COÛT DES RELATIONS D’ÉQUIVALENCE ET DES GROUPES

Damien Gaboriau

UMR 128, Ens-Lyon

16 Novembre 1998, corrigé le 20 Avril 1999

Abstract. We study a new dynamical invariant for dicrete groups: the cost. It is a real number in {1 − 1/n} ∪ [1, ∞], bounded by the number of generators of the group, and it is well behaved with respect to finite index subgroups. Namely, the quantities 1 minus the cost are related by multiplying by the index. The cost of every infinite amenable group equals 1. We compute it in some other situations, including free products, free products with amalgamation and HNN-extensions over amenable groups and for direct product situations. For instance, the cost of the free group on n generators equals n. We prove that each possible value of the cost is reached by a finitely generated group. The dynamical aspect relies on measure preserving free actions on probability Borel spaces. In most cases, groups are with fixed price, meaning that two freely acting groups which define the same orbit partition must have the same cost. It enables us to distinguish between probability-preserving free actions of free groups of different ranks. At the end of the paper, we give a mercuriale, i.e. a list of costs of different groups. The cost is in fact an invariant of ergodic measure-preserving equivalence relations and is defined using “graphings”. A treeing is a measurable way to provide every equivalence class (=orbit) with the structure of a simplicial tree, it’s an example of graphing. Not every relation admits a treeing: we prove that every free action of a cost 1 non-amenable group is not treeable, but we prove that subrelations of treeable relations are treeable. We give examples of relations which cannot be produced by an action of any finitely generated group. The cost of a relation which can be decomposed as a direct product is seen to be 1. We define the notion for a relation to be a free product or an HNN-extension and compute the cost for the resulting relation from the costs of the building blocks. The cost is also an invariant of the pairs von Neumann algebra/Cartan subalgebra.

INTRODUCTION ET RÉSULTATS

Cette étude concerne, essentiellement, la classification des actions mesurables des groupes dénombrables, préservant la mesure, (donc des relations d’équivalence mesurées de type II_{1} et des paires algèbre de von Neumann/sous-algèbre de Cartan). Elle décrit un nouvel invariant pour ces relations et pour les groupes dénombrables : le coût, et certains autres invariants dynamiques.

Soit Γ un groupe dénombrable et soit (X, B, μ) un borélien standard, de probabilité (μ(X) = 1) sans atome (ils sont tous isomorphes à X = [0, 1] avec la mesure de Lebesgue). Une action α de Γ, sera toujours, pour nous, un morphisme de groupes, de Γ dans le groupe Aut(X, μ) des automorphismes mesurables de (X, B) qui préservent la mesure. Une action est libre si pour tout γ ∈ Γ \ {1} et pour μ-presque tout x ∈ X, on a α(γ)(x) ≠ x. Tout groupe dénombrable infini admet des actions libres ergodiques, par exemple les décalages de Bernoulli sur l’espace probabilisé {0, 1}^{Γ}, muni d’une mesure produit.

Considérons sur X la relation d’équivalence R_{α} être dans la même orbite

(xR_{α}y) ⇔ (∃γ ∈ Γ : α(γ)(x) = y)

1991 Mathematics Subject Classification. 28D15 28D20 20E15 20E06 46L10. Key words and phrases. Discrete groups, measure preserving group actions, ergodic theory, II_{1} equivalence

relations, von Neumann algebras.

Ce travail de recherche a été financé par le CNRS (France), par le CIC (Mexique) et par la FAPERJ (Brésil).

Typeset by AMS-TEX

(c’est une relation d’équivalence mesurée de type II_{1}) et oublions le groupe et l’action. Une question générale de théorie ergodique est alors de savoir la quantité d’information qu’on peut retrouver dans R_{α}.

Deux actions ergodiques α_{1} et α_{2} sur (X_{1}, μ_{1}) et (X_{2}, μ_{2}) de groupes Γ_{1} et Γ_{2} sont dites orbitalement équivalentes (OE) si R_{α_{1}} et R_{α_{2}} sont isomorphes, au sens où il existe deux boréliens saturés de mesure totale X′_{1} ⊂ X_{1} et X′_{2} ⊂ X_{2} et un isomorphisme borélien f : X′_{1} → X′_{2} préservant la mesure (il n’y a qu’une mesure de probabilité dans sa classe) tel que pour tout x, y ∈ X′_{1}, (xR_{α_{1}}y) ⇔ (f(x)R_{α_{2}}f(y)). Cette notion ne suppose pas que les groupes Γ_{1} et Γ_{2} soient isomorphes.

En 1959, H. Dye a découvert que pour Γ ≃ Z, tout ce qui concerne α est effacé : toutes les actions ergodiques du groupe Z sur (X, μ) sont orbitalement équivalentes entre elles [Dye59]. Une suite de travaux menés par plusieurs auteurs (notamment H. Dye, A. Connes et W. Krieger, A. Vershik...) conduit au théorème de D. Ornstein et B. Weiss [OW80] : si Γ_{1} et Γ_{2} sont deux groupes moyennables, alors toute action ergodique de Γ_{1} est orbitalement équivalente à toute action ergodique de Γ_{2}. En d’autres termes, il n’existe au niveau OE qu’une seule action ergodique de groupes moyennables (les actions sont dans Aut(X, μ)).

La situation est radicalement différente pour les actions ergodiques libres des groupes non moyennables. Primo, aucune d’entre elles n’est OE à l’action moyennable, secundo certains groupes peuvent avoir plusieurs actions ergodiques non OE. Par exemple, des résultats de A. Connes et B. Weiss assurent que tout groupe non moyennable n’ayant pas la propriété (T) de Kazhdan, admet au moins deux actions libres non OE. Par exemple, les travaux de D. McDuff et S. Bezuglyĭet V. Golodets permettent de trouver des groupes qui possèdent un continuum d’actions deux à deux non orbitalement équivalentes. Tertio, il arrive sous certaines conditions que la relation R_{α} détermine, à peu de choses près, et le groupe et l’action. La plupart de ces résultats de rigidité concernent des groupes Γ qui sont des réseaux dans des groupes de Lie semi-simples de rang réel ≥ 2. Citons par exemple des travaux de R. Zimmer (voir par exemple [Zim84]) ou les résultats récents d’A. Furman [Fur98] qui entraînent notamment que, si un groupe Γ admet une action libre OE à l’action naturelle de SL(n, Z) sur le n-tore R^{n}/Z^{n}, avec n ≥ 3 alors Γ ≃ SL(n, Z) et les actions sont conjuguées. Notre étude est d’une certaine manière orthogonale à ces résultats (prop. VI.30 et prop. VI.34) et se rapproche plutôt des résultats de S. Adams sur les treeings [Ada90].

Dans cet article, on associe à chaque groupe Γ dénombrable (y compris fini) un nombre C(Γ) ∈ [1, ∞]∪\{1− \frac{1}{n} : n ∈ N^{∗}\} : son coût, majoré par le nombre de générateurs de Γ, et à certains groupes on associe des qualités (prix fixe, arborabilité...), le tout reposant sur la notion de graphage.

Un graphage de R_{α} est une manière mesurable d’équiper chaque classe d’équivalence d’une structure de graphe connexe. Par exemple, si α est une action libre d’un groupe Γ engendré par n éléments {γ_{1}, …, γ_{n}}, alors R_{α} est engendrée par les n automorphismes α(γ_{j}) : X → X, et chaque orbite hérite de la structure du graphe de Cayley du groupe Γ, correspondant à {γ_{1}, …, γ_{n}}. Mais les relations entre les générateurs (les cycles dans les graphes) introduisent une redondance dans la génération de R_{α}, qu’on va chercher à minimiser en considérant des automorphismes partiellement définis. Ainsi, plus précisément, un graphage de R_{α} est une famille dénombrable Φ = (φ_{j} : A_{j} → B_{j})_{j∈I} d’isomorphismes partiels, telle que la relation engendrée par (φ_{j}(x) ∼ x) soit isomorphe à R_{α}. Le coût de Φ se calcule immédiatement, c’est le nombre de générateurs φ_{j} pondérés par la mesure de leur domaine, c’est la quantité (finie ou non) suivante : C(Φ) = ∑_{j∈I} μ(A_{j}). L’action α admet de nombreux graphages et la borne inférieure de leurs coûts s’appelle le coût de la relation R_{α} (ou de l’action α), noté C(R_{α}). Enfin, un groupe Γ possède plusieurs actions libres, et la borne inférieure (c’est en fait un minimum, prop. VI.21) de leurs coûts est appelée le coût du groupe Γ, on le note C(Γ). Ainsi,

C(Γ) = min_{α action libre de Γ}(  inf_{Φ graphage de R_{α}}(C(Φ))).

Le groupe Γ est à prix fixe si C(R_{α}) est constant sur toutes les actions libres α. On ne connaît aucun groupe qui ne soit pas à prix fixe. La notion de coût fut introduite par G. Levitt et le présent travail a été largement motivé par une question de [Lev95, p.1174] : “For instance, is cost(R) strictly bigger than 1 if R comes from a free action of a nonabelian free group ? If so, this would lead to a nontrivial numerical invariant for (non amenable) discrete groups” à laquelle le théorème 1 (annoncé dans [Gab98]) permet de répondre, en fournissant un moyen de calcul effectif de ce nombre :

Théorème 1. Soit Φ un graphage de R_{α} qui donne à presque chaque orbite la structure d’un arbre, alors C(R_{α}) = C(Φ).

On dit, dans ce cas, que Φ est un arborage. C’est en particulier un treeing au sens de S. Adams (voir par exemple [Ada90]). Un groupe dont toutes les actions libres sont arborables (i. e. admettent un arborage) est dit arborable. Si aucune de ses actions libres (dans Aut(X, μ)) n’est arborable, il est alors dit anti-arborable.

D’après [OW80], tous les groupes moyennables sont arborables, à prix fixe, de coût 1. Dans [AS90], S. Adams et R. Spatzier ont montré que tout groupe infini possédant la propriété (T) de Kazhdan est anti-arborable. Le théorème 1 entraîne immédiatement :

Corollaire 1. Le groupe libre sur p générateurs est arborable, à prix fixe, de coût p.

L’intérêt de ces notions repose sur leurs propriétés d’invariance.

Invariance par OE. Si deux groupes à prix fixe ont des actions libres orbitalement équivalentes, alors ils ont même coût.

Cela permet de répondre à une question de A. Vershik [Ver89, p.90] :

Corollaire 2. Les décalages de Bernoulli de groupes libres de rangs distincts ne sont pas orbitalement équivalents.

Deux actions sont stablement orbitalement équivalentes (SOE) si les relations R_{α_{i}} admettent des restrictions, chacune à un borélien rencontrant presque toutes les orbites, qui sont isomorphes (cette notion est comparable, en présence d’un feuilletage sur une variété, à l’équivalence de Kakutani pour les pseudogroupes associés à différentes transversales totales).

Notons que le groupe libre F_{2} possède un sous-groupe F_{3} d’indice 2. Alors toute F_{3} action s’étend en une F_{2} action qui lui est stablement orbitalement équivalente : le coût n’est donc pas invariant par SOE.

Invariance par SOE. Soient Γ_{1} et Γ_{2}, deux groupes qui admettent des actions libres stablement orbitalement équivalentes.

- Si Γ_{1} est anti-arborable alors Γ_{2} n’est pas arborable.

- Si Γ_{1} et Γ_{2} sont à prix fixe, alors C(Γ_{1}) = 1 (resp. est fini, resp. = ∞) si et seulement si C(Γ_{2}) = 1 (resp. est fini, resp. = ∞).

On dresse une mercuriale, c’est-à-dire une liste de groupes (à prix fixe pour la plupart), avec leur coût, (par exemple C(Γ) = 1− \frac{1}{|Γ|} pour Γ groupe fini de cardinal |Γ|, les groupes infinis sont de coût ≥ 1) et on décrit comment agrandir la liste, par divers procédés. Le plus frappant, qu’on peut voir comme un analogue du théorème de Grushko dans le cas des produits libres, est le suivant :

Théorème 2. Si Γ = Γ_{1} ∗_{Γ_{3}} Γ_{2} est le produit amalgamé de deux groupes à prix fixe, de coûts finis Γ_{1} et Γ_{2} au-dessus du groupe moyennable (éventuellement trivial) Γ_{3} alors Γ est à prix fixe et C(Γ) = C(Γ_{1}) + C(Γ_{2}) − C(Γ_{3}).

Cela entraîne, entre autres : -SL(2, Z) est arborable, à prix fixe, de coût 1 + \frac{1}{12}, -le groupe fondamental π_{1}(Σ_{g}) de la surface compacte de genre g ≥ 1 est à prix fixe, de coût 2g −1. -pour tout c ≥ 1, il existe (au moins) un groupe Γ_{c} (resp. Λ_{c}) à prix fixe, de coût c et arborable (resp. anti-arborable) et il existe au moins un groupe de type fini de coût c, pour c < ∞.

Concernant le passage à des sous-groupes, on obtient :

Théorème 3.

- Si Λ est d’indice fini [Γ : Λ] dans Γ, alors C(Λ) − 1 = [Γ : Λ] · (C(Γ) − 1).

- Si Λ est un sous-groupe infini distingué à prix fixe de Γ, alors C(Γ) ≤ C(Λ).

Par ailleurs, il existe de nombreux groupes familiers qui sont à prix fixe, de coût 1. Par exemple les produits directs Γ_{1} ×Γ_{2} où Γ_{1} contient un élément d’ordre infini, les groupes contenant un sousgroupe normal moyennable, SL(n, Z) pour n > 2, le groupe de Thompson... On donne des critères algébriques permettant d’établir cela, on en déduit que les groupes considérés par D. McDuff [McD69] sont tous de coût 1 et on prouve :

Théorème 4.

- Tout groupe non moyennable de coût 1 est anti-arborable.

- Tout groupe contenant un sous-groupe anti-arborable est anti-arborable.

Le groupe libre sur une infinité de générateurs est à prix fixe de coût infini. On en déduit, en réponse à une question de V. Kaimanovitch :

Corollaire 3. Il existe des actions qui ne sont SOE à aucune action d’un groupe de type fini.

Comme le suggère ce qui précède, plusieurs résultats portent en fait sur des relations d’équivalence mesurées de type II_{1}, mais on sait (voir les papiers [FM77] de J. Feldman et C. Moore) qu’elle sont toutes de la forme R_{α} pour une action α non nécessairement libre d’un certain groupe dénombrable. On définit la propriété (généralisant celle de É. Ghys [Ghy95]) pour une relation de se décomposer comme produit amalgamé ou HNN-extension qui correspond à celle pour les groupes : si α est une action libre du groupe Γ = Γ_{1} ∗_{Γ_{3}} Γ_{2} (resp. Γ = Γ_{1}∗_{Γ_{3}}), alors R_{α} = R_{α|Γ_{1}} ∗_{R_{α|Γ_{3}}} R_{α|Γ_{2}} (resp. R_{α|Γ_{1}}∗_{R_{α|Γ_{3}}} ). On prouve que ces notions sont identiques modulo SOE et en réalité, on établit l’analogue (th. IV.15) du théorème 1 dans ce contexte. De même, on obtient :

Théorème 5. Toute sous-relation d’une relation arborable est elle-même arborable.

S. Jackson, A. Kechris et A. Louveau ont obtenu [JKL] de manière indépendante des résultats comparables aux nôtres sur l’arborabilité, mais dans le cadre borélien (i.e. sans la présence d’une mesure quasi-invariante). Notre preuve du théorème 5 se généralise sans difficulté à ce cadre.

On sait bien, depuis les travaux de F. Murray et J. von Neumann, le lien étroit entre relations d’équivalence mesurées et algèbres de von Neumann. En fait ([FM77]), à toute relation d’équivalence R mesurée ergodique de type II_{1} correspond une algèbre de von Neumann M de type II_{1} et une sous-algèbre de Cartan A. Inversement [FM77], pour toute telle paire (M, A), il existe une unique relation d’équivalence mesurée préservant la mesure sur un borélien standard de probabilité (et un 2-cocycle σ, sans incidence pour nous), qui est associée (tordue par σ) à (M, A). Si bien que les invariants qu’on a considérés, coût et arborabilité deviennent des invariants pour les paires algèbre de von Neumann/sous-algèbre de Cartan. Les spécialistes ne manqueront pas de remarquer certaines similitudes (non encore élucidées) entre nos résultats sur le coût et ceux concernant l’invariant (“free entropy dimension”) des facteurs de von Neumann de type II_{1} introduit par D. Voiculescu.

PLAN DE L’ARTICLE

I- DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS

I-A Premières définitions I-B Définitions des coûts I-C Exemples des relations finies I-D Exemples des rotations du cercle I-E Premières propriétés II- INVARIANCES ET INDUCTION

II-A Équivalence orbitale II-B Induction II-C Équivalence orbitale stable

III- RELATIONS HYPERFINIES

IV- ARBORABILITÉ, PRODUITS AMALGAMÉS ET HNN-EXTENSIONS IV-A Relations arborables IV-B Produits amalgamés IV-C HNN-extensions IV-D Preuves

V- PETITS COÛTS ET RELATIONS DÉCOMPOSABLES

VI- EN THÉORIE DES GROUPES VI-A Définitions et premières propriétés VI-B Produits VI-C Sous-groupes VI-D Petits coûts et réseaux des groupes de Lie VI-E Groupes de D. McDuff

VII- MERCURIALE de GROUPES

VIII- BIBLIOGRAPHIE

REMERCIEMENTS

La réalisation de cet article s’est étalée sur plusieurs mois et plusieurs laboratoires. Durant l’année 1997, j’ai effectué un long séjour à l’Universidade Federal Fluminense de Niteroi (Brésil) et au Centro Internacional de Ciencias de Cuernavaca (Mexique). Je les remercie très chaleureusement pour leur accueil. J’ai aussi bénéficié de la formidable bibliothèque de l’IMPA (Rio). Ce travail doit donc beaucoup au soleil des Amériques et à l’ombre du Pão de Açúcar et du Popocatepetl (mais il n’a vraiment commencé qu’après la lecture de la jolie preuve du théorème de Grushko donnée par J. Stallings [Sta65]). Je l’ai poursuivi dans mon laboratoire d’accueil de l’UMPA de l’Ens-Lyon en 1997-1998. J’ai harcelé de nombreuses personnes pour les entretenir du sujet. Je tiens à les remercier sincèrement, notamment Nicolas Bergeron, Gilles Carron, Claude Danthony, Albert Fathi, Alex Furman, Emmanuel Giroux, Alekos Kechris, Sorin Popa, Alberto Verjovsky (en particulier pour son enthousiasme et ses suggestions de lectures), Benjamin Weiss, Dave Witte... Je suis particulièrement redevable à Étienne Ghys et Gilbert Levitt pour leurs encouragements constants et leurs conseils réguliers et toujours utiles et à Livio Flaminio avec lequel j’ai travaillé une semaine intensive sur les questions de moyennes et qui, le premier, m’a signalé qu’on ignorait si des actions libres II_{1} de F_{2} et de F_{3} pouvaient être orbitalement équivalentes. Un merci tout spécial à Thierry Barbot, pour son oreille et ses relectures attentives, et à Bruno Sevennec, pour ses connaissances encyclopédiques dont il fait profiter tout le laboratoire, et pour les nombreuses questions pointues, en théorie des groupes, auxquelles il m’a apporté des réponses.

À Carole et à Valentine.

L’auteur ne remercie pas le monde de la finance qui ruine l’humanité.

I- DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS

I-A Premières Définitions

Soit (X, B, μ) un espace borélien standard muni d’une mesure μ, sans atome. S’il est de probabilité (μ(X) = 1), alors il est isomorphe à l’intervalle [0, 1] muni de la tribu des boréliens et de la mesure de Lebesgue.

(S) Une relation d’équivalence R sur (X, μ) est dite standard si - pour tout x ∈ X, la classe d’équivalence R[x] de x est dénombrable.

- R comme partie de X × X est un borélien de la σ-algèbre produit. (P) On dit que μ est préservée par R si tout automorphisme borélien de X, dont le graphe est contenu dans R, préserve μ.

Le R-saturé d’un borélien A est la réunion des R-classes des éléments de A, c’est un borélien de X. La relation R est ergodique si pour tout borélien R-saturé A, ou bien A, ou bien son complémentaire est de mesure nulle. On appelle orbite d’un point x ∈ X sa classe d’équivalence.

Notre étude se concentrera essentiellement sur les relations (SP1), c’est-à-dire standard, préservant la mesure μ sur X de probabilité. Cependant, au cours des démonstrations, apparaîtront des espaces de base boréliens standards σ-finis (i.e. réunion dénombrable de boréliens de mesures finies). Ces relations vérifieront (S) et (P), elles seront dites (SP). Nos considérations seront mesurables, préservant la mesure et à un ensemble de mesure nulle près (mod 0). Il existe un principe disant “tant qu’on n’utilise pas l’axiome du choix, on demeure dans le cadre mesurable”.

Dans un contexte plus faible où l’on ne suppose pas (P), on dit que la mesure μ est quasipréservée si le R-saturé de tout borélien négligeable est lui-même négligeable. Dans ce cadre, on dit qu’une relation standard est de type II_{1} si R est à classes infinies et préserve une mesure de probabilité ν équivalente à μ (i.e. μ et ν ont les mêmes ensembles de mesure nulle). Si de plus R est ergodique, alors ν est unique dans sa classe de mesure.

On dira que les relations R_{1} et R_{2} sur (X_{1}, μ_{1}) et (X_{2}, μ_{2}) sont isomorphes et on écrira R_{1} ≃ R_{2} s’il existe une bijection bimesurable f : X_{1} → X_{2} telle que f_{∗}(μ_{1}) = μ_{2} et telle que pour μ_{1}- presque tout x ∈ X_{1}, les ensembles f(R_{1}[x]) et R_{2}[f(x)] sont égaux. Une propriété est vérifiée pour presque chaque orbite de R si elle est vérifiée pour chaque orbite d’une relation isomorphe.

Si G est un sous-groupe dénombrable du groupe Aut(X, μ) des automorphismes boréliens de X préservant μ, la relation d’équivalence R_{G} définie par ses orbites est une relation (SP). Inversement, le corollaire 1 de [FM77] de J. Feldman et C. Moore assure que, pour toute relation (SP) R sur (X, μ), il existe un sous-groupe dénombrable G de Aut(X, μ) tel que R ≃ R_{G}.

On renvoie à [FM77] ou [Wei81] pour plus de détails sur ce qui précède.

Définition I.1. Un graphage sur (X, μ) est une famille dénombrable Φ = (φ_{j} : A_{j} → B_{j})_{j∈J} d’isomorphismes boréliens préservant μ, entre parties boréliennes de X. Chaque φ_{j} est un générateur, le domaine A_{j} et le but B_{j} sont ses bases.

Un graphage Φ engendre une relation d’équivalence R_{Φ} ⊂ X × X : la plus petite relation d’équivalence qui vérifie (x ∼ y) s’il existe j ∈ J avec x ∈ A_{j} et y = φ_{j}(x).

Un Φ-mot ω est un mot écrit avec les lettres φ_{j} et φ_{j}^{−1}. C’est un isomorphisme partiel dont le domaine de définition dom(ω) (défini de la manière maximale évidente) et l’image but(ω) sont des boréliens de X. La longueur du Φ-mot ω = φ_{i_{l}}^{ε_{l}} … φ_{i_{2}}^{ε_{2}}φ_{i_{1}}^{ε_{1}} (avec ε_{i} = ±1 et φ_{i_{j}} ∈ Φ) est l’entier l. Un mot est réduit s’il ne contient pas une lettre suivie immédiatement de son inverse. Le mot vide est défini partout et vaut l’identité. Deux Φ-mots ω_{1} et ω_{2} coïncident en x ∈ X si x appartient à leurs domaines et ω_{1}(x) = ω_{2}(x).

La relation R_{Φ} est donc aussi l’ensemble des (x, y) pour lesquels il existe un Φ-mot ω défini en x tel que ω(x) = y. Il est immédiat de s’assurer que c’est une relation (SP) (tout automorphisme dont le graphe est contenu dans R_{Φ} se décompose en une famille dénombrable de Φ-mots).

