{"id":1546,"date":"2020-11-18T06:26:00","date_gmt":"2020-11-18T05:26:00","guid":{"rendered":"http:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/?p=1546"},"modified":"2020-12-14T22:15:24","modified_gmt":"2020-12-14T21:15:24","slug":"pour-departager-deux-candidats-vive-la-majorite-simple","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/2020\/11\/18\/pour-departager-deux-candidats-vive-la-majorite-simple\/","title":{"rendered":"Pour d\u00e9partager deux candidats, vive la majorit\u00e9 simple !"},"content":{"rendered":"\n

Dans sa carte blanche, le math\u00e9maticien Etienne Ghys revient sur les diff\u00e9rentes mani\u00e8res, des plus aux moins \u00e9quitables, d\u2019\u00e9lire un repr\u00e9sentant parmi deux concurrents.<\/p>\n\n\n\n

https:\/\/www.lemonde.fr\/sciences\/article\/2020\/11\/18\/pour-departager-deux-candidats-vive-la-majorite-simple_6060148_1650684.html<\/a><\/p>\n\n\n\n

Carte blanche. Les math\u00e9matiques peuvent-elles jeter un peu de lumi\u00e8re sur le feuilleton \u00e0 rebondissements des \u00e9lections am\u00e9ricaines ? Imaginons une population qui vote pour deux candidats et supposons que les \u00e9lecteurs choisissent l\u2019un ou l\u2019autre \u00e0 pile ou face. A l\u2019issue du scrutin, on compte les bulletins et le candidat qui a le plus de voix est \u00e9lu. Supposons maintenant que, lors du d\u00e9pouillement, les scrutateurs font quelques erreurs (ou fraudent), par exemple en se trompant une fois sur 10 000. Quelle est la probabilit\u00e9 que ces petites erreurs faussent le r\u00e9sultat global et que l\u2019autre candidat soit \u00e9lu ? Il se trouve que cette probabilit\u00e9 est de l\u2019ordre de 6 sur 1000 (pour les curieux, il s\u2019agit de 2\/\u03c0 fois la racine carr\u00e9e de 1\/10 000). Est-ce un risque acceptable dans une d\u00e9mocratie ?<\/p>\n\n\n\n

Les \u00e9lections am\u00e9ricaines sont \u00e0 deux niveaux. Chaque Etat \u00e9lit ses repr\u00e9sentants \u00e0 la majorit\u00e9 et ceux-ci \u00e9lisent \u00e0 leur tour le pr\u00e9sident. En supposant encore une erreur de lecture une fois sur 10 000 (ce qui est raisonnable quand on voit les bulletins de vote am\u00e9ricains), quelle est la probabilit\u00e9 de fausser le r\u00e9sultat final ? L\u2019existence de ce deuxi\u00e8me niveau fait que la probabilit\u00e9 est bien pire : une \u00e9lection sur 20 serait fauss\u00e9e ! C\u2019est beaucoup trop.<\/p>\n\n\n\n

La \u00ab sensibilit\u00e9 au bruit \u00bb<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Bien entendu, tout cela d\u00e9pend d\u2019hypoth\u00e8ses bien peu r\u00e9alistes et n\u2019accr\u00e9dite en rien les all\u00e9gations de fraude de Donald Trump ! Supposer que les \u00e9lecteurs choisissent \u00e0 pile ou face n\u2019a \u00e9videmment aucun sens, m\u00eame si on peut \u00eatre stup\u00e9fait par la quasi-\u00e9galit\u00e9 des r\u00e9sultats en G\u00e9orgie par exemple. Cela illustre cependant un ph\u00e9nom\u00e8ne mis en \u00e9vidence par les math\u00e9maticiens il y a une vingtaine d\u2019ann\u00e9es : la \u00ab sensibilit\u00e9 au bruit \u00bb de divers processus de d\u00e9cision, qui vont bien au-del\u00e0 des \u00e9lections. Cela concerne tout \u00e0 la fois l\u2019informatique, la combinatoire, la physique statistique, ou les sciences sociales. Lorsqu\u2019un grand nombre \u00ab d\u2019agents \u00bb, qui peuvent \u00eatre des \u00eatres humains ou des neurones par exemple, ont des \u00ab opinions \u00bb, quels sont les bons processus qui permettent de prendre une d\u00e9cision globale de mani\u00e8re stable ? Cette stabilit\u00e9 signifie que l\u2019on souhaite que la d\u00e9cision soit aussi insensible que possible au bruit, c\u2019est-\u00e0-dire aux petites erreurs que l\u2019on ne contr\u00f4le pas.<\/p>\n\n\n\n

