GÉNÉRATEURS INDÉPENDANTS POUR LES SYSTÈMES

D’ISOMÉTRIES DE DIMENSION UN

Damien Gaboriau

Abstract : A finite system of isometries of R is said to have independent generators if non trivial compositions fix at most one point. We describe a natural way to turn every system, not containing a homogeneous component, into a system with the same orbits and independent generators: just take the restriction of every generator to a particular sub-interval of its domain. A system containing a homogeneous component doesn’t possess independent generators.

Résumé : Un système fini d’isométries partielles de R est dit à générateurs indépendants si les composés non triviaux fixent au plus un point. On décrit un procédé simple et naturel pour obtenir des générateurs indépendants, sans modifier les orbites, pour tout système sans composante minimale homogène : en prenant la restriction de chaque générateur à un certain sous-intervalle de son domaine. Un système avec une composante minimale homogène ne possède pas de générateurs indépendants.

Mots-clés : Pseudogroupes, Isométries, Dimension un, Action de groupe, Arbre réel.

Classification AMS : 20E08, 28D05, 58F03, 58H05.

Sur une réunion finie D d’intervalles compacts de R, on se donne une famille finie φ_{1}, φ_{2}, …, φ_{k} d’isométries entre sous-intervalles fermés de D. Ces systèmes d’isométries sont des systèmes dynamiques très riches malgré la grande simplicité de leur définition.

De tels systèmes apparaissent comme générateurs de l’holonomie pour les feuilletages mesurés singuliers de codimension 1 sur les variétés compactes : on se donne une famille de courbes transverses et on considère les applications premier retour [Hae1], [Hae2], [Sal]. Lorsque la variété feuilletée est une surface, les systèmes qui apparaissent sont des échanges d’intervalles ; ils ont été largement étudiés (voir [Kea], [Vee], [Mas], [DN]) et donnent une idée de la fertilité de ces objets.

C’est essentiellement par des techniques introduites par E. Rips qu’ils ont fait leur entrée dans un autre domaine : celui des actions de groupes par isométries sur des arbres réels (cf. [Rip], [GLP1]).

Comme pour tout système dynamique, une notion essentielle est celle d’orbite. Deux points x et y de D sont dans la même orbite si et seulement s’il existe un mot m ès^{1} φ_{i}^{±1}, tel que l’isométrie associée soit définie en x et envoie x sur y.

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1“ÈS. prép. (contraction de en, et de l’article pluriel les). Dans les …, en matière de … (avec un pluriel)”

[Rob, p. 685].

“Dans la langue littéraire contemporaine, en est de mode. On a été jusqu’à l’employer avec le et les : en les poèmes.

Cet affreux barbarisme, contraire à la fois à l’usage et à la tradition, se rencontre fréquemment” [Bru, p. 425].

“Verser de l’argent ès mains d’un percepteur ressemble terriblement à l’opération niaise qui consiste en le jet d’une pareille somme dans un abîme probablement sans fond” [All, p. 242].

On dispose d’une décomposition canonique du système (voir [AL,app.], [GLP1, th. 3.1], [MS1]) en un nombre fini de sous-systèmes invariants : ses composantes. Sur chacun d’eux, soit toute orbite est finie, soit toute orbite est dense (la composante est alors dite minimale). Les composantes minimales se répartissent en 3 types [GLP1] : -homogènes, les orbites sont les mêmes que celles d’un groupe d’isométries (Déf. III.2), -échanges d’intervalles, -exotiques, dont l’existence a été mise en évidence par G. Levitt [Lev3].

Chaque orbite, peut être vue comme un graphe de Cayley : les sommets sont les points de l’orbite et il y a une arête d’appellation φ_{i} entre x et φ_{i}(x). Si on remplace le système X par un système X′ ayant les mêmes orbites, les graphes de Cayley restent quasi-isométriques [GLP2, Prop. 5.6]. Cela légitime l’étude des notions asymptotiques telles que nombre de bouts ou type de croissance des orbites.

Cela suscite aussi la recherche de systèmes “plus simples” ayant les mêmes orbites. Un système X′ est dit à générateurs indépendants si l’on ne peut pas composer non trivialement des isométries de X′ de manière à obtenir une isométrie qui aurait au moins 2 points fixes. En particulier, tous les graphes de Cayley de X′ (sauf peut-être un nombre fini) sont des arbres. C’est un système “le plus économique” dans le sens où, à orbites fixées, il minimise la somme des mesures des domaines des générateurs.

Cette notion de générateurs indépendants est fort utile pour obtenir une réponse générique, au sens de Baire, au problème des bouts des orbites. On montre ainsi dans [Gab] que pour un système exotique, l’ensemble des orbites à un bout est un G_{δ} dense mais qu’il existe un ensemble non dénombrable d’orbites à deux bouts et seulement un nombre fini d’orbites à plus de deux bouts.

L’objet de ce travail est la preuve (voir Théorème VII.1) du :

Théorème. Si X = (D, {φ_{1}, …, φ_{k}}) est un système sans composante minimale homogène, alors on peut obtenir un système X′ = (D, Φ′) à générateurs indépendants, ayant les mêmes orbites, en remplaçant chaque générateur φ_{i} par sa restriction à un sous-intervalle fermé de son domaine.

En revanche,

Proposition III.4. Si X possède une composante minimale homogène, il est alors impossible de trouver un système X′ à générateurs indépendants ayant les mêmes orbites.

Cette construction améliore sensiblement des résultats de G. Levitt [Lev2] ou de F. Rimlinger [Rim] qui avaient l’inconvénient d’obliger à changer d’espace (resp. de faire augmenter sans contrôle le nombre de générateurs).

Un arbre réel est un espace métrique où deux points quelconques sont toujours joints par un unique arc, lequel est de plus isométrique à un segment de R (On peut voir [Sha] pour des motivations, des remarques et des références). Par exemple le revêtement universel d’un graphe métrique (qui est un arbre, au sens usuel) est un arbre réel. Si F est un feuilletage défini par une 1-forme fermée sur une variété compacte M, alors l’espace des feuilles rendu séparé du feuilletage F̃ relevé au revêtement universel de M est un arbre réel [GS]. Le groupe fondamental de la base agit par isométries sur ces arbres.

Considérons un groupe G de type fini qui agit par isométries sur un arbre réel T et soit {g_{1}, …, g_{n}} un système générateur de G. Pour un choix d’un sous-arbre fini K de T, chaque g_{i} fournit une isométrie partielle γ_{i} : K ∩ g_{i}^{−1}K → g_{i}(K) ∩ K. Par une manipulation très simple, on transforme ce système (K, {γ_{1}, …, γ_{n}}) en un système sur un multi-intervalle. C’est l’étude de ces systèmes qui a permis à E. Rips de démontrer la conjecture de Morgan-Shalen : Les groupes de type fini qui agissent par isométries et librement sur un arbre réel sont des produits libres de groupes abéliens libres et de groupes de surfaces (voir [Rip], [GLP1]).

Afin de distinguer les systèmes de type échange d’intervalles des systèmes exotiques, on est amené à rendre les générateurs indépendants ; cela a été la clé de la preuve du théorème de Rips [GLP1].

Inversement, partant d’un système X = (D, {φ_{i}}), on peut construire des actions de groupes sur des arbres réels (cf. [GL], [GLP2] et [LP]).

Si le système X a des générateurs indépendants, alors l’action obtenue est automatiquement à stabilisateurs de segment triviaux. C’est une raison de plus pour vouloir rendre les générateurs indépendants.

Stratégie de la preuve.

La plupart des techniques utilisées ici sont des généralisations de celles de [Lev3] (où les systèmes préservent l’orientation) ou bien reprennent celles de [GLP1] ou [Gus].