Un graphage Φ donne naturellement (et “mesurablement”) à chaque orbite de R_{Φ} une structure de graphe connexe, son graphe de Cayley, et la munit d’une métrique d_{Φ} : les sommets sont les éléments de la classe et une arête orientée d’appellation φ_{j} joint x à y si et seulement si x ∈ A_{j} et y = φ_{j}(x). Le nombre v_{Φ}(x) d’arêtes incidentes à x (resp. sortant de x) est égal au nombre de bases A_{j}, B_{j} (resp. de domaines A_{j}) le contenant. On note Φ[x] le graphe de Cayley de x. La métrique d_{Φ} est la plus grande qui place à distance 1 deux points joints par une arête (s’ils sont distincts). Autrement dit, d_{Φ}(x, y) = n si et seulement si n est le minimum des longueurs des Φ-mots de x à y. On dira que Φ est un graphage de la relation R si R_{Φ} ≃ R.

Définition I.2. Si presque chaque orbite a la structure d’un arbre, on dit que Φ est un arborage. R est arborable si elle admet un arborage.

Vu la dénombrabilité de l’ensemble des Φ-mots, Φ est un arborage si et seulement si pour tout Φ-mot ω réduit non vide, l’ensemble {x ∈ dom(ω) : ω(x) = x} des points fixes de ω est de mesure nulle.

Ces structures sont très proches de celles considérés par S. Adams. En particulier, un arborage localement fini (chaque x ∈ X est contenu dans un nombre fini de bases) définit un treeing au sens de [Ada90]. Une différence notable entre nos graphages et les graphings de Adams réside dans l’existence éventuelle de redondances : on peut avoir des générateurs distincts φ_{1} et φ_{2} de Φ qui coïncident sur un borélien de mesure > 0.

Exemple I.3. Soit Γ un groupe dénombrable engendré par γ_{1}, γ_{2}, …, γ_{n}, … et qui admet une action α : Γ → Aut(X, μ). La relation R_{α} des orbites de l’action coïncide avec la relation R_{Φ} donnée par le graphage Φ = (φ_{j} : X → X, x ↦ α(γ_{j})(x))_{j=1,2,...}. Ainsi, grâce au résultat de Feldman-Moore rappelé ci-dessus, toute relation (SP) admet un graphage.

On dira que l’action de Γ est libre si μ{x/α(γ)(x) = x} = 0, pour tout γ ∈ Γ \ {1}. Dans ce cas, le graphe de Cayley de presque chaque orbite, s’identifie avec le graphe de Cayley de (Γ; (γ_{1}, γ_{2}, …, γ_{n}, …)). Plus précisément, chaque choix d’un élément x de l’orbite fournit un isomorphisme de graphes de Cayley (où x ↔ 1), mais il n’existe pas, en général, d’identification (mesurable) intrinsèque (cf. Remarque I.4). Si Γ est le groupe libre sur γ_{1}, γ_{2}, …, γ_{p}, ⋯, le graphage Φ est alors un arborage.

Remarque I.4. Supposons μ(X) = 1. L’ordre induit sur chaque orbite par l’ordre sur [0, 1] (via un isomorphisme borélien qui identifie (X, B, μ) à [0, 1] muni de la mesure de Lebesgue) permet, lorsque chaque orbite est finie, de construire un domaine fondamental (choix d’un point par orbite) borélien en ne retenant que l’élément minimal de chaque classe. En revanche, lorsque les classes sont infinies, un domaine fondamental est nécessairement non borélien. C’est pourquoi l’étude de l’espace des orbites ne se ramène pas à celle d’une partie borélienne.

La notation x ∼^{R} y ou xRy signifie que x et y sont dans la même orbite de la relation R. La relation (SP) S est une sous-relation de la relation (SP) R si pour presque tout x ∈ X, on a S[x] ⊂ R[x]. Si R_{1} et R_{2} sont deux relations (SP) sur (X, μ), on notera R_{1} ∨R_{2} la relation qu’elles engendrent, i.e. la plus petite relation (SP) sur (X, μ) pour laquelle, pour tout x ∈ X, l’orbite de x contient R_{1}[x] ∪ R_{2}[x]. Si Φ_{1} = (φ_{j})_{j∈J_{1}} et Φ_{2} = (φ_{j})_{j∈J_{2}} sont deux graphages sur (X, μ), on note Φ_{1} ∨ Φ_{2} le graphage réunion (φ_{j})_{j∈J_{1}∪J_{2}}. C’est un graphage de R_{Φ_{1}} ∨ R_{Φ_{2}}. On dira que Ψ = (ψ_{j})_{j∈J} est un sous-graphage de Φ = (φ_{j})_{j∈J} si pour chaque j ∈ J, les générateurs ψ_{j} et φ_{j} coïncident en tous points de dom(ψ_{j}) (en particulier, dom(ψ_{j}) ⊂ dom(φ_{j})).

Notation : Φ^{±1} := (φ_{1}, φ_{1}^{−1}, φ_{2}, φ_{2}^{−1}, …, φ_{n}, φ_{n}^{−1}, …) est la famille des lettres ou des mots de longueur 1.

I-B Définitions des coûts

Définitions I.5. Soit (X, B, μ) un borélien standard de mesure 1, sans atome.

(1) Le coût du graphage Φ = (φ_{j} : A_{j} → B_{j})_{j∈J} sur (X, μ) est la quantité (finie ou non) suivante : C_{μ}(Φ) = ∑_{j∈J} μ(A_{j}).

(2) Le coût de la relation (SP1) R sur (X, μ) est la borne inférieure des coûts des graphages de R : C_{μ}(R) = inf{C_{μ}(Φ)/R_{Φ} = R}.

(3) Le coût d’un groupe dénombrable Γ est la borne inférieure des coûts des relations R_{α}, où α parcourt la famille des actions libres de Γ, préservant la mesure, sur des (X, μ) de probabilité : C(Γ) = inf{C_{μ}(R_{α})/α action libre de Γ sur (X, μ) avec μ(X) = 1}.

(4) Un groupe est dit à prix fixe si les relations R_{α} de toutes ses actions libres α ont le même coût (sur (X, μ) de probabilité).

Il est immédiat que deux relations (SP1) isomorphes ont même coût. Le coût dépend de la mesure μ. Lorsqu’il n’y aura pas d’ambiguïté, on omettra la mesure en indice. Notons que le nombre v_{Φ}(x) de voisins (la valence de x dans son Φ-graphe de Cayley) est égal, en moyenne, à 2 fois le coût du graphage Φ : ∫_{X} v_{Φ}(x)dμ(x) = 2 · C_{μ}(Φ). Remarque I.6. Si l’espace (X, μ) est un espace de mesure finie différente de 1 on appellera encore, par abus, coût du graphage Φ = (φ_{j} : A_{j} → B_{j})_{j∈J} sur (X, μ) la quantité C_{μ}(Φ) := ∑_{j∈J} μ(A_{j}).

Remarque I.7. Un groupe dénombrable Γ admet toujours des actions (presque) libres préservant la mesure sur des boréliens standards de probabilité, les décalages de Bernoulli : soit Y = {0, 1, ⋯, n} un ensemble fini, muni d’une mesure de probabilité ν qui donne à chaque élément une mesure non nulle. Le borélien standard X = Y^{Γ} des applications de Γ dans Y, muni de la tribu et de la mesure produits, admet une action α presque libre de Γ, par α(γ)(f(·)) = f(γ^{−1}· ). Si Γ est infini (resp. si γ est un élément d’ordre infini de Γ) alors cette action (resp. l’action restreinte à γ) est ergodique. On peut aussi voir [Dye59, lemma 2.1] pour un autre exemple.

Le coût d’un groupe de type fini est toujours majoré par le nombre de ses générateurs (exemple I.3).

On se demandera si les bornes inférieures qui interviennent dans les définitions (2) et (3) sont atteintes. Le théorème IV.1 donnera une condition nécessaire et suffisante pour qu’un graphage Φ réalise le coût de la relation qu’il engendre. Pour la définition (3), voir VI.21. Question I.8 : Existe-t-il des groupes qui ne soient pas à prix fixe ?

I-C Exemples des relations finies

L’exemple des relations d’équivalence (SP1) finies (i.e. à orbites finies) est particulièrement simple à traiter. Cela repose sur l’existence d’un domaine fondamental pour la relation, i.e. une partie D ⊂ X mesurable, qui rencontre presque chaque orbite en un et un seul point (voir remarque I.3). Ces résultats sont essentiellement contenus dans [Lev95]. C’est parce qu’on rencontrera de telles relations qu’on n’a pas pu restreindre notre étude aux seules relations ergodiques.

Proposition I.9 [Lev95]. Soit R une relation (SP1) sur (X, μ) (avec μ(X) = 1). Supposons que ses orbites sont (presque toutes) finies (il est équivalent de dire que R possède un domaine fondamental D), alors :

(1) C(R) = 1 − μ(D),

(2) R admet un arborage,

(3) tout arborage est de coût exactement C(R).

Preuve. Considérons un graphage Φ de R et un domaine fondamental D. Pour chaque x ∈ D, appelons S(x) (resp. V (x)) le nombre de sommets (resp. la somme des valences des sommets) du Φ-graphe de Cayley de l’orbite de x. On a ∫_{D} S(x)dμ(x) = μ(X) et presque toute orbite est finie. Ces fonctions mesurables vérifient l’inégalité des graphes connexes finis : 1/2.V (x) ≥ S(x)−1, avec égalité si et seulement si le graphe de Cayley Φ[x] de x est un arbre. Par intégration sur D, on obtient C(Φ) ≥ μ(X) − μ(D), avec égalité si et seulement si presque chaque graphe est un arbre. Inversement, par finitude des orbites, il existe une numérotation mesurable des sommets et il est facile d’exhiber un arborage. Ce joli raisonnement est dû à G. Levitt (non publié sous cette forme).

■

Corollaire I.10. Si Γ est un groupe fini de cardinal |Γ|, alors il est à prix fixe et C(Γ) = 1 − \frac{1}{|Γ|}.

Preuve. Considérons une action libre (SP1) de Γ. Chaque orbite a |Γ| éléments ; un domaine fondamental mesure donc 1/|Γ|.

■

I-D Exemples des rotations du cercle

Considérons l’action sur S^{1} = R/Z du groupe Z^{2} engendré par deux translations a et b définies par deux nombres réels l_{a}, l_{b} tels que 1, l_{a}, l_{b} soient rationnellement indépendants. Pour tout ε > 0, on trouve un borélien A_{ε} de mesure ≤ ε qui rencontre presque toute a-orbite (i.e. dont le saturé Ā par a est de mesure pleine) (par ergodicité, c’est en fait le cas de tout borélien de mesure > 0). Soit b_{ε} la restriction de b à A_{ε}. Le graphage Φ_{ε} = (a, b_{ε}) de coût 1 + ε possédera presque les mêmes orbites que Φ = (a, b), de coût 2. En effet, pour tout x ∈ Ā, il existe un n tel que a^{n}(x) ∈ A_{ε}. Alors a^{−n} ∘ b_{ε} ∘ a^{n}(x) est défini et égale b(x). En fait (cf. [Dye63]), cette relation est engendrée par un automorphisme de S^{1} préservant la mesure de Lebesgue. On verra (partie III) qu’elle est arborable, de coût 1.

I-E Premières propriétés

Proposition I.11. Si un graphage Φ de coût fini réalise le coût de R, alors Φ est un arborage.

Soit Φ un graphage sur (X, μ). Soit m = φ_{i_{l}}^{ε_{l}} ⋯ φ_{i_{2}}^{ε_{2}}·φ_{i_{1}}^{ε_{1}} un Φ-mot. Appelons m_{j} := φ_{i_{j}}^{ε_{j}} ⋯ φ_{i_{2}}^{ε_{2}} · φ_{i_{1}}^{ε_{1}} les sous-mots à droite, et m_{0} = 1.

Lemme I.12. Si A est un borélien de mesure > 0, contenu dans le domaine de m, tel que ∀x ∈ A m(x) = x, mais tel que les itérés intermédiaires, m_{j}(x) (j = 0, ⋯, l−1) sont deux à deux distincts, alors il existe une partie A′ de A, de mesure > 0 dont les itérés intermédiaires m_{j}(A′) sont deux à deux disjoints.

Preuve du lemme I.12. X étant un borélien standard, prenons X = [0, 1]. Par le théorème de Lusin, pour tout j = 1, ⋯, l et tout ε > 0, il existe un borélien U_{j} contenu dans m_{j−1}(A) de mesure < ε, tel que φ_{i_{j}}^{ε_{j}} soit continue sur m_{j−1}(A) \ U_{j}. Prenons ε < μ(A)/l et soit \overline{A} l’ensemble \overline{A} = U_{1} ∪ m_{1}^{−1}(U_{2}) ∪ ⋯ ∪ m_{l−1}^{−1}(U_{l}). La mesure μ(A \ \overline{A}) est > 0. Considérons un point de densité x de A \ \overline{A}. Ses itérés étant deux à deux distincts et par continuité, il existe un voisinage A′ (de mesure positive par densité) de x dans A \ \overline{A} dont les itérés sont deux à deux disjoints.

■

Preuve de la proposition I.11. Par contraposition, si Φ n’est pas un arborage, on trouve (par dénombrabilité de l’ensemble des Φ-mots) un mot m et un borélien A satisfaisant les hypothèses du lemme. Supprimer A′ dans le domaine de φ_{i_{1}}^{ε_{1}} fournit un graphage de coût strictement inférieur qui a les mêmes orbites.

■

Rappelons un lemme utile (voir par exemple [Lev95, prop.1]) qui est immédiat dans le cas ergodique :

Lemme I.14. Si R est une relation à orbites infinies, alors il existe une suite décroissante de boréliens Y_{n}, dont la mesure tend vers 0, qui rencontrent presque chaque orbite.

Remarque. Le caractère standard de l’espace X intervient dans ces deux lemmes.

II- INVARIANCES ET INDUCTION

II-A- Équivalence orbitale

Il est usuel dans la théorie de confondre deux relations (SP1) si elles sont orbitalement équivalentes :

Définition II.1. Deux relations (SP1) R_{1} sur (X_{1}, μ_{1}) et R_{2} sur (X_{2}, μ_{2}) sont orbitalement équivalentes (OE) s’il existe un isomorphisme borélien f : X′_{1} → X′_{2}, entre des boréliens X′_{1} ⊂ X_{1} et X′_{2} ⊂ X_{2} saturés de mesures totales, tel que

(i) f envoie μ_{1} sur une mesure équivalente à μ_{2}, (ii) pour tout x ∈ X′_{1}, on a f(R_{1}[x]) = R_{2}[f(x)].

La différence avec des relations isomorphes réside dans (i). Ici, l’importance du choix de la mesure invariante dans sa classe fait que le coût n’est pas un invariant d’équivalence orbitale. Cependant, R_{2} préserve aussi la mesure f_{∗}μ_{1} (tout automorphisme h de X_{2} dont le graphe est contenu dans R_{2} fournit un automorphisme f^{−1} · h · f de X_{1} (l’étendre par l’identité sur X_{1} \ X′_{1}) dont le graphe est contenu dans R_{1}, qui préserve donc μ_{1}). Si R_{2} est ergodique, alors R_{1} est ergodique et f_{∗}μ_{1} = μ_{2}. Les relations sont alors isomorphes. On en déduit :

Invariance II.2. Si R_{1} et R_{2} sont deux relations (SP1) ergodiques orbitalement équivalentes sur (X_{1}, μ_{1}) et (X_{2}, μ_{2}), de probabilité, alors C_{μ_{1}}(R_{1}) = C_{μ_{2}}(R_{2}).

Invariance II.3. Si R_{1} et R_{2} sont deux relations (SP1) OE sur (X_{1}, μ_{1}) et (X_{2}, μ_{2}), de probabilité, et si R_{2} est donnée par les orbites d’une action libre d’un groupe Γ_{2} à prix fixe, alors R_{1} et R_{2} ont même coût.

Dans ce cas, on n’a pas besoin de l’hypothèse ergodique. En effet, C_{μ_{2}}(R_{2}) = C(Γ_{2}) = C_{f_{∗}μ_{1}}(R_{2}) = C_{μ_{1}}(R_{1}).

Corollaire II.4. Si deux groupes à prix fixes ont des actions libres préservant la mesure, orbitalement équivalentes, alors ils ont le même coût.

II-B- Induction

Si on ne s’est pas restreint à des espaces de probabilité, c’est parce qu’on a besoin de la notion de relation induite.

Définition II.5. La relation (SP) R sur (X, μ) induit la relation R_{|Y} sur (Y, μ_{|Y}) si Y est un borélien de mesure > 0 de X et pour tout x, y ∈ Y, (xR_{|Y} y) ⇔ (xRy).

Soit Φ un graphage de R. Si on considère tous les Φ-mots et qu’on restreint l’isomorphisme associé à chacun, de sorte que les domaines (éventuellement vides) et les buts soient contenus dans Y, on obtient un graphage grossier de R_{|Y}. Le lemme II.8 qui vient, décrit une manière d’en trouver un plus malin qui permettra de prouver le résultat que voici. On se place toujours dans le cas où la mesure est préservée, mais on autorise μ à n’être que σ-finie.

Proposition II.6. (induction). Soit Y ⊂ X un borélien qui rencontre toutes les orbites de la relation (SP) R sur (X, μ), alors les propriétés suivantes sont vérifiées :

(1) R est arborable si et seulement si R_{|Y} est arborable.

(2) si 0 < μ(X) < ∞, alors en posant μ_{1} = \frac{μ}{μ(X)} et ν_{1} = \frac{μ_{|Y}}{μ(Y)}, on a

μ(X) · (C_{μ_{1}}(R) − 1) = μ(Y) · (C_{ν_{1}}(R_{|Y}) − 1).

Remarque II.7. Si on suppose que R est standard, mais que μ est seulement quasi-préservée, alors la première partie de la proposition II.6 reste vraie, avec la même preuve.

Lemme II.8. Soit Φ un graphage de la relation (SP) R sur (X, μ), soit Y un borélien de X qui rencontre toutes les orbites et soit R_{|Y} la relation induite. On peut, quitte à découper les domaines de ses générateurs, partitionner Φ en deux sous-graphages disjoints (Φ_{v} comme “vertical” et Φ_{h} comme “horizontal” ) Φ = Φ_{v} ∨ Φ_{h} qui vérifient :

(1) Φ_{v} est un arborage dont chaque orbite rencontre Y en un et un seul point

(2) faire glisser (cf. II.8.1, ci-dessous) Φ_{h} le long de Φ_{v} jusque dans Y fournit un graphage Ψ_{h} de R_{|Y}

(3.1) si Ψ′ est un autre graphage de R_{|Y}, alors Φ′ = Ψ′ ∨ Φ_{v} est un graphage de R (3.2) si Φ est un arborage de R, alors Ψ_{h} est un arborage de R_{|Y}

si Ψ′ est un arborage de R_{|Y}, alors Φ′ est un arborage de R Si μ(X) est finie, alors Φ_{v} est à orbites finies, et

(4) C_{μ}(Φ_{v}) = μ(X) − μ(Y) (cf. Remarque I.6.)

(5) C_{μ}(Φ_{h}) = C_{μ|Y} (Ψ_{h}) (cf. Remarque I.6.)

Preuve du lemme II.8. Soit Y_{0} = Y et Y_{i} = {x ∈ X/d_{Φ}(x, Y_{0}) = i}, où i ∈ N. On rappelle que d_{Φ} est la métrique sur les orbites donnée par le graphage Φ. Quitte à partitionner domaines et buts des générateurs, puis remplacer certains d’entre eux par leur inverse, on peut supposer que pour chaque générateur φ : A ⟶ B, domaines et buts sont chacun contenus dans un Y_{i} et de plus le domaine A est plus haut que le but : A ⊂ Y_{i} et B ⊂ Y_{j}, avec i ≥ j. Numérotons les générateurs, et appelons Z_{i}^{φ} (pour i > 0 et φ ∈ Φ), l’ensemble des x ∈ Y_{i} pour lesquels φ est le premier générateur défini en x dont l’image est dans Y_{i−1} (considérer, pour chaque x ∈ Y_{i} avec i > 0, un mot de longueur i de x à Y pour s’assurer qu’un tel générateur existe). Les Z_{i}^{φ} fournissent une partition de X \ Y :

X \ Y = ∐_{i,φ} Z_{i}^{φ} (II.8.a.)

Définition de Φ_{v} et Φ_{h} : On coupe en deux chaque générateur φ : A ⟶ B, avec A ⊂ Y_{i}, en définissant :

\overline{δ}_{φ} la restriction de φ à Z_{i}^{φ},

δ_{φ} la restriction de φ à dom(φ) \ Z_{i}^{φ}

Appelons Φ_{v} (resp. Φ_{h}) la famille des \overline{δ}_{φ} (resp. δ_{φ}). Pour chaque x ∈ X \ Y, il existe un unique générateur de Φ_{v} défini en x, et il descend vers le Y_{i} d’indice précédent. Il existe donc un unique Φ_{v}-mot réduit m_{x} de x à Y. Les Φ_{v}-orbites sont des arbres (item 1), qui rencontrent Y en un unique point, leur racine.

Dans le cas μ(X) < ∞, la finitude des Φ_{v}-orbites repose sur l’existence du domaine fondamental Y et on a donc bien l’item (4) : C_{μ}(Φ_{v}) = ∑_{\overline{δ}∈Φ_{v}} μ(dom(\overline{δ})) = μ(X) − μ(Y), par II.8.a. et I.9.

II.8.1. Glissement de Φ_{h} le long de Φ_{v}. Quitte à décomposer domaines et buts des générateurs de Φ_{h}, on peut supposer que pour chaque δ : A ⟶ B, δ ∈ Φ_{h}, il existe un Φ_{v}-mot m_{A,δ} (resp. m_{B,δ}) qui pour tout x ∈ A (resp. y ∈ B), est le Φ_{v}-mot de x (resp. y) à Y . Si A (resp. B) est contenu dans Y, ce mot sera par définition égal à l’identité. On pose ψ_{δ} = (m_{B,δ}).δ.(m_{A,δ})^{−1}, pour δ ∈ Φ_{h} et on appelle Ψ^{h} l’ensemble des ψ_{δ}. On a fait glisser δ en ψ_{δ}.

Le domaine de ψ_{δ} est (m_{A,δ})^{−1}(A), alors l’item (5) est vérifié. Au niveau de chaque Φ-graphe de Cayley, on a choisi une forêt de sous-arbres enracinés qui partitionne l’ensemble des sommets, et on a fait glisser toutes les autres arêtes le long de ces sous-arbres jusqu’aux racines. Les opérations de glissement ne modifiant pas le type topologique des graphes de Cayley, les items (2), (3.1) et (3.2) se vérifient alors immédiatement.

■

Preuve de la proposition II.6. Du lemme II.8, on déduit immédiatement la propriété (1). Si μ(X) < ∞, on a : C_{μ|Y} (Ψ_{h}) = C_{μ}(Φ_{h}) = C_{μ}(Φ) − C_{μ}(Φ_{v}) = C_{μ}(Φ) − (μ(X) − μ(Y)). Puisque Ψ_{h} et Φ sont respectivement des graphages de R_{|Y} et R, on obtient en normalisant les mesures que : μ(Y) · C_{ν_{1}}(R_{|Y}) ≤ μ(X) · C_{μ_{1}}(R) − (μ(X) − μ(Y)). Inversement, si Ψ′ engendre R_{|Y} alors Ψ′ ∨ Φ_{v} engendre R et on a : μ(X) · C_{μ_{1}}(R) ≤ μ(Y) · C_{ν_{1}}(Ψ′) + (μ(X) − μ(Y)). D’où le résultat.

■

II-C- Équivalence orbitale stable

Définition II.9. Deux relations (SP1) sont stablement orbitalement équivalentes (SOE) si elles sont orbitalement équivalentes en restriction chacune à un borélien qui rencontre presque toutes les orbites : il existe Y_{1} ⊂ X_{1} (resp. Y_{2} ⊂ X_{2}) qui rencontrent presque toutes les orbites de R_{1} (resp. R_{2}) tels que les relations induites R_{1|Y_{1}} et R_{2|Y_{2}} soient orbitalement équivalentes.

Si deux relations (SP1) sont OE, alors elles sont SOE.

Corollaire II.10. Si R_{1} et R_{2} sont stablement orbitalement équivalentes, alors R_{1} est arborable si et seulement si R_{2} est arborable.

C’est un corollaire immédiat de la proposition d’induction II.6.(1).

