/\overline{Im h ∘ s} = \overline{Im h}/\overline{Im t′} un morphisme surjectif. Le théorème du rang 1.2 permet de conclure. ■

Lemme 4.2 Soit \overline{Σ} est un R-complexe simplicial.

(1) Si \overline{Σ}′ est un sous-complexe R-invariant de \overline{Σ} alors les applications linéaires H̄_{n}^{(2)}(\overline{Σ}′) ⟶^{j} H̄_{n}^{(2)}(\overline{Σ}), induites en homologie par l’inclusion sont des (d(\overline{Σ}, \overline{Σ}′))-isomorphismes.

(2) Si on a quatre sous-complexes R-invariants de \overline{Σ} telles que \begin{aligned}\overline{Σ}_{1} & ⊂ & \overline{Σ}_{2} \\ ∪ & & ∪ \\ \overline{Σ}_{3} & ⊂ & \overline{Σ}_{4} \end{aligned} , alors pour tout n

|∇_{n}(\overline{Σ}_{1}, \overline{Σ}_{2}) − ∇_{n}(\overline{Σ}_{3}, \overline{Σ}_{4})| ≤ max\{d(\overline{Σ}_{1}, \overline{Σ}_{3}), d(\overline{Σ}_{2}, \overline{Σ}_{4})\}

Démonstration du lemme 4.2. \overline{Σ} est de dimension finie ≤ p puisque ULB. La somme d(\overline{Σ}, \overline{Σ}′) est finie. Les applications linéaires d’inclusion C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}′) →^{i} C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}) sont des plongements isométri-

ques, entre espaces de M-dimensions respectives ^{\frac{ν^{n}(\overline{Σ}^{′n})}{(n+1)!}} et \frac{ν^{n}(\overline{Σ}^{n})}{(n+1)!}. Ce sont donc des d(\overline{Σ}, \overline{Σ}′))-

isomorphismes. Ils commutent avec les opérateurs bord ∂_{n} (notés ∂′_{n} lorsqu’ils concernent \overline{Σ}′). On applique le lemme 4.1 pour montrer que les M-dimensions des espaces \overline{Im (∂_{n−1})} et \overline{Im (∂′_{n−1})} diffèrent d’au plus d(\overline{Σ}, \overline{Σ}′). On utilise alors les décompositions orthogonales :

(a) C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}′) = Ker (∂′_{n})^{⊥} ⊕ \overline{Im (∂′_{n−1})} ⊕ H′_{n}

(b) C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}) = Ker (∂_{n})^{⊥} ⊕ i(\overline{Im (∂′_{n−1})}) ⊕ (\overline{Im (∂_{n−1})} ⊖ i(\overline{Im (∂′_{n−1})})) ⊕ H_{n}.

L’espace H′_{n} ≃ H̄_{n}^{(2)}(\overline{Σ}′) se plonge par i dans les deux derniers termes de (b). Le noyau de j est donc isomorphe à un sous-espace de (\overline{Im (∂_{n−1})} ⊖ i(\overline{Im (∂′_{n−1})})), de M-dimension ≤ d(\overline{Σ}, \overline{Σ}′).

On applique le lemme 4.1 à \begin{matrix}C_{n}(\overline{Σ}′) & ⟶^{i} & C_{n}(\overline{Σ}) \\ ↓ & & ↓ \\ H_{n}(\overline{Σ}′) & ⟶^{j} & H_{n}(\overline{Σ}) \end{matrix} pour montrer (1). La partie (2) s’en déduit

encore par une application du lemme 4.1. ■

4.1 Démonstration de la proposition 3.9

Soit s ∈ IN fixé. Montrons :

Lemme 4.3 inf\{∇_{n}(\overline{Σ}_{s}, \overline{Σ}_{t})/t ≥ s\} = inf\{∇_{n}(\overline{Σ}_{s}, \overline{Σ}_{β})/\overline{Σ}_{β} ∈ ℭ\overline{Σ}, \overline{Σ}_{β} ⊃ \overline{Σ}_{s}\}.

On a a priori une inégalité ≥. Pour tout \overline{Σ}_{β} ⊃ \overline{Σ}_{s}, on a ∇_{n}(\overline{Σ}_{s}, \overline{Σ}_{t}) ≤ ∇_{n}(\overline{Σ}_{s}, \overline{Σ}_{β} ∩ \overline{Σ}_{t}). Par exhaustion, pour tout ϵ > 0, il existe t_{0} à partir duquel d(\overline{Σ}_{β} ∩ \overline{Σ}_{t}, \overline{Σ}_{β}) ≤ ϵ. Alors grâce au lemme 4.2.(2), ∇_{n}(\overline{Σ}_{s}, \overline{Σ}_{β} ∩ \overline{Σ}_{t}) ≤ ∇_{n}(\overline{Σ}_{s}, \overline{Σ}_{β}) + 3ϵ. Cela permet de montrer l’autre inégalité. Montrons maintenant :

Lemme 4.4 sup\{inf\{∇_{n}(\overline{Σ}_{s}, \overline{Σ}_{t})/t ≥s\}s ∈ IN\}=sup\{inf\{∇_{n}(\overline{Σ}_{α}, \overline{Σ}_{β})/\overline{Σ}_{β} ⊃ \overline{Σ}_{α}\}\overline{Σ}_{α} ∈ ℭ\overline{Σ}\}.

Vu ce qui précède, on a a priori une inégalité ≤. Pour tout \overline{Σ}_{α} ∈ ℭ\overline{Σ} et tout t ≥ s, on a ∇_{n}(\overline{Σ}_{s}, \overline{Σ}_{t}) ≥ ∇_{n}(\overline{Σ}_{s}∩\overline{Σ}_{α}, \overline{Σ}_{t}∪\overline{Σ}_{α}). Pour tout ϵ > 0, il existe s_{0} à partir duquel d(\overline{Σ}_{s}∩\overline{Σ}_{α}, \overline{Σ}_{α}) ≤ ϵ. Alors (lemme 4.2.(2)), ∇_{n}(\overline{Σ}_{s} ∩ \overline{Σ}_{α}, \overline{Σ}_{t} ∪ \overline{Σ}_{α}) ≥ ∇_{n}(\overline{Σ}_{α}, \overline{Σ}_{t} ∪ \overline{Σ}_{α}) − 3.ϵ ≥ inf\{∇_{n}(\overline{Σ}_{α}, \overline{Σ}_{β})/\overline{Σ}_{β} ⊃ \overline{Σ}_{α}\} − 3.ϵ. Ainsi, sup\{inf\{∇_{n}(\overline{Σ}_{s}, \overline{Σ}_{t})/t ≥ s\}s ∈ IN\} = sup\{inf\{∇_{n}(\overline{Σ}_{s}, \overline{Σ}_{t})/t ≥ s\}s ≥ s_{0}\}

≥ inf\{∇_{n}(\overline{Σ}_{α}, \overline{Σ}_{β})/\overline{Σ}_{β} ⊃ \overline{Σ}_{α}\} − 3.ϵ. L’autre inégalité s’en déduit. ■

4.2 Démonstration du théorème 3.11

On commence par montrer ce théorème dans le cas où K est co-compact. On montre mieux :

Lemme 4.5 Soient K_{1} ⊂ K_{2} deux sous-complexes Γ-invariants cocompacts de K, soient j et J les opérateurs induits en homologie (ou sur les chaînes harmoniques) par l’inclusion. On a :

dim_{Γ}(Im H̄_{n}^{(2)}(K_{1}) \underrightarrow{j} H̄_{n}^{(2)}(K_{2})) = dim_{M}(Im H̄_{n}^{(2)}(\overline{Σ}K_{1}) \underrightarrow{J} H̄_{n}^{(2)}(\overline{Σ}K_{2})) := ∇_{n}(\overline{Σ}K_{1}, \overline{Σ}K_{2}).

Si τ ∈ C_{(2)}^{n}(K) est une n-cochaîne de K, on appelle τ_{Θ} la n-cochaîne associée de C_{(2)}^{n}(\overline{Σ}K) dont les valeurs ne dépendent pas de x : τ_{Θ}c(x, σ) = τ(σ). De même pour les chaînes.

Si σ est une (co)-chaîne L^{2} de \overline{Σ}K, on appelle σ_{x} la (co)-chaîne ℓ^{2} de K_{x} correspondante ; bien définie pour μ-presque tout x ∈ X.

Si h est un opérateur est un opérateur borné défini sur les (co)-chaînes de K_{i}, on note ∫ h l’opérateur associé sur les (co)-chaînes de \overline{Σ}K_{i}, donné par (∫ h(σ))_{x} = h(σ_{x}). Il est clair que les opérateurs bord, cobord, laplacien et l’opérateur d’inclusion de K_{i} s’intègrent en les opérateurs correspondants de \overline{Σ}K_{i}. Considérons une chaîne σ ∈ C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}K_{i}). On a clairement :

σ ∈ Ker (∫ h) si et seulement si pour μ-presque tout x ∈ X la chaîne σ_{x} ∈ Ker h.

En particulier, σ est harmonique si et seulement si σ_{x} est harmonique pour μ-presque tout x ∈ X. On a aussi :

σ ∈ Ker (∫ h)^{⊥} si et seulement si pour μ-presque tout x ∈ X la chaîne σ_{x} ∈ Ker h^{⊥}.

