\documentclass[class=book,preview=false,crop=false]{standalone}

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\setcounter{chapter}{29}
\begin{document}
\chapter{Viscosité}

\section*{Ressources utilisées}
\begin{itemize}
\item \textsc{Olivier}, Référence Prépa PC/PC* vert/bleu
\item \textsc{Hecht}, Physique
\item Animation profil de vitesse en fonction du gradient de pression et/ou de la vitesse d'une plaque supérieure, \href{https://www.wolframcloud.com/objects/demonstrations/CouetteFlow-source.nb}{https://www.wolframcloud.com/objects/demonstrations/CouetteFlow-source.nb}
\item Expérience profil de vitesse dans l'écoulement de \textsc{Poiseuille}, \href{https://youtu.be/P05yYbnApFc?t=127}{https://youtu.be/P05yYbnApFc?t=127}
\end{itemize}

\section*{Pré-requis}
\begin{itemize}
\item 
\item Force de pression et équivalent volumique
\item
\end{itemize}

\section*{Fait précédemment}
Ce qui se faisait était d'appliquer cette leçon à un niveau BCPST2, pour arriver rapidemment à des applicatinos concrètes pour la filière : sédimentation et/ou circulation sanguine.
Dans ce cadre là, le plan serait : I/ Viscosité d'un fluide Newtonien (Force de viscosité, Influence de la viscosité sur  l'écoulement et Mesure de la viscosité) et II/ Écoulement du sang lors de sa circulation (Loi de \textsc{Poiseuille}, Résistance hydraulique).

Un autre plan proposé est I Description des écoulements rampants (Cadre de l'étude, Propriétés) et II Écoulements dans les milieux poreux saturés (Description des milieurx poreux, Loi de Darcy) et III Mouvement d'une bille dans un fluide visqueux (Première approche de la chute de la bille, Loi de \textsc{Stokes} et mise en équation). 


\section*{Éléments imposés possibles}
Écoulement de \textsc{Poiseuille} ; analogie électrocinétique / mécanique des fluides ; application : circulation sanguine, sédimentation (\textsc{Olivier}, Référence Prépa PC/PC* vert/bleu, p. 424 et p. 433) ; interprétation par modèle diffusif (\textsc{Olivier} p. 415).

\section*{Introduction pédagogique}
\begin{description}
\item[Niveau] Équivalent deuxième année de licence (PC, difficilement autres filières puisque \textsc{Navier-Stokes} n'est pas directement au programme, à ajuster en fonction de l'élément imposé donc, mais privilégier BCPST...)
\item[Difficultés] Se souvenir des hypothèses pour ne pas mélanger les expressions, les approximations faites...
\item[Travaux dirigés]
  Retour sur l'écoulement de \textsc{Poiseuille} (analogie électrocinétique/fluidique, modélisation de la circulation sanguine), \textsc{Couette}...

  Si la loi de \textsc{Stokes} est vue, approche documentaire sur la sédimentation
\item[Travaux pratiques]
  Écoulement de \textsc{Poiseuille}

  Les attendus du programme sont que les élèves soient capables de proposer une méthode de mesure de la viscosité.

  Si l'on va jusqu'à la porosité et la perméabilité, il est aussi dans les attendus qu'iels puissent les mesurer (loi de \textsc{Darcy}...)
\end{description}

Dans le cadre d'une leçon BCPST, il faut faire attention à rester dans le cadre du programme : l'équation d'\textsc{Euler} ou celle de \textsc{Navier-Stokes} ne figurent pas explicitement au programme.
Parmi les écoulements, de même peu de choses : en particulier écoulement de \textsc{Poiseuille}, écoulements rampants (faible nombre de \textsc{Reynolds}) et écoulement dans les milieux poreux.

On retrouve cependant explicitement le mouvement d'une bille dans un fluide visqueux et la loi de \textsc{Stokes} (très faible nombre de \textsc{Reynolds}).

\section*{Introduction}

Étude de la dynamique des fluides parfaits : utilisation du théorème de \textsc{Bernoulli}, application à la sonde \textsc{Pitot}, à l'effet \textsc{Venturi}...

Dans tout ce qui est considéré jusque là, on a travaillé avec comme uniques forces de surfaces les forces de pression.
Pourtant, on peut se douter d'une chose : le fluide va interagir, au moins en surface, avec les parois du volume qui l'entoure.
De même, le fluide étant décomposable en « couche » de fluide (plus intimement encore en particules de fluide), il ne semble pas déraisonnable de considérer que ces couches intéragissent entre elles aussi : en fait, on peut décrire ces interactions comme des forces de frottements (comme si on frottait plaques de solide, par exemple...).