Invariance II.11. Si R_{1} et R_{2} sont deux relations (SP1) sur (X_{1}, μ_{1}) et (X_{2}, μ_{2}), ergodiques et stablement orbitalement équivalentes et si C(R_{1}) = 1 (resp. = ∞), alors C(R_{2}) = 1 (resp. = ∞) Si Γ_{1} et Γ_{2} sont deux groupes à prix fixes qui ont des actions α_{1} et α_{2}, libres ergodiques et stablement orbitalement équivalentes et si C(Γ_{1}) = 1 (resp. = ∞), alors C(Γ_{2}) = 1 (resp. = ∞).

Les quatre énoncés contenus dans ce corollaire de la proposition II.6 se démontrent de manière analogue. On ne détaille que celui sur les groupes et le coût égal à 1 : cela repose sur la nullité (obtenue successivement) des expressions suivantes. 0 = C(Γ_{1}) − 1 = C_{μ_{1}}(R_{α_{1}}) − μ_{1}(X) = μ_{1}(Y_{1}) · (C_{μ_{1}}(R_{α_{1}|Y_{1}}) − 1) = f_{∗}μ_{1}(Y_{2}) · (C_{f_{∗}μ_{1}}(R_{α_{2}|Y_{2}}) − 1) = μ_{2}(Y_{2}) · (C_{μ_{2}}(R_{α_{2}|Y_{2}}) − 1) (proportionnalité de f_{∗}μ_{1} et μ_{2}) = C_{μ_{2}}(R_{α_{2}}) − 1 = C(Γ_{2}) − 1.

Évidemment, la notion la mieux adaptée à notre problème est celle qu’on appellera équivalence orbitale stable isométrique où f : Y_{1} → Y_{2} envoie μ_{1}_{|Y_{1}} sur μ_{2}_{|Y_{2}} (au lieu d’une mesure seulement équivalente). La proposition II.6 donne alors :

Corollaire II.12. La quantité μ(X) · (C_{μ_{1}}(R) − 1) est un invariant d’équivalence orbitale stable isométrique (où μ_{1} = \frac{μ}{μ(X)}).

C’est en ce sens qu’on peut dire qu’on a un invariant de l’espace mesuré des orbites. Lorsque les orbites sont ou bien toutes finies ou bien toutes infinies et que la quantité μ(X) · (1 − C_{μ_{1}}(R)) est positive ou nulle, elle correspond alors à la mesure de l’espace des orbites de [Lev95].

Exemple II.14. Soit F un feuilletage transversalement mesuré sur une variété V compacte. Soit X une sous-variété de V, transverse à F, qui rencontre toutes les feuilles. Supposons que la mesure μ déposée sur X soit finie et sans atomes, alors le pseudogroupe d’holonomie de F sur (X, μ) définit une relation d’équivalence R préservant μ. Le choix d’une autre transversale totale Y conduit (par équivalence de Kakutani) à une relation S isométriquement SOE à R.

Exemple II.15. Soient Γ et Λ deux réseaux d’un groupe de Lie G. Fixons une mesure de Haar μ sur G (elles sont toutes proportionnelles). L’action \overline{α} de Γ sur G par multiplication à gauche (\overline{α}(γ)(g) = γg) et l’action \overline{β} de Λ par multiplication à droite (\overline{β}(λ)(g) = gλ^{−1}) ont des domaines fondamentaux X (resp. Y) de μ-mesure finie, elles commutent entre elles et elles préservent la mesure μ. On en déduit donc une action α de Γ sur (G/Λ, μ) ≃ (Y, μ) et une action β de Λ sur (Γ\G, μ) ≃ (X, μ). Ces deux relations R_{α} et R_{β} sont stablement isométriquement orbitalement équivalentes : Les images de X par \overline{α}(Γ) partitionnent Y en Y = ∐_{i} Y_{i} = ∐_{i} \overline{α}(γ_{i})(X_{i}), où les X_{i} sont des boréliens de X. Posons X′ = ∪X_{i}. On peut trouver des X′_{i} ⊂ X_{i} qui forment une partition de X′, et soit Y′ = ∐_{i} \overline{α}(γ_{i})(X′_{i}). Les espaces (X′, μ) et (Y′, μ) sont isomorphes. Les relations d’équivalence R_{X}, R_{Y}, R_{X′} et R_{Y′} induites par l’action \overline{α} × \overline{β} de Γ × Λ sur X, Y, X′ et

Y′ vérifient : R_{α} ≃^{OE} R_{Y}, R_{Y′} ≃^{OE} R_{X′} et R_{X} ≃^{OE} R_{β}. On en déduit que R_{α} ≃^{OE} R_{Y} ≃^{SOE} R_{X} ≃^{OE} R_{β}.

On conclut alors, grâce à la proposition d’induction II.6, avec μ_{Γ} = \frac{μ}{μ(G/Λ)} et μ_{Λ} = \frac{μ}{μ(G/Γ)}, que μ(G/Λ).(C_{μ_{Γ}}(R_{α}) − 1) = μ(G/Γ).(C_{μ_{Λ}}(R_{β}) − 1).

Notons que si G est connexe, les actions α et β sont presque libres si et seulement si Γ∩Λ∩Z(G) = {1}, où Z(G) est le centre de G.

Corollaire II.16. Si Γ et Λ sont deux réseaux à prix fixe d’un groupe de Lie G connexe, alors leurs coûts sont reliés par leur covolumes : μ(G/Λ) · (C(Γ) − 1) = μ(G/Γ) · (C(Λ) − 1).

Si Ω = Γ ∩ Λ ∩ Z(G) est infini, alors on verra en VI.26 (a) que C(Γ) = C(Λ) = 1.

Si Ω fini non trivial, on quotiente la situation par Ω, pour se ramener au cas des actions libres et VI.19 (ii) permettra de conclure.

Corollaire II.17. Puisque le groupe SL(2, R) (resp. PSL(2, R)), des matrices 2×2 de déterminant 1 (resp. SL(2, Z) quotienté par son centre), contient un groupe libre F_{2} comme réseau, alors chaque réseau de SL(2, R) (resp. PSL(2, R)) possède une action (SP1) arborable (voir II.10).

Le centre de F_{2} étant trivial, on est dans la situation Ω = {1} où les action α et β sont presque libres.

III- RELATIONS HYPERFINIES

Après l’exemple des relations finies (cf. I-C) traitons le cas, à la frontière du fini et de l’infini, des relations (SP1) (i.e. μ(X) = 1) hyperfinies. Dans cette partie, on rappelle quelques résultats connus et on redonne une preuve de certains.

Définition III.1 [Dye59]. Une relation (SP1) R est dite hyperfinie si elle est isomorphe à une limite croissante de relations finies R_{n} : pour presque tout x ∈ X, R_{n}[x] ⊂ R_{n+1}[x] et ∪_{n}R_{n}[x] = R[x].

Par exemple, les relations finies sont hyperfinies. On sait que si le groupe Γ admet une action libre (SP1) hyperfinie, alors Γ est moyennable (voir VI.4 pour des exemples). Inversement :

Théorème [OW80]. Si α est une action libre (SP1) d’un groupe moyennable Γ, alors R_{α} est hyperfinie.

Remarque III.2. Il existe une notion de relation moyennable, introduite par R. Zimmer, qui étend naturellement celle de groupe moyennable et qui concerne les relations boréliennes munies d’une classe invariante de mesures (voir par exemple [Zim84]). Le théorème principal de [CFW81] assure que les notions de moyennable et d’hyperfinie coïncident exactement. Le théorème de D. Ornstein et B. Weiss, rappelé ci-dessus, en est un cas particulier. C’est ce dont on aura besoin.

Proposition III.3 [Lev95]. Soit R une relation (SP1) et X_{i} la réunion des orbites à i éléments (i ∈ N^{∗} ∪ \{∞\}). Posons d(R) = 1 − ∑_{n∈N^{∗}} \frac{1}{i} · μ(X_{i}). On a :

(1) C(R) ≥ d(R), en particulier si toutes les orbites de R sont infinies, alors C(R) ≥ 1.

(2) R est hyperfinie si et seulement si elle admet un graphage Φ de coût égal à d(R). Dans ce cas, C(R) = d(R) et Φ est un arborage.

(3) Si R est hyperfinie, alors tous ses arborages sont de coût égal à C(R).

Commentaire. Pour les relations finies, cette proposition se ramène à la proposition I.9. L’item (2) est une version faible du fait connu suivant : une relation (SP1) à orbites infinies est hyperfinie si et seulement si elle est orbitalement équivalente à une action libre de Z. Le théorème IV.1 consistera à montrer l’item (3) sans l’hypothèse d’hyperfinitude. On pourra alors en déduire qu’une relation de coût d(R) est hyperfinie si et seulement si elle est arborable (corollaire IV.2). S. Adams a établi dans [Ada90] qu’une relation (SP1) arborée est hyperfinie si et seulement si l’arbre associé à (presque) chaque orbite a au plus deux bouts. La preuve de la proposition III.3 donnée dans [Lev95] utilise ce résultat, tandis que nous pouvons nous en passer, grâce aux outils (dont nous avons besoin pour la suite) que nous avons déjà définis. Enfin, on peut reformuler le théorème de [OW80] :

Corollaire III.4. Les groupes moyennables infinis sont à prix fixe, de coût égal à 1 et toutes leurs actions sont arborables.

Preuve de la proposition III.3. -1- Soit Y_{i} un domaine fondamental (μ(Y_{i}) = 1/i · μ(X_{i})) pour la relation R_{|X_{i}} induite sur X_{i} pour i < ∞ et soit Y_{∞}^{ε} ⊂ X_{∞} un borélien de mesure < ε qui rencontre toutes les orbites de R_{|X_{∞}}. La réunion X^{ε} des Y_{i} et de Y_{∞}^{ε} a une mesure qui tend vers 1 − d(R) lorsque ε → 0. Le coût de la relation induite sur X^{ε} est relié à celui de R par la proposition d’induction II.6 : C(R) − 1 = μ(X^{ε}) · (C_{ν_{1}}(R_{|X^{ε}}) − 1) ≥ −μ(X^{ε}), d’où le résultat lorsque ε → 0. -2- Si Φ est un graphage de R tel que C(Φ) = d(R) alors par -1- C(R) = d(R) et, par la proposition I.11, Φ est un arborage. Pour montrer que R est hyperfinie, il suffit de considérer le cas où toutes ses orbites sont infinies (X_{∞} = X, C(Φ) = d(R) = 1). Soit Y_{n} une suite de boréliens donnée par le lemme I.14. En induisant R sur Y_{n}, le lemme II.8 décompose Φ en Φ_{v}^{n}∨Φ_{h}^{n}, où Φ_{v}^{n} est un arborage à orbites finies, de domaine fondamental Y_{n}. En jouant sur la numérotation des générateurs (preuve du lemme II.8), on peut supposer que l’arborage Φ_{v}^{n} est un sous-graphage de Φ_{v}^{n+1}. La réunion croissante Φ_{v}^{∞} des Φ_{v}^{n} engendre une relation hyperfinie à orbites infinies. C’est donc un sousgraphage de Φ, qui a un coût ≥ 1, donc ses générateurs ont même domaine (mod 0) que ceux de Φ et il engendre une relation isomorphe à R.

Inversement, supposons R hyperfinie. Soit D_{n} une suite décroissante de domaines fondamentaux pour les relations finies approximantes R_{n}. Elle vérifie lim_{n→∞} μ(D_{n}) = 1 − d(R). Soit Φ_{1} un arborage de R_{1}, puis, pour chaque n, soit Φ_{n} un arborage de la relation finie R_{n|D_{n−1}} induite de R_{n} sur D_{n−1}. La proposition I.9 entraîne C(Φ_{n}) = μ(D_{n−1}) − μ(D_{n}). Le graphage réunion des Φ_{n} est un arborage de R, de coût ∑_{n}(μ(D_{n−1}) − μ(D_{n})) = 1 − (1 − d(R)). Considérons maintenant un arborage Ψ = (ψ_{j})_{j∈J} de R. Posons Ψ_{n} = (ψ_{j}^{n})_{j∈J} où ψ_{j}^{n} est la restriction de ψ_{j} dont le graphe est l’intersection du graphe de ψ_{j} avec R_{n}. Le graphage Ψ_{n} est un arborage qui engendre une sous-relation (finie) de R_{n}, alors on peut trouver un domaine fondamental de R_{Φ_{n}} contenant D_{n} et par la proposition I.9, C(Ψ_{n}) = C(R_{Ψ_{n}}) ≤ μ(X) − μ(D_{n}). Mais Ψ est la réunion croissante des Ψ_{n} on a donc : C(Ψ) = lim_{n} C(Ψ_{n}) ≤ lim_{n} μ(X) − μ(D_{n}) = d(R).

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Voici enfin un lemme qui sera utile en plusieurs occasions. Il assure que pour le calcul de C(R), on peut se restreindre aux graphages qui contiennent tous un sous-arborage hyperfini donné :

Lemme III.5. Soit R_{0} une sous-relation hyperfinie de la relation (SP1) R et Φ_{0} un arborage de R_{0}. Pour tout ε > 0, on peut compléter Φ_{0} en un graphage Φ de R de coût inférieur à C(R) + ε.

Preuve du lemme III.5. Considérons une suite décroissante D_{n} de boréliens qui rencontrent toutes les Φ_{0}-orbites et dont la mesure tend vers 1 − d(R_{0}) (voir lemme I.14). La proposition d’induction II.6 assure l’existence d’un graphage Φ_{1} de la relation induite R_{|D_{n}} de R sur D_{n}, qui vérifie : C_{μ}(Φ_{1}) ≤ C_{μ}(R) − 1 + μ(D_{n}) + ε. Or, C(Φ_{0}) = d(R_{0}) et le graphage Φ = Φ_{0} ∨ Φ_{1} engendre R. Le résultat s’en déduit.

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IV- ARBORABILITÉ, PRODUITS AMALGAMÉS ET HNN-EXTENSIONS

IV-A- Relations arborables

On s’intéresse plus particulièrement d’abord aux relations (SP) qui admettent un arborage. Rappelons qu’un arborage est un graphage Φ qui donne à chaque orbite (en dehors d’un ensemble de mesure 0) une structure d’arbre. Il est équivalent de dire que l’ensemble des points fixés par l’isomorphisme partiel associé à un Φ-mot réduit quelconque est de mesure nulle.

Si, par exemple, R est donnée par une action libre du groupe libre à n générateurs, le choix d’une base de F_{n} fournit un arborage de la relation.

Si R est une relation (SP1) non hyperfinie à orbites infinies qui admet un arborage Φ, le coût de Φ est strictement supérieur à 1 (voir proposition III.3.(2) ou [Lev95, th. 2]). Qu’en est-il du coût de la relation R elle-même ? Une chose est sûre, on ne peut pas engendrer la même relation avec un sous-arborage strict de Φ, mais on pourrait envisager l’existence d’autres graphages, complètement étrangers à l’arborage, de moindres coûts. Souvenons-nous, par exemple, qu’il existe des actions libres moyennables, par rapport à une classe invariante [μ] de mesures, du groupe libre F_{n} (n ≥ 2) (voir par exemple [Ver89, 4, ex. 2]). La relation d’équivalence est engendrée par un automorphisme de X [CFW81]. Elle admet donc un graphage où tous les sommets sont de valence 2 et un autre où tous les sommets sont de valence 2n. Cependant, notre étude ne s’appliquera pas puisqu’une telle action ne peut préserver aucune mesure de probabilité dans la classe [μ].

Le théorème qui vient, annoncé dans [Gab98] est le résultat fondateur de ce papier et répond à la question. Il assure, en particulier, l’existence de relations (SP1) de coût strictement supérieur à 1. Les résultats à venir (IV-B et IV-C) sur les produits amalgamés ou les HNN-extensions en sont, d’une certaine manière, des généralisations. Les preuves sont données en IV-D.

Théorème IV.1. Si Φ est un arborage de la relation (SP1) R, alors C(R) = C(Φ).

On a déjà vu en I.11 la réciproque partielle : si Φ est un graphage de coût fini de la relation (SP1) R et si C(R) = C(Φ), alors Φ est un arborage. Voir la propoposition VI.21 pour un complément concernant le coût des groupes.

Corollaire IV.2. Soit R une relation (SP1) de coût égal à 1, à orbites infinies. R est hyperfinie si et seulement si R est arborable.

En effet, un arborage de R sera de coût égal à 1 (théorème IV.1), et la proposition III.3 permet de conclure.

Corollaire IV.3. Pour tout c ∈ [0, ∞], il existe une relation arborable de coût c. Pour des c ≥ 1, on peut les choisir ergodiques ; elles seront alors deux à deux non orbitalement équivalentes.

En particulier, il existe des relations de coût infini. Elles ne sont donc réalisées par l’action d’aucun groupe de type fini. Voir aussi VI.14 et VI.16.

Preuve du corollaire IV.3. Considérons l’action libre (SP1) α du groupe libre F_{∞} sur une infinité d’éléments (a_{i})_{i∈N}, donnée par le décalage de Bernoulli sur X = {0, 1}^{F_{∞}} (remarque I.7). Les restrictions φ_{i}^{c} des isomorphismes α(a_{i}) de X à des boréliens A_{i}^{c} tels que ∑_{i∈N} μ(A_{i}^{c}) = c fournissent un arborage de coût c d’une sous-relation R^{c} de R_{α}. Si c ≥ 1, imposons A_{1}^{c} = X. Ces relations R^{c} sont alors ergodiques (l’élément a_{1} agit ergodiquement), elles sont donc deux à deux non orbitalement équivalentes (invariance II.2).

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Théorème IV.4. Une sous-relation d’une relation arborable est elle-même arborable.

Ce théorème, analogue au théorème du sous-groupe de Nielsen-Schreier, “tout sous-groupe d’un groupe libre est libre” permettra de montrer la non-arborabilité des actions de certains groupes (voir par exemple VI.14, VI.18 et VI.22). On se placera dans le cas des relations (SP1), mais notons que si la mesure μ n’est plus supposée invariante mais seulement quasi-invariante (le saturé des boréliens de mesure nulle est de mesure nulle) la même preuve donne encore le même énoncé IV.4.

IV-B- Produits amalgamés

Soit R une relation (SP1) sur le borélien standard (X, μ). Considérons deux sous-relations R_{1} et R_{2} qui engendrent R, c’est-à-dire que R = R_{1} ∨ R_{2} est la plus petite relation d’équivalence contenant R_{1} et R_{2} (comme parties de X × X). Soit R_{3} une sous-relation commune à R_{1} et R_{2}. On veut donner un sens à l’idée que toute la redondance dans la définition de R à partir de R_{1} et R_{2} est concentrée dans R_{3}.

Définition IV.5 : suite réduite. Une suite (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) de points de X est dite réduite si • chaque (x_{i}, x_{i+1}) appartient à l’un des facteurs R_{1} ou R_{2},

• deux couples successifs (x_{i−1}, x_{i}) et (x_{i}, x_{i+1}) appartiennent à des facteurs distincts

• si n > 2, aucun (x_{i}, x_{i+1}) n’appartient à R_{3}

• si n = 2 alors x_{1} ≠ x_{2}.

Définition IV.6 : produit amalgamé. On dit que R est le produit amalgamé de R_{1} et R_{2} au-dessus de R_{3} et on note

R = R_{1} ∗_{R_{3}} R_{2}

si pour toute suite réduite (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) (en dehors d’un borélien de mesure nulle), on a x_{1} ≠ x_{n}.

Autrement dit : pour presque tout 2p-uplet cyclique (x_{j})_{j∈Z/2pZ}, tel que x_{2i−1} ∼^{R_{1}} x_{2i} ∼^{R_{2}} x_{2i+1}, ∀i ∈ Z/2pZ, il

existe j ∈ Z/2pZ tel que x_{j} ∼^{R_{3}} x_{j+1}.

Remarque IV.7. Il est facile de voir, par récurrence en réduisant la longueur du cycle, qu’on peut même trouver un tel j ≠ 2p.

Cette notion de relation qui se décompose comme le produit amalgamé de sous-relations est évidemment à rapprocher de celles de “groupe qui est produit amalgamé de sous-groupes”. Le théorème de forme normale qui caractérise ces groupes (voir, par exemple, [LS77, th. IV.2.6]) est ici adopté comme définition.

Exemple IV.8. Si α est une action libre du produit amalgamé Γ_{1} ∗_{Γ_{3}} Γ_{2}, alors la relation R_{α} est naturellement le produit amalgamé des relations R_{α|Γ_{1}} et R_{α|Γ_{2}} au-dessus de R_{α|Γ_{3}}.

Définition IV.9 : produit libre. Dans le cas particulier où R est le produit amalgamé de R_{1} et R_{2} au-dessus de la relation triviale (pour presque tout x, R_{3}[x] = {x}), on dit alors que R est le produit libre de R_{1} et R_{2}, et on le note

R = R_{1} ∗ R_{2}

Autrement dit : tout 2p-uplet cyclique (x_{j})_{j∈Z/2pZ}, avec p > 0, tel que x_{2i−1} ∼^{R_{1}} x_{2i} ∼^{R_{2}} x_{2i+1}, ∀i ∈ Z/2pZ, n’est pas réduit : il existe deux points consécutifs égaux.

On dit que deux relations R_{1} et R_{2} sont en produit libre ou indépendantes si la relation R qu’elles engendrent est le produit libre R = R_{1} ∗ R_{2}. Il n’y a aucune redondance entre elles.

Exemple IV.10. Si Φ est un arborage sur X, alors toute partition Φ = Φ_{1} ∨ Φ_{2} décompose R_{Φ} en produit libre R_{Φ_{1}} ∗ R_{Φ_{2}}.

Exemple IV.11. Supposons que R_{3} est une relation finie et soit D un domaine fondamental. Les propositions suivantes sont équivalentes :

- la relation R = R_{1} ∗_{R_{3}} R_{2} est produit amalgamé de R_{1} et R_{2} au-dessus de R_{3}

- la relation induite R_{|D} est produit libre des relations induites R_{1|D} et R_{2|D}

- R est le produit libre de R_{1} avec la relation R′_{2} triviale en dehors de D et donnée par R_{2|D} sur D.

Exemple IV.12. S. Adams et R. Spatzier ont montré que les actions libres α (SP1) ergodiques des groupes (infinis) ayant la propriété (T) de Kazhdan ne sont pas arborables [AS90, th. 1.8]. On peut ajouter que R_{α} ne peut pas se décomposer comme produit libre de deux sous-relations ergodiques.

En effet, une décomposition de R_{α} en produit libre fournit (avec la terminologie de [AS90]) un cocycle à valeurs dans le groupe Γ_{1} ∗ Γ_{2}, produit libre de deux copies de Γ. Le théorème 1.1 de [AS90] dit alors précisément que le cocycle est cohomologue à un cocycle à valeurs dans l’un des groupes Γ_{i}. Cela suffit pour conclure.

Remarque IV.14. Étant donnés deux groupes, il existe un groupe abstrait qui en est le produit libre ; mais étant données deux relations R_{1} et R_{2}, il n’est pas raisonnable de chercher à définir une relation qui serait leur produit libre. En effet, il existe au moins deux actions (SP1) non orbitalement équivalentes du groupe libre F_{2} (voir par exemple [Ver89, p.89, ex. 3]). Chacune d’elles est produit libre de deux Z-actions, lesquelles sont toutes orbitalement équivalentes entre elles par le théorème de [Dye59].

Théorème IV.15. Soit (X, μ) et R = R_{1} ∗_{R_{3}} R_{2} une relation (SP1), produit amalgamé de deux relations R_{1} et R_{2} qui sont de coûts finis au dessus de la relation hyperfinie R_{3} alors :

C(R) = C(R_{1}) + C(R_{2}) − C(R_{3}).

La preuve sera donnée en IV.36. Bien entendu, le coût de la relation hyperfinie R_{3} vaut 1 si et seulement si ses orbites sont infinies. Sinon, il est donné par la proposition III.3. Il serait intéressant d’étendre ce théorème au cas des relations de coût infini. Ce théorème admet une réciproque partielle, prouvée en IV.38 :

Théorème IV.16. Soient R_{1} et R_{2} deux relations (SP1) de coûts finis sur (X, μ), soit R la relation qu’elles engendrent et soit R_{3} une sous-relation finie de R_{1} et de R_{2}. Si C(R) = C(R_{1}) + C(R_{2}) − C(R_{3}), alors R = R_{1} ∗_{R_{3}} R_{2}.