On peut imaginer beaucoup de processus \u00e9lectoraux. Par exemple, chaque quartier pourrait \u00e9lire son repr\u00e9sentant qui \u00e9lirait ensuite le repr\u00e9sentant de la ville, qui \u00e9lirait son repr\u00e9sentant dans le canton, puis le d\u00e9partement, etc. Il s\u2019agirait en quelque sorte d\u2019un tournoi sportif, par \u00e9tapes successives, un peu comme les \u00e9lections am\u00e9ricaines mais avec beaucoup plus de niveaux. Il se trouve que cette m\u00e9thode est extr\u00eamement sensible au bruit, et il faut absolument l\u2019\u00e9viter. La moindre proportion d\u2019erreurs dans le d\u00e9pouillement entra\u00eenerait une tr\u00e8s grande probabilit\u00e9 de se tromper sur le r\u00e9sultat final. C\u2019est inacceptable pour un vote mais cela fait partie du charme des tournois sportifs : ce n\u2019est pas toujours le meilleur qui gagne et c\u2019est tant mieux.
<\/p>\n\n\n\n

Quelle est alors la meilleure m\u00e9thode, celle qui est la plus stable ? La r\u00e9ponse est un peu d\u00e9solante et montre que la question est mal pos\u00e9e. Il suffit de demander \u00e0 un dictateur de d\u00e9cider seul. Cette \u00ab m\u00e9thode \u00bb est en effet tr\u00e8s stable car, pour changer le r\u00e9sultat, il faut une erreur sur le seul bulletin qui compte, ce qui arrive une fois sur 10 000. Il faut donc reformuler la question en cherchant parmi les m\u00e9thodes \u00e9quitables qui donnent le m\u00eame pouvoir \u00e0 tous les \u00e9lecteurs. Il y a une dizaine d\u2019ann\u00e9es, trois math\u00e9maticiens ont d\u00e9montr\u00e9 dans ce cadre un th\u00e9or\u00e8me difficile qui n\u2019est au bout du compte que du bon sens. Pour d\u00e9partager deux candidats, le vote \u00e0 la majorit\u00e9 simple est la m\u00e9thode la plus stable de toutes, parmi celles qui sont \u00e9quitables. Vive la majorit\u00e9 !<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Quelques r\u00e9f\u00e9rences :<\/p>\n\n\n\n

http:\/\/www.mit.edu\/~izadik\/files\/Essay.pdf<\/a><\/p>\n\n\n\n

https:\/\/arxiv.org\/pdf\/math\/0412377.pdf<\/a><\/p>\n\n\n\n

https:\/\/gilkalai.files.wordpress.com\/2018\/01\/18-kalaix-7.pdf<\/a><\/p>\n\n\n\n