\objectifs{
  Décrire la notion de viscosité d'un fluide (définitions et équivalents), la caractériser.

  Savoir dans quelles situations on la rencontre.
}

\section{Viscosité d'un fluide Newtonien}
\subsection{Mise en évidence de la viscosité}
Écoulement de \textsc{Couette} plan : écoulement d'un fluide visqueux entre deux surfaces dont l'une est en mouvement.
\href{https://www.wolframcloud.com/objects/demonstrations/CouetteFlow-source.nb}{Animation profil de vitesse en fonction du gradient de pression et/ou de la vitesse d'une plaque supérieure}.

\subsection{Modèle de \textsc{Newton}}
[Schéma \textsc{Couette} plan, force $\vec{F_{op}}$ pour tirer la plaque à une vitesse $v_0$]

Écoulement laminaire, profil de vitesse en $\vec{v} = v(y)\vex{e_x}$.
Écrire les conditions aux limites en 0 et en L.

La viscosité est un phénomène qui décrit la continuité du champ de vitesse aux interfaces solides, et apporte, comme on le verra, une composante tangentielle aux forces de surface (considérée jusqu'alors comme des forces de pression uniquement).

Expérimentalement, on mesure que la force de l'opérateur est proportionnelle à la surface de la plaque, proportionnelle à la vitesse et inversement proportionnelle à la hauteur de l'écoulement.
Le coefficient de proportionnalité est appelé viscosité dynamique.
Cette composante tangentielle des forces de surface du fluide au dessus sur le fluide en dessous s'exprime alors : comme indiqué dans le \textsc{Olivier}, p. 412,
\begin{equation}
  \mathrm{d}\vec{F}_t = \eta \frac{\partial v_x}{\partial y}\mathrm{d}S\vec{e_x},
\end{equation}
où $\eta$ est la viscosité dynamique, dont l'unité est le \si{\pascal\second} ou \si{\kilo\gramme\per\meter\per\second} appelée poiseuille.

\projection{
  Sources : \textsc{Hecht}, p. 430
  \begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.3]{odg_viscosite.jpg}
    \quad
    \includegraphics[scale=0.3]{contrainte_cisaillement.jpg}
  \end{figure}

  Éventuellement projeter \href{https://www.youtube.com/watch?v=BZvsrOciU_Q}{https://www.youtube.com/watch?v=BZvsrOciU_Q} pour présenter la poix, mais elle n'est pas dans le tableau (en fonction du temps...).
}

\remarque{
On dit qu'un fluide est Newtonien si $\eta$ est constant (sauf température) (par rapport au grandient de vitesse appliqué ou par rapport au temps).
Cela peut être bien à aborder, pour la culture, avec les élèves : qu'ils saisissent mieux l'hypothèse « fluide Newtonien » et pour leur donner la culture sur, au hasard, le dentifrice (fluide à seuil).
(Si on en parle, vérifier éventuellement les définitions dans le \textsc{Taillet}.)
}

Il faut alors trouver l'équivalent volumique de la force de viscosité exprimée plus haut.
[Schéma d'un cube, forces tangentielles en $y$ et $y + \mathrm{d}y$]

Sur le volume élementaire de fluide considéré, on calcule la résultante des forces associées à la viscosité (+ au dessus, - en dessous), ce qui nous amène à
\begin{equation}
  \mathrm{d}\vec{F} = \eta \mathrm{d}\tau \frac{\mathrm{d}^2v}{\mathrm{d}y^2} \vec{e_x},
\end{equation}
que l'on peut généraliser :

\begin{equation}
  \mathrm{d}\vec{F} = \eta \mathrm{d}\tau \vec{\Delta}\vec{v}.
\end{equation}

L'équivalent volumique des forces tangentielles dues à la viscosité est donc :
\begin{equation}
  \mathrm{d}f = \eta \vec{\Delta}\vec{v}.
\end{equation}

\subsection{Vers l'équation de \textsc{Navier-Stokes}}
\remarque{Totalement hors programme de la BCPST !}

On souhaite alors ajouter cette composante de force volumique au bilan précédemment écrit avec le principe fondamental de la dynamique (qui nous avait mené à l'équation d'\textsc{Euler}) :
\begin{equation}
  \mu \frac{D\vec{v}}{Dt} = -\vec{\text{grad}}P + \mu \vec{g} + \vec{F}_{\text{volumique}}.
\end{equation}

\remarque{Équation pas au programme de BCPST ! Rester sur le bilan effectué par le principe fondamental de la dynamique...}

On peut donc écrire l'équation de \textsc{Navier-Stokes}
\begin{equation}
  \mu \frac{D\vec{v}}{Dt} = -\vec{\text{grad}}P + \mu \vec{g} + \eta \vec{\Delta}\vec{v}.
\end{equation}

\remarque{Pas au programme de BCPST ! Faire attention à ce qu'on utilise, pour quel programme/quelle filière.