En effet, si σ ∈ Ker (∫ h)^{⊥} alors pour tout τ dans Ker h, (σ/τ_{Θ}) = 0 donc pour μ-presque tout x ∈ X, (σ_{x}/τ) = 0. On obtient l’implication ⇒ en faisant parcourir à τ une famille dénombrable totale. Inversement, (σ/σ′) = 0 dès lors que, pour μ-presque tout x ∈ X, σ′_{x} ∈ Ker h.

Cela suffit pour montrer les projecteurs orthogonaux (p_{ϵ} et P_{ϵ} pour ϵ = 1, 2) sur les n-chaînes harmoniques de K_{ϵ} et de \overline{Σ}K_{ϵ} se correspondent par intégration, de même que ceux (p_{j} et P_{J}) sur le noyau de j et J.

Soient τ_{1}, ⋯, τ_{s} une famille de représentants des n-simplexes ordonnés de K_{1} (on a choisi un simplexe ordonné pour chaque Γ-orbite de simplexes). Par définition de la Γ-dimension, on a :

dim_{Γ} H_{n}(K_{1}) = T r(p_{1}) = ∑_{i}(p_{1}τ_{i}/τ_{i})

dim_{Γ} Ker j = T r(p_{j}) = ∑_{i}(p_{j}τ_{i}/τ_{i})

La famille des τ_{iΘ} est une famille de représentants des n-simplexes ordonnés de \overline{Σ}K_{1}. Par définition de la M-dimension, on a :

dim_{M} H_{n}(\overline{Σ}K_{1}) = T r(P_{1}) = ∑_{i}(P_{1}τ_{iΘ}/τ_{iΘ})

dim_{M} Ker J = T r(P_{J}) = ∑_{i}(P_{J}τ_{iΘ}/τ_{iΘ})

Par définition du produit scalaire sur C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}K_{1}), on a (P_{1}τ_{iΘ}/τ_{iΘ}) = ∫_{X}(P_{1}τ_{iΘ}/τ_{iΘ})_{x}dμ(x) = ∑_{i}(p_{1}τ_{i}/τ_{i}) et de même pour P_{J}. Cela montre dim_{Γ} H_{n}(K_{1}) = dim_{M} H_{n}(\overline{Σ}K_{1}) et dim_{Γ} Ker j = dim_{M} Ker J et, par le théorème du rang 1.2, l’égalité de dimension des images de j et J. Cela montre le lemme.

Une suite croissante exhaustive (K_{s}) de sous-complexes Γ-invariants co-compacts permet de calculer β_{n}(K : Γ) par la formule de la définition 1.4 sur les actions simpliciales. La suite associée (\overline{Σ}K_{s}) permet de calculer β_{n}(K, R) par la proposition 3.9. Le lemme précédent assure alors l’égalité de ces deux nombres. ■

4.3 Démonstration du théorème 3.13

Lemme 4.6 Soient \overline{Σ} et \overline{Ψ} deux R-complexes simpliciaux telles que \overline{Σ} soit p-connexe et \overline{Ψ} soit p − 1-connexe, alors il existe des champs boréliens équivariants t_{x}^{i} et r_{x}^{i} (i = 0, 1, ⋯ p) et s_{x}^{i} (i = 0, 1, ⋯ p + 1) d’applications linéaires entières (déf. 3.4)

(4.6.∗)

0 \underleftarrow{∂_{x}^{0}} C_{0}(\overline{Σ}_{x}, ZZ) \begin{matrix}r_{x}^{0} \\ ⟶ \\ ⟵ \\ ∂_{x}^{1} \end{matrix} … \begin{matrix}r_{x}^{p−1} \\ ⟶ \\ ⟵ \\ ∂_{x}^{p} \end{matrix} C_{p}(\overline{Σ}_{x}, ZZ) \begin{matrix}r_{x}^{p} \\ ⟶ \\ ⟵ \\ ∂_{x}^{p+1} \end{matrix} C_{p+1}(\overline{Σ}_{x}, ZZ)

t_{x}^{0} ↓↑ s_{x}^{0}  t_{x}^{p} ↓↑ s_{x}^{p}  ↑ s_{x}^{p+1}
0 \underleftarrow{∂_{x}^{0}} C_{0}(\overline{Ψ}_{x}, ZZ) \underleftarrow{∂_{x}^{1}}  \underleftarrow{∂_{x}^{p}} C_{p}(\overline{Ψ}_{x}, ZZ) \underleftarrow{∂_{x}^{p+1}} C_{p+1}(\overline{Ψ}_{x}, ZZ)

qui vérifient que

(4.6. ∗ ∗) (a) t_{x}^{i−1}∂_{x}^{i} = ∂_{x}^{i}t_{x}^{i}  (b) s_{x}^{i−1}∂_{x}^{i} = ∂_{x}^{i}s_{x}^{i}  et  (c) s_{x}^{i}t_{x}^{i} − id = r_{x}^{i−1}∂_{x}^{i} + ∂_{x}^{i+1}r_{x}^{i}.

La preuve de ce lemme utilise le lemme suivant :

Lemme 4.7 Si on a trois R-complexes simpliciaux \overline{Σ}, \overline{Σ}′, \overline{Σ}′′ sur R et deux champs boréliens équiv-

ariants d’applications linéaires entières (déf. 3.4) (u_{x}) et (v_{x}) :C_{l}(\overline{Σ}_{x}, ZZ) ⟶^{u_{x}} C_{n}(\overline{Σ}′′_{x}, ZZ) ↑ v_{x} C_{m}(\overline{Σ}′_{x}, ZZ) tels

que (ponctuellement) pour tout x ∈ X et tout σ ∈ C_{l}(\overline{Σ}_{x}, ZZ) l’équation u_{x}(σ) = v_{x}(W) admette une solution W ∈ C_{m}(\overline{Σ}′_{x}, ZZ) alors il existe un champ borélien équivariant d’applications linéaires entières w_{x} : C_{l}(\overline{Σ}_{x}, ZZ) ⟶ C_{m}(\overline{Σ}′_{x}, ZZ) tel que pour tout pour tout x, σ on ait u_{x}(σ) = v_{x}w_{x}(σ).

Démonstration du lemme 4.7. Soit (σ_{i})_{i∈I} une famille de champs de représentants (cf. 3.1) pour C_{l}(\overline{Σ}_{x}, ZZ) et (τ_{j}) une suite exhaustive de champs de vecteurs de C_{m}(\overline{Σ}′_{x}, ZZ). L’ensemble A_{i}^{j} des x ∈ X tels que j soit le premier entier k pour lequel u_{x}(σ_{i}(x)) = v_{x}(τ_{k}(x)) est mesurable. on pose w_{x}(σ_{i}(x)) := ∑_{j} χ_{A_{i}^{j}}(x)τ_{j}(x). Le champ de vecteurs x ↦ w_{x}(σ_{i}(x)) est mesurable. On étend en imposant l’équivariance à toutes les chaînes données par un simplexe : w_{g.x}L_{g}^{l}(σ_{i}(x)) := L_{g}^{m}w_{x}(σ_{i}(x)) pour g ∈ [R]. On a compatibilité puisque si g fixe x alors g fixe les σ_{x}, et par équivariance de (u_{x}) et (v_{x}) on a encore u_{g.x}(L_{g}^{l}σ_{i}(x)) = v_{g.x}w_{g.x}(L_{g}^{l}.σ_{i}(x)). L’ensemble \{g.σ_{i}(x)/ i ∈ I, g ∈ [R]\} formant une base, on étend (w_{x}) par linéarité à C_{l}(\overline{Σ}_{x}, ZZ). Le champ d’applications linéaires obtenu est mesurable puisque les champs de vecteurs x ↦ w_{g.x}(L_{g}^{l}.σ_{i}(x)) le sont. Il est équivariant par construction. le lemme 4.7 est démontré. ■

Démonstration du lemme 4.6. Pour construire s_{x}^{0}, on choisit une famille de champs de représentants (σ_{j})_{j∈J} de \overline{Ψ}^{(0)} (ou un domaine fondamental mesurable partitionné F = ∐_{j∈J} F_{j} de l’action

de R sur \overline{Ψ}^{(0)}) (cf. déf. 3.1). On choisit aussi une section mesurable S de la fibration π : \overline{Σ}^{(0)} → X. On pose alors s_{x}^{0}(σ_{j}(x)) = S(x), puis on étend par R-équivariance et ZZ-linéarité. On procède de même pour t_{x}^{0}. Par connexité de \overline{Σ}, les équations s_{x}^{0}t_{x}^{0} − id = ∂_{x}^{0}R_{x}^{0} ont des solutions en R, le lemme précédent 4.7 permet de construire le champs (r_{x}^{0}). De manière standard, on construit les (r_{x}^{i}), (s_{x}^{i+1}) et (t_{x}^{i+1}) successivement, vérifiant les identités analogues à (4.6.∗∗). Les identités en degré 1 de moins sont utilisées pour montrer que ponctuellement des cycles sont des bords et la i-connexité assure l’existence de solutions ponctuelles. À nouveau, le lemme 4.7 permet alors de construire des champs mesurables équivariants. On construit ainsi des champs jusqu’à (r_{x}^{p}), (s_{x}^{p+1}) et (t_{x}^{p}). ■

Théorème 4.8 Soient \overline{Σ} et \overline{Ψ} deux R-complexes simpliciaux. Supposons qu’il existe des champs boréliens équivariants t_{x}^{i} et r_{x}^{i} (i = 0, 1, ⋯ p) et s_{x}^{i} (i = 0, 1, ⋯ p + 1) d’applications linéaires tels que dans le diagramme (4.6.∗) qui vérifient les identités (4.6.∗∗), alors

β_{i}(\overline{Σ}, R) ≤ β_{i}(\overline{Ψ}, R), pour i = 0, 1, ⋯, p.