<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Dans sa carte blanche, le math\u00e9maticien Etienne Ghys revient sur les diff\u00e9rentes mani\u00e8res, des plus aux moins \u00e9quitables, d\u2019\u00e9lire un repr\u00e9sentant parmi deux concurrents. https:\/\/www.lemonde.fr\/sciences\/article\/2020\/11\/18\/pour-departager-deux-candidats-vive-la-majorite-simple_6060148_1650684.html Carte blanche. Les math\u00e9matiques peuvent-elles jeter un peu de lumi\u00e8re sur le feuilleton \u00e0 rebondissements des \u00e9lections am\u00e9ricaines ? Imaginons une population qui vote pour deux candidats et supposons que les … Continuer la lecture de Pour d\u00e9partager deux candidats, vive la majorit\u00e9 simple !<\/span> →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_uag_custom_page_level_css":"","ub_ctt_via":"","_exactmetrics_skip_tracking":false,"_exactmetrics_sitenote_active":false,"_exactmetrics_sitenote_note":"","_exactmetrics_sitenote_category":0,"episode_type":"","audio_file":"","cover_image":"","cover_image_id":"","duration":"","filesize":"","date_recorded":"","explicit":"","block":"","itunes_episode_number":"","itunes_title":"","itunes_season_number":"","itunes_episode_type":"","filesize_raw":"","footnotes":""},"categories":[57],"tags":[],"class_list":["post-1546","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-le-monde"],"featured_image_src":null,"author_info":{"display_name":"ghys","author_link":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/author\/ghys\/"},"yoast_head":"\nPour d\u00e9partager deux candidats, vive la majorit\u00e9 simple ! - \u00c9tienne Ghys<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/2020\/11\/18\/pour-departager-deux-candidats-vive-la-majorite-simple\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"fr_FR\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Pour d\u00e9partager deux candidats, vive la majorit\u00e9 simple ! - \u00c9tienne Ghys\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Dans sa carte blanche, le math\u00e9maticien Etienne Ghys revient sur les diff\u00e9rentes mani\u00e8res, des plus aux moins \u00e9quitables, d\u2019\u00e9lire un repr\u00e9sentant parmi deux concurrents. https:\/\/www.lemonde.fr\/sciences\/article\/2020\/11\/18\/pour-departager-deux-candidats-vive-la-majorite-simple_6060148_1650684.html Carte blanche. Les math\u00e9matiques peuvent-elles jeter un peu de lumi\u00e8re sur le feuilleton \u00e0 rebondissements des \u00e9lections am\u00e9ricaines ? Imaginons une population qui vote pour deux candidats et supposons que les … Continuer la lecture de Pour d\u00e9partager deux candidats, vive la majorit\u00e9 simple ! →\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/2020\/11\/18\/pour-departager-deux-candidats-vive-la-majorite-simple\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"\u00c9tienne Ghys\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2020-11-18T05:26:00+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2020-12-14T21:15:24+00:00\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"ghys\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"\u00c9crit par\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"ghys\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Dur\u00e9e de lecture estim\u00e9e\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"4 minutes\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/2020\/11\/18\/pour-departager-deux-candidats-vive-la-majorite-simple\/\",\"url\":\"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/2020\/11\/18\/pour-departager-deux-candidats-vive-la-majorite-simple\/\",\"name\":\"Pour d\u00e9partager deux candidats, vive la majorit\u00e9 simple ! - \u00c9tienne Ghys\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/#website\"},\"datePublished\":\"2020-11-18T05:26:00+00:00\",\"dateModified\":\"2020-12-14T21:15:24+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/#\/schema\/person\/069f6bb9d42c992d92bef80c575edce9\"},\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/2020\/11\/18\/pour-departager-deux-candidats-vive-la-majorite-simple\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"fr-FR\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/2020\/11\/18\/pour-departager-deux-candidats-vive-la-majorite-simple\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/2020\/11\/18\/pour-departager-deux-candidats-vive-la-majorite-simple\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Accueil\",\"item\":\"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/accueil\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Pour d\u00e9partager deux candidats, vive la majorit\u00e9 simple !\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/#website\",\"url\":\"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/\",\"name\":\"\u00c9tienne Ghys\",\"description\":\"\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"fr-FR\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/#\/schema\/person\/069f6bb9d42c992d92bef80c575edce9\",\"name\":\"ghys\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"fr-FR\",\"@id\":\"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/4482fb1bb546b94acf8ae35749ecbb87a8515a7bdaf0a461022cdc80db4db941?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/4482fb1bb546b94acf8ae35749ecbb87a8515a7bdaf0a461022cdc80db4db941?