|
Grégory Miermont
Unité de Mathématiques Pures et Appliquées École Normale Supérieure de Lyon 46, allée d'Italie 69364 Lyon Cedex 07 France Courrier électronique : Bureau : Sud 435 Téléphone : (+33) 4 72 72 84 21 |
|
Enseignement
Intégration et probabilités
Notes de cours. Cours de second semestre de L3 à l'ENS de Lyon.Ces notes sont en cours d'élaboration, commentaires et critiques sont bienvenus.
Partiel 2014, Exam 2014.
Partiel 2015, Exam 2015.
Préparation au concours de l'Agrégation
Préparation à l'option probas/stats de l'agrégation.Feuille d'exercices.
Voici un petit aide-mémoire conçu par Yves le Jan et Sophie Lemaire pour la préparation des textes.
Théorèmes limites et processus de Poisson.
Notes de cours et exercices. Cours dans le cadre du M2 Probabilités et Statistiques d'Orsay entre 2009 et 2012.Résumé : Ce cours permettra de se familiariser avec la notion de processus à temps continu, et de convergence faible dans les espaces de fonctions. Un résultat des plus importants dans cette veine est le théorème de Donsker, selon lequel une marche aléatoire en dimension d, convenablement renormalisée, et dont les pas sont indépendants et de même loi, de matrice de covariance scalaire, converge en loi vers un mouvement brownien.
Une seconde partie du cours sera consacrée aux processus de Poisson et aux processus de Lévy, qui sont des outils fondamentaux en probabilités.
- 1- Convergence faible des mesures de probabilités. Familles tendues, théorème de Prokhorov, théorème de représentation de Skorokhod
- 2- Processus à temps continu, théorèmes limites. Loi d'un processus, théorème de Kolmogorov. Processus continus et càdlàg, critères de tension, théorème de Donsker.
- 3- Mesure ponctuelle et processus de Poisson, fonctionnelle de Laplace. Lois ID, formule de Lévy-Khintchine. Processus de Lévy, construction de Lévy-Itô.
- J. Bertoin : Lévy processes. Cambridge University Press
- P. Billingsley : Convergence of probability measures. Wiley
- S.N. Ethier, T.G. Kurtz : Markov processes : characterization and convergence. Wiley
- W. Feller : An introduction to probability theory and its applications, II. Wiley
- J.F.C. Kingman : Poisson processes. Oxford University Press
- K.R. Parthasarathy : Probabilty measures on metric spaces. AMS Publishing
- D. Revuz et M. Yor : Continuous martingales and Brownian motion. Springer
- D. Stroock : Probability theory, an analytic view, Cambridge University Press.
Cartes aléatoires
Cours de M2, dans le cadre du trimestre thématique STATCOMB2009.Les vendredis 16, 23, 30 octobre et 13, 20 novembre, 10h-12h et 14h-16h.
Amphithéâtre Darboux/salle 314, IHP.
Résumé : L'étude des cartes, c'est-à-dire des graphes sur des surfaces, considérés à homéomorphisme près, est connue tout particulièrement pour ses purs aspects de théorie des graphes, via le théorème des quatre couleurs. Un pan de ce domaine, en lien avec la théorie des probabilités, a connu un essor récent, tirant sa motivation dans des problèmes de physique théorique, où l'on considère des surfaces prises "au hasard".
L'interprétation probabiliste de techniques
bijectives de dénombrement de cartes s'avère
particulièrement
fructueuse, et fait apparaître, entre autres, les limites
d'échelle d'autres structures combinatoires aléatoires,
comme l'arbre continu brownien (illustration ci-contre, cliquer dessus
pour plus de détails)
et le serpent brownien.
La majeure partie du cours sera dédiée à la construction et à l'étude de la limite d'échelle des quadrangulations aléatoires uniformes, qui, en un certain sens, est une telle surface choisie uniformément au hasard.
Une liste complète de références sera donnée pendant le cours.
Pour un petit panorama sur les limites d'échelle des cartes, on pourra aussi consulter l'article de survol ci-dessus (Progress in Probability 61, Birkhaüser) qui couvre nombre des aspects qui seront explorés en détail lors du cours.
Advanced Probability
Notes de cours (et exercices) donné à Cambridge (Part III, 2005 et 2006). Martingales, convergence en loi, mouvement brownien et mesures de Poisson.