Corollaire 4.9 Supposons qu’il existe un champ borélien équivariant d’équivalences d’homotopie entre les champs de complexes simpliciaux \overline{Σ}_{x} et \overline{Ψ}_{x}, alors pour tout i ∈ IN, on a β_{i}(\overline{Σ}, R) = β_{i}(\overline{Ψ}, R).

Remarque 4.10 Si les R-complexes simpliciaux \overline{Σ} et \overline{Ψ} sont ULB et si les champs t_{x}^{i}, s_{x}^{i}, r_{x}^{i} sont uniformément bornées, le diagramme (4.6.∗) s’intègre en x et on en déduit des morphismes

(bornés) M-équivariants H̄_{i}^{(2)}(\overline{Σ}) ⟶^{T_{∗}^{i}} H̄_{i}^{(2)}(\overline{Ψ}) ⟶^{S_{∗}^{i}} H̄_{i}^{(2)}(\overline{Σ}), tels que S_{∗}^{i}T_{∗}^{i} = id. Cela permet alors de montrer le théorème dans ce cas particulier.

Démonstration du théorème 4.8.

Tous les R-complexes simpliciaux considérés sont des sous-complexes du R-complexe simplicial universel ER (lemme 2.8).

Soient \overline{Σ}′ et \overline{Σ}′′ des R-complexes simpliciaux et u_{x} : C_{n}(\overline{Σ}′_{x}, ZZ) → C_{m}(\overline{Σ}′′_{x}, ZZ) un champ borélien équivariant d’applications linéaires entières. Soit Ω^{aux} un R-complexe simplicial auxiliaire ULB. Il y a, pour chaque x ∈ X, sur la réalisation géométrique de Ω_{x}^{aux} une distance naturelle d_{f}, donnée par la structure simpliciale (la distance entre deux composantes connexes distinctes est ∞). Cette distance est invariante par l’action de R. Soit un entier N. Le nombre de sommets d’une boule quelconque de rayon N dans un Ω_{x}^{aux} est majoré uniformément en x ; le nombre de simplexes de Ω_{x}^{aux} contenus dans le N + 2-voisinage pour d_{f} d’un ensemble quelconque de m + 1 points (m est la dimension des simplexes de \overline{Σ}′′ considérés) de Ω_{x}^{aux} est majoré par un nombre M.

Lemme 4.11 Si pour tout x ∈ X et pour tout simplexe σ de \overline{Σ}′_{x}, on a :

- ||u_{x}(σ)|| ≤ N,

- le support de u_{x}(σ) est dans Ω_{x}^{aux} et dans le N-voisinage de σ pour d_{f},

alors le champ (u_{x}) est uniformément borné : pour tout x ∈ X, ||u_{x}|| ≤ M.N Ce champ s’intègre donc en un opérateur borné M-équivariant U := ∫^{⊕} u_{x}dμ(x) : C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}′) → C_{m}^{(2)}(\overline{Σ}′′)

Exemple : les champs d’opérateurs bord pour une structure ULB vérifient ces conditions. Démonstration du lemme 4.11.

Fixons x ∈ X et soit (σ_{i})_{i∈I} (resp. (τ_{j})_{j∈J}) une base de C_{n}(\overline{Σ}′_{x}, ZZ) (resp. de C_{m}(\overline{Σ}′′_{x}, ZZ)) constituée de simplexes.

Pour tout i, u_{x}(σ_{i}) = ∑_{j} b_{j,i}τ_{j}. Si b_{j,i} ≠ 0, alors σ_{i} est contenu dans le N + 2-voisinage de τ_{j}. Pour tout j ∈ J, l’ensemble I_{j} des i pour lesquels b_{j,i} ≠ 0 est donc de cardinal inférieur à M. Il s’agit alors simplement d’une application du théorème de Cauchy-Schwarz.

Soit ξ = ∑_{i} a_{i}σ_{i} un élément de C_{n}(\overline{Σ}′_{x}, IR).

||u_{x}(ξ)||^{2} = || ∑_{i} a_{i}(∑_{j} b_{j,i}τ_{j})||^{2} = ∑_{j} | ∑_{i∈I_{j}} a_{i}b_{j,i}|^{2} ≤ ∑_{j}(|I_{j}| ∑_{i∈I_{j}} |a_{i}b_{j,i}|^{2})

≤ M. ∑_{i}(∑_{j/i∈I_{j}} |a_{i}|^{2}|b_{j,i}|^{2}) ≤ M. ∑_{i}(|a_{i}|^{2} ∑_{j/i∈I_{j}} |b_{j,i}|^{2}) ≤ M.N||ξ||^{2}.

Le champ u_{x} est donc un champ d’opérateurs continus essentiellement borné, il s’intègre en un opérateur borné U [Dix69, chap. II. §2]. On a clairement, pour g ∈ [R] ou ϕ ∈ L^{∞}(X, μ), L_{g}^{m}U = UL_{g}^{n} et L_{ϕ}^{m}U = UL_{ϕ}^{n}. On en déduit la M-équivariance de U. Cela prouve le lemme. ■

Soit (Ω_{N}^{aux})_{N∈IN} une suite auxiliaire, croissante et exhaustive de ER, de sous-complexes simpliciaux ULB R-invariants. On définit trois suites (\overline{Ξ}_{N})_{N∈IN}, (\overline{Ψ}_{N})_{N∈IN}, (\overline{Σ}_{N})_{N∈IN}, de R-complexes simpliciaux ULB, qui sont croissantes et exhaustives respectivement de \overline{Σ}, \overline{Ψ} et \overline{Σ} (elles seront utilisées dans le lemme 4.12).

a- Posons \overline{Ξ}_{N} = \overline{Σ} ∩ Ω_{N}^{aux}

b- définition de \overline{Ψ}_{N}^{(i)}. Les conditions suivantes, portant sur les simplexes σ, écrite successivement pour les dimensions i croissantes, permettent de définir un sous-complexe ULB \overline{Ψ}_{N} de \overline{Ψ}, R-invariant de dimension ≤ p + 1

(b_{1}) σ est de dimension i (b_{2}) σ est dans \overline{Ψ} ∩ Ω_{N}^{aux} (b_{3}) le bord de σ est dans \overline{Ψ}_{N}^{(i−1)} (b_{4}) le support de s_{x}^{i}(σ) est contenu dans \overline{Ξ}_{N} (b_{5}) le support de s_{x}^{i}(σ) est dans le N-voisinage de σ pour la distance de Ω_{N}^{aux} (b_{6}) ||s_{x}^{i}(σ)|| ≤ N

c- définition de \overline{Σ}_{N}^{(i)}. De la même manière, on définit un sous-complexe simplicial ULB Rinvariant \overline{Σ}_{N}, \overline{Σ}_{N} ⊂ \overline{Ξ}_{N} ⊂ \overline{Σ}, de dimension ≤ p + 1, par les conditions suivantes (pour i ≤ p) :

(c_{1}) σ est de dimension i (c_{2}) σ est dans \overline{Ξ}_{N} ∩ Ω_{N}^{aux} (c_{3}) le bord de σ est dans (\overline{Σ}_{N})^{i−1} (c_{4}) le support de t_{x}^{i}(σ) est contenu dans \overline{Ψ}_{N} (c_{5}) le support de t_{x}^{i}(σ) est dans le N-voisinage de σ pour la distance de Ω_{N}^{aux} (c_{6}) ||t_{x}^{i}(σ)|| ≤ N (c_{7}) le support de r_{x}^{i}(σ) est contenu dans \overline{Ξ}_{N} (c_{8}) le support de r_{x}^{i}(σ) est dans le N-voisinage de σ pour la distance de Ω_{N}^{aux}

(c_{9}) ||r_{x}^{i}(σ)|| ≤ N

et par les conditions (c_{1}) à (c_{3}) seulement pour la dimension p + 1.

