\documentclass[class=book,preview=false,crop=false]{standalone}

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\begin{document}
\chapter{Notions de cristallographie}

\section*{Ressources utilisées}
\begin{itemize}
\item Cours de T. \textsc{Le Bahers}, prise de notes
\item \textsc{Fosset}, PCSI
\item L'indispensable en État solide, \textsc{Bonnardet}
\end{itemize}

\section*{Introduction}
\pedagogie{Dans toute cette fiche, les notions de cours permettant la description simple d'un cristal sont en général de niveau L1 là où d'autres notions (diffraction de rayons X, indices de \textsc{Miller}, espace réciproque...) sont plutôt attendues en L3 voire Master.

Le cours est repris ici dans l'ordre de celui donné par T. LB. L'introduction et les aspects historiques sont tirés du \textsc{Fosset}.}

À l'état de phase condensée (liquide ou solide), la matière n'occupe pas tout le volume disponible.
Pour différencier encore état liquide et solide, on considère la (non-)forme propre de la matière.
En effet, à l'état liquide, la matière ne possède pas de forme propre, alors qu'à l'état solide, si.
Dans les solides, on distingue alors les solides amorphes (non ordonnés...) et les solides cristallins/cristallisés (ordre important).

\histoire{L'étude des cristaux d'eau : les flocons, par \textsc{Kepler} en 1700, mène à considérer un arrangement régulier de « sphères ».
  La cristallographie commence véritablement à se constituer avec les travaux de \textsc{Bravais} et son approche mathématique.
L'essor de ce domaine doit attendre particulièrement les méthodes d'investigation et donc le XXème siècle avec la diffraction des rayons X.}

\section{Généralités}
\subsection{Vocabulaire}
\begin{description}
\item[Cristal] Il s'agit d'un motif (physique) répété périodiquement.
\item[Motif] Il s'agit de la réalité physique qui est répétée periodiquement (atome, molécule).
\item[Réseau] Le réseau est l'ensemble (mathématique) des points tels que :
  \begin{equation}
    \vec{r} = n\vec{a} + m\vec{b}, + p\vec{c}\text{ où n, m et p sont des entiers relatifs.}
  \end{equation}
\item[Maille élémentaire]
  On définit la maille élémentaire comme étant le jeu de vecteurs construisant le volume (ou la surface en 2D) le plus petit permettant de construire le réseau (elle ne contient qu'un n\oe ud).
\item[Maille multiple] On parle de maille multiple lorsqu'une maille contient plusieurs n\oe uds du réseau.
  \remarque{L'intérêt de telles maille est en générale leur simplicité géométrique.

  Des exemples sont donnés p. 649 du \textsc{Fosset}.}
\item[Structure cristalline] Il s'agit de l'association d'un motif et d'un réseau.
  \exemple{Fig. 11.8 du \textsc{Fosset}.}
  \exemple{Penser par exemple aux solides moléculaires : le motif est la molécule (glucose) et le réseau seulement des points.

  Voir \href{http://www.epn-campus.eu/fileadmin/workshops_events/Symposium_Bragg_2013/doc/IMBERTY_Anne_Conf_28nov13_cristallo_sucre.pdf}{http://www.epn-campus.eu/fileadmin/workshops_events/Symposium_Bragg_2013/doc/IMBERTY_Anne_Conf_28nov13_cristallo_sucre.pdf}, p. 15.}
\end{description}

Enfin, l'association des différents éléments de symétrie* mène à l'établissement de sept systèmes cristallins fondamentaux (cubique, hexagonal, quadratique, orthorhombique, rhomboédrique, monoclinique et triclinique), pour lesquels les réseaux possibles (Primitif, In, Faces centrées, deux faces Centrée).
Cela amène alors à l'ensemble réseaux de \textsc{Bravais}.
\remarque{Voir \href{systemes_cristallins_bonnardet}{\texttt{systemes\_cristallins\_bonnardet}}.}