Dans les trois premières parties, on donne des définitions, quelques premières propriétés et on traite le cas des systèmes avec composante minimale homogène.

Ensuite, on considère X = (D, Φ) sans composante minimale homogène.

Dans la partie IV, on construit un 1-complexe Δ⟨Φ⟩ qui code la non indépendance des générateurs en particulier grâce à l’un de ses invariants topologiques, disons c⟨Φ⟩.

On procède en quatre étapes : X ⟶ X_{1} ⟶ X_{−t} ⟶ X_{3} ⟶ X̃.

Une propriété essentielle est l’instabilité des systèmes minimaux sans composante homogène : le système X_{−t} obtenu en rétrécissant uniformément de t les domaines de tous les générateurs n’a que des orbites finies [Lev1], [GLP1]. On fait transiter le passage de X à X_{−t} par un système X_{1} qui a les mêmes orbites que X de sorte que l’on n’ait que c⟨Φ⟩ rétrécissements à effectuer de X_{1} à X. Ce sont les deux premières étapes : X ⟶ X_{1} ⟶ X_{−t}.

La borne inférieure des mesures des ouverts qui rencontrent toute orbite est appelée mesure de l’espace des orbites et notée e(Φ) (partie VI). Elle permet de donner un critère numérique d’indépendance des générateurs (Théorème VI.3) : il faut et il suffit que la somme des mesures des domaines des générateurs et de la mesure de l’espace des orbites soit égale à la mesure de D [GLP1,Prop. 6.1], [Lev4].

On connait par ailleurs la valeur de e(Φ_{−t}), c’est e(Φ) + c⟨Φ⟩t (Proposition VI.2).

La partie V vise essentiellement à démontrer le théorème des générateurs indépendants pour X_{−t} (Théorème V.1). C’est la troisième étape : X_{−t} ⟶ X_{3} = (D, Φ_{3}) où X_{3} a les mêmes orbites que X_{−t} et des générateurs indépendants.

On obtient alors le système final X̃ par l’opération inverse de celle de X_{1} à X_{−t}, en particulier en effectuant c⟨Φ⟩ augmentations de t ce qui permet de calculer la somme des mesures des domaines des générateurs de Φ̃. On vérifie que X̃ et X ont les mêmes orbites et du coup, e(Φ̃) = e(Φ). On peut alors appliquer le théorème VI.3 pour s’assurer de l’indépendance des générateurs de X̃.

Ce travail est issu d’une thèse [Gab0] soutenue en Juin 93, préparée au Laboratoire de Topologie et Géométrie de Toulouse (URA CNRS 1408) sous la direction de G. Levitt, que je remercie sincèrement. Je remercie également F. Laudenbach et F. Paulin pour leurs conseils et leurs lectures attentives.

I- Systèmes d’isométries, généralités.

Un multi-intervalle D est la réunion d’un nombre fini d’intervalles compacts disjoints inclus dans R ; il est orienté. On notera |D| la mesure de Lebesgue d’un multi-intervalle D. Un multi-intervalle est dit trivial si sa mesure est nulle. Dans cet article, on supposera D non trivial.

Définition I.1 : systèmes d’isométries. Un système d’isométries X = (D, Φ) est la donnée d’un multi-intervalle D et d’une famille Φ constituée de k bijections isométriques φ_{i} : A_{i} ⟶ B_{i}, i = 1, …, k où A_{i} et B_{i} sont des sous-intervalles fermés (éventuellement triviaux) inclus dans D.

Les isométries φ_{i} sont nommées générateurs, les intervalles A_{i} et B_{i} sont appelés bases. Un générateur φ_{i} est un singleton si A_{i} est réduit à un point. Si aucun générateur n’est un singleton, le système est dit non dégénéré.

Le système n’est pas supposé symétrique : φ_{i}^{−1} n’est peut-être pas un générateur.

Un Φ-mot est un mot m = φ_{i_{1}}^{ε_{1}} … φ_{i_{p}}^{ε_{p}} ès^{2} lettres φ_{i} et φ_{i}^{−1}. Il fournit une isométrie notée aussi m, dont le domaine (éventuellement vide) est l’intervalle fermé maximal défini de façon évidente.

Si m est un mot non réduit, son domaine dom(m) peut être plus petit que le domaine du mot réduit associé (considérer par exemple m = φ_{1}φ_{1}^{−1}). On convient que le mot trivial 1 fournit l’isométrie identité qui est définie sur D tout entier.

Si le système est non dégénéré, on appelle signe de φ_{i}, noté sgn(φ_{i}) le nombre +1 ou −1 selon que φ_{i} préserve l’orientation ou non. Le signe d’un Φ-mot m = φ_{i_{1}}^{ε_{1}} … φ_{i_{p}}^{ε_{p}} est par définition sgn(m) = ∏_{j=1}^{j=p} sgn(φ_{i_{j}}).

Si l’isométrie m a un domaine non vide et si le signe de m est +1 (resp. −1), alors l’isométrie est positive, c’est la restriction d’une translation de R (resp. négative, c’est la restriction d’une symétrie de R). Si δ ∈ R, si x ∈ dom(m) et x + δ ∈ dom(m) alors m(x + δ) = m(x) + sgn(m)δ.

On note A_{i} = [a_{i}, a′_{i}], avec a_{i} ≤ a′_{i}, et B_{i} = [b_{i}, b′_{i}], avec b_{i} = φ_{i}(a_{i}) et b′_{i} = φ_{i}(a′_{i}). En particulier, si sgn(φ_{i}) = −1, alors b_{i} ≥ b′_{i}.

Définition I.2 : orbites. Les orbites de Φ sont les classes de la relation d’équivalence sur D engendrée par x ∼ φ_{i}(x) sitôt que x ∈ A_{i}. Le point y de D est dans la X-orbite de x (notée X(x)) s’il existe une isométrie m = φ_{i_{1}}^{ε_{1}} … φ_{i_{p}}^{ε_{p}} contenant x dans son domaine telle que m(x) = y.

Un point singulier du système est un point du bord de D ou du bord d’une base.

Une orbite est dite singulière si elle contient un point singulier et régulière sinon.

Notons que chaque orbite est dénombrable.

Définition I.3 : graphes de Cayley. Chaque orbite X(x) du système X = (D, Φ) peut être vue comme un graphe de Cayley noté Φ(x) : les sommets sont les éléments de l’orbite et il y a une arête entre y et y′ si y ∈ A_{i} et y′ = φ_{i}(y). Elle est orientée de y vers y′ et porte l’appellation φ_{i}. Lorsqu’on voudra considérer cette arête d’appellation φ_{i}, mais orientée dans le sens inverse, on lui donnera l’appellation φ_{i}^{−1}.

Une arête de Φ(x) entre y et φ_{i}(y) est dite singulière si y ∈ ∂A_{i} et régulière sinon. Les arêtes singulières relient deux points singuliers, elles sont au nombre de 2k.

On donne sur chacun de ces graphes une métrique de Cayley ; c’est une distance pour laquelle les arêtes sont isométriques au segment [0, 1] et les distances entre sommets sont maximales pour cette condition. Elle est bien définie sur l’ensemble des sommets.

Remarque I.4. Un point x étant fixé, il existe une correspondance bijective naturelle entre les Φ-mots réduits m dont le domaine contient x, d’une part, et les chemins dans Φ(x) reliant x à un sommet, sans aller-retour, modulo reparamétrage, d’autre part.