Lemme 4.12 Sous les hypothèses du th. 4.8, c’est à dire, soient \overline{Σ} et \overline{Ψ} deux R-complexes simpliciaux et supposons qu’il existe des champs boréliens équivariants t_{x}^{i} et r_{x}^{i} (i = 0, 1, ⋯ p) et s_{x}^{i} (i = 0, 1, ⋯ p + 1) d’applications linéaires tels que dans le diagramme (4.6.∗) qui vérifient les identités (4.6.∗∗), alors il existe trois suites (\overline{Ξ}_{N})_{N∈IN}, (\overline{Ψ}_{N})_{N∈IN}, (\overline{Σ}_{N})_{N∈IN}, de R-complexes simpliciaux ULB, qui sont croissantes et exhaustives respectivement de \overline{Σ}, \overline{Ψ} et \overline{Σ} telles que

– les champs boréliens équivariants d’applications linéaires suivants sont bien définis par restriction et uniformément bornés, (les j_{x}^{i} sont donnés par l’inclusion) :

(4.12.∗_{a})

0 ⟵ C_{0}^{(2)}(\overline{Σ}_{N,x}) \underleftarrow{∂_{x}^{1}} … \underleftarrow{∂_{x}^{p}} C_{p}^{(2)}(\overline{Σ}_{N,x}) \underleftarrow{∂_{x}^{p+1}} C_{p+1}^{(2)}(\overline{Σ}_{N,x})
t_{x}^{0} ↓  t_{x}^{p} ↓
0 ⟵ C_{0}^{(2)}(\overline{Ψ}_{N,x}) \underleftarrow{∂_{x}^{1}} … \underleftarrow{∂_{x}^{p}} C_{p}^{(2)}(\overline{Ψ}_{N,x}) \underleftarrow{∂_{x}^{p+1}} C_{p+1}^{(2)}(\overline{Ψ}_{N,x})
s_{x}^{0} ↓  s_{x}^{p} ↓  s_{x}^{p+1} ↓
0 ⟵ C_{0}^{(2)}(\overline{Ξ}_{N,x}) \underleftarrow{∂_{x}^{1}} … \underleftarrow{∂_{x}^{p}} C_{p}^{(2)}(\overline{Ξ}_{N,x}) \underleftarrow{∂_{x}^{p+1}} C_{p+1}^{(2)}(\overline{Ξ}_{N,x})

et

(4.12.∗_{b})  \begin{aligned}0 & ⟵ & C_{0}^{(2)}(\overline{Σ}_{N,x}) & \underleftarrow{∂_{x}^{1}} & … & \underleftarrow{∂_{x}^{p}} & C_{p}^{(2)}(\overline{Σ}_{N,x}) & \underleftarrow{∂_{x}^{p+1}} & C_{p+1}^{(2)}(\overline{Σ}_{N,x}) \\ & & ↓ j_{x}^{0} & ↘ r_{x}^{0} & & ↘ r_{x}^{p−1} & ↓ j_{x}^{p} & ↘ r_{x}^{p} & ↓ j_{x}^{p+1} \\ 0 & ⟵ & C_{0}^{(2)}(\overline{Ξ}_{N,x}) & \underleftarrow{∂_{x}^{1}} & … & \underleftarrow{∂_{x}^{p}} & C_{p}^{(2)}(\overline{Ξ}_{N,x}) & \underleftarrow{∂_{x}^{p+1}} & C_{p+1}^{(2)}(\overline{Ξ}_{N,x}) \end{aligned}

– ces opérateurs vérifient les identités analogues à (4.6.∗∗) :

(4.12. ∗ ∗)  t_{x}^{i−1}∂_{x}^{i} = ∂_{x}^{i}t_{x}^{i}  s_{x}^{i−1}∂_{x}^{i} = ∂_{x}^{i}s_{x}^{i}  et  s_{x}^{i}t_{x}^{i} − j_{x}^{i} = r_{x}^{i−1}∂_{x}^{i} + ∂_{x}^{i+1}r_{x}^{i}.

Les conditions (b_{3}), (b_{4}), (c_{2}), (c_{3}), (c_{4}), (c_{7}) montrent qu’ils sont bien définis au niveau des chaînes usuelles. L’application du lemme ci-dessus 4.11–grâce aux conditions ULB pour les opérateurs bord et aux conditions (b_{5}), (b_{6}) (resp. (c_{5}), (c_{6}), resp. (c_{8}), (c_{9})) pour les opérateurs s_{x}^{i} (resp. t_{x}^{i}, resp. r_{x}^{i})– montrent qu’ils sont uniformément bornés donc s’étendent aux chaînes ℓ^{2}.

– Ils s’intègrent en des opérateurs bornés M-équivariants

T_{N}^{i} : C_{i}^{(2)}(\overline{Σ}_{N}) → C_{i}^{(2)}(\overline{Ψ}_{N})

S_{N}^{i} : C_{i}^{(2)}(\overline{Ψ}_{N}) → C_{i}^{(2)}(\overline{Ξ}_{N}),

R_{N}^{i} : C_{i}^{(2)}(\overline{Σ}_{N}) → C_{i+1}^{(2)}(\overline{Ξ}_{N})

J_{N}^{i} : C_{i}^{(2)}(\overline{Σ}_{N}) → C_{i}^{(2)}(\overline{Ξ}_{N}) (induit par l’inclusion)

qui vérifient encore les identités analogues à (4.6.∗∗).

T_{N}^{i−1}∂_{N}^{i} = ∂_{N}^{i}T_{N}^{i} (i ≤ p),

S_{N}^{i−1}∂_{N}^{i} = ∂_{N}^{i}S_{N}^{i} (i ≤ p + 1),

S_{N}^{i}T_{N}^{i} − J_{N}^{i} = R_{N}^{i−1}∂_{N}^{i} + ∂_{N}^{i+1}R_{N}^{i} (i ≤ p).

Pour N ≤ N′ et i < p, ces opérateurs induisent le diagramme commutatif suivant dont les flèches sont des opérateurs bornés M-équivariants, dont les flèches verticales et les deux composées horizontales coïncident avec les morphismes induits par l’inclusion :

H̄_{i}^{(2)}(\overline{Σ}_{N}) \underrightarrow{a} H̄_{i}^{(2)}(\overline{Ψ}_{N}) ⟶ H̄_{i}^{(2)}(\overline{Ξ}_{N})
↓ b ↓ ↓
H̄_{i}^{(2)}(\overline{Σ}_{N′}) ⟶ H̄_{i}^{(2)}(\overline{Ψ}_{N′}) \underrightarrow{c} H̄_{i}^{(2)}(\overline{Ξ}_{N′})

Pour i = p, on obtient un diagramme analogue, en remplaçant dans la première colonne les H̄_{i}^{(2)}(\overline{Σ}_{.}) par les cycles de C_{i}^{(2)}(\overline{Σ}_{.}).

On en déduit, pour tout i ≤ p, la relation entre les dimensions des images de cba et de b : ∇_{i}(\overline{Σ}_{N}, \overline{Ξ}_{N′}) ≤ ∇_{i}(\overline{Ψ}_{N}, \overline{Ψ}_{N′}).

Soit α < β_{i}(\overline{Σ}). On obtient, par la proposition 3.9 (calcul des nombres de Betti par une suite exhaustive) pour N assez grand (première inégalité), et par le lemme 4.3 pour tout N′ ≥ N (puisque \overline{Σ}_{N} ⊂ \overline{Ξ}_{N′}) (deuxième inégalité) : α ≤ inf_{N′′≥N} ∇_{i}(\overline{Σ}_{N}, \overline{Σ}_{N′′}) ≤ ∇_{i}(\overline{Σ}_{N}, \overline{Ξ}_{N′}).

En faisant tendre N′ vers l’infini puis N vers l’infini, on en tire (proposition 3.9) α ≤ β_{i}(\overline{Ψ}). Cette inégalité vraie pour tout minorant α de β_{i}(\overline{Σ}), entraîne β_{i}(\overline{Σ}) ≤ β_{i}(\overline{Ψ}). Le théorème 4.8 est démontré. ■

Et cela achève la preuve du théorème 3.13. ■

4.4 Preuve de la proposition 3.18 (inégalités de Morse)

Si \overline{Σ} est ULB, les inégalités de Morse se montrent de manière classique : C_{i}^{(2)}(\overline{Σ}) = H_{(2)}^{i}(\overline{Σ}) ⊕ \overline{Im} ∂_{i+1} ⊕ Ker ∂_{i}^{⊥} et puisque Ker ∂_{i}^{⊥} ≃ \overline{Im} ∂_{i}, en notant b_{i} = dim_{M} \overline{Im} ∂_{i}, on obtient α_{i} = β_{i} + b_{i+1} + b_{i}. Les sommes alternés des α_{i} et des β_{i} coïncident donc, à b_{n+1} ≥ 0 et b_{−1} = 0 près.

Si \overline{Σ} n’est pas ULB, on choisit une suite exhaustive ULB (\overline{Σ}_{s})_{s}. Soit ϵ > 0. Pour s assez grand, et t ≥ s, le lemme 4.2 assure que les morphismes H̄_{i}^{(2)}(\overline{Σ}_{s}) → H̄_{i}^{(2)}(\overline{Σ}_{t}) sont des ϵ-isomorphismes pour i < n, donc à ϵ près, ∇_{i}(\overline{Σ}_{s}, \overline{Σ}_{t}) = β_{i}(\overline{Σ}_{s}) = β_{i}(\overline{Σ}). Par ailleurs, pour s assez grand, β_{n}(\overline{Σ}_{s}) ≥ β_{n}(\overline{Σ}) − ϵ. Les inégalités s’en déduisent alors du cas ULB. ■

5 Induction, relations SOE, sous-relations, limites

5.1 Induction et relations SOE

Soient la relation R sur X qui préserve la mesure de probabilité μ, et Y ⊂ X est un borélien qui rencontre presque toutes les classes de R. On appelle μ̄ = \frac{μ_{|Y}}{μ(Y)} la mesure induite normalisée et on définit la relation induite R_{Y} = R ∩ (Y × Y) sur (Y, μ̄).

Rappelons la définition de (SOE) (voir aussi section5.4 pour une explication terminologique).

Définition 5.1 Une relation R_{1} sur (X_{1}, μ_{1}) est stablement orbitalement équivalente (SOE) à R_{2} sur (X_{2}, μ_{2}) s’il existe des boréliens A_{1} ⊂ X_{1} et A_{2} ⊂ X_{2}, qui rencontrent chaque orbite, tels que les relations induites R_{1|A_{1}} et R_{2|A_{2}} s’identifient par un isomorphisme borélien f entre A_{1} et A_{2} qui préserve la mesure à une constante multiplicative près. C’est à dire que f_{∗}(μ_{1}) = λ.μ_{2}. Le rapport c(R_{1}, R_{2}) := λ^{−1} = μ_{2}(A_{2})/μ_{1}(A_{1}) est appelé constante de compression de l’équivalence orbitale stable.

