\documentclass[class=book,preview=false,crop=false]{standalone}

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\usepackage{../../fiche}

\setcounter{chapter}{28}
\begin{document}
\chapter{Filtrages (supérieur)}

\section*{Ressources utilisées}
\begin{itemize}
\item \textsc{Grécias} PCSI, T\& D vert bleu (Référence Prépa)
\item Leçon de \textsc{L. Pontoglio}, correction de P. \textsc{Rigord}
\item Voir fiche de \textsc{M. Leconte} pour version alternative de cette leçon
\end{itemize}

\section*{Pré-requis}
\begin{itemize}
\item Circuits électriques, R, L, C
\item Notation complexe
\item Impédances usuelles, associations d'impédances
\item Mécanique : force de rappel, force de frottement fluide
\item (passe-X d'ordre 1 ?)
\item (optique)
\end{itemize}

\remarque{Il est possible de placer les filtres linéaires d'ordre 1 en pré-requis si l'on veut mener les calculs de l'ordre 2 dans les détails... sinon, on peut rester descriptif.}
\section*{Éléments imposés possibles}
Optique de \textsc{Fourier} ;

\section*{Introduction pédagogique}
\remarque{Réfléchir à la possibilité de simuler l'entrée, la fonction de transfert et la sortie !}
\begin{description}
\item[Niveau] BCPST2 (ou L1)
\item[Difficultés]
  L'intérêt du diagramme de bande de la phase...
  \remarque{Je l'ai perdu, mais je sais qu'il y en a au moins un.}

  Mais pour le comprendre, insister sur le fait que c'est la fonction de transfert qui caractérise le filtre : c'est pourtant un complexe.
  Il faut donc deux informations pour la connaître : parties réelle et imaginaire OU amplitude et phase.
\item[Travaux dirigés]
  Étude de circuits ; études de fonctions de transfert (faire des va-et-vient), tracés asymptotiques de diagrammes de \textsc{Bode}.
\item[Travaux pratiques]
  Tracé réel de diagramme de \textsc{Bode}, influence/mesure de la pulsation de coupure/propre, du facteur de qualité.
\end{description}

Il s'agit d'une leçon que nous plaçons à un niveau de BCPST2, bien qu'elle puisse être traitée à un niveau de première année de licence.
L'objet de la leçon est la présentation de la notion de filtrage, et de filtre linéaire, aux élèves de BCPST2.
On s'attachera à redémontrer rapidemment les équations électriques utiles dans les cas simples, après avoir fait chaque fois que c'est possible, une étude qualitative d'un système/circuit qu'on suppose être un filtre.
Il s'agira aussi de présenter aux élèves l'outil \emph{double} qu'est le diagramme de \textsc{Bode}, en amplitude et en phase, pour illustrer les caractéristiques des filtres (linéaires) étudiés.

Aussi, en allant jusqu'à la présentation du filtre passe-bande, que l'on peut rattacher aux réel pour les élèves avec le fonctionnement du poste de radio, on pourra éventuellement ouvrir sur les filtres mécaniques (en particulier, un amortisseur de voiture...).

On profitera de la difficulté croissante entre les parties pour donner les définitions, ainsi que la méthode, au fur et à mesure de la leçon.
On inviterait bien sûr les élèves à reprendre ces définitions à part ; mais de cette façon, le cours en sera plus agréable à suivre.

\section*{Introduction}
Les signaux périodiques sont décomposables en série de composantes sinusoïdales (série dite de \textsc{Fourier}).

On appelle filtre un circuit capable de transmettre sélectivement certaines composantes sinusoïdales du signal périodique appliqué en entrée du système.

\remarque{Un filtre, linéaire, est donc un système qui modifie le spectre d'un signal, mais pas les fréquences !}

Nous allons voir aujourd'hui comment décrire un filtre et le caractériser, dans le cas pratique de l'électrocinétique, domaine de l'étude des signaux dans les circuits électriques (en particulier avec les dipôles connus, notamment en série, R, L et C).
En effet, vous connaissez directement l'un de ces filtres, celui du poste radio : il vous permet de sélectionner une gamme, ou une bande, de fréquences.

\section{Filtres du premier ordre}
\subsection{Présentation qualitative}
\experience{On pourrait faire une mise en évidence expérimentale.

  En effet, on peut observer à l'oscilloscope un signal en entrée et en sortie d'un circuit ; le signal d'entrée serait appliqué entre la terre et la résistance, le signal de sortie pris entre la terre et l'autre borne de la résistance.

  On observe expérimentalement une diminution du signal... qui dépend de la résistance du système (la faire varier).

