{"id":1611,"date":"2020-03-25T16:24:05","date_gmt":"2020-03-25T15:24:05","guid":{"rendered":"http:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/?p=1611"},"modified":"2020-12-14T22:08:58","modified_gmt":"2020-12-14T21:08:58","slug":"epidemies-aplatir-les-exponentielles","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/2020\/03\/25\/epidemies-aplatir-les-exponentielles\/","title":{"rendered":"Epid\u00e9mies : aplatir les exponentielles"},"content":{"rendered":"\n

https:\/\/www.lemonde.fr\/sciences\/article\/2020\/03\/25\/epidemies-aplatir-les-exponentielles_6034339_1650684.html<\/a>
<\/p>\n\n\n\n

Carte blanche. Ces derniers jours auront au moins permis aux Fran\u00e7ais de comprendre dans leur chair ce qu\u2019est une exponentielle. Nous avons tous pris conscience que les puissances de 2 croissent vraiment vite : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc., pour d\u00e9passer le milliard en \u00e0 peine 30 \u00e9tapes. On sait moins que, si le nombre de nouvelles infections dans une \u00e9pid\u00e9mie double tous les trois jours, la moiti\u00e9 des personnes infect\u00e9es depuis le d\u00e9but de l\u2019\u00e9pid\u00e9mie l\u2019ont \u00e9t\u00e9 depuis moins de trois jours. La fonction exponentielle a des aspects terrifiants.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Le premier scientifique qui a mis en \u00e9vidence ce type de croissance est Leonhard Euler, en 1760, dans un article important intitul\u00e9 \u00ab Recherches g\u00e9n\u00e9rales sur la mortalit\u00e9 et la multiplication du genre humain \u00bb. En 1798, Thomas Malthus comprend que la croissance exponentielle est une menace pour l\u2019humanit\u00e9. Heureusement, en 1840, Pierre-Fran\u00e7ois Verhulst d\u00e9couvre la \u00ab croissance logistique \u00bb, qui permet de comprendre pourquoi les exponentielles doivent finir par se calmer. Il s\u2019agit de la courbe qui fut pr\u00e9sent\u00e9e si clairement sur un plateau de t\u00e9l\u00e9vision par notre ministre de la sant\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

Dans une croissance purement exponentielle, le nombre de nouveaux cas de contamination est proportionnel au nombre de personnes contamin\u00e9es. En formule, la d\u00e9riv\u00e9e y<\/em>\u2019 du nombre de cas y<\/em> est proportionnelle \u00e0 y<\/em>, ce qui se traduit par une \u00e9quation diaboliquement simple y\u2019 = ay<\/em>, dont la solution exponentielle y = exp (at)<\/em> rappelle peut-\u00eatre des souvenirs au lecteur. Le coefficient \u00ab a<\/em> \u00bb d\u00e9pend du nombre moyen de contacts que nous avons : plus il est grand et plus l\u2019exponentielle explose rapidement.<\/p>\n\n\n\n

Courbe en cloche<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Dans une croissance logistique, le nombre de nouveaux cas de contamination est proportionnel au nombre de personnes d\u00e9j\u00e0 contamin\u00e9es, mais aussi au nombre de personnes contaminables, c\u2019est-\u00e0-dire qui n\u2019ont pas d\u00e9j\u00e0 \u00e9t\u00e9 contamin\u00e9es. Heureusement, le nombre de personnes contaminables diminue au fur et \u00e0 mesure de l\u2019\u00e9pid\u00e9mie, et l\u2019\u00e9volution s\u2019infl\u00e9chit.<\/p>\n\n\n\n

En formule, y\u2019 = ay (1-y\/b)<\/em> o\u00f9 b<\/em> d\u00e9signe la population totale. Dans ce mod\u00e8le, le nombre de nouveaux cas suit la courbe en cloche dessin\u00e9e par le ministre. Une croissance exponentielle au d\u00e9but (quand le nombre de cas est encore petit), puis un maximum, et enfin une d\u00e9croissance. Le seul param\u00e8tre sur lequel nous pouvons agir est ce coefficient \u00ab a<\/em> \u00bb qui semble anodin, li\u00e9 au nombre moyen de nos contacts. Lorsqu\u2019on diminue \u00ab a<\/em> \u00bb, la courbe garde la m\u00eame allure, mais elle s\u2019aplatit. Certes le pic arrive plus tard, mais il sera moins haut. L\u2019\u00e9pid\u00e9mie dure plus longtemps, mais elle est moins meurtri\u00e8re. Voil\u00e0 pourquoi il faut rester chez soi !<\/p>\n\n\n\n

Au XVIIIe<\/sup> si\u00e8cle, on se posait la question de l\u2019int\u00e9r\u00eat de l\u2019inoculation pour lutter contre la variole, qui avait d\u00e9cim\u00e9 pr\u00e8s de la moiti\u00e9 des Europ\u00e9ens. Il s\u2019agissait d\u2019une version tr\u00e8s primitive de la vaccination, mais qui pr\u00e9sentait des dangers pour les patients inocul\u00e9s (contrairement \u00e0 la vaccination). Le math\u00e9maticien Daniel Bernoulli \u00e9crira un article intitul\u00e9 \u00ab Essai d\u2019une nouvelle analyse de la mortalit\u00e9 caus\u00e9e par la petite v\u00e9role, et des avantages de l\u2019inoculation pour la pr\u00e9venir \u00bb qui d\u00e9montre math\u00e9matiquement que l\u2019inoculation est b\u00e9n\u00e9fique. H\u00e9las, il ne sera pas \u00e9cout\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

Quelques ann\u00e9es plus tard, l\u2019article \u00ab Inoculation \u00bb de l\u2019encyclop\u00e9die de Diderot et d\u2019Alembert affirmera : \u00ab Quand il s\u2019agit du bien public, il est du devoir de la partie pensante de la nation d\u2019\u00e9clairer ceux qui sont susceptibles de lumi\u00e8re, et d\u2019entra\u00eener par le poids de l\u2019autorit\u00e9 cette foule sur qui l\u2019\u00e9vidence n\u2019a point de prise. \u00bb<\/em><\/p>\n\n\n\n

C\u2019est peut-\u00eatre vrai, mais c\u2019est encore plus vrai quand \u00ab la partie pensante \u00bb explique clairement ses choix en tra\u00e7ant une courbe sur un plateau de t\u00e9l\u00e9vision.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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