Tout R-complexe simplicial Σ, induit par restriction de l’espace de base un R_{Y} -complexe simplicial \overline{Σ}_{Y} tel que pour tout y ∈ Y, on a (\overline{Σ}_{Y})_{y} = \overline{Σ}_{y}. Inversement, un R_{Y} -complexe simplicial \overline{Σ}_{Y} s’étend en un R-complexe simplicial \overline{Σ}. Il suffit de remarquer que le R_{Y} -complexe simplicial universel ER_{Y} est contenu dans le R-complexe simplicial universel ER. \overline{Σ} est de dimension ≤ n (resp. ULB, resp. contractile, resp. n-connexe), si et seulement s’il en est de même de \overline{Σ}_{Y}. On a donc :

Proposition 5.2 Deux relations d’équivalence SOE ont la même dimension.

Théorème 5.3 Soit Y ⊂ X est un borélien qui rencontre presque toutes les classes de R et Σ un R-complexe simplicial. Les nombres de Betti L^{2} de Σ et \overline{Σ}_{Y} sont reliés par la formule :

β_{n}(\overline{Σ}, R, μ) = μ(Y).β_{n}(\overline{Σ}_{Y} , R_{Y} , μ̄).

Démonstration. Le projecteur orthogonal P de C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}) sur C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}_{Y}) n’est autre que L_{χ_{Y}}^{n}, pour la fonction caractéristique χ_{Y} ∈ L^{∞}(X, μ) de Y (cf. prop. 3.2). C’est un projecteur de M, encore noté P. Appelons M_{Y} l’algèbre de von Neumann de la relation induite R_{Y}, alors M_{Y} s’identifie à P MP.

Lemme 5.4 Si H est un sous-espace fermé M-invariant de C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}), alors l’espace P (H) est M_{Y} -invariant et dim_{M} H = μ(Y). dim_{M_{Y}} P (H).

Démonstration. Le projecteur orthogonal Q sur H commute avec M, donc avec P et QP = P Q est le projecteur orthogonal sur P (H). L’invariance s’en déduit. Une famille de champs de représentants (σ_{j}) pour \overline{Σ}_{Y} (cf.3.1) est aussi une famille de champs de représentants pour \overline{Σ}. Par la formule (3) de la proposition 3.2 :

dim_{M_{Y}} P (H) = ∑_{j}(QP (σ_{j})/σ_{j})μ̄ = ∑_{j}(Q(σ_{j})/σ_{j})μ̄, où les produits scalaires sont calculés par rapport à la mesure μ̄. Lorsqu’on les calcule par rapport à la mesure μ, on trouve

= \frac{1}{μ(Y)} ∑_{j}(QP (σ_{j})/σ_{j})_{μ} = \frac{1}{μ(Y)} dim_{M} H. ■

Soit \overline{Σ}_{s} une suite croissante exhaustive de R-complexes simpliciaux ULB de \overline{Σ}, alors la suite associée \overline{Σ}_{Y} _{s} est croissante exhaustive ULB de \overline{Σ}_{Y}. On applique le lemme à H = C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}_{s}, μ)

et P (H) = C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}_{Y}_{s}, μ) puis H = Ker (C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}_{s}) → H_{n}^{(2)}(\overline{Σ}_{s}) ⟶^{J_{s,t}} H_{n}^{(2)}(\overline{Σ}_{t}))

et P (H) = Ker (C_{n}^{(2)}(\overline{Σ}_{Y}_{s}) → H_{n}^{(2)}(\overline{Σ}_{Y}_{s}) ⟶^{J_{s,t}^{Y}} H_{n}^{(2)}(\overline{Σ}_{Y}_{t})), avec t ≥ s, où les espaces H_{n}^{(2)} sont les espaces de chaînes harmoniques L^{2} (cf. 3.6).

Cela permet de conclure en utilisant le théorème du rang 1.2 que

dim_{M} Im J_{s,t} = μ(Y). dim_{M_{Y}} Im J_{s,t}^{Y}.

Le théorème s’en déduit en utilisant les suites exhaustives pour le calcul des nombres de Betti L^{2} (proposition 3.9). ■

Corollaire 5.5 Les nombres de Betti L^{2} de la relation R et de la relation R_{Y}, induite sur un borélien Y ⊂ X qui rencontre presque toutes les classes de R, sont reliés par la formule :

β_{n}(R, μ) = μ(Y).β_{n}(R_{Y} , μ̄).

Corollaire 5.6 Si R et S sont deux relations d’équivalence préservant une probabilité, stablement orbitalement équivalentes, avec constante de compression c(R, S), alors pour tout n ∈ IN,

β_{n}(R) = c(R, S).β_{n}(S).

Corollaire 5.7 Les relations d’équivalence ergodiques R dont un nombre de Betti n’est pas nul sont incompressibles : on a trivialité du groupe fondamental (sous-groupe multiplicatif de IR engendré par les constantes de compression c(R, R), c’est-à-dire engendré par les mesures des boréliens sur lesquels la relation induite est isomorphe à R.

C’est le cas des relations d’équivalence produites par les actions libres des groupes dont les β_{p} ne sont pas tous nuls. Les groupes moyennables infinis fournissent des exemples de groupes qui sont mesurablement équivalents à eux même avec une constante de compression c différente de 1. D’ailleurs, toutes les valeurs de c ∈]0, 1] sont possibles. On a aussi des exemples non moyennables, comme le produit direct Γ_{1} × Γ_{2} de deux groupes infinis, l’un moyennable, l’autre non. Une action produit d’une action (compressible) de Γ_{1} et d’une action de Γ_{2} est compressible.

5.2 Sous-relations

Soit S une relation d’équivalence dénombrable standard sur (X, μ), où μ est une mesure de probabilité. Soit R ⊂ S une sous-relation standard sur (X, μ), i.e. toute classe R.x est contenue dans la classe S.x.

Supposons pour simplicité que S est ergodique. Pour tout x ∈ X, la classe S(x) se partitionne en ι(x) ∈ IN ∪ {∞} classes de R. Le nombre ι(x) est constant μ p.s., on l’appelle l’indice de R dans S, noté [S : R]. Consulter [FSZ89] pour des généralités sur les sous-relations.

Si \overline{Σ} est un S-complexe simplicial, alors par restriction de l’action, c’est aussi un R-complexe simplicial. Le caractère contractile de \overline{Σ} ne dépend pas du groupoïde S ou R qui agit. On avait montré [Gab00a, th. IV.4] que si une relation R admet un arborage, alors ses sous-relations d’équivalence standard en admettent aussi un. On obtient ici immédiatement, en considérant des \overline{Σ} contractiles :

Proposition 5.8 Les sous-relations d’une relation de dimension ≤ p sont de dimension ≤ p.

Corollaire 5.9 La dimension ergodique d’un groupe est supérieure ou égale à celle de ses sousgroupes.

Remarque 5.10 Il existe des relations d’équivalence dont tous les nombres de Betti L^{2} sont triviaux mais qui ne sont pas de dimension finie : faire agir un groupe à β_{i} triviaux (comme Γ × ZZ) qui contient des sous-groupes Γ_{i} dont le β_{i}(Γ_{i}) est non trivial pour une suite infinie de valeurs de i.

Proposition 5.11 Si R est une sous-relation d’indice fini ([S : R] < ∞) de S, alors les nombres de Betti L^{2} de R et S sont reliés par la formule qu’on attend : β_{p}(R) = [S : R]β_{p}(S).

Si (U, π) est un S-espace discret, c’est aussi par restriction un R-espace discret. Un domaine fondamental pour l’action de R rencontre exactement [S, R] fois chaque S-orbite. Un sous-espace fermé H de L^{2}(U, ν) qui est invariant pour l’algèbre de von Neumann M(S) de S est invariant pour l’algèbre M(R) et il n’est pas difficile de vérifier que ses dimensions vérifient dim_{M(R)} H = [S, R] · dim_{M(S)} H. Si \overline{Σ} est un S-complexe simplicial ULB, le R-complexe simplicial \overline{Σ} est aussi

ULB (ce n’est pas le cas si [S, R] est infini et \overline{Σ} non vide, puisque le domaine fondamental de \overline{Σ}^{(0)} pour R n’est plus de mesure finie). Le résultat s’en déduit en considérant un S-complexe simplicial contractile \overline{Σ} et une suite exhaustive (\overline{Σ}_{s})_{s∈IN} de S-complexes simpliciaux ULB. ■

5.3 Limites

Théorème 5.12 Soit (Σ_{i})_{i∈IN} une suite croissante de R-complexes simpliciaux et notons leur réunion Σ_{∞} := ∪_{i∈IN} ↗ Σ_{i}, alors

β_{n}(Σ_{∞}) ≤ lim inf_{i∈IN} β_{n}(Σ_{i}).

On a des cas d’inégalité stricte avec par exemple une suite croissante de groupes de la forme Γ_{i} = F_{2^{i}+1} × (⊕_{1}^{i}ZZ/2ZZ) (de β_{1} = 1) dont la réunion Γ_{∞} = F_{∞} × (⊕_{j∈IN}ZZ/2ZZ) vérifie β_{1} = 0 (où F_{n} est le groupe libre sur n = 1, … ∞ générateurs).