Aussi, on pourrait montrer la fonction pulse d'un GBF ?}
Un filtre, en électrocinétique, est donc un circuit qui reçoit en entrée un signal : une tension, et renvoie en sortie un autre signal : une autre tension, modifiée.
Il s'agit donc d'un quadrupôle.
[Tracer un quadrupôle, avec un dipôle $D_1$ et $D_2$ en parallèle.]
\remarque{À quel moment passer en complexes ? ...}

L'effet du filtre, donc du quadrupôle, sur l'entrée (visible en sortie) dépend donc des composants que l'on y place : des résistances, bobines (inductances), condensateurs (capacités)...

\exemple{Tracer un filtre RC, sortie prise en C.}
On se souvient qu'en électrocinétique, l'impédance pour un condensateur est :
\begin{equation}
  \underline{Z_c} = \frac{1}{j\omega C}
\end{equation}
Pour une tension d'entrée qui aurait une fréquence $\omega$, on peut alors effectuer le résonnement suivant :
\begin{itemize}
\item à basse fréquence, le condensateur se comporte en coupe-circuit, comme un interrupteur ouvert : la tension de sortie est égale à celle d'entrée ;
\item à haute fréquence, le condensateur se comporte en court-circuit, commme un interrupteur fermé : la tension de sortie est nulle.
\end{itemize}

On dit qu'il s'agit d'un filtre passe-bas : le filtre sélectionne les basses fréquences.
Bien sûr, par un raisonnement analogue, en prenant la sortie sur la résistance, on pourrait montrer qu'on a un filtre passe-haut.

Mais tout cela n'est que qualitatif pour l'instant ; cependant, les calculs exacts, vous savez les faire : nous allons seulement leur donner maintenant un cadre.

\subsection{Fonction de transfert et représentation}
Pour étudier un filtre, on se place en notation complexes pour les tensions et les intensités et on étudie, en fonction de la pulsation $\omega$, le rapport :

\begin{equation}
  \underline{H(w)} = \frac{\underline{U_s}}{\underline{U_e}}.
\end{equation}
que l'on peut calculer pour le circuit RC [le faire].

On définit par ailleurs :
\begin{description}
\item[le gain] qui s'exprime en décibells
  \begin{equation}
    G = 20\log{\left( |\underline{H(w)}| \right)}
  \end{equation}

\item[la phase] l'argument de la fonction de transfert [expression]
\item[et enfin, le diagramme de \textsc{Bode}] la donnée des graphes du gain et de la phase en fonction de la fréquence.
\end{description}
On peut alors poser une pulsation particulière $\omega_0 = \frac{1}{RC}$.
\remarque{On définit cette pulsation comme la pulsation telle que :
  \begin{equation}
    G(\omega_c) = \frac{G_{\text{max}}}{\sqrt{2}},
  \end{equation}
  ce qui permet, dans ce cas, de déterminer la pulsation de coupure.
  On note par ailleurs que cette pulsation correspond à une chute de 3 dB.
}

\experience{Expliquer la prise de point expérimentale.}
\exemple{Tracer sur \texttt{Python}.}

\remarque{Il est essentiel de se souvenir que le diagramme de \textsc{Bode} combine un diagramme en gain et un diagramme en phase !

  En effet, la fonction de transfert est complexe, et c'est elle qui caractérise le filtre.
  L'important est donc d'avoir deux informations sur la fonction de transfert.
Usuellement, l'amplitude et la phase (diagrammes de \textsc{Bode}) ; plus rarement, la partie réelle et la partie imaginaire (diagramme de \textsc{Nyquist}).}

De même, pour le passe-haut, on trouvera une fonction de transfert qui traduit les comportements asymptotiques prédits, et que l'on peut tracer (en gain et en phase). (voir TD/TP ?)

\section{Un filtre du second ordre : le filtre passe-bande}
\pedagogie{On pourra aller plus vite : toujours à l'aide de la notation complexe et des associatinos d'impédances...}

\begin{description}
\item[la fonction de transfert]...
\item[les caractéristiques...] d'abord, la pulsation propre ; le facteur qualité
\item[... d'un passe-bande ?] bande passante
\end{description}

\exemple{Tracer sur \texttt{Python}}

\section{Analogie électrociténique -- mécanique}
On considère un système d'amortissement de voiture : le système est composé d'une masse (qu'on considèrera ponctuelle), d'un ressot et d'une source de frottement fluide.

\exemple{
La voiture se déplace sur une route « ondulée », voir \textsc{Salamito} PCSI p. 472.
}

À partir des équations de la mécanique, il est possible, comme celles-ci sont linéaires, de passer en notation complexe.
On peut alors de la même façon écrire une fonction de transfert, où la pulsation propre et le facteur de qualité ont d'autres expressions, mais les mêmes rôles !
\section*{Conclusion}
Conclure, comparer les filtres, éventuellement remettre l'analogie...
(Ouverture sur le filtrage optique : optique de \textsc{Fourier} ?)


\end{document}
