\documentclass[class=book,preview=false,crop=false]{standalone}

\usepackage{../../fiche}

\setcounter{chapter}{28}
\begin{document}
\chapter{Filtrage}

\section*{Ressources utilisées}
\begin{itemize}
\item \textsc{}
\item \textsc{}
\item \textsc{}
\end{itemize}

\section*{Pré-requis}
\begin{itemize}
\item Régime sinusoïdal forcé et notation complexe, circuit RLC
\item Trouver et résoudre une équation différentielle simple
\item Principe fondamental de la dynamique, forces
\end{itemize}

\section*{Éléments imposés possibles}

\section*{Introduction pédagogique}
\begin{description}
\item[Niveau]
\item[Difficultés]
\item[Travaux dirigés]
\item[Travaux pratiques]
\end{description}

Élément imposé : conception d'un filtre passe-bande.
Placé au niveau BCPST2, pour lequel on a besoin de pré-requis

Difficulté de cette leçon : très calculatoire et peu paraître abstraite.
Il faudra donc mettre du contexte, ancrer dans le réel les notions vues
Aussi, il faudra que les élèves comprennent qu'on peut décomposer un signal périodique en somme de signaux sinusoïdaux. (utilisation de geogebra pour cela)
Une dernière difficulté est le tracé des diagrammes de \textsc{Bode}

Choix pédagogique de faire un passe-bas d'ordre 1 et un passe-bande d'ordre 2.
Alors en TD on pourra s'intéresser à d'autres
En TP, travailler sur le tracé des diagrammes de \textsc{Bode}

\objectifs{Comprendre les fonctionnement des filtres en électrocinétique

Analogie électro-mécanique}

\section*{Introduction}
Dans la vraie vie, on a des filtres de toute sorte !
\projection{Tamis et radio...}
Les chercheurs d'or cherchaient à l'aide d'un tamis ; nous, tous les jours, radio : sélectionner une chaîne parmi plein.

Dispositif qui permet de séparer les constituants d'un système selon une propriété physique.
La taille pour un tamis, la fréquence pour la radio !

On s'intéresse aujourd'hui aux filtres en électrocinétique, qui filtre les fréquences.

\section{Filtre passe-bas du premier ordre}
\subsection{Notions utiles}
On introduit un circuit électrique : un générateur BF relié à une résistance de 10 komh et une capacité de 10 micro farad
On va observer à l'aide d'un oscilloscope le signal aux bornes du condensateur.
\experience{Le faire ?}

On se rend compte que le signal sera atténué aux hautes fréquences.

[Circuit RC] un circuit RC est un filtre passe-bas.
Ok, ça se voit expérimentalement.
Mais est-ce qu'on peut le prévoir ??

On sait qu'à haute fréquence, un condensateur s'apparente à un fil [circuit équivalent, sortie = 0] ; et à basse fréquence, c'est un interrupteur ouvert [circuit équivalent, sortie = entrée].
Il s'agit ici d'une étude qualitative...
Mais on peut étudier plus précisemment ces filtres, avec notamment :
\begin{description}
\item[Fonction de transfert]
\begin{equation}
  \underline{H(w)} = \frac{\underline{U_s}}{\underline{U_e}}.
\end{equation}
que l'on peut calculer pour le circuit RC [le faire].
On peut alors poser une fréquence particulière $\omega_0$

\item[Gain] qui s'exprime en décibells
  \begin{equation}
    G = 20\log{\left( |\underline{H(w)}| \right)}
  \end{equation}

\item[Phase] l'argument de la fonction de transfert [expression]
\item[Diagramme de \textsc{Bode}] la donnée des graphes du gain et de la phase en fonction de la fréquence.
  Expliquer la prise de point expérimentale.
\end{description}
\subsection{Représentation graphique}
Tracer les diagrammes expérimentaux, tracer le comportements asymptotiques.

On observe bien ici que le gain diminue effectivement à haute fréquence. [Commenter la pente du gain en filtrage]
\remarque{Pas seulement utiliser en électrocinétique, c'est aussi utilisable notamment en traitement de signal ou d'image ! pour flouter une image, on lui applique un filtre passe-bas.}

Ok, en filtre les fréquences basses... mais c'est pas ce qui nous intéresse pour sélectionner une station de radio !