On peut y arriver, la nommer, en précisant qu'elle n'est pas à connaître...}

\subsection{Modèle diffusif de la viscosité}
\remarque{À traiter plutôt en L2 générale, peu adapté à la BCPST par exemple...}
\textit{Traité dans le \textsc{Olivier}, Référence Prépas, p. 415 ; dans le \textsc{Sanz}, PC/PC*, p. 294.}


\section{Description de l'écoulement pour un fluide réel}
\subsection{Nombre de \textsc{Reynolds}}
\histoire{Expérience de \textsc{Reynolds}, 1883, \textit{cf}. \textsc{Sanz}, PC/PC* p. 312.

  Étude de la trajectoire d'un film coloré dans un conduit contenant un fluide.
Étude de la dépendance en la vitesse du fluide ; en la température (donc la viscosité !) ; en les dimensions/la géométrie du conduit.}

\subsection{Mesure de viscosité}
\exemple{Viscosimètre de \textsc{Couette}, partir du \textsc{Couette} plan puis passer à \textsc{Couette} cylindrique (avec approximation).

Traité par exemple dans le \textsc{Sanz}, PC/PC*, p. 336--339.}

\subsection{Loi de \textsc{Stokes}}
\experience{Chute d'une bille dans un fluide visqueux.}

\exemple{Activité documentaire sur la sédimentation ?}


\subsection{Écoulement de \textsc{Poiseuille}}
\textit{S'inspirer du \textsc{Baude} et \textsc{Grécias}, Compétences prépas BCPST2, p. 582}
\projection{Reprendre l'animation, fixer la plaque supérieure et laisser un gradient de pression...}
Les hypothèses d'un tel écoulement sont :
\begin{itemize}
\item cylindre horizontal de longueur $l$ et de section circulaire constante (rayon $a$) ;
\item fluide incompression (masse volumique constante) ;
\item régime permanent pour l'écoulement ;
\item écoulement laminaire (symétrie cylindrique, $\vec{v} = v(r)\vec{u}_x$) ;
\item fluide newtonien ($\eta$ constante) ;
\item le gradient de pression est uniforme (et négatif).
\end{itemize}

Le champ de vitesse s'écrit alors :
\begin{equation}
  \vec{v} = v(r)\vec{u}_x = \frac{1}{4\eta} \left( \frac{\Delta p}{l} \right) (a^2-r^2).
\end{equation}

\remarque{La démonstration (\textsc{Sanz}, PC/PC*, p. 339.) permettant d'arriver au profil de vitesse n'est pas à connaître en BCPST ; on se contente de donner le résultat et de l'exploiter pour arriver au débit volumique.}
\remarque{On appelle perte de charge linéique le rapport $\displaystyle\frac{\Delta p}{l}$ ; elle représent la dissipation de l'énergie mécanique par frottement.}

On peut alors calculer le débit volumique :
\begin{equation}
  D_v = \displaystyle\iint \vec{v}\mathrm{d}\vec{S}\text{, où }\mathrm{d}\vec{S} = r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \vec{u}_x.
\end{equation}

On arrive à
\begin{equation}
  D_v = \frac{\pi \Delta p}{8\eta l} a^4 = \frac{\pi \Delta p}{128\eta l}d^4
\end{equation}

On peut alors définir une résistance « hydraulique » de façon analogue à la résistance en électrocinétique :
\begin{equation}
  R = \frac{U}{I} \leftrightarrow R_h = \frac{\Delta p}{D_v}.
\end{equation}

\exemple{Modélisation de la circulation sanguine.

  L'apport du sang aux organes se fait des artères jusqu'aux capillaires, au travers de micro-conduits donc... pour les modéliser, on peut considérer que l'écoulement du sang suit un écoulement de \textsc{Poiseuille} ; on peut alors appliquer la notion de résistance hydraulique et effectuer les mêmes calculs de résistances équivalentes qu'en électrocinétique (série et parallèle...).
\textit{Voir \textsc{Baude} et \textsc{Grécias} p. 587.}}

\section{Écoulement dans un milieu poreux}
\subsection{Description}

\subsection{Loi de \textsc{Darcy} et utilisation}

\section*{Conclusion}
Revenir sur la formule surfacique de la viscosité, puis son équivalent volumique.

Redonner le nombre de \textsc{Reynolds} et comparer les régimes.

\section*{Débrief et questions passage de Solène}

\end{document}