\subsection{Les structures de base}
\begin{description}
\item[Cubique face centrée]
  \exemple{Quelques solides métalliques : Al, Cu, Ni, Ir, Pt...}
\item[Hexagonal compact]
  \exemple{D'autres solides métalliques : Be, Mg, T, Re, Ru...}
\item[Structure \ce{NaCl}] ou structure du sel gemme.
  \remarque{En général, pour les solides ioniques, commencer par les anions. (exception pour le fluorite).}
  Les ions chlorure occupent les n\oe uds d'un réseau cfc ; les ions sodium occupent les sites octaédriques du réseau.
  \remarque{On peut aussi décrire le cristal comme l'association de deux sous-réseaux cfc.}
  \exemple{Traité dans le \textsc{Fosset}, p. 693.}
\item[Structure \ce{CsCl}] un sel d'halogène qui ne cristallise pas en sel gemme.
  Les ions chlorure occupent les n\oe uds d'un réseau cubique, les ions césium les centres.
  \remarque{On peut aussi décrire le cristal comme l'association de deux sous-réseaux cubique simple.}
  \exemple{Traité dans le \textsc{Fosset}, p. 692.}
\item[Structure \ce{ZnS}] ou structure de la blende.
  Les anions sulfures occupent les n\oe uds d'un réseau cfc, là où les ions zinc II occupent la moitié des sites tétraédriques.
  \exemple{Traité dans le \textsc{Fosset}, p. 694.}
  \remarque{Ressemblance avec le diamant : si même atome.}
\item[Péroskite et spinelles] Voir cours Oxydes (métalliques).
\item[Rutile, \ce{TiO2}] Voir cours Oxydes (métalliques).
\end{description}

\subsection{Les sites intersticiels}
Démonstrations à savoir faire avec les conditions de tangence...

\section{Diffraction des rayons X}
\histoire{
Généralités : voir \textsc{Fosset}, p. 646.}
\subsection{Plans réticulaires}
Les n\oe uds du réseau peuvent être regroupés en plans parallèles nommés plans réticulaires.
Pour une famille de plans, l'équation de celui qui passe par l'origine est :
\begin{equation}
  hx + ky + lz = 0\text{, où h, k et l sont des entiers relatifs.}
\end{equation}

$(h, k, l)$ sont appelés indices de \textsc{Miller} de la famille de plans considérée.
On définit la normale caractérisant cette famille :
\begin{equation}
  \vec{N}_{hkl} = h \frac{\vec{b}\times\vec{c}}{V} + k \frac{\vec{c}\times\vec{a}}{V} + l \frac{\vec{a}\times\vec{b}}{V}\text{, où }V\text{ est le volume de la maille.} 
\end{equation}

\remarque{On peut introduire les vecteurs de l'espace réciproque $\vec{a}^*$ et ainsi de suite...}

On écrit alors que la différence entre deux plans est :
\begin{equation}
  d_{hkl} = \frac{1}{||\vec{N}_{hkl}||},
\end{equation}
ou pour un système cubique ou tétragonal :
\begin{subequations}
  \begin{align}
    d_{hkl}^C &= \displaystyle\frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}},\\
    d_{hkl}^T &= \displaystyle\frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + \frac{a^2}{c^2}l^2}}.
  \end{align}
\end{subequations}

\subsection{Rayons X et production}
Les rayons X sont compris entre \SI{0.1}{\angstrom} et \SI{100}{\angstrom}.
Dans notre cas, seuls des plans d'atomes vont être à l'origine de la diffraction, il faut donc une longueur d'onde de l'ordre de \SI{1}{\angstrom}.

L'émission d'un tel photon repose sur un principe (en général) de fluorescence X : une source d'électron vient percuter un atome, lui faisant perdre à son tour un électron dans une couche interne ($1_s$) ; un électron d'une couche plus haute est alors désexcité, avec émission du photon.
\remarque{Précisions sur le fonctionnement de l'appareil \href{diffraction_rayons_X_bonnardet}{\texttt{diffraction\_rayons\_X\_bonnardet}}.}

\subsection{Loi de \textsc{Bragg} et facteur de structure}
\histoire{Énoncée en 1915.}
\begin{equation}
  2d\sin{\tetha} = n\lambda.
\end{equation}
\section*{Conclusion}

\end{document}