\section{Filtre passe-bande d'ordre 2}
\projection{Circuit RLC}
\experience{Oscilloscope pour observer la tension aux bornes de la résistance.}

On fait varier R de 10 à 1000 ohm.
\remarque{On attire l'attention sur pourquoi c'est la résistance qu'on fera varier...}

L'étude théorique se fait de la même façon ! on écrit la fonction de transfert...
[Retrouver la fonction de transfert simplement avec les impédances complexes...]

Cette fois-ci, on introduit la pulsation propre ainsi que le facteur de qualité Q.
\begin{equation}
  \underline{H(\omega)} = \frac{1}{1+jQ\left( \frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega} \right)}
\end{equation}
avec facteur qualité et $\omega_0$ à exprimer !

Il s'agit alors ici d'un dispositif qui sélectionne une partie des fréquences, en coupant les basses et les hautes fréquences !

Décomposition d'un signal carré en somme de signaux sinusoïdaux.
\projection{\texttt{Geogebra} pour tracer des signaux carrés... s'entraîner à le faire rapidemment.}

\experience{En entrée, un signal carré, donne dans le RLC : ...}
On observe qualitativement que le circuit permet de passer d'un signal carré à quelque chose de plus sinusoïdal (?).
De plus, on remarque qu'en faisant varier seulement R, on ne modifie que le facteur qualité, et on peut observer ce qu'il se passe sur l'oscilloscope.

Reprendre le calcul du gain et de la phase.

[Tracé les diagrammes de \textsc{Bode} en vertical]
Si R augmente, Q diminue, le diagramme est moins piqué !

Expérimentalement, lorsque R augmente, la largeur du pic varie, on est donc moins sélectif.
Or ce qu'on veut pour la radio, c'est que le gain soit maximum pour une fréquence.


Définir la bande-passante.

Intéressant à faire expérimentalement : comparer les valeurs caractrésistiques théorique du filtre aux valeurs que l'on détermine expérimentalement, avec incertitudes comprises
\experience{À faire.}

\section{Analogie électromécanique}
\exemple{Roue de voiture sur une route cabossée ; roue reliée à un amortisseur (un ressort et un amortisseur)}
Frottement dans l'amortisseur en :
\begin{equation}
  F = -\lambda (zpoint - zpoint_0)
\end{equation}

Mener le PFD...
Calcul de la fonction de transfert...

\projection{Analogie électromécanique, tableau}

Tout l'enjeu est de trouver un amortisseur dont la fréquence de résonance n'est pas dans la gamme de la fréquence de variation de la route.
On veut aussi que ce filtre y soit piqué, pour que toutes les fréquences liées aux variations de la route ne soit pas sélectionnées.

\section*{Conclusion}

\section*{Questions}
\begin{longtable}{p{6cm}p{7cm}}
  \textbf{Questions}&\textbf{Réponses}\\
  \cline{1-2}
  \cline{1-2}
  C'est vraiment un passe-bande le résultat que vous obtenez à la fin ? & Passe-bas\\
  Quel facteur qualité on a intérêt à chercher pour l'amortisseur de voiture ? & \\
  Comment fonctionne, en terme de schéma électrique, l'oscilloscope ? & Résistance en parallèle... \\
  Donc la fonction de transfert de filtres en cascade est-elle vraiment le produit des fonctions de transfert & Non... \\
  Il faut ? & Adaptation d'impédance ! Suiveur... \\
  La résistance du RLC, on l'a comment ? & Sommer la résistance choisie, les résistances autres (générateur, inductance...). \\
  Définition du facteur qualité et de la bande passante... c'est valable tout le temps $\Delta\omega = \frac{\omega_0}{Q}$ ? & Non il faudrait définir comme différences des fréquences de coupures...\\
  D'où sort le 20 dans la définition du gain en dB ? Pourquoi des dB ? & Rapport des puissances fait apparaître le 2 ! et le 10 vient du fait qu'on est en déci, le log en bell.\\
  Qu'est-ce que tu voulais montrer avec le signal carré et \texttt{geogebra} ? & \\
\end{longtable}

\section*{Débrief}
Il manquait les comportements asymptotiques.

Pour faire dans le détail si on veut vraiment aller si loin, peut-être ne pas traiter les deux filtres.
Prendre le passe-bas en pré-requis puis travailler précisemment sur le passe-bande d'ordre 2.

\remarque{Relire l'optique de \textsc{Fourier} pour filtrage de fréquences spatiales}

\end{document}