Si γ est un chemin sans aller-retour de x à y qui parcourt successivement des arêtes d’appellations φ_{i_{1}}^{ε_{1}}, φ_{i_{2}}^{ε_{2}}, …, φ_{i_{p}}^{ε_{p}} (avec ε_{j} = ±1), on note ω[γ] le mot φ_{i_{p}}^{ε_{p}} … φ_{i_{2}}^{ε_{2}}φ_{i_{1}}^{ε_{1}}. Inversement, si m = φ_{i_{p}}^{ε_{p}} … φ_{i_{2}}^{ε_{2}}φ_{i_{1}}^{ε_{1}} et x ∈ dom(m), alors (en remarquant que, de chaque sommet, il part au plus une arête d’appellation φ_{i_{j}}^{ε_{j}}) ce mot définit un unique chemin (modulo paramétrage) issu de x qui parcourt successivement les arêtes φ_{i_{1}}^{ε_{1}}, φ_{i_{2}}^{ε_{2}}, …, φ_{i_{p}}^{ε_{p}}. Ce chemin noté chem(m) aboutit au sommet m(x).

2Voir la note (1) en bas de page dans l’introduction

On remarque que les lacets sans aller-retour correspondent aux isométries qui fixent x.

Une isométrie qui fixe deux points est nécessairement positive et fixe alors tout son domaine.

Définition I.5. Les générateurs du système Φ sont dits indépendants si tout mot réduit m = φ_{i_{1}}^{ε_{1}} … φ_{i_{p}}^{ε_{p}} a un ensemble trivial de points fixes (i.e. vide ou réduit à un point).

On appelle relation un Φ-mot réduit m dont l’isométrie associée fixe au moins 2 points.

Exemple : si A_{k+1} est un sous-intervalle fermé non trivial de A_{1} et φ_{k+1} la restriction de φ_{1} à A_{k+1}, alors le système Φ′ obtenu en ajoutant φ_{k+1} au système Φ n’est pas à générateurs indépendants.

II-Restrictions.

On est amené à considérer des restrictions X̃ = (D, Φ̃), avec Φ̃ = {φ̃_{1}, …, φ̃_{k}} où chaque φ̃_{i} est la restriction à un sous-intervalle (ouvert ou fermé) de A_{i}. Un exemple crucial est celui de la restriction ouverte X^{∘} = (D, Φ^{∘}), où Φ^{∘} = {φ_{1}^{∘}, …, φ_{k}^{∘}} et φ_{i}^{∘} : A_{i}^{∘} ⟶ B_{i}^{∘} est la restriction de φ_{i} à l’intérieur (relativement à R) de A_{i}.

Pour s’autoriser l’utilisation des mêmes lettres φ_{i}, pour toutes les restrictions du système Φ, on introduit la notation suivante.

Notation II.1. Si Φ̃ = {φ̃_{1}, …, φ̃_{k}} est une restriction de Φ, avec φ̃_{i} : Ã_{i} ⟶ B̃_{i}, on note φ_{i}⟨Φ̃⟩ pour φ̃_{i}, A_{i}⟨Φ̃⟩ pour Ã_{i} et B_{i}⟨Φ̃⟩ pour B̃_{i}. De plus, on note a_{i}⟨Φ̃⟩ et a′_{i}⟨Φ̃⟩ (avec a_{i}⟨Φ̃⟩ ≤ a′_{i}⟨Φ̃⟩) les extrémités de l’intervalle Ã_{i}. Et enfin, on note b_{i}⟨Φ̃⟩ := φ_{i}⟨Φ̃⟩(a_{i}⟨Φ̃⟩) et b′_{i}⟨Φ̃⟩ := φ_{i}⟨Φ̃⟩(a′_{i}⟨Φ̃⟩).

Lorsqu’une restriction Φ̃ de Φ est fixée, un Φ-mot m = φ_{i_{1}}^{ε_{1}} … φ_{i_{p}}^{ε_{p}} fournit une isométrie m⟨Φ̃⟩ = φ_{i_{1}}⟨Φ̃⟩^{ε_{1}} ∘ ⋯ ∘ φ_{i_{p}}⟨Φ̃⟩^{ε_{p}} dont le domaine (éventuellement vide) est l’intervalle maximal défini de façon évidente. Ce domaine est noté dom(m⟨Φ̃⟩), c’est un sous-intervalle du domaine dom(m) de m⟨Φ⟩. Il est fermé si tous les Ã_{i} sont fermés, ouvert si tous les Ã_{i} sont ouverts.

On a, en particulier, φ_{i}⟨Φ⟩ = φ_{i}, φ_{i}⟨Φ^{∘}⟩ = φ_{i}^{∘} et le domaine de m⟨Φ^{∘}⟩ est égal à l’intérieur du domaine de m⟨Φ⟩.

Chaque fois qu’il n’y aura pas d’ambiguïté, on se dispensera de cette notation.

Pour une restriction X̃ de X, on dispose bien sûr des notions d’orbite et de graphe de Cayley définies comme ci-dessus.

La Φ^{∘}-orbite d’un point du bord de D est réduite à 1 point.

De manière générale, l’orbite X̃(x) est un sous-ensemble de l’orbite X(x) et le graphe Φ̃(x) est un sous-graphe de Φ(x), où le plongement respecte l’orientation et l’appellation des arêtes.

En ce qui concerne la restriction ouverte, si X(x) est une orbite régulière alors X(x) = X^{∘}(x) et, le graphe de Cayley Φ(x) ne contenant pas d’arête singulière, on a Φ(x) = Φ^{∘}(x). Si X(x) est une orbite singulière, alors chaque composante connexe du graphe de Cayley Φ(x) privé des arêtes singulières devient le graphe de Cayley Φ^{∘}(y) d’une orbite X^{∘}(y) de Φ^{∘}.

Proposition II.2. Le système Φ est à générateurs indépendants si et seulement si tous les graphes de Cayley Φ^{∘}(x) (pour la restriction ouverte) sont des arbres.

Preuve. En effet, si γ est un lacet sans aller-retour issu de x dans Φ^{∘}(x), l’isométrie ω[γ^{2}]⟨Φ^{∘}⟩ associée au lacet γ^{2} fixe x et, puisqu’elle est positive, elle fixe tout son domaine (ouvert non vide). Ainsi, ω[γ^{2}]⟨Φ⟩ fixe au moins deux points. Réciproquement, si m est un mot dont l’isométrie associée m⟨Φ⟩ fixe deux points, alors le milieu z de ces deux points est fixé par m⟨Φ^{∘}⟩ et le chemin chem(m) issu de z dans Φ^{∘}(z) est un lacet non trivial. ♣

III-Restrictions uniformes, composantes minimales homogènes.

On définit une famille de restrictions du système non dégénéré Φ qui joueront dans la suite un grand rôle.

Définition III.1. Pour 0 ≤ t < \frac{1}{2} inf\{|A_{i}|, i = 1, …, k\}, on appelle X_{−t} le système (D, Φ_{−t}), où chaque φ_{i}⟨Φ_{−t}⟩ est la restriction de φ_{i} au sous-intervalle de A_{i} fermé centré de longueur |A_{i}| − 2t, autrement dit A_{i}⟨Φ_{−t}⟩ := [a_{i} + t, a′_{i} − t], ou encore a_{i}⟨Φ_{−t}⟩ = a_{i} + t, a′_{i}⟨Φ_{−t}⟩ = a′_{i} − t, b_{i}⟨Φ_{−t}⟩ = b_{i} + sgn(φ_{i})t et b′_{i}⟨Φ_{−t}⟩ = b′_{i} − sgn(φ_{i})t.