Corollaire 5.13 Si R est réunion croissante de relations R_{i} alors β_{n}(R) ≤ lim inf_{i∈IN} β_{n}(R_{i}). En particulier, si R est une réunion croissante de relations de dimension ≤ p, alors β_{n}(R) = 0 pour tout n ≥ p + 1.

On applique le théorème à la suite des R_{i}-complexes simpliciaux universels (section 2.2.1) sur les R_{i}. ■

Cela permet de répondre à une question de Y. Peres : une action libre d’un produit direct de deux groupes libres non cycliques n’est pas une limite de relations arborables.

Corollaire 5.14 Si Γ est une réunion croissante, Γ = ∪_{i} ↗ Γ_{i}, alors β_{n}(Γ) ≤ lim inf β_{n}(Γ_{i}).

■

Démonstration du théorème 5.12. Soit (Ω_{s})_{s} une suite croissante exhaustive (ULB) de Σ_{∞}. Les (Σ_{i} ∩ Ω_{s})_{s} constituent, pour chaque i, une suite croissante exhaustive (ULB) de Σ_{i}, tandis que la suite diagonale Θ_{s} := Σ_{s} ∩ Ω_{s} donne une telle suite pour Σ_{∞}. En considérant Θ_{s} = Σ_{s} ∩ Ω_{s} ⊂ Σ_{s} ∩ Ω_{t} ⊂ Θ_{t}, pour s ≤ t, on montre que ∇_{n}(Θ_{s}, Θ_{t}) ≤ ∇_{n}(Σ_{s} ∩ Ω_{s}, Σ_{s} ∩ Ω_{t}). Donc pour s fixé et t → ∞, lim_{t→∞} ∇_{n}(Θ_{s}, Θ_{t}) ≤ β(Σ_{s}) et donc lim_{s→∞} lim_{t→∞} ∇_{n}(Θ_{s}, Θ_{t}) ≤ lim inf_{s} β_{n}(Σ_{s}). ■

5.4 Relations de type II_{∞}

Soit R une relation préservant la mesure de probabilité sur (X, μ), à classes infinies. La relation d’équivalence R_{∞} sur X × IN définie par (x_{1}, m_{1}) ∼ (x_{2}, m_{2}) si et seulement si (x_{1}, x_{2}) ∈ R est appelée la stabilisation de R et est dite de type II_{∞} (cf. [FM77a]). Elle préserve la mesure infinie μ_{∞} = μ×comptage.

Notons que deux relations R et R′ (sur (X, μ) et (X′, μ′) respectivement) sont stablement orbitalement équivalentes si et seulement si leurs stabilisations sont isomorphes (cf. [FM77a, th. 3]) : il existe un isomorphisme borélien g : X × IN → X′ × IN tel que g_{∗}(μ_{∞}) = c(R, R′)^{−1} · μ′_{∞} qui envoie les classes de R_{∞} sur celles de R′_{∞}. Cela explique le terme stablement orbitalement équivalent.

Toutes les notions invariantes par SOE qu’on a introduites dans le cadre d’une relation d’équivalence préservant une mesure de probabilité admettent une adaptation naturelle au cas II_{∞}, où la mesure préservée n’est plus finie. En particulier on définit les dimensions et les nombres de Betti L^{2} :

Définition 5.15 Soit T une relation d’équivalence de type II_{∞} (dénombrable standard). La suite de ses nombres de Betti L^{2} est la suite (β̂_{i}(T ))_{i∈IN}, bien définie à une constante multiplicative près, des nombres de Betti L^{2} de la restriction de T à n’importe quel borélien de mesure finie qui rencontre toutes les classes.

6 Applications

6.1 Équivalence mesurable

Rappelons le critère topologique de quasi-isométrie de deux groupes donné par M. Gromov.

Critère [Gro93, 0.2.C′_{2}] Deux groupes Γ_{1} et Γ_{2} de type fini sont quasi-isométriques si et seulement si il existe des actions propres cocompactes de Γ_{1} et Γ_{2} qui commutent, sur un espace localement compact.

Rappelons ce qu’on a déjà dit dans l’introduction. La notion d’équivalence mesurable est un analogue mesurable de la quasi-isométrie :

Définition 6.1 Deux groupes Γ_{1} et Γ_{2} sont mesurablement équivalents (ME) s’il existe un espace borélien standard de mesure infinie (Ω, m) muni d’actions libres commutantes préservant la mesure de Γ_{1} et Γ_{2}, où chacune des deux actions admet un domaine fondamental B_{1} (resp. B_{2}) de mesure finie. Le rapport c = m(B_{1}) : m(B_{2}) est appelé constante de compression de l’équivalence mesurable.

L’équivalence mesurable est une relation d’équivalence sur l’ensemble des groupes (cf. [Fur99a, sect. 2]) et l’exemple standard de deux groupes ME est donné par deux réseaux, pas nécessairement cocompacts, d’un groupe G localement compact à base dénombrable qui agissent sur G par multiplication respectivement à gauche et à droite. La définition de relations stablement orbitalement équivalente a été rappelée en 5.1.

Proposition 6.2 (cf. [Fur99b, sect. 2]) Deux groupes Γ_{1} et Γ_{2} admettent des actions libres préservant une probabilité qui sont stablement orbitalement équivalentes (SOE) si et seulement si ils admettent une équivalence mesurable, avec même constante de compression.

Démonstration. Partant d’une équivalence mesurable (Ω, m) de Γ_{1} et Γ_{2}, on montre en coupant et collant que les actions de Γ_{1} sur Ω/Γ_{2} et de Γ_{2} sur Γ_{1}\Ω sont stablement orbitalement équivalentes, par un morphisme qui préserve la mesure (si les espaces quotient ne sont pas normalisés). Pour s’assurer qu’elles sont libres, il suffit de remplacer Ω par son produit avec un espace de probabilité X sur lequel Γ_{1} a une action libre α et Γ_{2} agit par l’identité et de considérer les actions diagonales des Γ_{i}.

Partant d’une équivalence orbitale stable, entre les relations R_{i} les relations R_{1∞} et R_{2∞} (voir section 5.4) sont identifiées par un isomorphisme f_{∞} entre X_{1} × IN et X_{2} × IN qui préserve les mesures μ_{i}×comptage à une constante multiplicative près (d’où le terme “stable”), i.e. envoie μ_{1}×comptage sur c(R_{1}, R_{2})^{−1}.μ_{2}×comptage.

Si la relation R_{i} est donnée par l’action libre du groupe Γ_{i}, alors la partie qu’on note Ω de R_{1∞} contenue dans X_{1} × f_{∞}^{−1}(X_{2}), munie de la mesure ν (associée à R_{1}) et des actions commutantes de Γ_{1} sur la première coordonnée et Γ_{2} sur la deuxième coordonnée, constitue une équivalence mesurable entre Γ_{1} et Γ_{2}. N’importe quelle section π_{r}^{−1}(f_{∞}(X_{2})) (resp. π_{l}^{−1}(X_{1})) fournit un domaine fondamental pour Γ_{1} (resp. Γ_{2}) de ν-mesure finie c(R_{1}, R_{2})^{−1}.μ_{2}(X_{2}) = c(R_{1}, R_{2})^{−1} (resp. μ_{1}(X_{1}) = 1). ■

Une simple application du corollaire 5.6 donne alors le théorème suivant :

Théorème 6.3 Soient Γ_{1} et Γ_{2} deux groupes discrets dénombrables. Si Γ_{1} est ME à Γ_{2}, alors ils ont des nombres de Betti ℓ^{2} proportionnels : pour tout n ∈ IN,

β_{n}(Γ_{1}) = c.β_{n}(Γ_{2}),

où c est la constante de compression de l’équivalence mesurable de Γ_{1} à Γ_{2}.

Par analogie avec les notions de dimension géométrique et de dimension cohomologique d’un groupe (voir [Bro82, VII.2]), on introduit :

Définition 6.4 La dimension ergodique erg-dim(Γ) d’un groupe Γ est le minimum des dimensions des relations d’équivalence produites par une action de Γ libre préservant la probabilité sur le borélien standard (X, μ).

Proposition 6.5 Les groupes ME entre eux ont même dimension ergodique.

Démonstration. Soit α une action libre de Γ sur (X, μ), qui réalise la dimension ergodique de Γ. Alors pour toute action β de Γ sur (Y, ν), qui préserve une probabilité, l’action diagonale α × β sur X × Y réalise la dimension ergodique de Γ. En effet, tout R_{α}-complexe simplicial \overline{Σ} induit un R_{α×β}-complexe simplicial ˆ \overline{Σ} = \overline{Σ} × Y qui vérifie pour tout (x, y) ∈ X × Y, que les complexes simpliciaux Σ̂_{(x,y)} et Σ_{x} sont isomorphes.

Si dans la preuve de la proposition 6.2, partant d’une ME entre Γ_{1} et Γ_{2}, l’action libre α qu’on prend réalise la dimension ergodique erg-dim(Γ_{1}) de Γ_{1}, alors l’action libre de Γ_{1} sur (X ×Ω)/Γ_{2} = X × (Ω/Γ_{2}) est aussi de dimension erg-dim(Γ_{1}). Il en est de même de l’action libre SOE de Γ_{2} sur Γ_{1}/(X × Ω) (prop. 5.2). Cela montre que erg-dim(Γ_{1}) ≥ erg-dim(Γ_{2}). ■

La classe de ME de ZZ contient tous les groupes moyennables infinis. Les groupes libres de type fini sont tous ME entre eux et leur classe contient tous les produits libres, en nombre fini, de groupes moyennables infinis ainsi que les groupes fondamentaux des surfaces compactes. En particulier, la dimension ergodique du groupe fondamental d’une surface compacte est égal à 1. Cette classe ne contient pas tous les produits amalgamés F_{p} ∗ZZ F_{q} puisque certains d’entre eux ne sont pas de dimension ergodique 1 (cf. [Gab00a, p.90]).