Remarques IV.17. On trouvera en VI.8 des exemples montrant que ces deux théorèmes tombent en défaut sans les hypothèses sur R_{3}. Si on appelle n(Γ) le nombre minimal de générateurs du groupe Γ, le théorème de Grushko assure, pour les produits libres : n(Γ_{1} ∗ Γ_{2}) = n(Γ_{1}) + n(Γ_{2}). Le théorème IV.15, avec R_{3} triviale en fournit un analogue mesurable pour les relations. Spécialisons les théorèmes IV.15 et IV.16 au cas des produits libres :

Cas particulier IV.18. Soient R_{1} et R_{2} deux relations (SP1) de coûts finis sur (X, μ) et soit R la relation qu’elles engendrent. On a l’équivalence des deux conditions suivantes :

(1) R = R_{1} ∗ R_{2} (i.e. R_{1} et R_{2} sont indépendantes)

(2) C(R) = C(R_{1}) + C(R_{2})

On peut envisager la quantité C(R_{1}) + C(R_{2}) − C(R) comme une “mesure de la dépendance” entre les deux relations R_{1} et R_{2}.

IV-C- HNN-extensions

Si on a parlé de produit amalgamé, il est naturel d’envisager ensuite la notion de HNN-extension. Les données sont alors une relation (SP1) R sur (X, μ), une sous-relation R_{1}, un isomorphisme préservant la mesure f : A → B entre deux boréliens de X et une sous-relation R_{3} de R_{1}, triviale en dehors de B (i.e. R_{3}[x] = {x}, pour x ∈ X \B). Considérons la relation, qu’on va noter f^{−1}(R_{3}), triviale en dehors de A et définie sur A par (x, y) ∈ f^{−1}(R_{3}) si et seulement si (f(x), f(y)) ∈ R_{3}. On suppose que f^{−1}(R_{3}) est aussi une sous-relation de R_{1} et que R est engendrée par R_{1} et f, i.e. R est la plus petite relation contenant R_{1} et le graphe de f.

La notation x_{2i} ⟶^{f^{ε_{i}}} x_{2i+1}, où ε_{i} = ±1, signifie x_{2i} ∈ A et f(x_{2i}) = x_{2i+1}, si ε_{i} = +1,

x_{2i} ∈ B et f^{−1}(x_{2i}) = x_{2i+1}, si ε_{i} = −1.

Définition IV.19 : suite réduite. Considérons une suite (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} …, x_{2n−1}, x_{2n}) (n ≥ 1) qui vérifie

x_{1} ∼^{R_{1}} x_{2} ⟶^{f^{ε_{1}}} x_{3} ∼^{R_{1}} … ⟶^{f^{ε_{i−1}}} x_{2i−1} ∼^{R_{1}} x_{2i} ⟶^{f^{ε_{i}}} x_{2i+1} ∼^{R_{1}} … x_{2n−2} ⟶^{f^{ε_{n−1}}} x_{2n−1} ∼^{R_{1}} x_{2n}

Une telle suite est dite réduite si

• n ≥ 2 et il n’existe pas de sous-suite x_{2i−2} ⟶^{f} x_{2i−1} ∼^{R_{1}} x_{2i} ⟶^{f^{−1}} x_{2i+1}, avec x_{2i−1} ∼^{R_{3}} x_{2i}, ni

x_{2i−2} ⟶^{f^{−1}} x_{2i−1} ∼^{R_{1}} x_{2i} ⟶^{f} x_{2i+1}, avec x_{2i−1} ∼^{f^{−1}(R_{3})} x_{2i}

• ou bien n = 1 et x_{1} ≠ x_{2}.

Définition IV.20 : HNN-extension. On dit que R est l’extension HNN de R_{1} au-dessus de R_{3} via f et on note

R = R_{1}∗_{f,R_{3}}

si pour toute suite réduite (x_{1}, x_{2}, …, x_{2n}) (en dehors d’un borélien de mesure nulle), on a x_{1} ≠ x_{n}.

Exemple IV.21. Si le groupe dénombrable Γ est HNN-extension de Γ_{1} au-dessus de Γ_{3} via les morphismes injectifs Γ_{3} ⊂ Γ_{1} et Γ_{3} ⟶^{h} Γ_{1}, alors Γ se présente par générateurs et relations comme Γ =< Γ_{1}, t|t^{−1}γt = h(γ), γ ∈ Γ_{3} >. La relation R_{α} définie par une action libre préservant la mesure α de Γ se décompose naturellement comme l’extension HNN de R_{α|Γ_{1}} au-dessus de R_{α|Γ_{3}} via l’isomorphisme f défini sur tout X par l’action de t.

Exemple IV.22. Si Φ est un arborage sur X, alors toute partition Φ = (φ_{1}) ∨ Φ_{2}, qui isole un générateur, décompose R_{Φ} en extension HNN de R_{Φ_{2}} au-dessus de la relation triviale via φ_{1}.

On retrouve, comme cas particulier, la notion de pseudogroupe mesurable engendré par un système fini qui est une HNN-extension introduite par É. Ghys dans [Ghy95] (voir [Pau98] pour une formulation exactement dans notre contexte). Ces articles contiennent un théorème, analogue au théorème de Stallings sur les groupes ayant une infinité de bouts ([Sta71]), qui illustre notre propos :

Théorème IV.23 [Ghy95]. Si Φ est un graphage (SP1) ergodique sur X, alors le graphe associé à presque chaque orbite possède 1, 2 ou une infinité de bouts. Si Φ donne à presque chaque orbite la structure d’un graphe avec deux bouts (resp. une infinité), alors la relation R_{Φ} est stablement orbitalement équivalente à une HNN-extension (au-dessus de R_{3} triviale) S = R_{1}∗_{f} = R_{1} ∗ R_{(f)}, où dom(f) ∩ but(f) = ∅ et chaque R_{1}-orbite rencontre dom(f) ∪ but(f) en exactement deux points (resp. au moins trois points).

On obtient alors le corollaire suivant généralisant le résultat de S. Adams [Ada90] qui affirme la même chose pour les arborages.

Corollaire IV.24. Si un graphage (SP1) ergodique Φ donne à presque chaque orbite la structure d’un graphe avec

(1) deux bouts, alors R_{Φ} est hyperfinie.

(2) au moins trois bouts, alors C(R_{Φ}) > 1 et R_{Φ} n’est pas hyperfinie.

Preuve du corollaire IV.24. Considérons, d’après IV.23, la relation (SP1) S = R_{1} ∗ R_{(f)} sur (Y, ν) à laquelle R_{Φ} est SOE. Dans la première situation, R_{1} possède un domaine fondamental de mesure ν(dom(f)), donc un graphage Φ_{1} de coût = 1 − ν(dom(f)) et Φ_{1} ∨ (f) est un graphage de S, de coût 1. La proposition III.3.(2) montre que S est hyperfinie ; donc R_{Φ} aussi. Dans la deuxième situation, posons δ = ν(dom(f)) ; il existe un borélien A de mesure ≤ 2/3 · δ qui rencontre toute R_{1}-orbite, donc (proposition III.3) C(R_{1}) ≥ 1 − 2/3 · δ. Par ailleurs (f) étant un arborage (dom(f)∩but(f) = ∅), on a (théorème IV.15) C(S_{1}) = C(R_{1})+C((f)) ≥ 1−2/3·δ+δ > 1. Par l’invariance II.11, C(R_{Φ}) > 1 et par la proposition III.3, R_{Φ} n’est pas hyperfinie.

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Les notions pour les groupes, de produit amalgamé et de HNN-extension (introduite respectivement par O. Schreier en 1926 et par G. Higman, B. H. Neumann et H. Neumann en 1949), sont parallèles mais distinctes et sont unifiées par le concept de structure bipolaire défini par J. Stallings en 1971 [Sta71] (on peut aussi consulter par exemple [LS77, IV.6]). Dans notre contexte, il est probablement aussi possible d’en produire une définition analogue en terme de structure bipolaire, cependant, ce n’est pas indispensable puisqu’on va voir que produits amalgamés et extensions HNN sont tout à fait ambivalents modulo SOE :

Si R = R_{1}∗_{R_{3}} R_{2}, considérons deux copies X_{1} et X_{2} de X et l’“identité” f : X_{1} → X_{2}. Appelons S la relation sur la réunion disjointe X_{1} ∐ X_{2} définie par R_{1} sur X_{1} et R_{2} sur X_{2} et S_{3} la relation égale à R_{3} sur X_{1} et triviale sur X_{2}. La relation \overline{R} engendrée par S et f est l’extension HNN de S au-dessus de S_{3} via f. Elle induit R sur X_{1}.

Inversement, si R = R_{1}∗_{f,R_{3}} considérons deux copies X_{1} et X_{2} de X, l’“identité” \overline{h} : X_{1} → X_{2} et l’isomorphisme partiel \overline{f} : A_{1} ⊂ X_{1} → B_{2} ⊂ X_{2} tel que \overline{h}^{−1}∘\overline{f} coïncide avec f via l’identification de X_{1} avec X. Appelons

• \overline{R}_{1} la relation sur \overline{X} = X_{1} ∐ X_{2} engendrée par R_{1} sur X_{1} et \overline{h}

• \overline{R}_{2} la relation sur \overline{X} engendrée par R_{3} sur X_{2} et \overline{f}

• \overline{R}_{3} la relation engendrée par R_{3} sur X_{2} et f^{−1}(R_{3}) sur X_{1} (le graphe de \overline{f} n’est pas contenu dans \overline{R}_{3}) et enfin

• \overline{R} la relation engendrée par tout cela : \overline{R}_{1} et f. Alors \overline{R} = \overline{R}_{1} ∗_{\overline{R}_{3}} \overline{R}_{2} et elle induit R sur X_{1}.

Corollaire IV.25. Si R est une HNN extension de R_{1} de coût fini, au-dessus de R_{3} hyperfinie, via f : A → B alors

C(R) = C(R_{1}) + μ(A) − C(R_{3}).

Ce corollaire admet évidemment sa réciproque partielle qui se déduit immédiatement de son analogue (théorème IV.16) pour les produits amalgamés. On n’en détaillera pas la preuve.

Corollaire IV.26. Soit R_{1} une relation (SP1) de coût fini sur (X, μ), soit f : A → B et soit R_{3} une sous-relation finie de R_{1}, triviale en dehors de B, telle que f^{−1}(R_{3}) soit aussi une sousrelation de R_{1}. Appelons R la relation engendrée par R_{1} et f. Si C(R) = C(R_{1}) + μ(A) − C(R_{3}), alors R est l’extension HNN de R_{1} au-dessus de R_{3} via f.

Preuve du corollaire IV.25. On se ramène à un produit amalgamé par la construction ci-dessus. La relation \overline{R}_{3}, obtenue comme réunion de deux relations hyperfinies de supports disjoints est elle-même hyperfinie. De plus, chacune des relations \overline{R}_{i} peut être vue comme produit libre de deux sous-relations. Alors en appelant ν la mesure sur \overline{X} normalisée \frac{μ_{X_{1}} +μ_{X_{2}}}{2} :

2 · C_{ν}(\overline{R}_{1}) = C_{μ}(R_{1}) + C_{μ}(\overline{h}) = C_{μ}(R_{1}) + 1 est fini

2 · C_{ν}(\overline{R}_{2}) = C_{μ}(R_{3}) + C_{μ}(\overline{f}) = C_{μ}(R_{3}) + μ(A) est fini
2 · C_{ν}(\overline{R}_{3}) = C_{μ}(R_{3}) + C_{μ}(f^{−1}(R_{3})) = 2 · C_{μ}(R_{3}).

Le théorème IV.15 entraîne alors

2 · C_{ν}(\overline{R}) = C_{μ}(R_{1}) + μ(X) + μ(A) − C_{μ}(R_{3}), et la proposition d’induction II.6 montre que

C_{μ}(R) − 1 = 2 · (C_{ν}(\overline{R}) − 1) = C_{μ}(R_{1}) − 1 + μ(A) − C_{μ}(R_{3}).

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IV-D- Preuves

IV.27. Notation pour toutes les preuves qui viennent : soit Φ un graphage de la relation R sur X et soit Θ un graphage d’une sous-relation S de R.

Pour chaque x appartenant au domaine d’un générateur θ de Θ, il existe au moins un Φ-mot défini en x qui envoie x sur θ(x). Quitte à partitionner les domaines des générateurs de Θ, on peut supposer que chaque θ coïncide sur tout son domaine avec un Φ-mot ω_{θ}. On peut par exemple se donner un ordre sur la famille Φ^{±} des générateurs de Φ et de leurs inverses et prendre pour ω_{θ}, le premier dans l’ordre lexicographique parmi les Φ-mots de longueur minimale qui coïncident avec θ.

Définition IV.28 : morphismes simples. On appelle morphisme simple entre un graphage Ψ sur le borélien standard (Y, ν) et le graphage Φ sur le borélien standard (X, μ) la donnée d’une application mesurable surjective P : Y → X et d’une application P_{∗} : Ψ → Φ^{±1} qui vérifie :

- P est à fibre dénombrable

- si A ⊂ Y est un borélien sur lequel P est injective, alors ν(A) = μ(P(A)),

- pour tout ψ_{j} ∈ Ψ, l’application P est injective sur le domaine dom(ψ_{j}) de ψ_{j},

- si y ∈ dom(ψ_{j}), alors P_{∗}(ψ_{j}) est défini en P(y) et P_{∗}(ψ_{j})(P(y)) = P(ψ_{j}(y)).

L’application P_{∗} peut s’étendre en un morphisme des Ψ-mots dans les Φ-mots, et si m = ψ_{i_{l}}^{ε_{l}} ⋯ ψ_{i_{1}}^{ε_{1}} est défini en y ∈ Y, alors P_{∗}(m) := P_{∗}(ψ_{i_{l}})^{ε_{l}} ⋯ P(ψ_{i_{1}})^{ε_{1}} est défini en P(y) et vérifie P_{∗}(m)(y) = P(m(y)).

Pour comparer les graphages Φ et Θ comme dans IV.27, on dispose déjà de l’induction (partie II). On va se donner une construction générale (déploiement), qui permet de les relier par morphisme simple.

L’idée est la suivante : pour chaque x ∈ X, on dispose d’une application injective évidente P entre les sommets du Θ-graphe de Cayley Θ[x] de x et ceux de Φ[x]. Chaque arête est étiquetée par le générateur correspondant et on cherchera à étendre P en un morphisme de graphes étiquetés, en ajoutant des sommets sur les arêtes de Θ[x] à l’aide des ω_{θ}. Cela se fait en augmentant l’espace X (par les sommets ajoutés) et en décomposant chaque θ comme le mot ω_{θ} (voir figure A). Géométriquement, on peut se représenter cette opération comme ceci : -1- On suspend au sens usuel le graphage Θ par le collage sur X, pour chaque générateur θ : A_{θ} → B_{θ}, de “cylindres” A_{θ} ×[0, 1] en identifiant par projection sur le premier facteur A_{θ} ×{0} avec A_{θ} et A_{θ} × {1} avec B_{θ} via θ. -2- Puis on ajoute des transversales aux cylindres de façon à les découper en un nombre de morceaux égal à la longueur de ω_{θ} (on augmente l’espace). -3- On retient alors le graphage \overline{Θ} sur l’espace \overline{X} réunion des transversales et de X, dont cela est la suspension au sens usuel. L’inconvénient de cette construction est que, même si μ(X) = 1, l’espace “augmenté” n’est peutêtre pas de mesure finie. Pour prouver le théorème IV.4, cela sera sans importance. En revanche, pour contrôler le coût, on a dû dans [Gab98] (et on préférera ici) modifier Θ pour le rendre adapté (cf. IV.35) et obtenir ainsi un \overline{X} de mesure finie.

IV.29. Construction du déploiement d’un graphage vis à vis d’un autre.

Grâce à IV.27, on se trouve dans la situation où chaque générateur θ : A_{θ} → B_{θ} de Θ, coïncide sur son domaine avec le Φ-mot donné ω_{θ} = φ_{k_{l(θ)}}^{ε_{l(θ)}} … φ_{k_{2}}^{ε_{2}}φ_{k_{1}}^{ε_{1}} de longueur l(θ) ∈ N, où φ_{k_{j}} ∈ Φ et ε_{j} = ±1.

Pour chacun d’eux, considérons l’espace A_{θ} × \{0, 1, 2, …, l(θ)\}, muni de la mesure \overline{μ} produit de la mesure μ_{|A} par la mesure de comptage sur {0, 1, 2, …, l(θ)}, et les générateurs pour j = 1, 2, …, l(θ) :

\begin{matrix}\overline{θ}_{j} : & A_{θ} × \{j − 1\} & → & A_{θ} × \{j\} \\ (x, j − 1) & ↦ & (x, j) \end{matrix}

L’espace \overline{X} est alors obtenu en prenant la réunion disjointe de X et des A_{θ} × \{0, 1, 2, …, l(θ)\}, pour tous les θ ∈ Θ, puis en identifiant via les isomorphismes préservant la mesure \overline{μ} (figure A) :

A_{θ} × {0} avec A_{θ} ⊂ X via (x, 0) ↦ x, et

A_{θ} × {l(θ)} avec B_{θ} ⊂ X via (x, l(θ)) ↦ θ(x).

Appelons \overline{μ} la mesure induite sur \overline{X}. Les \overline{θ}_{j} deviennent des isomorphismes partiellement définis, sur des boréliens de mesure finie de \overline{X}, préservant \overline{μ}. Appelons \overline{Θ} le graphage sur \overline{X} constitué des \overline{θ}_{j}. L’espace \overline{X} est donc en fait la réunion disjointe d’une famille dénombrable de copies de boréliens de X, ses niveaux : \overline{X}_{0} = X et tous les A_{θ} ×\{j\} pour θ ∈ Θ et j ≠ 0, l(θ). Définissons une fonction niveau N : \overline{X} → \{0, 1, 2, … \}, nulle sur \overline{X}_{0} et telle que les niveaux soient les ensembles de la forme {N = cte}.

Définition IV.30. (\overline{X}, \overline{μ}, \overline{Θ}) est appelé déploiement de (X, μ, Θ) par rapport à Φ (voir figure A).

Remarque IV.31. Même si μ(X) = 1, rien n’assure que \overline{μ}(\overline{X}) soit finie.

Soit P : \overline{X} → X l’application définie par - P(x) = x, pour x ∈ \overline{X}_{0} = X,

- P(x) = φ_{k_{j}}^{ε_{j}} … φ_{k_{2}}^{ε_{2}}φ_{k_{1}}^{ε_{1}}(y), pour x = (y, j) ∈ A_{θ} × {j}, où θ ∈ Θ, avec ω_{θ} = φ_{k_{l(θ)}}^{ε_{l(θ)}} … φ_{k_{2}}^{ε_{2}}φ_{k_{1}}^{ε_{1}}

et j = 0, 1, …, l(θ),

et soit P_{∗} l’application de \overline{Θ} dans Φ^{±1} qui au nouveau générateur \overline{θ}_{j} fait correspondre la lettre φ_{k_{j}}^{ε_{j}}.

Lemme IV.32.

- Les applications P, P_{∗} définissent un morphisme simple entre les graphages (\overline{X}, \overline{μ}, \overline{Θ}) et (X, μ, Φ).

- La relation induite de R\overline{Θ} sur \{N = 0\} est égale via P à la relation R_{Θ}.

Preuve du lemme IV.32. Le premier item est facile à vérifier. Il est clair que pour tout x ∈ A_{θ} ⊂ \overline{X}_{0}, on a l’égalité \overline{θ}_{l(θ)} … \overline{θ}_{2}\overline{θ}_{1}(x) = θ(x) ∈ \overline{X}_{0}. Ainsi, un Θ-mot de x à y coïncide sur son domaine avec le \overline{Θ}-mot obtenu en remplaçant chaque θ^{±1} par (\overline{θ}_{l(θ)} … \overline{θ}_{2}\overline{θ}_{1})^{±1}. Inversement, un \overline{Θ}-mot réduit de x ∈ \{N = 0\} à y ∈ \{N = 0\}, se décompose en un certain nombre de blocs (\overline{θ}_{l(θ)} … \overline{θ}_{2}\overline{θ}_{1})^{±1} (car chaque z ∉ \{N = 0\} appartient à exactement un domaine et un but pour \overline{Θ}), et donc coïncide sur son domaine avec un Θ-mot.

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Figure A

IV.33. Preuve du théorème IV.4.

On va montrer que si Φ est un arborage alors R_{Θ} est arborable. On dispose du graphage (qui n’est a priori pas un arborage) \overline{Θ} sur \overline{X}, qui induit sur X la même relation S que Θ. On va utiliser le fait que Φ est un arborage pour arranger (\overline{X}, \overline{Θ}) et se ramener à un (\overline{X}^{a}, \overline{Θ}^{a}) où \overline{Θ}^{a} est un arborage induisant encore S sur X. La proposition d’induction permettra alors de conclure.

Soit Π^{a} de \overline{X} dans \overline{X} l’application qui à x ∈ \overline{X} fait correspondre le point Π^{a}(x) ∈ \overline{X}, qui appartient à la P-fibre de x et à la R\overline{Θ} classe de x, et qui est de niveau minimal pour ces propriétés. Π^{a} est injective (comme P) sur les niveaux (en particulier sur \overline{X}_{0} = \{N = 0\} et sur les domaines des \overline{θ} ∈ \overline{Θ}) et en restriction aux niveaux, elle préserve la mesure ; appelons \overline{X}^{a} son image. Chaque \overline{θ} ∈ \overline{Θ} fournit un isomorphisme sur \overline{X}^{a} partiellement défini \overline{θ}^{a} : (Π^{a}(dom(\overline{θ})) → Π^{a}(but(\overline{θ}))),

donné par \overline{θ}^{a}(x) = Π^{a} · \overline{θ} · (Π_{|dom(\overline{θ})}^{a})^{−1}(x). Soit \overline{Θ}^{a} = (\overline{θ}^{a})_{\overline{θ}∈\overline{Θ}} le graphage qu’ils constituent sur \overline{X}^{a} et P^{a} : \overline{X} → X l’application qui vérifie P = P^{a} ∘ Π^{a}. Soit P_{∗}^{a} : \overline{Θ}^{a} → Φ^{±1} définie par P_{∗}^{a}(\overline{θ}^{a}) = P(\overline{θ}). Les application P^{a} et P_{∗}^{a} définissent un morphisme simple de (\overline{X}^{a}, \overline{μ}_{|\overline{X}^{a}}, \overline{Θ}^{a}) sur (X, μ, Φ). De plus, les relations R_{\overline{Θ}}^{a} et R\overline{Θ} induisent la même relation sur \overline{X}^{a} d’une part et sur \{N = 0\} ⊂ \overline{X}^{a} ⊂ \overline{X} d’autre part.

On peut remarquer que si Θ engendre la même relation que Φ, alors \overline{X}^{a} est égal à X = \{N = 0\} et chaque générateur \overline{θ}_{i}^{a} est une restriction d’un générateur de Φ. Avec l’hypothèse que Φ est un arborage, on va restreindre les domaines des générateurs \overline{θ}^{a} pour faire de \overline{Θ}^{a} un arborage sans modifier la relation.

Si \overline{w}^{a} est un \overline{Θ}^{a}-mot qui fixe un ensemble V (i.e. \overline{w}^{a}(x) = x, ∀x ∈ V) de mesure > 0, alors P_{∗}^{a}(\overline{w}^{a}) fixe l’ensemble P^{a}(V), de même mesure. Puisque que Φ est un arborage, on en déduit que P_{∗}^{a}(\overline{w}^{a}) est un Φ-mot non réduit et donc qu’il existe dans \overline{w}^{a} deux lettres consécutives dont les images par P_{∗} sont inverses l’une de l’autre ; on écrit \overline{w}^{a} = \overline{w}_{2}^{a}(\overline{θ}_{2}^{a})^{ε_{2}}(\overline{θ}_{1}^{a})^{−ε_{1}} \overline{w}_{1}^{a} avec P_{∗}^{a}((\overline{θ}_{2}^{a})^{ε_{2}}) = P_{∗}^{a}((\overline{θ}_{1}^{a})^{ε_{1}}).