Définition III.2. On dit que le système X possède une composante minimale homogène s’il existe un intervalle ouvert non trivial I de D et un sous-groupe P de Isom(R), à orbites denses, qui vérifient ∀x, y ∈ I : x et y sont dans la même Φ^{∘}-orbite si et seulement s’ils sont dans la même P -orbite.

On sait [Lev1], [GLP1] que cette définition est équivalente à la caractérisation suivante (qui a l’inconvénient de faire référence explicitement à un système de générateurs et pas seulement à la partition de D en orbites -donnée plus faible qui ne donne pas de structure aux orbites-).

Théorème III.3, [Lev1,Lemme III.5]. Le système X n’a pas de composante minimale homogène si et seulement si ∀t, 0 < t < \frac{1}{2} inf\{|A_{i}|, i = 1, …, k\}, le système X_{−t} n’a que des orbites finies.

Proposition III.4. Si le système Φ possède une composante minimale homogène, alors ses générateurs ne sont pas indépendants.

Preuve de la proposition III.4. Soit t tel que X_{−t} ait une orbite infinie : X_{−t}(a). Appelons orbite positive et notons X_{−t}^{+}(a) l’ensemble des u ∈ D pour lesquels il existe un mot m de signe +1 tel que m⟨Φ_{−t}⟩(a) = u ; on peut supposer que X_{−t}^{+}(a) est infinie.

On peut alors trouver quatre points x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ∈ X_{−t}^{+}(a), deux à deux distants de moins de δ < t et deux mots g et h tels que g⟨Φ^{∘}_{−t}⟩(x_{1}) = x_{2} et h⟨Φ^{∘}_{−t}⟩(x_{3}) = x_{4}, où g et h sont les restrictions de deux translations rationnellement indépendantes (on utilise le fait que le groupe d’isométries de R sous-jacent est non cyclique et de type fini– penser au contre-exemple du groupe engendré par les translations de distances 2^{−i}, i ∈ N–).

Les isométries g⟨Φ⟩, h⟨Φ⟩, g^{−1}⟨Φ⟩ et h^{−1}⟨Φ⟩ sont définies au moins sur les boules de rayon t, de centres respectifs x_{1}, x_{3}, x_{2} et x_{4}. Elles sont donc définies au moins sur les boules de rayon t−δ, de centres respectifs x_{1}, g⟨Φ⟩(x_{1}) = x_{2}, hg⟨Φ⟩(x_{1}) = x_{2} + (x_{4} − x_{3}) et g^{−1}hg⟨Φ⟩(x_{1}) = x_{1} + (x_{4} − x_{3}). L’isométrie h^{−1}g^{−1}hg⟨Φ⟩ est alors définie sur la boule B(x_{1}, t−δ) et vaut l’identité sur son domaine (qui est non trivial). Si le mot h^{−1}g^{−1}hg était trivial dans le groupe libre engendré par les lettres φ_{i}, alors g et h seraient puissances d’un même élément, en contradiction avec l’indépendance rationnelle. ♣

IV-Complexe des connexions de singularités.

Motivation. Considérons une relation m et soit I = [u, v] son domaine (I ≠ ∅). Dans le graphe de Cayley Φ(u) de u, le lacet chem(m) emprunte au moins une arête singulière. Supposons pour simplifier qu’il ne rencontre qu’une seule arête singulière et que c’est la première arête parcourue. Disons qu’elle porte l’appellation φ_{1} et qu’elle joint a_{1}⟨Φ⟩ = u à b_{1}⟨Φ⟩. Le mot m s’écrit alors m = m′φ_{1}. L’isométrie m′⟨Φ^{∘}⟩ (de domaine ouvert) est définie en b_{1}⟨Φ⟩ (le chemin chem(()m′) issu de b_{1}⟨Φ⟩ ne parcourt que des arêtes régulières du graphe de Cayley Φ(u)), elle envoie b_{1}⟨Φ⟩ sur a_{1}⟨Φ⟩ et est de même signe que φ_{1}. Les 2 points a_{1} et b_{1} sont“connectés”.

Le complexe qu’on va introduire prend en compte ces connexions et mesure d’une certaine façon le défaut d’indépendance des générateurs (voir proposition IV.2).

Soit S un ensemble à 4k éléments, en correspondance bijective avec l’ensemble S′ = {a_{i}, a′_{i}, b_{i}, b′_{i}} i ∈ {1, …, k}. Par abus de notation, on confondra S et S′. On appelle Δ le 1-complexe à 2k composantes connexes dont les 4k sommets sont les points de l’ensemble S et dont deux arêtes orientées d’appellation φ_{i} vont, l’une de a_{i} vers b_{i} et l’autre de a′_{i} vers b′_{i}. Chaque arête singulière d’un graphe de Cayley Φ(x) est associée canoniquement à une arête de Δ et inversement, à toute arête de Δ correspond canoniquement un graphe de Cayley et une arête singulière de ce graphe.

Définition IV.1. Si le système Φ est non dégénéré, on appelle Δ⟨Φ⟩ le 1-complexe obtenu en identifiant entre eux les sommets de Δ qui sont dans la même classe d’équivalence de la relation R⟨Φ⟩ définie ci-dessous.

Les points s_{1} et s_{2} de S sont R⟨Φ⟩-équivalents si et seulement s’il existe un Φ-mot m ès φ_{i}^{±1} tel que

(1) m⟨Φ^{∘}⟩(s_{1}⟨Φ⟩) = s_{2}⟨Φ⟩ (l’isométrie m⟨Φ^{∘}⟩ est supposée définie en s_{1}⟨Φ⟩)

(2) sgn(m) = ε(s_{1})ε(s_{2}) où ε(a_{i}) = −1, ε(a′_{i}) = +1, ε(b_{i}) = −sgn(φ_{i}) et ε(b′_{i}) = sgn(φ_{i}). La deuxième condition prend en compte les renversements d’orientation et ε(s) représente la position (à droite ou à gauche) de s par rapport à la base qui lui est associée. Une petite difficulté provient du fait que s_{1}⟨Φ⟩ = s_{2}⟨Φ⟩ n’entraîne pas que s_{1} et s_{2} sont dans la même classe (le bord droit a′_{1}⟨Φ⟩ d’une base peut coïncider dans D avec le bord gauche a_{2}⟨Φ⟩ d’une autre sans qu’il existe un mot de signe −1 qui fixe ce point).

La projection Π de Δ sur Δ⟨Φ⟩ est une bijection sur l’ensemble des arêtes. Par début et fin d’une arête orientée de Δ⟨Φ⟩, on désigne les points de S qui sont le début et la fin de sa préimage par Δ.

Notations. Pour chaque couple (s_{1}, s_{2}) de sommets qui sont dans la même R⟨Φ⟩-classe, on choisit une fois pour toutes un Φ-mot de longueur minimale qui vérifie les conditions de la définition ; on le note m[s_{2}, s_{1}]. On impose m[s_{1}, s_{2}] = m[s_{2}, s_{1}]^{−1} et m[s, s] = 1.

La proposition suivante prouve l’intérêt de l’introduction de ce complexe Δ⟨Φ⟩ :

Proposition IV.2. Les générateurs du système Φ sont indépendants si et seulement si toutes les composantes connexes de Δ⟨Φ⟩ sont des arbres.

Proposition IV.3. Le complexe Δ⟨Φ⟩ est stable par petites restrictions uniformes, i.e. il existe t_{0} > 0 tel que pour tout t ∈ [0, t_{0}] les relations d’équivalence R⟨Φ_{−t}⟩ et R⟨Φ⟩ sur S sont les mêmes, donc Δ⟨Φ_{−t}⟩ = Δ⟨Φ⟩.