On pourrait croire l’équivalence mesurable plus grossière que la quasi-isométrie des groupes. Elle ne distingue pas, par exemple, les groupes de différente croissance polynomiale (tous moyennables) comme ZZ et ZZ^{2}. En fait, il existe des groupes quasi-isométriques qui ne sont pas ME. Par exemple, les produits de groupes libres de la forme Γ_{p} = (F_{3} ×F_{3})∗F_{p} pour diverses valeurs de p ≥ 2 ne sont pas ME (leurs nombres de Betti ℓ^{2} – 0, p, 4, 0, 0, 0, ⋯ – ne sont pas proportionnels) alors qu’ils sont quasi-isométriques (cf. [Har00, IV-B 46]). De plus, la propriété (T) de Kazhdan est un invariant de ME ([Fur99a, th. 8.2]) tandis que ce n’est pas le cas pour la quasi-isométrie.

Question Les groupes de dimension ergodique 1 sont-ils tous dans la classe de ME d’un groupe libre (de F_{2} ou de ZZ) ? ^{1}

6.2 Théorèmes d’annulation

Dans [Gro93, p.229 et p.235], M. Gromov rappelle qu’une source importante de groupes avec β_{p} = 0 vient de produits directs Γ_{1} × Γ_{2} où Γ_{1} et Γ_{2} sont infinis et β_{i}(Γ_{1}) = 0 pour i = 0, 1, ⋯ p − 1. et demande si cela reste vrai pour des produits semi-directs sous certaines hypothèses de finitude (qui sont nécessaires comme on le voit par exemple avec le groupe libre à deux générateurs F_{2} écrit comme produit semi-direct de ZZ avec F_{∞}). Il pose en particulier deux questions :

Question[Gro93, p.229] Si Γ est le groupe fondamental d’une variété compacte asphérique qui fibre sur le cercle, ses nombres de Betti ℓ^{2} sont-ils tous triviaux ?

Question[Gro93, p.235] Soit 1 → N → Γ → Λ → 1 une suite exacte de groupes infinis qui sont les groupes fondamentaux de CW-complexes finis asphériques. Le premier nombre de Betti ℓ^{2} de Γ est-il trivial ?

W. Lück [Lüc94] a apporté une réponse positive à ces deux questions. Plus tard, il généralise ces résultats :

Si on a une suite exacte 1 → N → Γ → Λ → 1 tel que, pour tout p, les β_{p}(N) sont finis et Λ est infini élémentairement moyennable, alors les β_{p}(Γ) sont tous nuls (voir [Lüc98b, question 3.11]).

Soit 1 → N → Γ → Λ → 1 une suite exacte de groupes infinis tels que β_{1}(N) < ∞, et tels que Λ contient un élément d’ordre infini ou un sous-groupe fini d’ordre arbitrairement grand. Alors β_{1}(Γ) = 0 (voir [Lüc98b, th. 3.3 (5)]).

Nos deux théorèmes suivants (th. 6.6 et th. 6.8) étendent ces deux énoncés en passant des groupes élémentairement moyennables à tous les groupes moyennables ou en supprimant l’hypothèse parasite sur le quotient. En fait, le théorème [Lüc98b, th. 3.3 (5)] concerne aussi les nombres de Betti β_{p} pour des p > 1 et il semble que nos techniques donnent aussi des résultats pour p quelconque ; on etudiera cela prochainement.

Théorème 6.6 Si on a une suite exacte 1 → N → Γ →^{f} Λ → 1, où Λ est moyennable infini et β_{n}(N) est fini, alors β_{n}(Γ) = 0.

Démonstration du théorème 6.6. Considérons 1 → N → Γ →^{f} Λ → 1 une suite exacte où N et Λ sont des groupes infinis. Considérons alors une action libre de Γ (resp. de Λ) préservant la mesure de probabilité sur le borélien standard X (resp. Y), alors l’action diagonale γ.(x, y) = (γ.x, f(γ).y) de Γ sur Z = X ×Y est libre et préserve la probabilité produit. Soient R et S les relations produites par Γ sur Z et Λ sur Y. Appelons π la projection de Z sur Y, et π_{1} la projection de R dans S ((x, y), (x′, y′)) ↦ (y, y′). L’image inverse par π_{1} de la relation triviale sur Y (celle dont les classes sont les singletons) est exactement la relation sur Z produite par N.

Soit T une sous-relation hyperfinie de S. Elle s’écrit comme réunion croissante d’une suite de relations T_{i} à orbites finies, qui possèdent un domaine fondamental borélien Y_{i}. Alors la restriction de la relation T̂_{i} = π_{1}^{−1}(T_{i}) au borélien π^{−1}(Y_{i}) ⊂ Z est donnée par l’action de N, et π^{−1}(Y_{i}) rencontre toutes les orbites de la relation T̂_{i}. Puisque T̂ = π_{1}^{−1}(T ) est la réunion croissante des T̂_{i}, on obtient par le corollaire 5.13 β_{n}(T̂) ≤ lim inf_{i} μ(Y_{i}).β_{n}(N), quantité qui tend vers 0 comme μ(Y_{i}) dès que β_{n}(N) est fini. On a montré :

1Un résultat récent de Hjorth permet de donner une réponse positive à cette question.

Lemme 6.7 Si β_{n}(N) est fini alors β_{n}(T̂) = 0.

Si maintenant Λ est supposé moyennable, la relation S elle-même, définie par l’action de Λ sur Y, est hyperfinie ([OW80], [CFW81]) et T̂ = R. Le théorème est alors démontré en appliquant le lemme. ■

Théorème 6.8 Soit 1 → N → Γ →^{f} Λ → 1 une suite exacte où N et Λ sont des groupes infinis. Si β_{1}(N) est fini, alors β_{1}(Γ) = 0.

Démonstration. On reprend les notations du premier paragraphe de la preuve du théorème 6.6. On sait que la relation S contient une sous-relation hyperfinie T à classes infinies (voir par exemple la preuve de l’item -2- de la proposition III.3 de [Gab00a]). Alors la relation T̂ = π_{1}^{−1}(T ) vérifie β_{1}(T̂) = 0 (lemme 6.7) et contient comme sous-relation la relation engendrée par N. Soit Σ une structure simplement connexe sur T̂ et (Σ_{s})_{s∈IN} une suite de structures ULB exhaustives de Σ. Par définition, β_{1}(Σ) = β_{1}(T̂) = 0.

Soit ϵ > 0 et il existe une suite Z_{s} de boréliens de Z qui soient de mesures μ(Z_{s}) ≤ ϵ/2^{i} et qui chacun rencontre μ-presque toutes les orbites de l’action de N sur Z (voir par exemple [Lev95, prop.1]). Soit (γ_{1}, γ_{2}, ⋯, γ_{s}, ⋯) une famille génératrice de Γ. On définit des isomorphismes boréliens partiels φ_{j} comme restriction de γ_{j} à Z_{j}, des graphages Φ_{s} = (φ_{1}, φ_{2}, ⋯, φ_{s}) et ΣΦ_{s} le R-complexe simplicial de dimension 1 associée à Φ_{s} (voir ex. 2.2.2 pour les définitions).

Les Σ_{s}∪ΣΦ_{s} forment une suite croissante de structures ULB exhaustive d’une certaine structure Ω sur R qui est connexe. En effet, pour tout j et pour (presque tout) z ∈ Z, montrons que z et γ_{j}(z) sont dans la même composante connexe de Ω_{z}. Il existe g ∈ N qui envoie z dans Z_{j} et par normalité, γ_{j}gγ_{j}^{−1} = g′ ∈ N. Les points suivants sont dans la même composante connexe : z et g.z grâce à Σ, g.z et γ_{j}g.z grâce à Φ_{j}, γ_{j}g.z et g′γ_{j}g.z = γ_{j}.z grâce à Σ.

On en déduit que β_{1}(Γ) = β_{1}(R) ≤ β_{1}(Ω) (cor. 3.16, th. 3.13).

Puisque d(Σ_{s} ∪ΣΦ_{s}, Σ_{s}) ≤ ∑_{j=1}^{s} μ(Z_{j}) ≤ ϵ, le lemme 4.2 assure que |∇_{n}(Σ_{s} ∪ΣΦ_{s}, Σ_{t} ∪ΣΦ_{t})− ∇_{n}(Σ_{s}, Σ_{t})| ≤ ϵ. On en déduit que β_{1}(Ω) = β_{1}(Σ) à ϵ près, cela pour tout ϵ, donc β_{1}(Ω) = 0. ■

6.3 Divers

Corollaire 6.9 Si deux réseaux de SO(n, 1) et SO(p, 1) sont ME, alors n et p ont même parité. Si deux réseaux de Γ ⊂ SO(2n + 1, 1) et Λ ⊂ SO(2p + 1, 1) sont ME, avec p ≤ n, alors n ≤ 2p.