L’intersection U des domaines de (\overline{θ}_{1}^{a})^{ε_{1}} et (\overline{θ}_{2}^{a})^{ε_{2}} contient l’ensemble (\overline{θ}_{1}^{a})^{−ε_{1}} \overline{w}_{1}^{a}(V), de mesure > 0. Pour tout x ∈ U, on a :

P^{a}((\overline{θ}_{2}^{a})^{ε_{2}}(x)) = P_{∗}^{a}((\overline{θ}_{2}^{a})^{ε_{2}})(P^{a}(x)) = P_{∗}^{a}((\overline{θ}_{1}^{a})^{ε_{1}})(P^{a}(x)) = P^{a}((\overline{θ}_{1}^{a})^{ε_{1}}(x)),

et donc les points (\overline{θ}_{1}^{a})^{ε_{1}}(x) et (\overline{θ}_{2}^{a})^{ε_{2}}(x) sont dans la même \overline{Θ}^{a}-orbite et dans la même P^{a}-fibre. Ces deux points de \overline{X}^{a} ⊂ \overline{X} sont donc dans la même \overline{Θ}-orbite et dans la même P-fibre : ils sont confondus par définition de \overline{X}^{a}. Pour simplifier les notations, on peut supposer, quitte à remplacer des générateurs par leur inverse, que P_{∗} envoie \overline{Θ}^{a} dans Φ (au lieu de Φ^{±1}). Dans ce cas, ε_{1}.ε_{2} = 1 et ∀x ∈ D ⊂ dom(\overline{θ}_{1}^{a}) ∩ dom(\overline{θ}_{2}^{a}), on a \overline{θ}_{1}^{a}(x) = \overline{θ}_{2}^{a}(x) : on dit que \overline{θ}_{1}^{a} double \overline{θ}_{2}^{a} sur D. On supprime tous les doubles. Numérotons les générateurs de \overline{Θ}^{a}. Le graphage \overline{Θ}_{s}^{a} obtenu en remplaçant chaque \overline{θ}_{i}^{a} par sa restriction à la partie de son domaine où il ne double aucun générateur de numéro k < i, a les mêmes orbites que \overline{Θ}^{a}. Par restriction, P et P_{∗} fournissent un morphisme simple de (\overline{X}^{a}, \overline{Θ}_{s}^{a}) sur (X, Φ). L’argument ci-dessus montre que si un \overline{Θ}_{s}^{a}-mot fixe un ensemble de mesure > 0, il est nécessairement non réduit (il contient un double trivial) : le graphage \overline{Θ}_{s}^{a} est donc un arborage. Il induit R_{Θ} sur {N = 0}. Cette relation est donc arborable par la proposition d’induction II.6 (dont la partie sur les arborages s’applique aussi si le gros espace n’est que σ-fini). Cela termine la preuve du théorème IV.4.

■

IV.34. On va maintenant se placer dans la situation où Φ et Θ engendrent la même relation, i.e. R = S. Comme on l’a remarqué, il est possible que le \overline{X} produit par le déploiement soit de mesure infinie. On va commencer par remédier à cela.

Proposition IV.35. Soit R une relation de coût fini. Soit Φ = (φ_{1}, φ_{2}, …, φ_{n}, …) un graphage de coût fini de R. Quel que soit ε > 0, il existe un graphage Θ de R dont le coût approche C(R) à moins de ε et dont un déploiement (\overline{X}, \overline{μ}, \overline{Θ}) par rapport à Φ n’a qu’un nombre fini de niveaux (il est donc de mesure finie). De plus, ∀x, y ∈ \overline{X}, (xR\overline{Θ}y) si et seulement si (P(x)RP(y)), et les orbites pour Φ, Θ et \overline{Θ} sont uniformément quasi-isométriques (voir ci-dessous).

Comme dans [Gab98], on appelle Θ un graphage adapté.

Preuve de la proposition IV.35. Soit Λ un graphage de R, vérifiant : C(Λ) ≤ C(R) + \frac{ε}{3}. L’ensemble U_{m} des points où λ ∈ Λ coïncide avec un Φ-mot m donné est mesurable et quitte à remplacer λ par la famille de ses restrictions à des V_{m} ⊂ U_{m} disjoints, chaque λ coïncide sur son domaine tout entier avec un Φ-mot, sans modification du coût. Fixons r un indice tel que ∑_{i>r} C(\{φ_{i}\}) ≤ \frac{ε}{3}.

Maintenant, en numérotant la famille dénombrable des Λ-mots et pour chaque φ_{i} ∈ Φ, avec i = 1, 2, …, r, les boréliens W_{n}^{i} où φ_{i} ne coïncide pas avec un des n premiers Λ-mots vérifient :

lim_{n→∞} μ(W_{n}^{i}) = 0.

Il existe donc un n_{0} pour lequel μ(W_{n_{0}}^{i}) < \frac{ε}{3.r}. Appelons Θ_{0} la famille finie des Λ-générateurs utiles pour écrire les n_{0} premiers Λ-mots et appelons

Θ := Θ_{0} ∨ (φ_{i|W_{n_{0}}^{i}})_{i=1,2,...,r} ∨ (φ_{i})_{i>r}.

On a :

C(Θ) = \underbrace{C(Θ_{0})}_{≤C(R)+ \frac{ε}{3}} + \underbrace{C((φ_{i|W_{n_{0}}^{i}})_{i≤r})}_{≤r. \frac{ε}{3.r}} + \underbrace{C((φ_{i})_{i>r})}_{≤ \frac{ε}{3}} ≤ C(R) + ε.

Le graphage Θ vérifie les propriétés suivantes : Θ a les mêmes orbites que Φ, les θ ∈ Θ_{0} (en nombre fini), coïncident chacun sur son domaine tout entier avec un Φ-mot ω_{θ} (de longueur majorée par, disons, L_{1}) et chaque θ ∈ Θ \ Θ_{0} coïncide sur son domaine tout entier avec un générateur φ_{θ} de Φ. On en conclut que le déploiement (\overline{X}, \overline{μ}, \overline{Θ}) construit avec ces choix de ω_{θ} possède un nombre de niveaux majoré par L_{1} fois le cardinal de Θ_{0}.

De plus, le domaine de chaque φ ∈ Φ se décompose en un nombre fini de pièces sur lesquelles il coïncide avec un Θ-mot, de longueur majorée par un certain L_{2} (le maximum des longueurs des n_{0} premiers mots de Λ). Ainsi, les orbites de Φ et Θ sont alors uniformément quasi-isométriques, pour les métriques d_{Φ} et d_{Θ}. Précisément, il existe des constantes de quasi-isométrie (C, D) telles que pour (presque) tout x_{1}, x_{2} ∈ X :

(1/C).d_{Φ}(x_{1}, x_{2}) − D ≤ d_{Θ}(x_{1}, x_{2}) ≤ C.d_{Φ}(x_{1}, x_{2}) + D.

Soient maintenant \overline{x}, \overline{y} ∈ \overline{X}. Si w est un \overline{Θ}-mot de \overline{x} à \overline{y}, son image P_{∗}(w) est un Φ-mot de P(\overline{x}) à P(\overline{y}). Supposons à l’inverse qu’on ait un Φ-mot ω de P(\overline{x}) à P(\overline{y}) (soit l_{Φ}(ω) sa longueur), on a alors un Θ-mot m et un \overline{Θ}-mot \overline{m} de P(\overline{x}) à P(\overline{y}), de longueurs inférieures à L_{2} · l_{Φ}(ω) et L_{1} · L_{2} · l_{Φ}(ω) respectivement (voir figure B). Par construction, il existe \overline{γ}_{x} (resp. \overline{γ}_{y}) un \overline{Θ}-mot de \overline{x} (resp. \overline{y}) à \overline{X}_{0}, de longueurs ≤ L_{1}. On en déduit pareillement l’existence de Φ-mots puis de \overline{Θ}-mots \overline{m}_{x} et \overline{m}_{y} (de longueurs ≤ L_{1} · L_{2} · L_{1}) de P(x) à \overline{γ}_{x}(\overline{x}) (resp. P(y) à \overline{γ}_{y}(\overline{y})). Le \overline{Θ}-mot \overline{γ}_{y}^{−1} · \overline{m}_{y} · \overline{m} · \overline{m}_{x}^{−1} · \overline{γ}_{x}, de longueur ≤ L_{1} · L_{2} · l_{Φ}(ω) + 2 · (L_{1} · L_{2} · L_{1}) + 2 · L_{1}, relie \overline{x} à \overline{y}. On a donc montré :

d_{Φ}(P(x), P(y)) ≤ d\overline{Θ}(x, y) ≤ L_{1} · L_{2} · d_{Φ}(P(x), P(y)) + 2 · L_{1} · (L_{2} · L_{1} + 1).

■

Figure B

IV.36. Preuve du théorème IV.15.

Preuve. On suppose que R = R_{1} ∗_{R_{3}} R_{2}, avec R_{3} hyperfinie. Soit Φ_{3} un arborage de R_{3} ; il vérifie C(Φ_{3}) = C(R_{3}) (proposition III.3). Le lemme III.5 assure que quelque soit ε > 0, on peut compléter Φ_{3} en un graphage Φ_{1} ∨ Φ_{3} de R_{1} (resp. Φ_{2} ∨ Φ_{3} de R_{2}) de coût inférieur à C(R_{1}) + ε (resp. C(R_{2})+ε). Le graphage Φ_{1}∨Φ_{2}∨Φ_{3} engendre R pour un coût ≤ C(R_{1})+C(R_{2})+2·ε−C(Φ_{3}), et donc

C(R_{1} ∗_{R_{3}} R_{2}) ≤ C(R_{1}) + C(R_{2}) − C(R_{3}).

L’inégalité inverse demande plus d’effort. Les relations étant supposées de coûts finis, soit Φ = Φ_{1} ∨ Φ_{2} un graphage de coût fini de R où Φ_{1} (resp. Φ_{2}) est un graphage de R_{1} (resp. R_{2}). Pour ε > 0, soit Θ un graphage de R, de coût inférieur à C(R) + ε adapté à Φ, donné par la proposition IV.35. On reprend alors les notations de la partie IV.29 sur les déploiements.

Les fibres de P sont de cardinal uniformément majoré et μ(\overline{X}) < ∞. Les points x ∈ \overline{X} des niveaux ≥ 1 appartiennent chacun à exactement deux bases (domaine ou but) pour le graphage \overline{Θ} ; on en déduit que ∫_{X}(v_{Θ} − 2)dμ = ∫\overline{X}(v\overline{Θ} − 2)d\overline{μ} et donc C_{μ}(Θ) = C\overline{μ}(\overline{Θ}) − \overline{μ}(\overline{X}) + μ(X), où v_{Θ}(x) est la valence de x dans son Θ-graphe de Cayley.

Qualifions de rouge (resp. vert) tout ce qui concerne Φ_{1} (resp. Φ_{2}). Le graphage \overline{Θ} se décompose naturellement en deux familles disjointes de générateurs : \overline{Θ} = \overline{Θ}_{1} ∨ \overline{Θ}_{2}, selon la couleur (rouge ou verte) de P_{∗}(\overline{θ}). La relation engendrée par \overline{Θ}_{1} (resp. \overline{Θ}_{2}) induit sur \{N = 0\} une sous-relation de R_{1} (resp. R_{2}) via P, a priori plus petite. Appelons \overline{R}_{3} la relation (SP) P^{−1}(R_{3}) sur \overline{X} définie par :

x\overline{R}_{3}y ⇔ P(x)R_{3}P(y)

et de même posons

\overline{R}_{1} = P^{−1}(R_{1}), \overline{R}_{2} = P^{−1}(R_{2}), \overline{R} = P^{−1}(R).

La relation \overline{R} est encore un produit amalgamé : \overline{R} = \overline{R}_{1} ∗_{\overline{R}_{3}} \overline{R}_{2} (immédiat) et \overline{R}_{3} est hyperfinie comme R_{3} (les fibres de P sont finies).

On va ajouter des générateurs \overline{Σ} = \overline{Σ}_{1} ∨ \overline{Σ}_{2} de sorte que

• \overline{Θ}_{1} ∨ \overline{Σ}_{1} engendre \overline{R}_{1}, donc induise R_{1} sur \{N = 0\},

• \overline{Θ}_{2} ∨ \overline{Σ}_{2} engendre \overline{R}_{2}, donc induise R_{2} sur \{N = 0\}, (donc C\overline{μ}(\overline{Θ}_{i} ∨ \overline{Σ}_{i}) ≥ C_{μ}(R_{i}) − μ(X) + \overline{μ}(\overline{X}) (proposition II.6)),

• C\overline{μ}(\overline{Σ}) ≤ C_{μ}(R_{3}) + \overline{μ}(\overline{X}) − μ(X). On en déduira que :

\begin{matrix}C\overline{μ}(Θ) − μ(X) = & C\overline{μ}(\overline{Θ}) − \overline{μ}(\overline{X}) \\ = & \underbrace{C\overline{μ}(\overline{Θ}_{1}) + C\overline{μ}(\overline{Σ}_{1})}_{≥C_{μ}(R_{1})−μ(X)+\overline{μ}(\overline{X})} + \underbrace{C\overline{μ}(\overline{Θ}_{2}) + C\overline{μ}(\overline{Σ}_{2})}_{≥C_{μ}(R_{2})−μ(X)+\overline{μ}(\overline{X})} −C\overline{μ}(\overline{Σ}) − \overline{μ}(\overline{X}) \\ ≥ & C_{μ}(R_{1}) + C_{μ}(R_{2}) − C_{μ}(R_{3}) − μ(X) \end{matrix}

et donc avec des ε tendant vers 0, que

C_{μ}(R) ≥ C_{μ}(R_{1}) + C_{μ}(R_{2}) − C_{μ}(R_{3}).

IV.37. Construction de \overline{Σ} = \overline{Σ}_{1} ∨ \overline{Σ}_{2}.

Remarque. Dans le cas particulier du produit libre, où la relation R_{3} est triviale, \overline{R}_{3} est la relation “avoir même image par P”. Ce qu’on va faire alors, revient à considérer successivement les points de la même P-fibres qui sont reliés par un chemin rouge. S’il n’existe pas de chemin vert entre eux, on en ajoute un. Puis on recommence en échangeant rouge et vert. Puis on recommence...

Soit \overline{R}_{3}^{n} une suite croissante de relations finies qui exhauste \overline{R}_{3}. On va construire \overline{Σ}_{1} et \overline{Σ}_{2} comme réunion croissante de \overline{Σ}_{1}^{n} et \overline{Σ}_{2}^{n}, par récurrence. Partons de \overline{Σ}_{1}^{0} = ∅ et \overline{Σ}_{2}^{0} = ∅. Supposons \overline{Σ}_{1}^{n} et \overline{Σ}_{2}^{n} construits et vérifiant les trois propriétés P(n) :

(1) \overline{Σ}_{1}^{n} ∨ \overline{Σ}_{2}^{n} engendre une sous-relation de \overline{R}_{3}^{n}, (2) \overline{Σ}_{1}^{n} ∨ \overline{Σ}_{2}^{n} est un arborage,

(3) Si x et y sont équivalents pour la relation engendrée par \overline{Σ}_{1}^{n} ∨ \overline{Σ}_{2}^{n}, alors x et y sont à la fois

(Θ_{1} ∨ \overline{Σ}_{1}^{n})-équivalents et (Θ_{2} ∨ \overline{Σ}_{2}^{n})-équivalents. Observons que P(0) est vraie et que rouge et vert jouent des rôles symétriques. Passons au rang n + 1. Considérons les relations finies suivantes sur \overline{X} : •S^{n} = \overline{R}_{3}^{n+1} ∩ R_{\overline{Θ}_{1}∨\overline{Σ}_{1}^{n}}, i.e.

xS^{n}y ⇔ x\overline{R}_{3}^{n+1}y et il existe un (\overline{Θ} ∨ \overline{Σ}^{n})-mot rouge de x à y.

•T^{n} = \overline{R}_{3}^{n+1} ∩ R_{\overline{Θ}_{1}∨\overline{Σ}_{1}^{n}} ∩ R_{\overline{Θ}_{2}∨\overline{Σ}_{2}^{n}}, i.e.

xS^{n}y ⇔ x\overline{R}_{3}^{n+1}y et il existe un(\overline{Θ} ∨ \overline{Σ}^{n})-mot rouge et un (\overline{Θ} ∨ \overline{Σ}^{n})-mot vert de x à y. Les relations T^{n} ⊂ S^{n} ⊂ \overline{R}_{3}^{n+1} sont finies. Considérons un domaine fondamental D^{n} de la relation T^{n} et donnons-nous un arborage \overline{Σ}′_{2} de la relation induite de S^{n} sur D^{n}. Posons \overline{Σ}_{1}^{n+1} = \overline{Σ}_{1}^{n} et \overline{Σ}_{2}^{n+1} = \overline{Σ}_{2}^{n} ∨ \overline{Σ}′_{2}.

Ainsi, si xS^{n}y alors xT^{n+1}y, c’est-à-dire que si x et y sont deux points \overline{R}_{3}^{n}-équivalents et rougeéquivalents, alors à l’étape n + 1, on est sûr qu’ils sont aussi vert-équivalents. On peut définir Σ′_{2} “concrètement”, en définissant un générateur \overline{σ}′_{2} de la façon suivante : prenons sur \overline{X} l’ordre induit de celui de [0, 1] (c’est un borélien standard). Chaque T^{n}-classe a un représentant minimal, leur ensemble forme D^{n}. Chaque S^{n}-classe est réunion d’un nombre fini de T^{n}-classes, donc contient un nombre fini de représentants x_{1}, x_{2}, …, x_{p}. Si x_{i} est un représentant, non maximal parmi les représentants qu’on trouve dans sa S^{n}-classe, alors le nouveau générateur \overline{σ}′_{2} envoie x_{i} sur son successeur. Vérifions les proprétés P(n + 1). P(n + 1)(1) : \overline{Σ}_{1}^{n+1} ∨ \overline{Σ}_{2}^{n+1} engendre visiblement une sous-relation de \overline{R}_{3}^{n+1}. P(n + 1)(3) : soit \overline{σ} ∈ \overline{Σ}_{1}^{n+1} ∨ \overline{Σ}_{2}^{n+1} et x ∈ dom(\overline{σ}).

- Si \overline{σ} ∈ \overline{Σ}′_{2}, alors xS^{n}\overline{σ}(x) donc x et \overline{σ}(x) sont rouge-équivalents au rang n, donc aussi n + 1. Ils sont maintenant vert-équivalents par \overline{σ}.

- Si \overline{σ} ∈ \overline{Σ}_{1}^{n} ∨ \overline{Σ}_{2}^{n}, alors x et \overline{σ}(x) sont rouge-équivalents et vert-équivalents pour (\overline{Θ} ∨ Σ_{1}^{n} ∨ Σ_{2}^{n}) donc aussi au rang suivant n + 1. P(n + 1)(2) : Par P(n)(1) et P(n)(3), la relation engendrée par \overline{Σ}_{1}^{n} ∨ \overline{Σ}_{2}^{n} est une sous-relation de T^{n}, on peut donc en trouver un domaine fondamental qui contient D^{n}. Alors, puisque \overline{Σ}′_{2} est un arborage sur D^{n}, la propriété P(n)(2) entraîne P(n + 1)(2).

Ce qu’on vient de décrire est en fait le passage du rang n au rang n + 1 lorsque n est pair. Si n est impair, on fait la même chose en échangeant les rôles du rouge et du vert.

On pose enfin \overline{Σ}_{1} = ∨_{n→∞} ↗ \overline{Σ}_{1}^{n} et \overline{Σ}_{2} = ∨_{n→∞} ↗ \overline{Σ}_{2}^{n}. Ces deux graphages réunion croissante sont des arborages (un cycle dans une orbite apparaîtrait à une étape finie). Ils vérifient en fait P(∞)(1)(2)(3). En appelant \overline{μ_{1}} la mesure μ normalisée, la proposition III.3 entraîne :

C\overline{μ_{1}}(\overline{R}_{3})=^{(i)}d\overline{μ_{1}}(\overline{R}_{3}) ≥^{(ii)}d\overline{μ_{1}}(R\overline{Σ}) =^{(iii)}C_{μ_{1}}(\overline{Σ})

(i) voir III.3.(2)

(ii) puisque R\overline{Σ} est une sous-relation de \overline{R}_{3} (iii) par III.3.3

et donc par la proposition d’induction II.6 :

C\overline{μ}(\overline{Σ}) ≤ C_{μ}(R_{3}) + \overline{μ}(\overline{X}) − μ(X).

Il ne reste qu’à s’assurer que la relation engendrée par \overline{Θ}_{1} ∨ \overline{Σ}_{1} engendre \overline{R}_{1} (et l’affirmation symétrique pour le vert).

Soient x, y ∈ \overline{X} tels que P(y) ∼^{R_{1}} P(x) ; il existe au moins un \overline{Θ}-mot de x à y (proposition IV.35, “De plus,...”). Considérons m = m_{2p+1} · m_{2p} ⋯ m_{3} · m_{2} · m_{1} un (\overline{Θ} ∨ \overline{Σ})-mot de x à y, tel que • m_{2i+1} soit un (\overline{Θ}_{1} ∨ \overline{Σ}_{1})-mot (éventuellement m_{1} = 1 ou m_{2p+1} = 1),

• m_{2i} soit un (\overline{Θ}_{2} ∨ \overline{Σ}_{2})-mot,

• p soit minimal pour ces propriétés (p est le nombre minimum de (\overline{Θ} ∨ \overline{Σ})-mots verts qui interviennent dans un (\overline{Θ} ∨ \overline{Σ})-mot de x à y).

Posons x_{1} = m_{1}(x), ⋯, x_{j+1} = m_{j+1}(x_{j}), ⋯ x_{2p} = m_{2p}(x_{2p−1}). On a :

P(x) ∼^{R_{1}} P(x_{1}) ∼^{R_{2}} P(x_{2}) ∼^{R_{1}} ⋯ ∼^{R_{2}} P(x_{2i}) ∼^{R_{1}} P(x_{2i+1}) ∼^{R_{2}} ⋯ ∼^{R_{2}} P(x_{2p}) ∼^{R_{1}} P(y).

En effet, en décomposant m_{2i+1} (resp. m_{2i}) en \overline{Θ}_{1}- ou \overline{Σ}_{1}-lettres (resp. \overline{Θ}_{2}- ou \overline{Σ}_{2}-lettres), on trouve par projection par P et _{∗}^{P} une suite de points entre x_{2i} et x_{2i+1} (resp. entre x_{2i−1} et x_{2i}) qui sont R_{1}- ou R_{3}-équivalents (resp. R_{2}- ou R_{3}-équivalents).

Supposons p > 0. Par l’hypothèse P(y) ∼^{R_{1}} P(x) et par la propriété des produits amalgamés, la suite (P(x_{1}), P(x_{2}), ⋯, P(x_{2p}) n’est pas réduite : il existe j ∈ Z/2pZ (et par la remarque IV.7, on peut supposer que j ≠ 2p) tel que P(x_{j}) ∼^{R_{3}} P(x_{j+1}). Alors, il existe un n tel que

• x_{j} ∼^{\overline{R}_{3}^{n}} x_{j+1}

• x_{j} et x_{j+1} sont dans la même orbite pour un (\overline{Θ} ∨ \overline{Σ}_{1}^{n} ∨ \overline{Σ}_{2}^{n})-mot unicolore (de la couleur du mot m_{j+1}) (les \overline{Σ}-lettres utiles pour définir m_{j+1} sont construites à une étape finie).

Alors, au moins à partir du rang n + 2 de la récurrence, x_{j} et x_{j+1} sont à la fois rouge- et vert-équivalents. Il existe donc un (\overline{Θ} ∨ \overline{Σ})-mot de chacune des deux couleurs de x_{j} à x_{j+1}. Cela contredit la minimalité de p, on a donc p = 0. On procède symétriquement pour le vert. Cela termine la preuve du théorème IV.15 des produits amalgamés.

■

IV.38. Preuve du théorème IV.16.

Commençons par établir la contraposée dans le cas particulier où R_{3} est triviale : supposons que R est engendrée par deux sous-relations R_{1} et R_{2} qui ne sont pas en produit libre. Montrons que C(R) < C(R_{1}) + C(R_{2}).