Preuve de la proposition IV.3. Soit t_{0} > 0 tel que pour tout couple (s_{1}, s_{2}) de points R⟨Φ⟩- équivalents, le domaine de m[s_{2}, s_{1}]⟨Φ⟩ contienne la boule fermée B(s_{1}⟨Φ⟩, 3t_{0}) et tel qu’on ait 3t_{0} < inf{|A_{i}⟨Φ⟩|, i = 1, …, k}. Le domaine de m[s_{2}, s_{1}]⟨Φ_{−t}⟩ pour t ≤ t_{0} contient alors la boule fermée B(s_{1}⟨Φ⟩, 2t_{0}). Or le point s_{1}⟨Φ_{−t}⟩ est à une distance t ≤ t_{0} de s_{1}⟨Φ⟩ donc appartient à l’intérieur du domaine de m[s_{2}, s_{1}]⟨Φ_{−t}⟩. Par définition de ε(s_{1}), ε(s_{2}) et sgn(m[s_{2}, s_{1}]), m[s_{2}, s_{1}]⟨Φ_{−t}⟩ envoie bien s_{1}⟨Φ_{−t}⟩ sur s_{2}⟨Φ_{−t}⟩. La condition sur les signes est naturellement encore vraie. D’où l’implication (s_{1}R⟨Φ⟩s_{2}) ⟹ (s_{1}R⟨Φ_{−t}⟩s_{2}).

L’implication réciproque se traite pareillement. ♣

Preuve d’une implication de la proposition IV.2. (L’autre implication est démontrée après la proposition IV.5) Si les générateurs ne sont pas indépendants, considérons une relation m et I = [u, u+δ] δ > 0, son domaine. Quitte à conjuguer m et à réduire le mot obtenu, on peut supposer que le lacet chem(m) issu de u dans le graphe de Cayley Φ(u) se décompose en sous-chemins sous la forme : chem(m) = σ_{1}γ_{1}σ_{2}γ_{2} … σ_{p}γ_{p} où chaque γ_{j} est un sous-chemin (éventuellement réduit à un point) ne parcourant que des arêtes régulières et σ_{j} est un chemin qui parcourt une arête unique, singulière, d’appellation φ_{i_{j}}^{ε_{j}}.

Appelons σ′_{j} l’arête de Δ canoniquement associée à σ_{j} et (s_{j}^{d}, s_{j}^{f}) le début et la fin de σ′_{j} (on a u = s_{1}^{d}⟨Φ⟩). Schématiquement, on écrit :

u = s_{1}^{d} ⟶_{(singul.)}^{φ_{i_{1}}^{ε_{1}}} s_{1}^{f} ⟶_{(régul.)}^{γ_{1}} s_{2}^{d} … ⟶_{(singul.)}^{φ_{i_{j}}^{ε_{j}}} s_{j}^{f} ⟶_{(régul.)}^{γ_{j}} s_{j+1}^{d} …

… s_{p}^{d} ⟶_{(singul.)}^{φ_{ip}^{ε_{1}}} s_{p}^{f} ⟶_{(régul.)}^{γ_{p}} s_{p+1}^{d} = s_{1}^{d}

F igure 1

Le mot w(γ_{j}) lu en suivant γ_{j} à partir de s_{j}^{f}⟨Φ⟩ permet de montrer que pour j ∈ Z/pZ, les points s_{j}^{f} et s_{j+1}^{d} sont dans la même R⟨Φ⟩-classe d’équivalence . Il suffit de vérifier la condition (2) sur les signes et pour cela de remarquer que m⟨Φ⟩ ayant pour domaine l’intervalle non trivial [u, u + δ], chaque isométrie ω(γ_{j}) doit être définie au moins sur un intervalle J_{j} = [s_{j}^{f}, s_{j}^{f} − ε(s_{j}^{f})δ], δ > 0, qu’elle envoie sur J′_{j} = [s_{j+1}^{d}, s_{j+1}^{d} − ε(s_{j+1}^{d})δ]. Il est alors clair que le chemin Π(σ′_{1})Π(σ′_{2}) … Π(σ′_{p}) est un lacet non trivial dans Δ⟨Φ⟩. ♣

Définition IV.4. Une restriction fermée Φ̃ de Φ est caractérisée par a_{i}⟨Φ̃⟩ = a_{i}⟨Φ⟩+t_{a_{i}}, a′_{i}⟨Φ̃⟩ = a′_{i}⟨Φ⟩ − t_{a′_{i}}, avec t_{a_{i}}, t_{a′_{i}} ≥ 0. Soit {s_{1}, s_{2}, …, s_{p}} un sous-ensemble de {a_{i}, a′_{i}, i = 1, …, k} qui contient tous les s avec t_{s} > 0, soit σ_{j} l’arête de Δ dont s_{j} est le début. On dit que Φ̃ est obtenu en raccourcissant Φ de t_{s_{1}} du côté de σ_{1}, de t_{s_{2}} du côté de σ_{2}, …, de t_{s_{p}} du côté de σ_{p}. Il arrive aussi qu’on énonce la dernière phrase en remplacant σ_{j} par son image Π(σ_{j}) dans Δ⟨Φ⟩.

Par exemple la restriction uniforme Φ_{−t} est obtenue en raccourcissant Φ de t du côté de chaque arête de Δ.

Choisissons une forêt maximale T dans Δ⟨Φ⟩ et soit T′ sa préimage par Π dans Δ. Voyons qu’on peut impunément raccourcir Φ du côté des arêtes de Δ \ T′.

Proposition IV.5. Il existe t_{0} (le même que celui de la proposition IV.3) tel que pour tout t ∈ [0, t_{0}], le système Φ̃ obtenu en raccourcissant Φ de t du côté de Δ \ T′ a les mêmes orbites que Φ.

Remarque : cette proposition reste vraie si on remplace Δ \ T′ par une famille quelconque d’arêtes contenue dans Δ \ T′ et même si on ne choisit pas le même t ∈ [0, t_{0}] pour chaque arête. Cependant, on ne l’utilisera que sous sa version faible.

Propriété IV.6. Soit σ une arête de la forêt maximale T , d’appellation φ, de début s^{d}, de fin s^{f} et soit s un point R⟨Φ⟩-équivalent à s^{f}. L’isométrie w⟨Φ̃⟩, avec w = m[s, s^{f}]φ est définie au moins sur l’intervalle I = [s^{d}⟨Φ⟩, s^{d}⟨Φ⟩ − 2ε(s^{d})t_{0}] (avec le même t_{0} > 0 que ci-dessus) qu’elle transforme en J = [s⟨Φ⟩, s⟨Φ⟩ − 2ε(s)t_{0}].