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"ghys\"},\"url\":\"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/author\/ghys\/\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Pour d\u00e9partager deux candidats, vive la majorit\u00e9 simple ! - \u00c9tienne Ghys","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/2020\/11\/18\/pour-departager-deux-candidats-vive-la-majorite-simple\/","og_locale":"fr_FR","og_type":"article","og_title":"Pour d\u00e9partager deux candidats, vive la majorit\u00e9 simple ! - \u00c9tienne Ghys","og_description":"Dans sa carte blanche, le math\u00e9maticien Etienne Ghys revient sur les diff\u00e9rentes mani\u00e8res, des plus aux moins \u00e9quitables, d\u2019\u00e9lire un repr\u00e9sentant parmi deux concurrents. https:\/\/www.lemonde.fr\/sciences\/article\/2020\/11\/18\/pour-departager-deux-candidats-vive-la-majorite-simple_6060148_1650684.html Carte blanche. Les math\u00e9matiques peuvent-elles jeter un peu de lumi\u00e8re sur le feuilleton \u00e0 rebondissements des \u00e9lections am\u00e9ricaines ? Imaginons une population qui vote pour deux candidats et supposons que les … Continuer la lecture de Pour d\u00e9partager deux candidats, vive la majorit\u00e9 simple ! →","og_url":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/2020\/11\/18\/pour-departager-deux-candidats-vive-la-majorite-simple\/","og_site_name":"\u00c9tienne Ghys","article_published_time":"2020-11-18T05:26:00+00:00","article_modified_time":"2020-12-14T21:15:24+00:00","author":"ghys","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"\u00c9crit par":"ghys","Dur\u00e9e de lecture estim\u00e9e":"4 minutes"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/2020\/11\/18\/pour-departager-deux-candidats-vive-la-majorite-simple\/","url":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/2020\/11\/18\/pour-departager-deux-candidats-vive-la-majorite-simple\/","name":"Pour d\u00e9partager deux candidats, vive la majorit\u00e9 simple ! - \u00c9tienne Ghys","isPartOf":{"@id":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/#website"},"datePublished":"2020-11-18T05:26:00+00:00","dateModified":"2020-12-14T21:15:24+00:00","author":{"@id":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/#\/schema\/person\/069f6bb9d42c992d92bef80c575edce9"},"breadcrumb":{"@id":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/2020\/11\/18\/pour-departager-deux-candidats-vive-la-majorite-simple\/#breadcrumb"},"inLanguage":"fr-FR","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/2020\/11\/18\/pour-departager-deux-candidats-vive-la-majorite-simple\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/2020\/11\/18\/pour-departager-deux-candidats-vive-la-majorite-simple\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Accueil","item":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/accueil\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Pour d\u00e9partager deux candidats, vive la majorit\u00e9 simple !"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/#website","url":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/","name":"\u00c9tienne Ghys","description":"","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"fr-FR"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/#\/schema\/person\/069f6bb9d42c992d92bef80c575edce9","name":"ghys","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"fr-FR","@id":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/4482fb1bb546b94acf8ae35749ecbb87a8515a7bdaf0a461022cdc80db4db941?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/4482fb1bb546b94acf8ae35749ecbb87a8515a7bdaf0a461022cdc80db4db941?s=96&d=mm&r=g","caption":"ghys"},"url":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/author\/ghys\/"}]}},"uagb_featured_image_src":{"full":false,"thumbnail":false,"medium":false,"medium_large":false,"large":false,"1536x1536":false,"2048x2048":false,"post-thumbnail":false},"uagb_author_info":{"display_name":"ghys","author_link":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/author\/ghys\/"},"uagb_comment_info":9,"uagb_excerpt":"Dans sa carte blanche, le math\u00e9maticien Etienne Ghys revient sur les diff\u00e9rentes mani\u00e8res, des plus aux moins \u00e9quitables, d\u2019\u00e9lire un repr\u00e9sentant parmi deux concurrents. https:\/\/www.lemonde.fr\/sciences\/article\/2020\/11\/18\/pour-departager-deux-candidats-vive-la-majorite-simple_6060148_1650684.html Carte blanche. Les math\u00e9matiques peuvent-elles jeter un peu de lumi\u00e8re sur le feuilleton \u00e0 rebondissements des \u00e9lections am\u00e9ricaines ? Imaginons une population qui vote pour deux candidats et supposons que les\u2026","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1546","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1546"}],"version-history":[{"count":7,"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1546\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1562,"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1546\/revisions\/1562"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1546"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1546"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1546"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}