(1) Donnons-nous un graphage auxiliaire Φ_{1} de R_{1} (resp. Φ_{2} de R_{2}). On trouve :

• un (Φ_{1} ∨ Φ_{2})-mot m qui se décompose sous la forme m = m_{l_{0}} ⋯ m_{2} · m_{1}, où les m_{2i+1} sont des Φ_{1}-mots et les m_{2i} des Φ_{2}-mots et

• un borélien A de mesure > 0 contenu dans le domaine de m, tels que les itérés successifs m_{j} ⋯ m_{2} · m_{1}(A) sont deux à deux disjoints (j < l_{0}) et m(A) = A.

En effet, il existe des suites cycliques réduites non triviales (x_{j})_{j∈Z/2pZ}, avec p > 0, telles que

x_{j} ≠ x_{j+1} et x_{2i−1} ∼^{R_{1}} x_{2i} ∼^{R_{2}} x_{2i+1}, ∀i ∈ Z/2pZ. Appelons longueur colorée le nombre 2p associé à une telle suite. Pour x ∈ X, soit L(x) ∈ N le minimum des longueurs colorées des suites cycliques réduites non triviales contenant x (L(x) = ∞ si x n’appartient à aucune telle suite). Soit l_{0} le premier entier l (l’hypothèse entraîne que 2 ≤ l_{0} < ∞ et l_{0} pair) tel que le borélien {L = l} soit de mesure > 0. Quitte à se donner un bon ordre sur les (Φ_{1} ∨ Φ_{2})-mots, on trouve pour chaque x ∈ {L = l_{0}} un premier mot de longueur colorée l_{0}, qui réalise un tel cycle à partir de x. Par dénombrabilité de l’ensemble des mots et minimalité de l_{0}, on trouve m et A′ ⊂ dom(m) de mesure > 0 tel que pour tout x ∈ A′, les itérés successifs m_{j} · m_{2} · m_{1}(x) sont deux à deux distincts et m(x) = x. Le lemme I.12 donne alors A.

(2) Appelons ψ_{j} la restriction de m_{j} à m_{j−1} ⋯ m_{2} · m_{1}(A), pour j = 1, ⋯, l_{0}. Soit Ψ_{1} (resp. Ψ_{2}) l’arborage constitué des ψ_{j} d’ordre impair (resp. d’ordre pair). Ils engendrent une sous-relation de R_{1} (resp. R_{2}), à orbites finies et μ(dom(ψ_{j})) = μ(A).

(3) Complétons Ψ_{1} en un graphage \overline{Ψ}_{1} de R_{1} de coût inférieur à C(R_{1})+η et Ψ_{2} en un graphage \overline{Ψ}_{2} de R_{2} de coût inférieur à C(R_{2})+η, avec η < 1/2·μ(A) (lemme III.5). Dans le graphage \overline{Ψ}_{1} ∨\overline{Ψ}_{2} de R, on peut supprimer le générateur ψ_{1} sans modifier les orbites. Donc : C(R) ≤ C(\overline{Ψ}_{1} ∨ \overline{Ψ}_{2}) − μ(A) ≤ C(R_{1}) + C(R_{2}) + 2 · η − μ(A) < C(R_{1}) + C(R_{2}).

Considérons maintenant le cas général, avec R_{3} finie.

Soit D un domaine fondamental pour R_{3}. La relation R n’est pas le produit amalgamé R_{1}∗_{R_{3}} R_{2} si et seulement si les relations induites R_{1|D} et R_{2|D} ne sont pas en produit libre (exemple IV.11). Appliquons ce qui précède pour les relations induites. Alors la proposition d’induction II.6 (en utilisant C_{μ}(R_{3}) = 1 − μ(D)) permet de montrer que C(R) < C(R_{1}) + C(R_{2}) − C(R_{3}).

IV.39. Preuve du théorème IV.1.

Soit Φ un arborage. Sous l’hypothèse supplémentaire que le cardinal de Φ est fini, c’est précisément l’énoncé du théorème principal de [Gab98], et la partie laissée en suspens (graphage adapté) vient d’être détaillée (proposition IV.35). Plus généralement, c’est un corollaire du théorème IV.15. En effet :

(1) Si Φ = (φ_{1}) n’a qu’un seul générateur qui constitue un arborage, R_{Φ} est hyperfinie et la proposition III.2.(3) montre que C(R_{Φ}) = C(Φ).

(2) Si Φ possède n générateurs, une partition Φ = (φ_{1})∨(φ_{2}, ⋯, φ_{n}) décompose la relation R_{Φ} en produit libre et le théorème IV.15 assure que C(R_{Φ}) = C(R_{(φ_{1})}) + C(R_{(φ_{2},··· ,φ_{n})}). Une récurrence permet de conclure dans ce cas.

(3) Si le cardinal de Φ est infini (par exemple C(Φ) = ∞), appelons Φ_{q} = (φ_{1}, φ_{2}, …, φ_{q}) l’arborage constitué des q premiers générateurs. Soit Ψ un autre graphage de R_{Φ}, montrons que C(Ψ) ≥ C(Φ). Pour q fixé, les φ_{i} ∈ Φ_{q} s’expriment à l’aide d’une partie finie de Ψ, à peu de choses près : il existe une sous-famille finie Ψ_{r_{q}} = (ψ_{1}, ψ_{2}, …, ψ_{r_{q}}) de Ψ et des mesurables D_{1}, D_{2}, …, D_{q}, de mesures < 1/2^{q} tels que les points x et φ_{i}(x) soient Ψ_{r_{q}}-équivalents, pour tout i = 1, …, q et pour tout x ∈ dom(φ_{i}) \ D_{i}. Par ailleurs, les générateurs de Ψ_{r_{q}} sont des Φ_{p}-mot pour un certain p ≥ q assez grand. Le graphage Λ, constitué de Ψ_{r_{q}}, des restrictions de φ_{i} à D_{i} (pour i = 1, …, q), et de Φ_{p}\Φ_{q} engendre R_{Φ_{p}}, donc : C(Ψ_{r_{q}}) + q/2^{q} + C(Φ_{p} \ Φ_{q}) ≥ C(Λ) ≥ C(R_{Φ_{p}}) = C(Φ_{p}) = C(Φ_{p} \ Φ_{q}) + C(Φ_{q}), où la paragraphe (2) ci-dessus donne la première égalité. On en déduit C(Ψ) ≥ C(Ψ_{r_{q}}) ≥ C(Φ_{q}) − q/2^{q}, quantité qui tend vers C(Φ) lorsque q tend vers l’infini.

V - PETITS COÛTS ET RELATIONS DÉCOMPOSABLES

Une relation (SP1) R sur (X, μ) est dite décomposable s’il existe deux relations (SP1) à orbites infinies R_{1} et R_{2} sur (X_{1}, μ_{1}) et (X_{2}, μ_{2}) respectivement, telles que R soit stablement orbitalement équivalente à la relation sur (X_{1} × X_{2}, μ_{1} × μ_{2}), notée R_{1} × R_{2}, définie par (x_{1}, x_{2}) ∼ (y_{1}, y_{2}) si et seulement si x_{1}R_{1}y_{1} et x_{2}R_{2}y_{2}.

Proposition V.1. Si R est ergodique et décomposable, alors C(R) = 1.

On retrouve ainsi un résultat de S. Adams :

Théorème V.2 [Ada88, th.4.1]. Une relation (SP1) ergodique arborable décomposable R est nécessairement hyperfinie.

Preuve de la proposition V.1. Supposons que R se décompose. Soit Φ = (φ_{i} : A_{i} → B_{i})_{i∈N} sur X_{1} (resp. Ψ = (ψ_{j} : C_{j} → D_{j})_{j∈N} sur X_{2}) un graphage de relation R_{1} (resp. R_{2}) et fixons ε > 0. Donnons-nous Σ = (σ_{k} : E_{k} → F_{k})_{k∈K} un graphage de coût 1 d’une sous-relation S_{1} à orbites infinies de R_{1} et une suite décroissante (H_{j})_{j∈N} de boréliens de X_{1}, qui rencontrent chacun toutes les orbites de S_{1} et telle que ∑_{j∈N} μ_{1}(H_{j}) ≤ ε/2. Le graphage Θ_{1} = (σ_{k} ×id)_{k∈K} ∨(id_{|H_{j}} ×ψ_{j})_{j∈N} sur X_{1} × X_{2}, où

- σ_{k} × id est défini sur E_{k} × X_{2} et envoie (x_{1}, x_{2}) sur (σ_{k}(x_{1}), x_{2}) et

- id_{|H_{j}} × ψ_{j} est défini sur H_{j} × C_{j} et envoie (x_{1}, x_{2}) sur (x_{1}, ψ_{j}(x_{2})), engendre la relation S ×R_{2}, pour un coût inférieur à 1+ε/2. En effet si (x_{1}, x_{2})S ×R_{2}(y_{1}, y_{2}), alors il existe un Ψ-mot m de x_{2} à y_{2}. Soit j_{0} le maximum des indices des Ψ-lettres qui composent ce mot. Il existe un point u_{1} ∈ H_{j_{0}} qui est Σ-équivalent à x_{1} et le (id_{|H_{j}} × ψ_{j})_{j∈N}-mot correspondant

à m est défini en (u_{1}, x_{2}). Il est alors immédiat que (x_{1}, x_{2})∼^{Θ}(u_{1}, x_{2})∼^{Θ}(u_{1}, y_{2})∼^{Θ}(y_{1}, y_{2}).

De manière comparable, on se donne une suite décroissante (L_{i})_{i∈N} de boréliens de X_{2}, qui rencontrent chacun toutes les orbites de R_{2} et telle que ∑_{i∈N} μ_{2}(L_{i}) ≤ ε/2. On obtient alors un graphage de R_{1} ×R_{2} de coût inférieur à 1+ε, par l’adjonction à Θ du graphage (φ_{i} ×id_{|L_{i}})_{i∈N}. On en déduit en variant ε que C(R_{1} × R_{2}) = 1, et l’invariance II.11 permet de conclure que C(R) = 1.

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Preuve du théorème V.2. Par V.1, on a C(R) = 1 et le corollaire IV.2 assure que l’arborabilité entraîne alors l’hyperfinitude.

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Avec des idées analogues, on montre le lemme suivant :

Lemme V.3. Soit R une relation (SP1) et Φ un graphage de R. Soit ψ : A → B un isomorphisme partiel de X et T la relation sur A définie par

T = (ψ^{−1} · R_{|B} · ψ) ∩ R_{|A} = {(x, y) ∈ A × A : x ∼^{R} y et ψ(x) ∼^{R} ψ(y)} .

Supposons que T soit à orbites infinies. Alors, ∀ε > 0, la relation R_{Φ∨{ψ}} engendrée par Φ ∨ {ψ} est aussi engendrée par le graphage Φ ∨ {ψ_{|ε}} de coût ≤ C(Φ) + ε, où ψ_{|ε} est la restriction de ψ à un borélien de mesure ≤ ε qui rencontre presque toutes les T -orbites.

Preuve du lemme V.3. En effet, soit A_{ε} ⊂ A un borélien (quelconque) de mesure ≤ ε qui rencontre presque toutes les T -orbites (voir lemme I.14)). Tout x ∈ A est T -équivalent à un y ∈ A_{ε} et, par

définition de T , les points ψ(x) et ψ(y) sont R-équivalents. Alors, on a x ∼^{Φ} y ∼^{ψ_{|ε}} ψ(y) ∼^{Φ} ψ(x), ce qui montre qu’il existe des Φ ∨ {ψ_{|ε}}-mots qui remplacent ψ sur A \ A_{ε}.

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VI- EN THÉORIE DES GROUPES

À tout groupe dénombrable Γ, on associe un nombre, C(Γ) et dans cette partie, on étudie les propriétés de cette application, en particulier, comportement par produit libre, extensions... L’invariant est dynamique dans la mesure où sa définition est liée aux actions du groupe. On introduit aussi la notion d’arborabilité pour un groupe dénombrable. C’est un autre invariant dynamique.

Toutes les actions considérées sont mesurables, libres, préservant la mesure, sur un espace de probabilité (X, μ) isomorphe à l’intervalle [0, 1] muni de la mesure de Lebesgue. On renvoie à la partie I pour les définitions de graphage, arborage, coût d’un graphage, d’une action, d’un groupe et de groupe à prix fixe.

VI-A- Définitions et premières propriétés

Définition VI.1. Un groupe Γ est dit arborable (resp. anti-arborable) si toutes ses actions libres sont arborables (resp. non arborables)

Question VI.2. Existe-t-il des groupes dont certaines actions seraient arborables et d’autres non ?

Voici quelques premières propriétés ou bien déjà connues, ou bien immédiates. Notons |Γ| le cardinal du groupe Γ.

Propriétés VI.3.

(1) [Lev95] Si Γ est un groupe fini alors Γ est arborable à prix fixe et C(Γ) = 1 − \frac{1}{|Γ|}.

(2) [OW80] Si Γ est infini moyennable alors Γ est arborable à prix fixe et C(Γ) = 1.

(3) [Lev95] Si Γ est infini alors C(Γ) ≥ 1.

(4) Si Γ est engendré par r éléments alors C(Γ) ≤ r.

(5) Si Γ_{1} et Γ_{2} sont arborables alors Γ = Γ_{1} ∗ Γ_{2} est arborable.

(6) [AS90] les groupes infinis possédant la propriété (T) de Kazhdan sont anti-arborables.

(7) Chaque réseau de SL(2, R) possède une action arborable, il n’est donc pas anti-arborable.

Remarques VI.4. Sans rappeler la définition de groupe moyennable, mentionnons seulement que parmi les groupes moyennables, on trouve les groupes finis, les groupes abéliens et mêmes les groupes résolubles. En revanche, les groupes libres non monogènes sont des prototypes de groupes non moyennables. Si un groupe discret est moyennable, ses sous-groupes et ses quotients sont moyennables. (2) Par le théorème de Ornstein-Weiss, toute action libre d’un groupe moyennable est orbitalement équivalente à une Z-action, elle est hyperfinie (voir III.1) La proposition (3) est une généralisation de (1), avec 1/∞ = 0. (6) C’est par exemple le cas de tous les réseaux de SL(n, R), n ≥ 3. On obtient en VI.30 une nouvelle preuve de l’anti-arborabilité des réseaux dans les groupes de Lie de rang supérieur. Il existe aussi des groupes hyperboliques au sens de M. Gromov qui ne sont pas arborables : considérer, par exemple, les réseaux cocompacts du groupe Sp(n, 1) des isométries de l’espace hyperbolique quaternionique. On renvoie enfin à l’exemple IV.12 pour un complément. Pour (7), voir II.17.

Proposition VI.5. Si Γ_{1} et Γ_{2} sont deux groupes à prix fixes qui admettent des actions libres α_{1} et α_{2} orbitalement équivalentes, alors C(Γ_{1}) = C(Γ_{2}).

Proposition VI.6. Si Γ_{1} et Γ_{2} sont deux groupes

(1) à prix fixes qui admettent des actions libres α_{1} et α_{2} stablement orbitalement équivalentes alors C(Γ_{1}) = 1 (resp. est fini, resp. = ∞) si et seulement si C(Γ_{2}) = 1 (resp. est fini, resp. = ∞).

(2) qui sont respectivement arborables et anti-arborables, alors leurs actions libres ne sont jamais stablement orbitalement équivalentes entre elles.

Pour VI.5, voir l’invariance II.3. Pour VI.6. (1), voir l’invariance II.11.

(2) est une conséquence immédiate du corollaire II.10.

VI-B- Produits

Théorème VI.7. Soient Γ_{1} et Γ_{2} deux groupes à prix fixes de coûts finis, et soit Γ_{3} un groupe moyennable.

1 - Le produit libre Γ = Γ_{1} ∗ Γ_{2} est à prix fixe et C(Γ) = C(Γ_{1}) + C(Γ_{2}).

2 - Si Γ ≃ Γ_{1} ∗_{Γ_{3}} Γ_{2} est un produit amalgamé de Γ_{1} et Γ_{2} au-dessus de Γ_{3}, alors Γ est à prix

fixe et C(Γ) = C(Γ_{1}) + C(Γ_{2}) − C(Γ_{3}).

3 - Si Γ ≃ Γ_{1}∗_{Γ_{3}} est une HNN-extension de Γ_{1} au-dessus de Γ_{3}, alors Γ est à prix fixe et C(Γ_{1}∗_{Γ_{3}}) = C(Γ_{1}) + 1 − C(Γ_{3}).

Cette proposition admet la réciproque partielle (où Λ ↪^{i} Γ signifie que i est un homomorphisme de groupes injectif) :

Théorème VI.7’. Soient Γ_{1} et Γ_{2} deux groupes à prix fixes, de coûts finis, et soit Γ_{3} un groupe fini.

1’- supposons Γ_{1} ↪^{i_{1}} Γ et Γ_{2} ↪^{i_{2}} Γ. Si Γ est engendré par les images i_{1}(Γ_{1}) et i_{2}(Γ_{2}) et si C(Γ) = C(Γ_{1}) + C(Γ_{2}), alors Γ est le produit libre Γ = i_{1}(Γ_{1}) ∗ i_{2}(Γ_{2}).

2’- supposons Γ_{1} ↪^{i_{1}} Γ, Γ_{2} ↪^{i_{2}} Γ et Γ_{3} ↪^{i_{3}} i_{1}(Γ_{1}) ∩ i_{2}(Γ_{2}). Si Γ est engendré par i_{1}(Γ_{1}) et i_{2}(Γ_{2}) et si C(Γ) = C(Γ_{1}) + C(Γ_{2}) − C(Γ_{3}) alors Γ est le produit amalgamé Γ ≃ Γ_{1} ∗_{Γ_{3}} Γ_{2}, avec les injections données.

3’- supposons Γ_{1} ↪^{i_{1}} Γ et Γ_{3} ↪^{i_{3}} i_{1}(Γ_{1}). Si Γ est engendré par i_{1}(Γ_{1}) et un élément t tel que t^{−1}i_{3}(Γ_{3})t ↪ i_{1}(Γ_{1}), et si C(Γ) = C(Γ_{1})+1−C(Γ_{3}), alors Γ est l’HNN-extension Γ ≃ Γ_{1}∗_{Γ_{3}}, avec les injections données.

Remarque VI.8 : L’item (1) est bien sûr un cas particulier du (2), avec Γ_{3} ≃ {1}, mais vu son importance, on a préféré le dégager clairement. L’item (2) ne serait pas vérifié avec Γ_{3} non moyennable : considérer, par exemple, un produit amalgamé du type F_{2} ∗_{F_{5}} F_{2}. Notons que, dans (1’) (resp. (2’), (3’)), la majoration ≤ du coût de Γ est toujours vérifiée. Ces énoncés caractérisent les produits libres (resp. amalgamés au-dessus de groupes finis) par l’inégalité inverse ; ils seraient faux, en général, avec Γ_{3} infini (même moyennable) : le groupe SL(3, Z), des matrices 3 × 3 à coefficients entiers, de déterminant 1, agit sur R^{3} avec une base (e_{1}, e_{2}, e_{3}). Les groupes Γ_{1} = Fix(e_{1}) et Γ_{2} = Fix(e_{2}) sont à prix fixe de coût 1 (ils vérifient le critère VI.24.(1) ci-dessous), leur réunion engendre SL(3, Z) et leur intersection Γ_{3} est isomorphe à Z^{2}. On a bien l’égalité sur les coûts, mais SL(3, Z) est indécomposable.

Preuve des théorèmes VI.7 et VI.7’. Considérons une action libre α de Γ_{1} ∗_{Γ_{3}} Γ_{2} sur (X, μ), avec μ(X) = 1. La relation engendrée se décompose comme produit amalgamé des actions restreintes : R_{α} = R_{α|Γ_{1}} ∗_{R_{α|Γ_{3}}} R_{α|Γ_{2}} (exemple IV.8). Le théorème IV.15 donne le coût de R_{α} en fonction des coûts des actions restreintes, C(R_{α|Γ_{j}}) = C(Γ_{j}). Cela montre (2) et (1) (Γ_{3} trivial). Il suffit d’appliquer le théorème IV.16 pour obtenir (1’) et (2’). En effet, si les groupes ne sont pas en produit amalgamé, alors les actions restreintes non plus et par contraposition, C(Γ) ≤ C(R_{α}) < C(Γ_{1}) + C(Γ_{2}) − C(Γ_{3}). Les extensions HNN se traitent de la même manière avec l’exemple IV.21 et les corollaires IV.25 et IV.26.

■

Plus généralement, sans l’hypothèse de prix fixe, pour une action libre α de Γ, qui approche C(Γ) à moins de ε > 0, le théorème IV.15 (resp. corollaire IV.25) donne C(R_{α}) en fonction des coûts des actions α_{|Γ_{j}} restreintes, lesquels majorent le coût des groupes Γ_{j}, avec égalité dans le cas de Γ_{3}. En faisant tendre ε vers 0, on obtient donc :

Théorème VI.7”. Si les actions libres de Γ_{1} et Γ_{2} sont toutes de coût fini (par exemple, s’ils sont de type fini) et si Γ_{3} est moyennable alors

1” C(Γ_{1} ∗ Γ_{2}) ≥ C(Γ_{1}) + C(Γ_{2}).

2” C(Γ_{1} ∗_{Γ_{3}} Γ_{2}) ≥ C(Γ_{1}) + C(Γ_{2}) − C(Γ_{3}).
3” C(Γ_{1}∗_{Γ_{3}}) ≥ C(Γ_{1}) + 1 − C(Γ_{3}).

Proposition VI.9.

• C(F_{n}) = n, pour le groupe libre F_{n} de rang n.

• C(F_{∞}) = ∞, pour le groupe libre sur une infinité dénombrable de générateurs.

• C(SL(2, Z)) = 1 + \frac{1}{12}.

• C(π_{1}(Σ_{g})) = 2g − 1, pour le groupe fondamental de la surface compacte de genre g > 1. Ces groupes sont à prix fixe et, de plus, F_{n}, F_{∞} et SL(2, Z) sont arborables. Le groupe π_{1}(Σ_{g}) n’est pas anti-arborable.

Preuve de la proposition VI.9. Le groupe libre F_{n} (resp. F_{∞}) est clairement arborable et on peut directement calculer son coût grâce au théorème IV.1, et établir qu’il est à prix fixe. On applique le théorème VI.7, avec SL(2, Z) ≃ Z/6Z ∗_{Z/2Z} Z/4Z et π_{1}(Σ_{g}) ≃ F_{g} ∗_{Z} F_{g}, pour montrer que ces groupes sont à prix fixes et calculer leurs coûts. En ce qui concerne l’arborabilité de SL(2, Z), c’est une conséquence de la proposition VI.10 à venir, voyons-le directement (avec la même preuve) : soient a, b, c ∈ SL(2, Z) des générateurs des sous-groupes cycliques Z/2Z, Z/4Z et Z/6Z de la décomposition. Considérons une action libre α de SL(2, Z) et D_{a} un domaine fondamental de l’action restreinte α_{|Z/2Z}. L’action restreinte α_{|Z/4Z} (resp. α_{|Z/6Z}) induit sur D_{a} une action dont chaque orbite a 2 (resp. 3) points. Soit D_{b} ⊂ D_{a} (resp. D_{c} ⊂ D_{a}) un domaine fondamental. Appelons φ_{1} la restriction de α(a) à D_{a}, φ_{2} la restriction de α(b) à D_{b} et φ_{3} la restriction de α(c) à D_{c} ∐ α(c)(D_{c}). Le graphage Φ = (φ_{1}, φ_{2}, φ_{3}) engendre R_{α}, et la structure de produit amalgamé montre que c’est un arborage (alternativement, puisque C(Φ) = 1/2 + 1/4 + 2/6 réalise le C(R_{α}) = 1 + 1/12, on peut invoquer la proposition I.11). Le groupe π_{1}(Σ_{g}), g ≥ 2, réseau de PSL(2, R), admet des actions arborables (cf. II.17).

■

Supposons que Γ se décompose comme graphe de groupes [Ser77], d’ensemble de sommets S et d’ensemble d’arêtes A, de groupes de sommets Γ_{s} (pour s ∈ S) et de groupes d’arêtes Γ_{a} (pour a ∈ A). Numérotons les arêtes et appelons A_{n} la famille des n premières arêtes et S_{n} la famille de leurs sommets, de sorte que le graphe G_{n} constitué des arêtes de A_{n} et des sommets de S_{n} soit connexe. Appelons Γ^{n} le groupe fondamental du graphe de groupes correspondant. Modulo le choix d’un arbre maximal compatible dans chaque G_{n}, les groupes de sommets et d’arêtes s’injectent dans Γ, et on passe de Γ^{n} à Γ^{n+1} par extension HNN ou produit amalgamé.