Preuve de la propriété IV.6. Puisque σ ∈ T , l’isométrie φ⟨Φ̃⟩ est définie au moins sur I qu’elle transforme en K = [s^{f}⟨Φ⟩, s^{f}⟨Φ⟩ − 2ε(s^{f})t_{0}]. Puisque m[s, s^{f}]⟨Φ⟩ est définie au moins sur la boule fermée B(s^{f}⟨Φ⟩, 3t_{0}), alors m[s, s^{f}]⟨Φ̃⟩ est définie au moins sur la boule fermée B(s^{f}⟨Φ⟩, 2t_{0}). Elle

transforme donc K en [s⟨Φ⟩, s⟨Φ⟩ − 2. \underbrace{ε(s^{f})sgn(m[s, s^{f}])}_{=ε(s)} t_{0}]. ♣

Preuve de la proposition IV.5. Soit σ une arête de Δ⟨Φ⟩ prise en dehors de T , d’appellation φ, de début s^{d}, de fin s^{f}. Soit σ_{2}σ_{3} … σ_{p} le chemin d’arêtes (sans aller-retour) dans T qui mène de Π(s^{s}) à Π(s^{f}), soit φ_{i_{j}}^{ε_{j}} l’appellation de σ_{j} et (s_{j}^{d}, s_{j}^{f}) ∈ S × S son début et sa fin. On pose encore s_{p+1} := s^{f} et on obtient schématiquement :

s^{d} ⟶_{∼}^{m[s_{2}^{d},s^{d}]} s_{2}^{d} ⟶_{σ_{2}}^{φ_{i_{2}}^{ε_{2}}} s_{2}^{f} ⟶_{∼}^{m[s_{3}^{d},s_{2}^{f}]} s_{3}^{d} … s_{j}^{d} ⟶_{σ_{j}}^{φ_{i_{j}}^{ε_{j}}} s_{j}^{f} ⟶_{∼}^{m[s_{j+1}^{d},s_{j}^{f}]} s_{j+1}^{d} …

… s_{p}^{d} ⟶_{σ_{p}}^{φ_{ip}^{εp}} s_{p}^{f} ⟶_{∼}^{m[s_{p+1}^{d},s_{p}^{f}]} s_{p+1}^{d}

F igure 2

Le mot w = m[s_{p+1}^{d}, s_{p}^{f}]φ_{i_{p}}^{ε_{p}} … m[s_{3}^{d}, s_{2}^{f}]φ_{i_{2}}^{ε_{2}}m[s_{2}^{d}, s^{d}] obtenu en écrivant de gauche à droite les mots relevés de droite à gauche au-dessus des flèches de la figure 2 fournit une isométrie w⟨Φ̃⟩ dont le domaine contient I = [s^{d}⟨Φ⟩, s^{d}⟨Φ⟩ − 2ε(s^{d})t_{0}] et sur lequel elle agit comme φ⟨Φ⟩. Il suffit de voir que m[s_{2}^{d}, s^{d}]⟨Φ̃⟩ transforme I en [s_{2}^{d}⟨Φ⟩, s_{2}^{d}⟨Φ⟩ − 2ε(s_{2}^{d})t_{0}] puis d’appliquer successivement la propriété IV.6 aux groupements m[s_{j+1}^{d}, s_{j}^{f}]φ^{ε_{j}}, (j croissant) pour constater que w⟨Φ̃⟩ transforme I en J = [s^{f}⟨Φ⟩, s^{f}⟨Φ⟩ − 2ε(s^{f})t_{0}]. En particulier, sgn(w) = ε(s^{d})ε(s^{f}) = sgn(φ). Donc ∀x ∈ I, on a w⟨Φ̃⟩(x) = φ⟨Φ⟩(x). Les points x et φ⟨Φ⟩(x) sont dans la même orbite pour Φ comme pour Φ̃. ♣ Fin de la preuve de la proposition IV.2. Le mot φ^{−1}w fournit une relation de Φ. Si une composante connexe de Δ⟨Φ⟩ n’est pas un arbre, les générateurs ne sont pas indépendants. ♣

Le nombre défini ci-dessous mesure le défaut d’indépendance des générateurs.

Définition IV.7 : l’invariant c⟨Φ⟩. On appelle c⟨Φ⟩ le nombre d’arêtes d’une forêt maximale de Δ⟨Φ⟩. C’est aussi le nombre de sommets moins le nombre de composantes connexes de Δ⟨Φ⟩ ou encore 2k − b_{1}, où b_{1} est la somme des premiers nombres de Betti des composantes connexes de Δ⟨Φ⟩.

Remarque IV.8. Pour t ∈ [0, t_{0}] (avec le même t_{0} que celui de la proposition IV.3), le nombre c⟨Φ_{−t}⟩ est constant.

Généralisation IV.9. Pour un système dégénéré Ψ = Ψ′ ∪ {φ_{p+1}, φ_{p+2}, …, φ_{p+l}}, où Ψ′ = {φ_{1}, φ_{2}, …, φ_{p}} est un système non dégénéré et φ_{p+1}, φ_{p+2}, …, φ_{p+l} sont des singletons, on définit un complexe des connexions singulières en définissant la relation R⟨Ψ⟩ comme R⟨Ψ′⟩ sur {a_{i}, a′_{i}, b_{i}, b′_{i}, i = 1, …, p} et ∀s ∈ {a_{i}, a′_{i}, b_{i}, b′_{i}, i = p+1, …, p+l}, la R⟨Ψ⟩-orbite de s est réduite à s. Le complexe des connexions singulières Δ⟨Ψ⟩ est, en conséquence, la réunion disjointe de 2l segments avec le complexe des connexions singulières de Ψ′. En particulier, une arête d’appellation φ_{p+1} appartient à toute forêt maximale de Δ⟨Ψ⟩.

V-Sytèmes à orbites finies.

On traite le cas d’un système à orbites finies.

Soit X = (D, Φ) un système non dégénéré, à orbites finies et supposons donnée une forêt maximale T dans Δ⟨Φ⟩, de relevé T′ dans Δ. (On doit penser au système X comme à un système X_{−t}^{1} obtenu par restriction uniforme d’un système X^{1} sans composante minimale homogène (théorème III.3) et qui a le même complexe de connexions de singularités (proposition IV.3).)

On montre que le théorème de générateurs indépendants est vrai pour X, précisément :

Théorème V.1. Sous les hypothèses ci-dessus, il existe σ_{1}, σ_{2}, …, σ_{p} des arêtes de Δ \ T′ et des nombres t_{1}, t_{2}, …, t_{p} ≥ 0 tels que le système Φ̃ obtenu en raccourcissant Φ de t_{j} du côté de σ_{j}, pour j = 1, …, p, a les mêmes orbites que Φ et des générateurs indépendants.

Pour un système à orbites finies Ψ, on appelle E′⟨Ψ⟩ la réunion des Ψ-orbites singulières de Ψ. Toute isométrie m définie en un point x ∈ D \ E′ est définie sur toute la composante connexe de x dans D \ E′ et si x ∈ D \ E′ est le centre d’une réflexion (i.e. ∀δ > 0 petit, x − δ et x + δ sont dans la même Ψ-orbite) alors x est le milieu de sa composante connexe. L’ensemble E⟨Ψ⟩, réunion des orbites des centres de réflexion et de E′⟨Ψ⟩, est donc fini.

Lemme V.2. Soit Ψ un système à orbites finies, soit T la borne inférieure des distances entre deux points de E⟨Ψ⟩, soit Θ′ le relevé à Δ d’une forêt maximale Θ de Δ⟨Ψ⟩ et σ une arête de Δ \ Θ′.

Il existe t ≥ T tel que le système Ψ̃ obtenu en raccourcissant Ψ de t du côté de σ a les mêmes orbites que Ψ. De plus,

(1) E⟨Ψ̃⟩ ⊂ E⟨Ψ⟩,

(2) il existe une forêt de Δ⟨Ψ̃⟩ dont le relevé Θ̃′ dans Δ contient Θ′.

Preuve du théorème V.1. Si Δ⟨Ψ̃⟩ n’est pas une forêt, on peut réappliquer le lemme à Ψ̃.

Si on est parti de Φ, on constate, vu (1), que la longueur dont on raccourcit le système à chaque étape est uniformément minorée. Le processus s’arrête donc après un nombre fini d’étapes (le système alors obtenu a un complexe de connexions de singularités dont toutes les composantes connexes sont des arbres). Vu (2), on constate qu’on peut appliquer ce processus en raccourcissant seulement du côté d’arêtes en dehors de T′. ♣

Preuve du lemme V.2. Disons que σ est d’appellation φ, de début s^{d}, de fin s^{f}. Soit I la composante connexe de D \ E⟨Ψ⟩ qui contient s^{d}⟨Ψ⟩ − ε(s)δ, pour δ > 0 petit. On prend t égal à sa longueur :

I =]s^{d}⟨Ψ⟩, s^{d}⟨Ψ⟩ − ε(s^{d})t[. Les seules orbites éventuellement modifiées sont celles qui passent par l’intervalle K = [s^{d}⟨Ψ⟩, s^{d}⟨Ψ⟩ − ε(s)t[ qu’on ôte du domaine de φ⟨Ψ⟩.

