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\setcounter{chapter}{27}
\begin{document}
\chapter{Phénomènes de transport (systèmes ouverts)}

\section*{Ressources utilisées}
\begin{itemize}
\item Th.G, 16 juin 2019, \href{http://thibault.giauffret.free.fr}{\texttt{http://thibault.giauffret.free.fr}}
\item Référence prépas vert/bleu, PC/PC*, \textsc{Olivier} p. 463
\item Compétences Prépas, BCPST2, \textsc{Baude} et \textsc{Grécias}
\item Physique expérimentale, \textsc{Fruchart}
\item Thermodynamique des systèmes ouverts : \textsc{Pérez}, Chapitre 13, p. 233 ; \textbf{Regarder le chapitre 4 !}
  \item Thermodynamique des systèmes ouverts : \textsc{Sanz}, PC/PC*, Chapitre 1.
\end{itemize}

\section*{Pré-requis}
\begin{itemize}
\item Conduction électrique, thermique
\item Diffusion de matière
\item Thermodynamique : énergie interne, enthalpie, grandeurs extensives...
\item Thermodynamique : premier principe en système fermé
\end{itemize}

\section*{Éléments imposés possibles}

\section*{Fait précedemment}
I Transport de masse par convection (Description d'un système ouvert, Bilan de masse pour un système ouvert) II Transport d'énergie pour un système ouvert (Bilan énergétique pour un système ouvert, Application au mélangeur du robinet). 

D'après CR de 2018, éviter I Description des phénomènes de transport, II Transport de charge par conduction électrique
(essayer de rester loin de la conduction électrique ?)


\section*{Introduction pédagogique}
\begin{description}
\item[Niveau] Généralement L2.
  Par exemple, BCPST2 le programme s'étend du transport de matière et d'énergie par conduction (diffusion de matière, conduction électrique, conduction thermique) au transport de matière et d'énergie par convection (débits, bilan de masse, bilan d'énergie, toujours en régime permament, machines thermiques).

  Autre exemple, PC, bilans dynamiques...
\item[Difficultés]
  Naturellement, les difficultés porteront principalement sur la définition des systèmes étudiés, pour lesquelles il s'agira d'insister puisque c'est la première introduction des systèmes ouverts que l'on fera aux élèves.
  Pour que la notion de système ouvert soit comprise le plus aisément, elle sera ramenée à la notion de système fermé, connu et étudié juste avant par les élèves.
  Une autre difficulté tiendra dans la capacité à séparer les différents modes de transport (diffusion, convetion...) ; pour palier à cela, le mode de transport sera toujours rappelé et éventuellement comparé à d'autres.
\item[Travaux dirigés]
  Études de plusieurs machines thermiques pour mettre en application, sur chacune des parties, le premier principe de la thermodynamique en écoulement.
\item[Travaux pratiques]
  ...
  Mesures de débits massiques ?
  Modélisation d'un robinet mélangeur ?
\end{description}

\section*{Introduction}
Dans le cours précédent, nous avons traité des phénomènes de diffusion : par exemple la diffusion de matière, ou la conduction thermique.
Nous avions noté alors que ces phénomènes n'impliquaient pas de transport microscopique de matière.
\experience{Tube cyclique avec colorant à un coin, chauffer en dessous de la zone colorée et observer un déplacement de matière, bien plus rapide que ce qu'était la diffusion.}
Mais vous le savez bien, la conduction thermique n'est pas seule responsable de l'homogénéisation en température d'un fluide, par exemple : certains phénomènes de transport font intervenir des déplacements macroscopique de matière qui joue donc sur le transfert de matière et d'énergie dans un système, ouvert ou fermé.
Un \textbf{système ouvert}, contrairement à un système fermé, est un système pouvant échanger de l'énergie ou de la masse avec le système extérieur.

Aujourd'hui, nous nous intéressons particulièrement au phénomène de transport macroscopique de matière et ses conséquences, dans un système dit ouvert.
\objectifs{Comprendre les phénomènes de transport de masse dans un système ouvert et les conséquences sur le transport d'énergie.}

\section{Transport de masse par convection}
Intéressons-nous tout d'abord à un système modèle : un tuyau, dans lequel s'écoule un fluide, en régime permanent.
[Schéma tuyau cylindrique de section S, orienté selon d'axe des x]
Comment caractériser le transport de masse dans ce tuyau ?

Première question à se poser : comment définir un système dans lequel appliquer ce qu'on sait ?
\subsection{Description du système ouvert}
Le fluide est en écoulement, et on suppose qu'il n'y a pas de création de masse dans la conduite.
On doit définir un système \textbf{ouvert}, c'est à dire pour lequel la matière peut entrer et sortir.
La façon la plus simple de définir ce système aujourd'hui, c'est de considérer un système fermé, que l'on va suivre en fonction du temps.