Proposition VI.10.

(1) Si S et A sont finis et si les groupes de sommets Γ_{s} (pour s ∈ S) sont à prix fixe de coûts finis et les groupes d’arêtes Γ_{a} (pour a ∈ A) sont moyennables, alors

Γ est à prix fixe et C(Γ) = 1 + ∑_{s∈S}(C(Γ_{s}) − 1) + ∑_{a∈A} \frac{1}{|Γ_{a}|}, avec \frac{1}{∞} = 0.

(2) Sous les hypothèses de (1), sauf l’hypothèse de prix fixe, on a encore l’inégalité C(Γ) ≥ 1 + ∑_{s∈S}(C(Γ_{s}) − 1) + ∑_{a∈A} \frac{1}{|Γ_{a}|}.

(3) Si les groupes de sommets Γ_{s} sont arborables à prix fixe de coûts finis et les groupes d’arêtes Γ_{a} sont finis alors Γ est arborable à prix fixe et, de plus, on peut alors calculer le coût de Γ même si le graphe est infini : C(Γ) = lim_{n≥1} C(Γ^{n}).

Remarques VI.11. On verra en VI.21 que les groupes arborables sont toujours à prix fixe. L’énoncé (1) de cette proposition permet, en particulier, de retrouver le théorème d’accessibilité de Linnell [Lin83] : si Γ est engendré par r éléments, si les groupes de sommets sont infinis et les groupes d’arêtes sont de cardinal majoré par N, alors le nombre d’arêtes est uniformément majoré, indépendamment de la décomposition de Γ en graphe de groupes : #A ≤ N ·(C(Γ)−1) ≤ N ·(r−1). Le produit amalgamé (A ⨁ B) ∗_{B} (B ⨁ C) où A, B, C sont tous isomorphes à Z est de coût 1 et il contient le groupe libre à deux générateurs engendré par A et C (il est donc non moyennable). Cela fournit un exemple de produit amalgamé de groupes arborables au-dessus de Z qui est antiarborable (voir VI.22).

Preuve de la proposition VI.10. Clairement, (1) et (2) se montrent par récurrence sur n, à l’aide des théorèmes VI.7 ou VI.7”. Pour le (3), considérons une action libre (SP1) α de Γ. Soit s ∈ S_{1} et Φ_{0} un arborage de l’action (α restreinte) de Γ_{s}, qui est à prix fixe, alors (théorème IV.1) C(Φ_{0}) = 1 + C(Γ_{s}) − 1. Par récurrence, supposons qu’on a construit des graphages Φ_{1}, Φ_{2}, ⋯, Φ_{n} de sorte que Φ_{0} ∨ Φ_{1} ∨ ⋯ Φ_{n} soit un arborage de coût égal à 1 + ∑_{s∈S_{n}}(C(Γ_{s}) − 1) + ∑_{a∈A_{n}} \frac{1}{|Γ_{a}|}. Considérons la n + 1-ième arête a_{n+1}, appelons s_{1} et s_{2} ses extrémités, avec s_{1} ∈ S_{n}, et D_{n+1} un domaine fondamental pour l’action (α restreinte) de Γ_{a_{n+1}} (on a μ(D_{n+1}) = 1/|Γ_{a_{n+1}}|). Deux cas se présentent :

(1) s_{2} ∈ S_{n} et Γ^{n+1} est une extension HNN de Γ^{n} (voir exemple IV.21) qui s’obtient en ajoutant un générateur t à Γ^{n}. Appelons alors Φ_{n+1} le graphage simplement constitué de la restriction de α(t^{−1}) à D_{n+1}.

(2) s_{2} ∉ S_{n} et Γ^{n+1} est un produit amalgamé : Γ^{n}∗_{Γ_{a_{n+1}}} Γ_{s_{2}}. Soit S la relation donnée par l’action de Γ_{s_{2}} ↪ Γ restreinte au domaine D_{n+1} et triviale en dehors de D_{n+1}. Puisque Γ_{s_{2}} est arborable à prix fixe, la proposition d’induction II.6 montre que S est arborable, de coût C(Γ_{s_{2}})−1+1/|Γ_{a_{n+1}}| ≥ 0. Appelons alors Φ_{n+1} un arborage de S. Il réalise le coût de S (théorème IV.1). De plus, l’action de Γ^{n} et S sont en produit libre (exemple IV.11).

Dans les deux cas, Φ_{0} ∨ Φ_{1} ∨ ⋯ Φ_{n} ∨ Φ_{n+1} est un arborage de la relation donnée par l’action de Γ^{n+1}, de coût 1+∑_{s∈S_{n+1}}(C(Γ_{s})−1)+∑_{a∈A_{n+1}} \frac{1}{|Γ_{a}|}. Le graphage réunion Φ = Φ_{0}∨Φ_{1}∨⋯ Φ_{n}∨⋯ est un arborage de l’action de Γ, de coût lim_{n≥1} C(Γ^{n}). Par le théorème IV.1, C(Φ) = C(R_{α}), ce qui permet de conclure.

■

Proposition VI.12. Si Γ est un groupe de type fini qui a une infinité de bouts, alors C(Γ) > 1.

Preuve. On peut utiliser le théorème de Stallings [Sta71] disant qu’il se décompose non trivialement comme produit amalgamé ou HNN-extension au-dessus d’un groupe fini et conclure à l’aide du théorème VI.7”. En effet, avec les notations de VI.7” le cas HNN-extension se traite immédiatement (C(Γ_{3}) = 1 − 1/|Γ_{3}|). Appelons a_{i} le cardinal du groupe Γ_{i}, alors C(Γ) ≥ 1 − 1/a_{1} − 1/a_{2} + 1/a_{3}, où 1/∞ = 0. Les quantités a_{1}/a_{3} et a_{2}/a_{3} sont infinies ou entières ≥ 2 et elles ne peuvent pas être toutes les deux égales à 2 (un tel groupe n’aurait que deux bouts), alors 1−1/a_{1} −1/a_{2} +1/a_{3} > 1.

■ La proposition VI.10 permet aussi de montrer que tous les coûts sont permis. C’est assez facile avec des groupes qui ne sont pas de type fini. On en donne la preuve en VI.14. Mais on peut même réaliser tous les coûts ∈ [1, ∞[ avec des groupes de type fini (finiment engendrés). C’est l’objet de la proposition VI.16. Cela donne une nouvelle preuve de l’existence d’une quantité non dénombrable de groupes de type fini non isomorphes.

Proposition VI.14. Pour tout c ∈ [1, ∞], il existe un groupe Γ_{c} et un groupe Λ_{c}, à prix fixes, de coût égaux à c, qui sont respectivement arborable et anti-arborable.

Preuve. Soit c ∈ [1, 2], et ∑_{i=1}^{∞} \frac{ε_{i}}{2^{i}} la décomposition dyadique de c − 1 (i.e. ε_{i} ∈ \{0, 1\}). Soit A_{i} ≃ Z/2^{i}Z et B_{i} ≃ Z/2^{i−ε_{i}}Z. Observons que B_{i} s’injecte dans A_{i} et A_{i+1} et que \frac{1}{|B_{i}|} − \frac{1}{|A_{i+1}|} = \frac{1}{2^{i−ε_{i}}} − \frac{1}{2^{i}} = \frac{ε_{i}}{2^{i}} + \frac{1}{2^{i}} − \frac{1}{2^{i+1}} . Appelons alors Γ le groupe fondamental du graphe de groupes :

•−^{A_{1}} − ; − ; −_{B_{1}} −•−^{A_{2}} − ; − ; −_{B_{2}} −•−^{A_{3}} − ; − ; −_{B_{3}} −•−^{A_{4}} · · · · · · · · · − ; − ; −_{B_{n−1}} −•−^{A_{n}} − ; − ; −_{B_{n}} · · · · · · · · ·

Par exemple, pour c = 1, il est isomorphe au groupe (exp(2iπ \frac{p}{2^{k}}))_{p,k∈Z} des racines n-ièmes de l’unité, avec n puissance de 2.

La proposition VI.10.(3) (graphes de groupes) montre que Γ_{c} est arborable, de coût C(Γ_{c}) = 1 + ∑_{i=1}^{∞}(1 − \frac{1}{2^{i}} − 1) + ∑_{i=1}^{∞} \frac{1}{2^{i−ε_{i}}} = 1 + ∑_{i=1}^{∞} \frac{ε_{i}}{2^{i}} = c. Pour c > 2, il suffit de prendre le produit libre d’un certain Γ_{c′} avec un groupe libre. Cas anti-arborable : Pour c = 1, on peut prendre Λ_{1} = F_{2} × Z. Pour c > 1, soit n ∈ N assez grand pour que d := c − \frac{1}{2^{n}} > 1. On peut alors prendre pour Λ_{c} un produit amalgamé de la forme Λ_{c} = (F_{2} × Z × Z/2^{n}Z) ∗_{Z/2^{n}Z} ∗Γ_{d}. Il contient le sous-groupe anti-arborable F_{2} × Z × Z/2^{n}Z. Par la proposition VI.23, à venir, C(F_{2} × Z × Z/2^{n}Z) = 1. Mais ce groupe n’étant pas moyennable, le corollaire VI.22 permettra de conclure à son anti-arborabilité.

■

Remarques-Questions VI.15. Ce choix de Λ_{c} répond bien à l’énoncé, mais existe-t-il de tels groupes virtuellement librement indécomposables ? Les groupes de présentation finie sont-ils de coûts rationnels ?

Proposition VI.16. Pour tout c ∈ [1, ∞[, il existe un groupe de type fini, à prix fixe, de coût c.

Preuve de la proposition. Soit c ∈ [1, 1 + \frac{1}{8}]. On va construire un groupe Γ de type fini, à prix fixe et de coût c, en s’inspirant fortement de l’exemple inventé par M. Dunwoody de groupes non accessibles [Dun93]. On commencera par produire un groupe J à prix fixe, de coût c, comme groupe fondamental d’un graphe de groupes G (peut-être infini) :

G = •−^{G_{1}} − ; − ; −_{K_{1}} −•−^{G_{2}} − ; − ; −_{K_{2}} −•−^{G_{3}} − ; − ; −_{K_{3}} −•−^{G_{4}} · · · · · · · · · − ; − ; −_{K_{n−1}} −•−^{G_{n}} − ; − ; −_{K_{n}} · · · · · · · · ·

où

(1) les G_{n} sont des groupes finis

(2) les K_{n} contiennent chacun un sous-groupe H_{n} d’indice 2

(3) G_{n} (pour n ≥ 2) est engendré par K_{n−1} et H_{n}

(4) dans J, on a une suite strictement croissante de plongements H_{1} ↪^{e_{1}} H_{2} ↪^{e_{2}} H_{3} ↪^{e_{3}} ⋯ H_{n} ↪^{e_{n}}

H_{n+1} ↪^{e_{n+1}} ⋯

Ainsi, la réunion H_{ω} des H_{n} est un groupe moyennable (comme réunion dénombrable de groupes finis) et J est engendré par G_{1} et H_{ω}. Si le graphe de groupes est fini, alors J est de type fini et Γ = J convient Sinon, on plongera H_{ω} dans un groupe H, qui sera de type fini et de coût 1 (en fait, H sera même résoluble). On prendra alors pour Γ le produit amalgamé

Γ = J ∗_{H_{ω}} H

qui sera de type fini, car engendré par H (contenant H_{ω}) et G_{1}, et qui sera de coût égal à C(J) + C(H) − C(H_{ω}) = C(J) + 1 − 1 = c, par le théorème VI.7.(2). Construction de J. Soit (p(n))_{n≥1} l’unique suite strictement croissante (peut-être finie) d’entiers, avec p(1) ≥ 1, telle que c = 1 + 1/4 · ∑_{n=1}^{∞} 2^{−p(n)}. Soient (A_{i})_{i∈Z}, (B_{n})_{n∈N}, (C_{n})_{n∈N} trois familles de groupes tous isomorphes à Z/2Z. Posons alors

(1) H_{n} = ⨁_{i=1}^{p(n)} A_{i}

(2) K_{n} = B_{n} ⨁ H_{n}

(3) G_{n} = (B_{n−1} ⨁ C_{n}) × H_{n}, où ce produit semi-direct est défini par : - l’élément générateur de A_{p(n)} ⊂ H_{n} agit sur (B_{n−1} ⨁ C_{n}) en permutant les facteurs, i. e. par l’unique isomorphisme f_{n} de (B_{n−1} ⨁ C_{n}) qui envoie B_{n−1} sur C_{n},

- les autres facteurs A_{i} de H_{n} agissent trivialement (i. e. commutent avec (B_{n−1} ⨁ C_{n})).

Définissons alors les plongements K_{n−1} ↪^{g_{n}} G_{n} ↩^{h_{n}} K_{n} qui articuleront le graphe de groupes J.

- Le plongement g_{n} de K_{n−1} dans G_{n} est défini naturellement, vu les notations, sur les facteurs B_{n−1} et H_{n−1}. Et puisque p(n) > p(n−1), les sous-groupes B_{n−1} et H_{n−1} de G_{n} commutent entre eux et g_{n} donne bien un plongement de K_{n−1}.

- Le plongement h_{n} de K_{n} dans G_{n} est donné, lui, naturellement sur H_{n} et on le définit en envoyant l’élément générateur de B_{n} sur l’élément s_{n} de (B_{n−1} ⨁ C_{n}), qui est la somme des éléments générateurs de B_{n−1} et C_{n}. Puisque s_{n} est central dans G_{n}, l’application h_{n} s’étend bien en un plongement de K_{n}.

G_{n} est clairement engendré par g_{n}(B_{n−1}) et h_{n}(H_{n}). Les groupes H_{n} se plongent comme annoncé H_{n} ↪ H_{n+1} = H_{n} ⨁_{i=p(n)+1}^{p(n+1)} A_{i} et leur réunion H_{ω} = ⨁_{i≥1} A_{i} se plonge elle-même dans le groupe

H = (⨁_{i=−∞}^{i=+∞} A_{i}) × Z, où le générateur t de Z agit en décalant les facteurs A_{i} d’un cran, en envoyant isomorphiquement A_{i} sur A_{i+1}. Le groupe H est de type fini, engendré par A_{1} et t. On peut remarquer qu’il est résoluble. Calcul du coût de J

Il suffit d’appliquer la proposition sur les graphes de groupes VI.10 : C(J) = lim_{n→∞} 1 + ∑_{i=1}^{n}(\frac{1}{|K_{i}|} − \frac{1}{|G_{i}|}) = ∑_{i=1}^{∞}(\frac{1}{2^{p(n)+1}} − \frac{1}{2^{p(n)+2}} ) = 1 + \frac{1}{4} ∑_{i=1}^{∞} 2^{−p(n)} = c.

On a montré que tous les coûts compris entre 1 et 1 + \frac{1}{8} sont obtenus par des groupes de type fini. Puisque G_{1} contient un sous-groupes Z/2Z ⨁ Z/2Z, il est facile de produire des produits amalgamés de Γ et Z/2Z ⨁ Z/2Z ⨁ Z/2Z au-dessus de Z/2Z ⨁ Z/2Z pour en déduire le même résultat pour tous les coûts finis ≥ 1.

■

Questions VI.17. Quel est le coût des groupes qui sont localement libres (i. e. dont tous les sous-groupes de type fini sont libres) mais non libres ? Sont-ils arborables ?

VI-C- Sous-groupes

Proposition VI.18. Si Γ contient un sous groupe Γ_{1} anti-arborable, alors Γ est lui-même antiarborable.

Preuve. Par contraposition, considérons une action libre arborable de Γ. Sa restriction à Γ_{1} est aussi arborable (théorème IV.4) et libre.

■

Théorème VI.19. (i) Soit Γ un groupe dénombrable et Λ un sous-groupe d’indice fini [Γ : Λ], alors C(Λ) − 1 = [Γ : Λ] · (C(Γ) − 1). Si Γ est à prix fixe (resp. arborable, resp. anti-arborable) alors Λ vérifie les mêmes propriétés. (ii) Si Λ est un sous groupe normal fini de Γ, alors 1 − C(Γ) = \frac{1}{|Λ|} · (1 − C(Γ/Λ)). De plus Γ est à prix fixe si et seulement si Γ/Λ est à prix fixe.

Rappelons que deux nombres réels r et s sont commensurables s’ils sont multiples entiers d’un même nombre réel et que deux groupes sont commensurables s’ils admettent des sous-groupes d’indices finis qui sont isomorphes.

Corollaire VI.20. Si Γ et Λ sont deux groupes commensurables alors C(Γ) − 1 et C(Λ) − 1 sont commensurables.

Preuve du théorème VI.19. (i) Considérons une action libre (SP1) quelconque α de Λ sur X (μ(X) = 1). Un procédé classique de suspension fournit une action libre \overline{β} de Γ sur un certain \overline{X} : l’action β̃ de Γ par multiplication à gauche sur le deuxième facteur de X̃ = X × Γ et l’action α̃ de Λ définie par

α̃(λ)(x, γ) = (α(λ)(x), γ · λ^{−1})

commutent entre elles. L’action β̃ induit une action libre \overline{β} sur \overline{X} = X̃/α̃. Du point de vue mesurable, \overline{X} est isomorphe à X × Γ/Λ, avec la mesure produit \overline{μ} (on a \overline{μ}(\overline{X}) = [Γ : Λ] · μ(X)). L’application π : X̃ → \overline{X} est injective sur X × \{1\} et R\overline{β} induit sur π(X × \{1\}) ≃ X une relation isomorphe à R_{α}. En effet, si \overline{β}(γ)(π(x, 1)) = π(y, 1) alors γ ∈ Λ. Et pour tout λ ∈ Λ on a l’équivalence : (\overline{β}(λ)(π(x, 1)) = π(y, 1)) ⇔ (\overline{α}(λ^{−1})(x) = y). La proposition d’induction II.6, avec \overline{μ}_{1} = μ/μ(\overline{X}), entraîne :

(1)  [Γ : Λ] · (C(Γ) − 1) ≤ [Γ : Λ] · (C_{\overline{μ}_{1}}(R\overline{β}) − 1) = C_{μ}(R_{α}) − μ(X),

et donc

(2)  [Γ : Λ] · (C(Γ) − 1) ≤ C(Λ) − 1.

Si Γ est à prix fixe, on a égalité dans (1), donc toutes les R_{α} ont le même coût ; Λ est à prix fixe. Si Γ est arborable, alors R\overline{β} est arborable et, par induction (cf. II.6.(1)), R_{α} aussi. Inversement, si R_{α} est arborable, alors R\overline{β} aussi et par contraposition, Γ anti-arborable entraîne Λ anti-arborable.

Inversement, soit α une action libre de Γ sur (X, μ), avec μ(X) = 1, et soit Φ = (φ_{1}, φ_{2}, ⋯, φ_{i}, ⋯) un graphage de R_{α} tel que chaque φ_{i} : A_{i} → B_{i} coïncide sur son domaine avec l’action d’un élément γ_{i} ∈ Γ (on peut toujours subdiviser un graphage pour obtenir un tel Φ). Considérons l’espace \overline{X} = X × Γ/Λ (avec la mesure produit \overline{μ}) et le graphage \overline{Φ} = (\overline{φ}_{1}, \overline{φ}_{2}, ⋯, \overline{φ}_{i}, ⋯), où

\begin{matrix}\overline{φ}_{i} : & A_{i} × Γ/Λ & → & B_{i} × Γ/Λ \\ (x, γ · Λ) & ↦ & (φ_{i}(x), γ_{i} · γ · Λ) \end{matrix}

Ce graphage vérifie C\overline{μ}(\overline{Φ}) = [Γ : Λ]·C_{μ}(Φ) et il induit sur le niveau X_{1} = X ×\{1·Λ\} une relation S isomorphe à la relation donnée par l’action restreinte α_{|Λ} sur X. On a une correspondance entre

les Φ-mots et les \overline{Φ}-mots, et à tout mot est associé un élément du groupe Γ. Si x ∼^{R_{α|Λ}} y, alors un Φ-mot de x à y est associé (liberté de l’action) à un élément du sous-groupe Λ donc le \overline{Φ}-mot \overline{m} correspondant à m envoie (x, 1 · Λ) sur (y, 1 · Λ). Dans l’autre sens, si un \overline{Φ}-mot fixe la coordonnée {1 · Λ}, alors il est associé à un élément de Λ. On en déduit, par la proposition d’induction II.6, que :

C(Λ) − 1 ≤ C_{μ}(R_{α|Λ}) − 1 ≤ C\overline{μ}(\overline{Φ}) − \overline{μ}(\overline{X}) = [Γ : Λ] · (C(Φ) − 1).

Et donc l’inégalité inverse de (2).

Notons que l’action de Γ qu’on a construite sur \overline{X} n’est pas générale ; ainsi, on ne peut établir si les propriétés (prix fixe, arborabilité) du sous-groupe Λ passent à Γ.

(ii) Par restriction à un domaine fondamental de l’action de Λ (fini et normal), on transforme n’importe quelle action presque libre de Γ en une action presque libre de Γ/Λ. La construction inverse permet de passer d’une action quelconque de Γ/Λ à une action de Γ. L’item (ii) s’en déduit par la proposition II.6 d’induction.

■

VI-D- Petits coûts et réseaux des groupes de Lie Proposition VI.21. Si Φ est un arborage d’une action libre α de Γ, alors il réalise le coût de Γ, i.e. C(Φ) = C(Γ). En conséquence, tout groupe arborable est à prix fixe. Pour tout groupe dénombrable Γ, il existe une action libre, qui réalise le coût de Γ.

Comme annoncé dans l’introduction, le coût d’un groupe est donc le minimum des coûts de ses actions libres.

Preuve. Soient α_{1} et α_{2} deux actions libres de Γ, respectivement sur (X_{1}, μ_{1}) et (X_{2}, μ_{2}). Soit Φ_{1} = (φ_{i} : A_{i} → B_{i})_{i∈I} un graphage de α_{1} tel que chaque φ_{i} coïncide sur son domaine avec un certain γ_{i} ∈ Γ (ce qu’on peut toujours supposer quitte à découper les domaines A_{i}), alors l’action produit α_{1} × α_{2} sur (X_{1} × X_{2}, μ_{1} × μ_{2}) admet le graphage produit Ψ^{1} constitué des ψ_{i} : A_{i} × X_{2} → B_{i} × X_{2}, (x_{1}, x_{2}) ↦ (γ_{i}(x_{1}), γ_{i}(x_{2})). On en déduit : C_{μ_{1}×μ_{2}}(R_{α_{1}×α_{2}}) ≤ C_{μ_{1}}(R_{α_{1}}). Si Φ_{1} est un arborage, alors Ψ^{1} est un arborage, quelque soit α_{2}. On a donc : C_{μ_{2}}(R_{α_{2}}) ≥ C_{μ_{1}×μ_{2}}(R_{α_{1}×α_{2}}) =^{∗} C_{μ_{1}×μ_{2}}(Ψ^{1}) = C_{μ_{1}}(Φ) =^{∗} C_{μ_{1}}(R_{α_{1}}).

∗ (Puisque les arborages réalisent le coût des relations qu’ils engendrent (théorème IV.1).) Considérons maintenant une suite (α_{n}) d’actions de Γ sur (X_{n}, μ_{n}) et (Φ_{n}) une suite de

graphages correspondants, dont les coûts tendent vers C(Γ). Alors l’action produit (infini) α = α_{1} × α_{2} × ⋯ × α_{n} × ⋯ de Γ sur (X_{1} × X_{2} × ⋯ × X_{n} × ⋯, μ_{1} × μ_{2} × ⋯ × μ_{n} × ⋯) est engendrée par des graphages produits Ψ^{n} comme ci-dessus, où la seule restriction sur les domaines porte sur la n-ième coordonnée, et dont les coûts tendent vers C(Γ), qui est donc la valeur de C_{μ_{1}×μ_{2}×···×μ_{n}×···}(R_{α}).

■

Ce résultat admet le corollaire suivant qui permet d’augmenter considérablement la liste des groupes anti-arborables.