On reprend les notations de la preuve de la proposition IV.5. Soit σ_{2}σ_{3} … σ_{p} le chemin d’arêtes dans Θ qui mène de Π(s^{s}) à Π(s^{f}), soit φ_{i_{j}}^{ε_{j}} l’appellation de σ_{j} et (s_{j}^{d}, s_{j}^{f}) ∈ S × S son début et sa fin. On pose encore s_{p+1} := s^{f} et on appelle w le mot w = m[s_{p+1}^{d}, s_{p}^{f}]φ_{i_{p}}^{ε_{p}} … m[s_{3}^{d}, s_{2}^{f}]φ_{i_{2}}^{ε_{2}}m[s_{2}^{d}, s^{d}]. L’isométrie w⟨Ψ⟩ est définie au moins sur un intervalle [s^{d}⟨Ψ⟩, s^{d}⟨Ψ⟩ − 2ε(s^{d})t_{0}], t_{0} > 0 (voir la preuve de la proposition IV.5).

L’intervalle I ne contenant pas de point d’une orbite singulière, l’isométrie w⟨Ψ⟩ est donc définie sur K tout entier. Il est facile de voir que, puisque I ∩ E⟨Ψ⟩ est vide, la Ψ-orbite de x, ∀x ∈ K, ne rencontre K qu’en x.

Alors le chemin chem(w) issu de x dans le graphe de Cayley Ψ(x) mène de x à φ⟨Ψ⟩(x) sans emprunter d’arête d’origine y ∈ K et d’appellation φ : Sinon, il existe x_{0} ∈ K tel qu’on peut décomposer l’écriture réduite de w en w = w′′φw′ de sorte que w′⟨Ψ⟩(x_{0}) = y_{0} ∈ K, donc y_{0} = x_{0}. Puisque w′⟨Ψ⟩ est définie sur K et que w′⟨Ψ⟩(K) ⊂ dom(φ)⟨Ψ⟩, on en déduit que w′⟨Ψ⟩(K) ⊂ K et donc que l’égalité w′⟨Ψ⟩(x) = x est vraie pour tout x ∈ K, en particulier pour s^{d}⟨Ψ⟩. Cela montre que le chemin σ_{2}σ_{3} … σ_{p} dans Θ emprunte l’arête σ, ce qui est absurde.

L’isométrie w⟨Ψ̃⟩ est donc définie sur K tout entier et, ∀x ∈ K le sous-graphe Ψ̃(x) de Ψ(x) (obtenu en effaçant l’arête d’origine x et d’appellation φ) a les mêmes sommets que Ψ(x).

On n’a pas ajouté d’orbites singulières puisque par définition de t, le point s⟨Ψ⟩ − ε(s)t est dans une orbite singulière de Ψ d’où (1).

Si deux points de s_{1}, s_{2} ∈ S\{s^{d}, s^{f}} sont R⟨Ψ̃⟩-équivalents, alors ils sont aussi R⟨Ψ⟩-équivalents (en effet, s_{j}⟨Ψ⟩ = s_{j}⟨Ψ̃⟩ et Ψ̃ est une restriction de Ψ) d’où (2). ♣

Remarque V.3. Si le système Ψ est non dégénéré, qu’on lui applique le lemme V.2 et que le générateur φ⟨Ψ̃⟩ se trouve être un singleton, alors on peut supprimer ce générateur sans modifier les orbites.

Preuve de la remarque V.3. Si φ⟨Ψ̃⟩ est un singleton, son domaine est égal à {s⟨Ψ̃⟩}. Le domaine de w⟨Ψ̃⟩ contient l’intervalle non trivial K et contient le point s⟨Ψ̃⟩. Le mot w ne contient donc pas la lettre φ et supprimer l’arête d’appellation φ du graphe de Cayley de s⟨Ψ̃⟩ ne disconnecte pas ce graphe. ♣

VI-Mesure de l’espace des orbites.

Définition VI.1. On appelle mesure de l’espace des orbites du système Φ et on note e(Φ) la borne inférieure des mesures des ouverts rencontrant toutes les orbites.

Proposition VI.2. La fonction t ⟼ e(Φ_{−t}) est continue, linéaire par morceaux, de dérivée à droite c⟨Φ⟩ en 0.

Cette proposition généralise de façon naturelle un résultat de G. Levitt aux systèmes d’isométries ne préservant pas nécessairement l’orientation (voir [Lev3, lemme II.1]).

On la prouve dans le cas à orbites finies et le résultat s’étend, par continuité et grâce au théorème III.3, aux systèmes sans composante minimale homogène. Bien que vraie dans le cas général, elle ne sera démontrée (et utilisée) que dans ce cas.

Preuve de la proposition VI.2. Lorsqu’on passe de Φ à Φ_{−t}, on modifie au plus les orbites qui passent dans 4k intervalles de longueur t. La continuité s’en déduit. Soit Φ à orbites finies. Soit t > 0 tel que la distance minimale entre deux points de E⟨Φ⟩ soit supérieure à 4t, alors la distance minimale entre deux points de E⟨Φ_{−t}⟩ est supérieure à 2t. En particulier, t est assez petit pour que R⟨Φ⟩ = R⟨Φ_{−t}⟩.

Pour s ∈ S, on appelle I_{s} =]s⟨Φ⟩ − ε(s)t, s⟨Φ⟩[ et V_{s} (resp. V_{s}^{t}) l’ensemble des x ∈ D dont la Φ-orbite (resp. Φ_{−t}-orbite) rencontre I_{s}. L’intervalle I_{s} ne rencontre pas d’orbite singulière (ni pour Φ ni pour Φ_{−t}) donc, si m⟨Φ⟩ (resp. m⟨Φ_{−t}⟩) est définie en x ∈ I_{s}, elle est aussi définie pour tout y ∈ \overline{I_{s}}. En conséquence,

(1) les V_{s} (resp. les V_{s}^{t}) sont deux à deux disjoints ou égaux, (2) chaque orbite pour Φ (resp. pour Φ_{−t}) qui rencontre V_{s} (resp. V_{s}^{t}) rencontre alors exacte-

ment une fois chaque composante connexe de V_{s} (resp. de V_{s}^{t})

(3) (V_{s} = V_{s′}) ⇔ (Π(s) et Π(s′) sont dans la même composante connexe de Δ⟨Φ⟩)

(4) (V_{s}^{t} = V_{s′}^{t}) ⇔ (sR⟨Φ_{−t}⟩s′).

Ces assertions se démontrent assez simplement. Par exemple pour la première implication de (3) : si V_{s} = V_{s′} alors il existe un mot m et y ∈ I_{s} tels que m⟨Φ⟩(y) ∈ I_{s′}. Vu le choix de t, on a l’égalité m⟨Φ⟩(I_{s}) = I_{s′}, l’isométrie m⟨Φ⟩ envoie s⟨Φ⟩ sur s′⟨Φ⟩ et donc sgn(m) = ε(s)ε(s′). On conclut, à la façon de la preuve de la proposition IV.2 en considérant le chemin chem(m) dans le graphe de Cayley Φ(s⟨Φ⟩).

