{"id":1603,"date":"2020-05-12T16:10:37","date_gmt":"2020-05-12T15:10:37","guid":{"rendered":"http:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/?p=1603"},"modified":"2020-12-14T22:08:47","modified_gmt":"2020-12-14T21:08:47","slug":"la-theorie-de-la-percolation-ou-lart-de-modeliser-une-pandemie","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/2020\/05\/12\/la-theorie-de-la-percolation-ou-lart-de-modeliser-une-pandemie\/","title":{"rendered":"La th\u00e9orie de la percolation ou l\u2019art de mod\u00e9liser une pand\u00e9mie"},"content":{"rendered":"\n

https:\/\/www.lemonde.fr\/sciences\/article\/2020\/05\/12\/la-theorie-de-la-percolation-ou-l-art-de-modeliser-d-une-pandemie_6039452_1650684.html<\/a><\/p>\n\n\n\n


Le math\u00e9maticien Etienne Ghys d\u00e9taille la th\u00e9orie \u00e9tablie par deux chercheurs britanniques en 1957 pour comprendre la propagation d\u2019un fluide dans un milieu al\u00e9atoire. Comme toute mod\u00e9lisation, elle n\u00e9cessite de jongler avec pas mal d\u2019inconnues.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Carte blanche. De nombreux articles ont d\u00e9crit le d\u00e9veloppement d\u2019une \u00e9pid\u00e9mie au cours du temps, avec une croissance exponentielle du nombre de nouveaux cas au d\u00e9but, puis le fameux pic, et enfin la d\u00e9croissance tant attendue. On a moins discut\u00e9 de la contagion \u00e0 travers un territoire.<\/p>\n\n\n\n

La th\u00e9orie math\u00e9matique de la percolation s\u2019int\u00e9resse \u00e0 ce genre de probl\u00e8me. Le mot vient du latin percolatio<\/em> signifiant \u00ab filtration \u00bb et il \u00e9voque bien s\u00fbr le percolateur \u00e0 caf\u00e9 : l\u2019eau bouillante sous pression trouve son chemin \u00e0 travers les particules de caf\u00e9 moulu, comme un virus trouve son chemin dans une population.<\/p>\n\n\n\n

La th\u00e9orie est n\u00e9e en 1957 dans un article de deux chercheurs britanniques, John Michael Hammersley et Simon Ralph Broadbent. Leur motivation initiale concernait les masques respiratoires dont on parle tant en ce moment. Dans leur cas, il s\u2019agissait des masques de protection pour les mineurs de charbon. Le filtre poreux est assimil\u00e9 \u00e0 un r\u00e9seau r\u00e9gulier de tubes tr\u00e8s fins interconnect\u00e9s dont un certain nombre sont bouch\u00e9s, de mani\u00e8re al\u00e9atoire, et il s\u2019agit de comprendre si un gaz peut traverser un tel labyrinthe.<\/p>\n\n\n\n

D\u00e9terminer la probabilit\u00e9 critique<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Plus g\u00e9n\u00e9ralement, ces chercheurs \u00e9tudient la propagation d\u2019un fluide dans un milieu al\u00e9atoire. L\u2019un de leurs exemples est un mod\u00e8le tr\u00e8s simple d\u2019\u00e9pid\u00e9mie. Il s\u2019agit d\u2019un verger immense, dans lequel des arbres fruitiers sont plant\u00e9s r\u00e9guli\u00e8rement en formant un r\u00e9seau carr\u00e9. On suppose qu\u2019\u00e0 un certain moment l\u2019un des arbres est atteint d\u2019une maladie qu\u2019il peut potentiellement transmettre \u00e0 ses voisins. Chaque arbre malade peut contaminer chacun de ses quatre voisins avec une certaine probabilit\u00e9 p<\/em> (d\u2019autant plus faible que les arbres respectent la \u00ab distanciation sociale \u00bb).<\/p>\n\n\n\n

Comment l\u2019\u00e9pid\u00e9mie va-t-elle se propager ? Hammersley et Broadbent d\u00e9montrent que si p<\/em> ne d\u00e9passe pas une certaine valeur critique, l\u2019\u00e9pid\u00e9mie reste localis\u00e9e : ce sont les clusters dans lesquels la contamination n\u2019atteint qu\u2019un petit groupe d\u2019arbres. Lorsqu\u2019on d\u00e9passe cette valeur critique, la maladie envahit brusquement une grande partie du verger (infinie si le verger est infini) et c\u2019est la pand\u00e9mie.<\/p>\n\n\n\n

Bien entendu, ce th\u00e9or\u00e8me n\u2019a d\u2019int\u00e9r\u00eat que si l\u2019on peut d\u00e9terminer cette probabilit\u00e9 critique. Des simulations num\u00e9riques sugg\u00e9raient que la transition cluster-pand\u00e9mie se passe pour p = 0,5<\/em>, et il a fallu attendre 1980 pour que cela soit rigoureusement \u00e9tabli. H\u00e9las, on ne conna\u00eet ce genre de r\u00e9sultat pr\u00e9cis que dans des cas tr\u00e8s simples, comme celui du verger r\u00e9guli\u00e8rement plant\u00e9. D\u00e8s que les arbres sont plus ou moins dans le d\u00e9sordre, on comprend moins bien le ph\u00e9nom\u00e8ne.<\/p>\n\n\n\n

Informations tr\u00e8s partielles<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Dans le cas qui nous int\u00e9resse, les arbres sont des individus en chair et en os qui ne sont heureusement pas plant\u00e9s r\u00e9guli\u00e8rement et qui se d\u00e9placent. De plus, le nombre de contacts d\u2019un individu, c\u2019est-\u00e0-dire le nombre de personnes qu\u2019il rencontre dans une journ\u00e9e, et qu\u2019il peut potentiellement contaminer, est extr\u00eamement variable d\u2019un individu \u00e0 l\u2019autre. Cela d\u00e9pend de l\u2019endroit o\u00f9 il habite, de son \u00e2ge, et de bien d\u2019autres param\u00e8tres.<\/p>\n\n\n\n

On ne dispose que d\u2019informations tr\u00e8s partielles sur les statistiques de ces contacts. Enfin, un dernier probl\u00e8me se pr\u00e9sente : lorsqu\u2019un malade rencontre une personne saine, la probabilit\u00e9 de contamination est \u00e9galement variable, et mal connue.<\/p>\n\n\n\n

Pour bien faire, il faudrait conna\u00eetre pr\u00e9cis\u00e9ment un grand nombre de param\u00e8tres dont beaucoup sont inaccessibles. Le mod\u00e9lisateur doit s\u00e9lectionner un petit nombre d\u2019entre eux qui lui semblent les plus pertinents, et dont il a une connaissance raisonnable. Il lui faut alors d\u00e9terminer si les autres param\u00e8tres \u2013 qu\u2019il conna\u00eet mal \u2013 pourraient avoir une influence importante sur le r\u00e9sultat de ses pr\u00e9visions. Ce n\u2019est pas facile. La mod\u00e9lisation math\u00e9matique est tout un art.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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