Corollaire VI.22. Tout groupe non moyennable de coût égal à 1 est anti-arborable.

Remarque et applications. On ne suppose pas que Γ soit à prix fixe. Les groupes de la forme F_{p} ∗_{Z} F_{q} où les morphismes injectifs Z ↪^{i_{1}} F_{p} et Z ↪^{i_{2}} F_{p} envoient l’élément 1 de Z sur un élément non primitif de la forme i_{1}(1) = u^{r} et i_{2}(1) = v^{s}, avec r, s ≥ 2 et r.s > 4, sont à prix fixe de coût p + q − 1 et anti-arborables. En effet, ils contiennent le sous-groupe Z ∗_{Z} Z engendré par u et v de coût 1, qui est non moyennable puisqu’il se surjecte sur Z/rZ ∗ Z/sZ. Ce groupe est anti-arborable par le corollaire VI.22 et la proposition VI.18 permet de conclure.

Preuve. Si Γ est un groupe de coût égal à 1 qui admet une action libre arborable, soit Φ un arborage de cette action. La proposition VI.21 ci-dessus assure que C(Φ) = 1 et la proposition III.3 entraîne alors que R_{α} est hyperfinie. Donc Γ est moyennable.

■

Proposition VI.23. Si Γ_{1} possède un élément d’ordre infini γ_{1} et si Γ_{2} est un groupe infini, alors Γ_{1} × Γ_{2} est à prix fixe et C(Γ_{1} × Γ_{2}) = 1.

Preuve. (voir l’exemple des rotations du cercle I-D) Considérons une action libre α de Γ_{1} × Γ_{2} sur (X, μ), soit γ_{2}, γ_{3}, ⋯, γ_{j}, ⋯ un système générateur de Γ_{1}, soit λ_{1}, λ_{2}, ⋯, λ_{n}, ⋯ un système générateur de Γ_{2}. Soit ε > 0 et A_{n} un borélien de mesure ≤ ε/2^{n} qui rencontre toutes les orbites de l’élément γ_{1}. Le graphage Ψ = (φ_{1}, ψ_{1}, ψ_{2}, ⋯, ψ_{n}, ⋯), où φ_{1} : X → X coïncide avec α(γ_{1}) et ψ_{n} est défini par la restriction de α(λ_{n}) à A_{n}, engendre la relation d’équivalence donnée par l’action de < γ_{1} > ×Γ_{2}, pour un coût ≤ 1 + ε. En effet, pour chaque générateur λ_{n} de Γ_{2} et pour tout x ∈ X, on trouve n_{x} ∈ Z tel que γ_{1}^{n_{x}}(x) ∈ A_{n} et le Ψ-mot φ_{1}^{−n_{x}}ψ_{n}φ_{1}^{n_{x}} est défini en x et coïncide avec α(λ_{n}). Soit ensuite B_{j} un borélien de mesure ≤ ε/2^{j} qui rencontre toutes les orbites du groupe Γ_{2} et φ_{j} la restriction de α(γ_{j}) à B_{j}. Comme ci-dessus, le graphage Ψ ∨ (φ_{2}, φ_{3}, ⋯, φ_{n}, ⋯) engendre R_{α} pour un coût ≤ 1 + 2 · ε.

■

De la même façon, on montre :

Critères VI.24.

(1) (Générateurs commutant) si Γ est engendré par γ_{1}, γ_{2}, ⋯, γ_{n}, des éléments d’ordre infini tels que γ_{j} commute avec γ_{j+1}, pour tout j, alors Γ est à prix fixe, de C(Γ) = 1, ou bien

(2) (Sous-groupe normal) si Λ est un sous-groupe distingué infini à prix fixe de Γ, alors C(Γ) ≤ C(Λ).

Alex Furman m’a suggéré, avec la même preuve, les énoncés plus généraux suivant :

(3) si Γ est une réunion croissante de groupes infinis Γ_{n} où Γ_{1} est à prix fixe de coût 1, par exemple moyennable, et si Γ_{n+1} est engendré par Γ_{n} et des éléments γ ∈ Γ tels que γ^{−1}Γ_{n}γ ∩ Γ_{n} soit infini alors Γ est à prix fixe de coût 1.

(4) si Γ est une réunion croissante de groupes infinis Γ_{n} où Γ_{1} est à prix fixe et si Γ_{n+1} est engendré par Γ_{n} et des éléments γ ∈ Γ tels que γ^{−1}Γ_{n}γ ∩ Γ_{n} soit infini alors Γ est de coût ≤ inf C(Γ_{n}).

Ces énoncés reposent tous essentiellement sur le lemme V.3. Si Γ est engendré par un sousgroupe Γ_{1} à prix fixe de coût 1 et par un élément γ tel que γ^{−1}Γ_{1}γ ∩ Γ_{1} soit infini, alors Γ est à prix fixe de coût 1. Et on peut en déduire le critère (1) par récurrence et le critère (3) dans le cas du coût 1 par le lemme VI.25 ci-dessous, qui semble intéressant en lui-même.

Plus généralement, supposons que Λ soit une réunion croissante de groupes infinis Λ_{n} où Λ_{1} est à prix fixe et Λ_{n+1} est engendré par Λ_{n} et un élément λ_{n+1} ∈ Λ tel que λ_{n+1}^{−1}Λ_{n}λ_{n+1} ∩ Λ_{n} soit infini. Soit α une action libre (SP1) du groupe Λ et Φ_{n} un graphage de l’action α_{|Λ_{n}} restreinte à Λ_{n}. Alors pour tout ε_{n} > 0 on peut, par le lemme V.3, compléter Φ_{n} en un graphage de α_{|Λ_{n+1}}, de coût inférieur à C(Φ_{n}) + ε_{n}. Les critères s’en déduisent. Pour (3) ou (4), on peut être amené à appliquer ce qui précède successivement à chaque Γ_{n}.

Lemme VI.25 : continuité croissante. Si R_{n} est une suite croissante de relations à orbites infinies de coûts 1, alors R = ∪_{n}R_{n} est aussi de coût 1. En particulier, un groupe, qui est une limite croissante de groupes à prix fixes de coûts 1, est lui même à prix fixe de coût 1.

L’exemple VI.27 ci-dessous montrera que ce n’est pas le cas pour les suites décroissantes de coût 1.

Preuve du lemme VI.25. Soit Φ_{0} un arborage de coût 1 (hyperfini) d’une sous-relation de R_{1}. Pour tout n ∈ N^{∗}, on peut compléter Φ_{0} en un graphage Φ_{0} ∨Φ_{n} de R_{n}, avec C(Φ_{n}) ≤ \frac{ε}{2^{n}} (lemme III.5). Le graphage Φ_{0}∨Φ_{1}∨⋯∨Φ_{n} ⋯ engendre la relation R pour un coût inférieur à 1+ε ∑_{n∈N^{∗}} 1/2^{n}.

■

VI.26. Applications des critères (1) et (2). -(a)- Sous-groupe normal ou centre infini Si Γ possède un sous-groupe normal à prix fixe de coût 1 (par exemple un sous-groupe moyennable infini) alors Γ est à prix fixe et C(Γ) = 1. En particulier, les groupes qui possèdent un centre infini sont à prix fixe, de coût 1. -(b)- SL(n, Z), n ≥ 3 vérifie le critère (1). Il est engendré par les transvections T_{i,j} (obtenues à partir de l’identité en ajoutant un 1 à la place (i, j)). Deux transvections, dont les 1 marginaux sont soit sur la même ligne soit sur la même colonne, commutent entre elles. On en conclut que SL(n, Z), n ≥ 3 est à prix fixe de coût 1. Il en est donc de même de tous ses sous-groupes d’indices finis (théorème VI.19). -(c)- Réseaux arithmétiques Plus généralement, on peut montrer que les réseaux arithmétiques des groupes algébriques semi-simples de Q-rang ≥ 2 admettent un sous-groupe d’indice fini qui vérifie le critère (1).

VI.27. Exemple de non continuité décroissante. SL(3, Z) possède une suite décroissante Γ_{n} de sous-groupes d’indices finis (ils sont donc à prix fixes, de coûts 1) dont l’intersection est isomorphe à SL(2, Z), de coût 1 + \frac{1}{12}.

Nicolas Bergeron m’a signalé l’exemple concret suivant :

prendre Γ = ( \begin{matrix}SL(2, Z) & {0 \atop 0} \\ 0 0 & 1 \end{matrix} ) ≃ SL(2, Z) et Γ_{n} = f_{n}^{−1}(( \begin{matrix}SL(2, Z/2^{n}Z) & {0 \atop 0} \\ 0 0 & 1 \end{matrix} )),

où f_{n} : SL(3, Z) → SL(3, Z/2^{n}Z) est le morphisme de réduction modulo 2^{n}.

VI.28. Application du critère (3). -(a)-Dave Witte m’a montré (communication personnelle) que si Γ est un réseau dans un groupe de Lie connexe, semi-simple, de rang réel ≥ 2 et si Γ est non cocompact, ou Γ réductible, alors Γ vérifie le critère 3. Ces groupes sont donc tous à prix fixe, de coût 1. -(b)-Le groupe remarquable F de Thompson de présentation ⟨x_{0}, x_{1}, x_{2}, ⋯ |x_{i}^{−1}x_{j}x_{i} = x_{j+1}, i < j⟩ est à prix fixe de coût 1 : le sous-groupe engendré par x_{0}x_{1}^{−1}, x_{2}, x_{3}, ⋯ est de coût 1 par le critère (1) ; l’identité x_{0}^{−1}x_{2}x_{0} = x_{3} (et x_{1}^{−1}x_{2}x_{1} = x_{3}) montre qu’on peut lui appliquer le critère (3).

Donnons une idée sur les arguments de D. Witte. Il suffit de montrer que Γ a un sous-groupe d’indice fini qui vérifie le critère (3). -Si le centre de G est infini, alors Γ contient un sous-groupe d’indice fini du centre. -Sinon, G est essentiellement linéaire alors Γ possède un sous-groupe d’indice fini sans torsion. -Si Γ est réductible, alors Γ est commensurable à un produit direct. -Sinon, par le théorème d’arithméticité de Margulis, on peut essentiellement supposer que G est un Q-groupe algébrique et G(Z) = G ∩ SL(n, Z) est commensurable à Γ. On remplace Γ par G(Z). Puisque G/Γ n’est pas cocompact, G contient un Q-sous-groupe parabolique maximal P. Soit U le radical unipotent de P et appelons Γ_{1} le groupe infini U(Z). Ce groupe est moyennable. Puisque P normalise U, on peut prendre Γ_{2} = P (Z). Fixons γ ∈ Γ et posons M = P ∩ γ^{−1}P γ. Il suffit de montrer que M(Z) est infini, car alors on pourra prendre Γ_{3} = Γ. Si M n’est pas réductif, son radical unipotent contient une infinité de points entiers. Si M est réductif, les deux groupes paraboliques P et γ^{−1}P γ sont opposés et la théorie générale montre qu’à indice fini près, M se décompose en un tore Q-déployé de dimension 1 et un groupe L de R-rang ≥ 1 (car R-rang(G) ≥ 2) sans caractères sur Q, grâce à la maximalité de P. Alors L n’est pas compact et L(Z) y apparaît comme réseau, donc infini.

Une discussion avec Étienne Ghys m’a permis de relire la preuve de Dave Witte dans un cas particulier :

Exemple VI.29. Soit d un nombre entier positif sans facteur carré. Soit K = Q(\sqrt{d}) et O, l’anneau des points entiers de K. Le groupe Γ = SL(2, O) se plonge comme réseau dans SL(2, R)× SL(2, R). Il est à prix fixe, de coût 1.

Preuve. On va montrer qu’il vérifie le critère (3). Le groupe Γ est le groupe des points entiers G_{Z} pour une certaine structure Q-algébrique sur SL(2, K). Par ailleurs, le groupe SL(2, K) agit

projectivement sur K ∪ \{∞\} par ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) [p : q] = [ap + bq : cp + dq], où ∞ = [a : 0], a ≠ 0.

Soit P = \{( \begin{matrix}a & b \\ 0 & a^{−1} \end{matrix} ) : a ∈ K^{∗}, b ∈ K\} = Fix(∞). Posons Γ_{2} = P ∩Γ, c’est un groupe moyennable.

Considérons ensuite un γ ∈ Γ quelconque. Le groupe γ^{−1}P γ fixe le point γ^{−1}(∞). Si γ^{−1}(∞) = ∞, alors γ^{−1}Γ_{2}γ ∩ Γ_{2} = Γ_{2} est infini. Si γ(∞) ≠ ∞ alors, puisque SL(2, K) agit transitivement sur les paires de points de K ∪ {∞}, il existe un h ∈ SL(2, K) tel que h(∞) = ∞ et hγ(0) = ∞. Dans cette situation, D = h^{−1}(γ^{−1}P γ ∩ P)h est le sous-groupe des matrices diagonales de SL(2, K) et son intersection avec Γ est le groupe

D ∩Γ = \{( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a^{−1} \end{matrix} ) : a ∈ O^{×}\}, qui est infini par le théorème de Dirichlet. Cependant, ce qui nous

intéresse, c’est l’ensemble γ^{−1}Γ_{2}γ ∩ Γ_{2} des éléments de γ^{−1}P γ ∩ P qui sont dans Γ. On doit en quelque sorte déconjuguer la situation par h. Or, le morphisme x ↦ hxh^{−1} est un morphisme défini sur Q entre les groupes Q-algébriques D et hDh^{−1} ; donc le théorème de Borel [Bor69] assure que l’image du groupe arithmétique D ∩ Γ est arithmétique, c’est-à-dire qu’à un sous-groupe d’indice fini près, c’est l’ensemble des points entiers hDh^{−1} ∩ Γ = γ^{−1}Γ_{2}γ ∩ Γ_{2}. Cela assure que ce dernier est infini.

■

On a déjà vu (Corollaire II.16) que si Γ et Λ sont deux réseaux à prix fixe d’un même groupe de Lie G connexe, alors leurs coûts sont reliés par leurs covolumes : Vol(G/Λ) · (C(Γ) − 1) = Vol(G/Γ) · (C(Λ) − 1). Si l’hypothèse de prix fixe porte seulement sur Γ, alors on a l’inégalité ≥, mais si Γ est de plus de coût 1, alors tous les autres réseaux de G sont de coût 1.

Corollaire VI.30. Tous les réseaux des groupes de Lie G connexes semi-simples de R-rang ≥ 2 sont de coût 1. Étant non moyennables, ils sont tous anti-arborables.

Il suffit de trouver dans le groupe G un réseau vérifiant le critère (3) : en général, invoquer l’existence d’un réseau non cocompact (Borel) puis l’énoncé VI.28.(a) de D. Witte. On peut alternativement montrer l’existence d’un réseau de Q-rang ≥ 2, puis VI.26.(c). On utilise ensuite VI.22 pour l’anti-arborabilité. C’est avec le théorème VI.19 le seul exemple où l’on a pu calculer le coût d’un groupe sans établir en même temps qu’il était à prix fixe. Cet énoncé est surtout intéressant en ceci qu’il montre que la théorie du coût est en quelque sorte orthogonale à celle des actions libres de réseaux dans les groupes de rang supérieur ([Zim84], [Fur98],...).

Remarque VI.31 : liens avec la caractéristique d’Euler. La caractéristique d’Euler χ est un invariant défini pour un certain nombre de groupes. Elle vaut \frac{1}{|Γ|} pour les groupes finis et 0 pour Z. On renvoie au livre de K. Brown [Bro82] pour les définitions. Si Γ est de type homologique fini (THF) et Λ est un sous-groupe d’indice fini, alors χ(Λ) · [Γ : Λ] = χ(Γ). Si Γ = Γ_{1} ∗_{Γ_{3}} Γ_{2} est le produit amalgamé de trois groupes (THF) et si Γ est virtuellement sans torsion, alors χ(Γ) = χ(Γ_{1}) + χ(Γ_{2}) − χ(Γ_{3}). Ces formules, comparables au théorème VI.19 et au théorème VI.7, expliquent que pour un certain nombre de groupes on ait l’égalité : 1−C(Γ) = χ(Γ). Signalons aussi un résultat de J. Cheeger et M. Gromov [CG86] qui assure qu’un groupe moyennable Γ possédant un K(Γ, 1) fini a une caractéristique d’Euler nulle. En revanche, si Γ est virtuellement sans torsion et si Γ = Γ_{1} × Γ_{2} est le produit direct de deux groupes de (THF), alors χ(Γ) = χ(Γ_{1}) · χ(Γ_{2}), alors que C(Γ) = 1 (prop. VI.23).

Corollaire VI.32. Si Γ et Λ sont deux groupes (THF) tels que χ(Γ)·(1−C(Λ)) ≠ χ(Λ)·(1−C(Γ)), alors ils ne sont pas commensurables.

Exemple VI.33. les groupes Γ = (F_{2} × F_{4}) ∗ (F_{3} × F_{5}) et Λ = (F_{2} × F_{5}) ∗ (F_{3} × F_{4}) ne sont pas commensurables.

VI-E- Groupes de D. McDuff

En 1969, D. McDuff a montré l’existence d’une infinité non dénombrable de facteurs de type II_{1} non isomorphes, chacun associé à un groupe dénombrable H_{α}(G). On va dire très peu de choses sur le sujet ; on va seulement rappeler la présentation donnée de ces groupes et montrer qu’ils sont tous de coût 1.

Soit Γ un groupe dénombrable non trivial et Γ̃ = ⨁_{j=1}^{∞} Γ_{j} où chaque Γ_{j} ≃ Γ. On appelle L_{0}(Γ) le groupe engendré par Γ̃ et des éléments d’ordre infini λ_{1}, λ_{2}, ⋯, λ_{n}, ⋯, on appelle L_{1}(Γ) le groupe engendré par le produit semi-direct Π × Γ̃, où Π est le groupe des permutations de N^{∗} qui fixent tous les entiers sauf un nombre fini d’entre eux, avec son action naturelle sur Γ̃, et par des éléments d’ordre infini λ_{1}, λ_{2}, ⋯, λ_{n}, ⋯, et dans les deux cas, on ajoute pour seules relations le fait que chaque λ_{i} commute avec les γ_{j} ∈ Γ_{j} pour j ≥ i.

L_{0}(Γ) =< (λ_{n})_{n∈N^{∗}}, Γ̃ > /(γ_{j}^{−1}λ_{i}γ_{j} = λ_{i}, i ≤ j, γ_{j} ∈ Γ_{j})

L_{1}(Γ) =< (λ_{n})_{n∈N^{∗}}, Π × Γ̃ > /(γ_{j}^{−1}λ_{i}γ_{j} = λ_{i}, i ≤ j, γ_{j} ∈ Γ_{j})

Les deux groupes Ł_{0}(Γ) et Ł_{1}(Γ) vérifient le critère (3), ils sont donc à prix fixe de coût 1 : on traite les deux groupes simultanément. On prend Λ_{1} =< λ_{1} >. Puisque chaque γ_{j} ∈ Γ_{j} commute avec λ_{1}, l’ensemble J_{1} des éléments ω pour lesquels ω^{−1}Λ_{1}ω ∩ Λ_{1} est infini contient tous les γ_{j}. On prend alors Λ_{2} =< λ_{1}, Γ̃ >. Pour chaque λ_{i}, le groupe λ_{i}^{−1}Λ_{2}λ_{i} ∩ Λ_{2} contient tous les Γ_{j} pour j ≥ i ; l’ensemble J_{2} des ω pour lesquels ω^{−1}Λ_{2}ω ∩ Λ_{2} est infini contient donc tous les λ_{i}. De plus, pour L_{1}(Γ), le groupe Π normalise Γ̃ ; il est contenu dans J_{2}. Dans les deux situations, Λ_{2} et J_{2} engendrent L_{0}(Γ) et L_{1}(Γ).

À chaque suite infinie α = (α_{j})_{j∈N^{∗}} de 0 et de 1, D. McDuff associe ainsi une suite croissante (en spécifiant un plongement Ω ↪ L_{∗}(Ω)) de groupes L_{α_{n}}L_{α_{n−1}} ⋯ L_{α_{2}}L_{α_{1}}(Γ̃) et pose H_{α}(Γ) = ∪_{n→∞}L_{α_{n}}L_{α_{n−1}} ⋯ L_{α_{2}}L_{α_{1}}(Γ̃). On obtient, grâce au lemme de continuité croissante VI.25, la proposition :

Proposition VI.34. Les groupes H_{α}(Γ) sont à prix fixe et de coût 1.

VII- MERCURIALE DE GROUPES

Mercuriale n.f. (du lat. mercurialis “membre du collège des marchands”, Mercure étant le dieu du commerce). Tableau officiel hebdomadaire portant les prix courants des denrées vendues sur un marché public ; le cours officiel de ces denrées (Petit ROBERT 1, dictionnaire alphabétique et analogique de la langue française, Éditions Les Dictionnaires LE ROBERT, 1989). Liste de prix établie par l’administration municipale, qui relève les prix des denrées sur les marchés de la ville. Mercuriale n.f. Market price list, market prices (of cereals, groups (?), etc) (Harrap’s shorter French and English dictionnary,1982).

Signalons aussi que dans certaines régions françaises, les mercuriales désignent le marché du mercredi.

Pour un certain nombre de groupes on donne la liste de leurs coûts. Lorsqu’on peut, on précise si ces groupes sont arborables (A), ou anti-arborables (\overline{A}), s’ils sont à prix fixe (P.F.), et dans la dernière colonne, on renvoie aux paragraphes de ce papier qui permettent de justifier les données.

Mercuriale

Groupes  Coûts  Arbo- rabilité  Prix Fixe  Report
Γ fini  1 − \frac{1}{|Γ|}  A  P.F.  I.10
Γ moyennable infini  1  A  P.F.  III.4
F_{n}  n  A  P.F.  VI.9
F_{∞}  ∞  A  P.F.  VI.9
π_{1}(Σ_{g})  2g − 1  non \overline{A}  P.F.  VI.9
SL(2, Z)  1 + \frac{1}{12}  A  P.F.  VI.9
SL(n, Z), n ≥ 3  1  \overline{A}  P.F.  VI.26.(b)
F_{p} × F_{q} avec p.q > 1  1  \overline{A}  P.F.  VI.23,18
F_{n} ∗ (F_{p} × F_{q}) avec p.q > 1  1 + n  \overline{A}  P.F.  VI.7, 18
Γ_{1} ∗ Γ_{2}  (1)  C(Γ_{1}) + C(Γ_{2})  (2)  VI.7
Γ_{1} ∗_{Γ_{3}} Γ_{2}  (3)  C(Γ_{1}) + C(Γ_{2}) − C(Γ_{3})  (4)  VI.7
Γ réseau de SL(2, R)  1 + \frac{1}{12} · \frac{Vol(G/Γ)}{Vol(G/SL(2,Z))}  non \overline{A}  (5)  II.16,17
Γ réseau de SL(n, R), n ≥ 3  1  \overline{A}  (5)  VI.26, 22

Γ réseau d’un groupe de Lie connexe semi-simple de R-rang ≥ 2

1

\overline{A}

(6)

VI.30, VI.22

Λ d’indice fini dans Γ  1 + [Γ : Λ](C(Γ) − 1) Comme Γ Comme Γ VI.19
Γ non moyennable, de centre infini  1  \overline{A}  P.F.  VI.26 (a)

(1) Avec Γ_{1}, Γ_{2} à prix fixes et coûts finis.

(2) Si Γ_{1} et Γ_{2} sont arborables (resp. à prix fixe), alors Γ_{1} ∗ Γ_{2} est arborable (resp. à prix fixe).

(3) Avec Γ_{1}, Γ_{2} à prix fixes et coûts finis et avec Γ_{3} moyennable.

(4) Si Γ_{1} et Γ_{2} sont arborables et Γ_{3} fini, alors Γ_{1} ∗_{Γ_{3}} Γ_{2}. est arborable. Faux en général avec Γ_{3} ≃ Z (voir remarque VI.11). Si Γ_{1} est anti-arborable alors Γ_{1} ∗_{Γ_{3}} Γ_{2} est anti-arborable

(5) Les sous-groupes d’indice fini des SL(n, Z) sont à prix fixe (VI.19).

(6) Les réseaux non cocompacts sont à prix fixe (voir VI.28 (a)).

VIII- BIBLIOGRAPHIE

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Damien Gaboriau

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