Seules les orbites qui passent dans I_{s} sont modifiées lorsqu’on change Φ en Φ_{−t}. De plus, l’orbite X(x) de x ∈ I_{s} se partitionne en autant d’orbites pour X_{−t} qu’il y a de sommets dans la composante connexe de Π(s) dans Δ⟨Φ⟩. On obtient donc l’égalité e⟨Φ_{−t}⟩ = e⟨Φ⟩ + c⟨Φ⟩t dont la proposition découle. ♣

Le théorème suivant se trouve dans [Lev3] dans un cadre un petit peu restreint, il est essentiellement démontré dans [GLP1, prop. 6.1] sous les mêmes hypothèses que celle de la preuve de la proposition VI.2 ci-dessus et est, en fait, un cas particulier d’un résultat général [Lev4]. Cependant, on donnera une preuve restreinte à ce qu’on utilisera par la suite (cas des systèmes sans composante minimale homogène).

Théorème VI.3 [Lev3], [GLP1, prop. 6.1]. En appelant l(Φ) = ∑_{i=1}^{k}(a′_{i}⟨Φ⟩ − a_{i}⟨Φ⟩) la somme des mesure des domaines des générateurs de Φ, les générateurs sont indépendants si et seulement si e(Φ) + l(Φ) = |D|.

Preuve. La preuve est claire pour les systèmes à orbites finies. Vu la stabilité par petites restrictions uniformes de la propriété de générateurs indépendants (Prop. IV.2 et IV.3), vu le Th. III.3 et grâce à la continuité, elle s’étend au cas des systèmes sans composante minimale homogène. ♣

VII-Cas général.

Théorème VII.1. Soit Φ sans composante minimale homogène, il existe un sous-intervalle fermé Ã_{i} de chaque base A_{i} de Φ tel que le système Φ̃ obtenu en prenant la restriction de φ_{i} à Ã_{i} soit à générateurs indépendants et ait les mêmes orbites que Φ. De plus, si Φ est non dégénéré, alors on peut supprimer les singletons de Φ̃ sans changer les orbites.

Preuve du théorème VII.1. On a déjà traité le cas d’un système à orbites finies (Théorème V.1), la condition de non dégénérescence pouvant être obtenue grâce à la remarque V.3.

Si le système X = (D, Φ) possède des composantes minimales non homogènes, quitte à supprimer ses singletons, on le suppose non dégénéré.

On choisit un arbre maximal T dans Δ⟨Φ⟩. Sa préimage T′ dans Δ a pour cardinal c⟨Φ⟩. On choisit t > 0 assez petit pour que Δ⟨Φ⟩ = Δ⟨Φ_{−t}⟩ (proposition IV.3). La preuve s’articule alors en 4 étapes X ⟶ X_{1} ⟶ X_{−t} ⟶ X_{3} ⟶ X̃, comme annoncé dans l’introduction :

(1) On définit Φ_{1} en raccourcissant Φ de t du côté des arêtes de Δ\T′. On pourra ainsi obtenir un système à orbites finies en ne raccourcissant Φ_{1} de t que du côté des arêtes de T′ (étape (2)). Le système Φ_{1} vérifie les deux propriétés suivantes : -i- Φ_{1} a les mêmes orbites que Φ (proposition IV.5), donc -ii- e(Φ_{1}) = e(Φ).

(2) Pour la deuxième étape, on passe à Φ_{−t}, qui est ainsi obtenu en ne raccourcissant Φ_{1} de t que du côté des arêtes de T′ et qui vérifie les propriétés : -i- Φ_{−t} n’a que des orbites finies (théorème III.3), -ii- Δ⟨Φ_{−t}⟩ = Δ⟨Φ⟩ (proposition VI.2 et choix de t) donc T est une forêt maximale de Δ⟨Φ_{−t}⟩, -iii- e(Φ_{−t}) = e(Φ) + c⟨Φ⟩t (proposition IV.3 et remarque IV.8).

(3) On prend ensuite pour Φ_{3} le système produit par le théorème V.1 à partir de Φ_{−t} avec la forêt T . On rappelle qu’on ne raccourcit que du côté d’arêtes hors de T′. On a :

-i- Φ_{3} et Φ_{−t} ont les mêmes orbites, donc e(Φ_{3}) = e(Φ_{−t}) -ii- e(Φ_{3}) + l(Φ_{3}) = |D| car les générateurs de Φ_{3} sont indépendants (théorème VI.3).

(4) Pour finir, on construit Φ̃ par l’opération inverse du passage de Φ_{1} à Φ_{−t}, c’est à dire que Φ̃ est obtenu en rallongeant Φ_{3} de t du côté des arêtes de T′. Puisque T′ est de cardinal c⟨Φ⟩, on a l(Φ̃) = ∑_{i=1}^{k}(a′_{i}⟨Φ̃⟩ − a_{i}⟨Φ̃⟩) = l(Φ_{3}) + c⟨Φ⟩t. Il ne reste qu’à vérifier deux choses : -i- Φ̃ a les mêmes orbites que Φ, -ii- les générateurs du système Φ̃ sont indépendants.

Pour prouver (i), on considère un point x ∈ D et on s’intéresse aux aventures du graphe Φ(x) (son graphe de Cayley) au cours des quatre étapes : il se transforme en plusieurs 1-complexes G_{1}, G_{−t}, G_{3}, G̃ qui sont tous des sous-complexes (éventuellement non connexes) de Φ(x), mais dont chaque composante connexe est le graphe de Cayley d’une certaine orbite pour le système correspondant (Φ_{1}, Φ_{−t}, Φ_{3} ou Φ̃).

(1) On efface certaines arêtes de Φ(x) et on obtient le complexe G_{1}. Il est connexe puisque Φ et Φ_{1} ont les mêmes orbites.

(2) On efface de nouvelles arêtes, le système Φ_{−t} est à orbites finies et le complexe G_{−t} est la réunion disjointe d’une famille G_{−t}^{i}, i ∈ H de sous-graphes finis (chacun représentant une orbite de Φ_{−t}).

(3) Au cours de la troisième étape, où l’on rend les générateurs indépendants pour le système à orbites finies, chaque G_{−t}^{i} perd un certain nombre de ses arêtes, mais reste connexe (par 3.i) : on obtient une famille G_{3}^{i}, i ∈ H où chaque G_{3}^{i} a les mêmes sommets que G_{−t}^{i}.

(4) Pour finir, on replace toutes les arêtes effacées à l’étape (2) ; donc on reconnecte entre eux tous les G_{3}^{i}, i ∈ H et on obtient un complexe G̃ qui est connexe. Ce qui montre que Φ̃ et Φ ont mêmes orbites.

On déduit de ce premier résultat que e(Φ̃) = e(Φ). Alors, on peut montrer (ii) :

e(Φ̃) + l(Φ̃) = e(Φ) + [l(Φ_{3}) + c⟨Φ⟩t]
= [e(Φ_{3}) − c⟨Φ⟩t] + [l(Φ_{3}) + c⟨Φ⟩t]
= e(Φ_{3}) + l(Φ_{3}) = |D|.

Donc les générateurs de Φ̃ sont indépendants (théorème VI.3). L’éventuelle apparition d’un singleton ne peut survenir que lors du passage de Φ_{−t} à Φ_{3} et c’est

donc, à nouveau, la remarque V.3 qui nous permet de conclure. ♣

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Laboratoire Émile Picard, UMR CNRS 5580, Université Toulouse III, 31062 Toulouse cedex, France Adresse actuelle : Ens-Lyon UMR 128, 46 allée d’Italie, 69364 Lyon cedex 07, France adresse électronique : gaboriau@umpa.ens-lyon.fr