\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[scale=0.8]{systeme.png}
  \caption{Défintion des systèmes, à dessiner étapes par étapes !}
\end{figure}

On définit donc le système $\Sigma (t)$ que l'on suit dans le temps, pendant une durée $\mathrm{d}t$ et que l'on retrouve comme $\Sigma (t+\mathrm{d}t)$.
L'intersection entre ces deux systèmes (en réalité le même, pris à deux instants différents !) amène à ce qu'on appelle un système ouvert $SO$, pour lequel une masse $\mathrm{d}m_e$ rentrerait alors qu'une masse $\mathrm{d}m_s$ en sortirait.
Cela s'imagine plus facilement en réécrivant la masse du système fermé à différents temps :
\begin{equation}
  m_{\Sigma}(t) = \mathrm{d}m_e + m_{SO}(t)
\end{equation}

\begin{equation}
  m_{\Sigma}(t + \mathrm{d}t) = \mathrm{d}m_s + m_{SO}(t + \mathrm{d}t)
\end{equation}

\subsection{Bilan de masse dans un système ouvert}
Pour un système fermé, comme $\Sigma$, la conservation de la masse fait que la masse du système est indépendante du temps.
Cela permet d'écrire, en soustrayant les équations précédemmen établies :
\begin{equation}
  0 = \mathrm{d}m_s - \mathrm{d}m_e + \frac{\mathrm{d}m_{SO}}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t,
\end{equation}
où le dernier terme est aussi nul, puisqu'on suppose être en régime permament, donc sans que les grandeurs physiques ne dépendent du temps.
On remarque alors en divisant par $\mathrm{d}t$ qu'on a conservation du débit massique au passe dans le tuyau.
Cela peut paraîtra anodin, puisque notre exemple est simpliste, mais on peut le complexifier de plusieurs façons :
\exemple{
  \begin{itemize}
  \item pour des sections d'entrées et de sorties différentes, [redéfinir les grandeurs d'entrée et de sortie (vitesses, sections...) ; exprimer le fait que la vitesse va varier !] ;
  \item pour une entrée et plusieurs sorties -- on arrive à une analogie à l'électronicétique et la loi des n\oe uds (mise en évidence du transport de charge).
  \end{itemize}
}

Ce transport de matière macroscopique a comme conséquence un transport d'énergie macroscopique : si les particules fluides se déplacent, elles se déplacent avec leur énergie interne...
\section{Transport d'énergie par convection}
\subsection{Bilan énergétique dans un système ouvert}
Redémonstration, premier principe sur un système fermé qui se déplace, approche thermodynamique du théorème de \textsc{Bernouilli}
(décrit dans le rapport de leçon de T. \textsc{Giauffret})

On se donne un réservoir contenant une hélice qui produit un travail $W'$ ou $\delta W'$ ; on définit les paramètres du réservoir : $z_e$ et $z_s$ les altitudes d'entrées et de sortie, $v_e$ et $v_s$ les vitesses d'entrée et de sortie...

Comme précédemment, ce qu'on sait faire : ce sont les systèmes fermés... alors comment appliquer le premier principe de la thermodynamique à un système ouvert ?

\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[scale=0.7]{systeme-2.png}
\end{figure}

De la même façon que précédemment, on peut donc définir un système fermé $\Sigma$ que l'on suit dans le temps (date $t$ et $t+\mathrm{d}t$) ; l'intersection de ces deux systèmes est toujours le système ouvert qui nous intéresse.

On peut alors écrire que la variation d'énergie du système fermé se décompose comme :
\begin{equation}
  \mathrm{d}E_{\Sigma}  = \mathrm{d}E_{SO} + \mathrm{E_{\text{entrant}}} - \mathrm{E_{\text{sortant}}}.
\end{equation}

On fait l'hypothèse d'un régime permament :
\begin{itemize}
\item en supposant de plus des sections égales
  \begin{equation}
  \mathrm{d}m_e = \mathrm{d}m_s = \mathrm{d}m
\end{equation}
\item pour le système ouvert
  \begin{equation}
  \mathrm{d}E_{SO}  = 0
  \end{equation}
\end{itemize}

et en appliquant le premier principe de la thermodynamique au système fermé $\Sigma$ :
\begin{equation}
  \mathrm{d}m(e_s-e_e) = \delta W' + \delta W_p + \delta Q,
\end{equation}

ou encore
\begin{equation}
  (e_s-e_e) = \delta w' + \delta w_p + \delta q.
\end{equation}

En développant $e = u + \frac{1}{2}v^2 + gz$ et $\delta w_p = -p\mathrm{d}V$ et en notant que $H = U + pV$, on trouve finalement :

\begin{equation}
  \Delta_{e\rightarrow s}\left( h + \frac{1}{2}v^2 + gz \right) = \delta w' + \delta q.
\end{equation}

On réalise donc un transfert d'énergie (enthalpie, énergie cinétique et énergie potentielle) au travers d'un système ouvert, par convection, avec influence du travail fourni par l'appareil ou des transferts thermiques qui sont associés aux parois du système.

\subsection{Application au robinet mélangeur}
Calcul de la température de sortie en fonction des débits d'entrée eau chaude et eau froide.
\experience{Manipulation p.423 \textsc{Fruchart}, Physique expérimentale.}

\remarque{Regarder dans le \textsc{Baude} et \textsc{Grécias}, BCPST2, Compétences Prépa, p. 221.}

\subsection{Application à / au...}

\begin{enumerate}
\item Robinet mélangeur (thermodynamique) [possibilité de manipulation, \textit{cf.} \textsc{Fruchart} p.423]
\item Machines thermiques... (traitées dans le \textsc{Pérez}, mais sans notion de système ouvert, Chapitre 10.)
\item Bilan de quantité de mouvement, force subie par une canalisation, \textsc{Olivier}, p.467.
\item Bilan de moment cinétique, tourniquet hydraulique (L2 PCSI), \textsc{Olivier}, p. 470.
\end{enumerate}

\remarque{Si bilan d'énergie et bilan d'entropie traité, on peut évoquer la notion d'exergie (Partie dédiée dans le \textsc{Pérez}, p.240 (niveau L2+++))

  Introduite Chaptitre 12.
}

\section*{Conclusion}

\end{document}