Démonstration. La première partie repose uniquement sur la nullité de tous les nombres de Betti ℓ^{2} des réseaux pour n impair, ce qui n’est pas le cas pour n pair. La preuve de la deuxième assertion de ce corollaire m’a été suggérée par B. Okun. Soit Γ_{1} un réseau de SO(2n + 1, 1) qui contient comme sous-groupe un réseau Γ_{2} de SO(2n, 1). Puisque β_{n}(Γ_{2}) ≠ 0, les actions libres de Γ_{2} sont de dimension ≥ n. Celles de Γ_{1} aussi par le corollaire 5.9. Soit Λ_{1} un réseau non cocompact de SO(2p + 1, 1). Ses actions libres sont de dimension ≤ 2p. Une ME entre Γ et Λ en donne une par transitivité entre Γ_{1} et Λ_{1}. Les actions libres SOE associées ont même dimension n ≤ et ≤ 2p. ■

Proposition 6.10 Supposons que le groupe Γ admet une action libre arborable (cf. ex. 2.2.2), ou autrement dit que Γ est de dimension ergodique ≤ 1. Alors β_{n}(Γ) = 0 pour tout n ≥ 2. De plus, Γ est moyennable si et seulement si β_{1}(Γ) = 0.

Démonstration. Supposons Γ infini et β_{1}(Γ) = 0. Soit Φ un arborage de l’action, alors C(Φ) = β_{1}(ΣΦ) + 1 = β_{1}(Γ) + 1 (prop. 3.19). On en déduit ([Lev95, th. 2] ou [Gab00a, prop. III.3]) que la relation d’équivalence produite est hyperfinie et donc que le groupe est moyennable ([FM77a, prop. 4.5]). C’était la seule implication non évidente. ■

On obtient comme application immédiate que les seuls réseaux de groupes de Lie semi-simples qui admettent des actions libres arborables sont ceux de SO(2, 1).

Bibliographie

[Ada90] S. Adams. Trees and amenable equivalence relations. Ergodic Theory Dynamical Systems, 10(1):1–14, 1990.

[AS90] S. Adams and R. Spatzier. Kazhdan groups, cocycles and trees. Amer. J. Math., 112(2):271–287, 1990.

[Ati76] M. Atiyah. Elliptic operators, discrete groups and von Neumann algebras. In Colloque “Analyse et Topologie” en l’Honneur de Henri Cartan (Orsay, 1974), pages 43–72. Astérisque, No. 32–33. Soc. Math. France, Paris, 1976.

[BCH94] P. Baum, A. Connes, and N. Higson. Classifying space for proper actions and K-theory of group C^{∗}-algebras. In C^{∗}-algebras: 1943–1993 (San Antonio, TX, 1993), pages 240–291. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994.

[Bor85] A. Borel. The L^{2}-cohomology of negatively curved Riemannian symmetric spaces. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math., 10:95–105, 1985.

[Bro82] K. Brown. Cohomology of groups. Springer-Verlag, New York, 1982.

[CFW81] A. Connes, J. Feldman, and B. Weiss. An amenable equivalence relation is generated by a single transformation. Ergodic Theory Dynamical Systems, 1(4):431–450 (1982), 1981.

[CG86] J. Cheeger and M. Gromov. L_{2}-cohomology and group cohomology. Topology, 25(2):189– 215, 1986.

[Co79] A. Connes. Sur la théorie non commutative de l’intégration. In Algèbres d’opérateurs (Sém., Les Plans-sur-Bex, 1978), pages 19–143. Lect. Notes 725. Springer, Berlin, 1979.

[Co82] A. Connes. A survey of foliations and operator algebras. In Operator algebras and applications, Part I (Kingston, Ont., 1980), pages 521–628. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1982.

[CZ89] M. Cowling and R. Zimmer. Actions of lattices in sp(1, n). Ergodic Theory Dynamical Systems, 9(2):221–237, 1989.

[Dix69] J. Dixmier. Les algèbres d’opérateurs dans l’espace hilbertien (algèbres de von Neumann). Gauthier-Villars Éditeur, Paris, 1969. Deuxième édition, revue et augmentée, Cahiers Scientifiques, Fasc. XXV.

[Dye59] H. Dye. On groups of measure preserving transformation. I. Amer. J. Math., 81:119–159, 1959.

[Dye63] H. Dye. On groups of measure preserving transformations. II. Amer. J. Math., 85:551– 576, 1963.

[Eck00] B. Eckmann. Introduction to l_{2}-methods in topology: reduced l_{2}-homology, harmonic chains, l_{2}-Betti numbers. Israel J. Math., 117:183–219, 2000. Notes prepared by Guido Mislin.

[Ele97] G. Elek. Betti numbers and Euler’s formula for combinatorial foliations. Manuscripta Math., 92(2):239–247, 1997.

[FM77a] J. Feldman and C. Moore. Ergodic equivalence relations, cohomology, and von Neumann algebras. I. Trans. Amer. Math. Soc., 234(2):289–324, 1977.

[FM77b] J. Feldman and C. Moore. Ergodic equivalence relations, cohomology, and von Neumann algebras. II. Trans. Amer. Math. Soc., 234(2):325–359, 1977.

[FSZ89] J. Feldman, C. Sutherland, and R. Zimmer. Subrelations of ergodic equivalence relations. Ergodic Theory Dynamical Systems, 9(2):239–269, 1989.

[Fur99a] A. Furman. Gromov’s measure equivalence and rigidity of higher rank lattices. Ann. of Math. (2), 150(3):1059–1081, 1999.

[Fur99b] A. Furman. Orbit equivalence rigidity. Ann. of Math. (2), 150(3):1083–1108, 1999.

[Gab00a] D. Gaboriau. Coût des relations d’équivalence et des groupes. Invent. Math., 139(1):41– 98, 2000.

[Gab00b] D. Gaboriau. Sur la (co-)homologie L^{2} des actions préservant une mesure. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 330(5):365–370, 2000.

[Gro93] M. Gromov. Asymptotic invariants of infinite groups. In Geometric group theory, Vol. 2 (Sussex, 1991), pages 1–295. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993.

[Har00] P. de la Harpe. Topics in geometric group theory. University of Chicago Press, Chicago, IL, 2000.

[Hae71] A. Haefliger. Homotopy and integrability. In Manifolds–Amsterdam 1970 (Proc. Nuffic Summer School), pages 133–163. Springer, Berlin, 1971.

[HL91] J. Heitsch, C. Lazarov. Homotopy invariance of foliation Betti numbers. Invent. Math., 104(2):321–347, 1991.

[Kri70] W. Krieger. On constructing non-^{∗}isomorphic hyperfinite factors of type III. J. Functional Analysis, 6:97–109, 1970.

[Lev95] G. Levitt. On the cost of generating an equivalence relation. Ergodic Theory Dynam. Systems, 15(6):1173–1181, 1995.

[Lüc94] W. Lück. L^{2}-torsion and 3-manifolds. In Low-dimensional topology (Knoxville, TN, 1992), pages 75–107. Internat. Press, Cambridge, MA, 1994.

[Lüc98] Wolfgang Lück. L^{2}-invariants of regular coverings of compact manifolds and CWcomplexes à paraître in ”Handbook of Geometry”, Elsevier (1998).

[Lüc98a] W. Lück. Dimension theory of arbitrary modules over finite von Neumann algebras and L^{2}-Betti numbers. I. Foundations. J. Reine Angew. Math., 495:135–162, 1998.

[Lüc98b] W. Lück. Dimension theory of arbitrary modules over finite von Neumann algebras and L^{2}-Betti numbers. II. Applications to Grothendieck groups, L^{2}-Euler characteristics and Burnside groups. J. Reine Angew. Math., 496:213–236, 1998.

[Moo82] Calvin C. Moore. Ergodic theory and von Neumann algebras. In Operator algebras and applications, Part 2 (Kingston, Ont., 1980), pages 179–226. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1982.

[MvN36] F. Murray and J. von Neumann. On rings of operators. Ann. of Math., II. Ser., 37:116– 229, 1936.

[MvN43] F. Murray and J. von Neumann. On rings of operators. IV. Ann. of Math. (2), 44:716– 808, 1943.

[OW80] D. Ornstein and B. Weiss. Ergodic theory of amenable group actions. I. The Rohlin lemma. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 2(1):161–164, 1980.

[Pau99] F. Paulin. Propriétés asymptotiques des relations d’équivalences mesurées discrètes. Markov Process. Related Fields, 5(2):163–200, 1999.

[Sch87] K. Schmidt. Some solved and unsolved problems concerning orbit equivalence of countable group actions. In Proceedings of the conference on ergodic theory and related topics, II (Georgenthal, 1986), pages 171–184, Leipzig, 1987. Teubner.

[Shl99a] D. Shlyakhtenko Free Fisher information with respect to a completely positive map and cost of equivalence relations. MSRI preprint 1999-030, 1999.

[Shl99b] D. Shlyakhtenko Microstates free entropy and cost of equivalence relations. preprint http://xxx.lanl.gov/abs/math.OA/9912224.

[Sun87] V. Sunder. An invitation to von Neumann algebras. Springer-Verlag, New York, 1987.

[Zim78] R. Zimmer. Amenable ergodic group actions and an application to Poisson boundaries of random walks. J. Functional Analysis, 27(3):350–372, 1978.

[Zim84] R. Zimmer. Ergodic theory and semisimple groups. Birkhäuser Verlag, Basel, 1984.