\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP23 - Aspects analogique et numérique du traitement d'un signal. Étude spectrale.}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{Deleuze Julie}{Jocteur Tristan}



\subsection*{Niveau : jsp}



\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Tout-en-un PCSI}\\
\textit{Tout-en-un PSI}\\
\textit{Traitement des signaux et acquisition de données}, \textbf{Cottet}\\




\end{tabular}
% Vous avez vu cette commande badass pour ne pas mettre les footnotes dans les environements locaux ??

\tableofcontents
\pagebreak

\section*{Remarques sur les leçons précédentes}

\paragraph{2018} Jusqu'en 2017 , le titre était: Traitement d'un signal. Étude spectrale.
\paragraph{2017} Ce n'est pas une lecon sur le filtrage qui est attendue; il ne faut pas se réduire à l'étude d'un ou plusieurs filtres électroniques.
\paragraph{2016} Cette leçon ne peut en aucun cas se réduire à la simple étude de la théorie de Fourier.
\paragraph{2015} Cette leçon ne doit pas se réduire à un catalogue de systèmes de traitement analogique du signal. Elle peut aussi mettre en exergue des méthodes numériques enseignées notamment dans les programmes de CPGE.

\paragraph{}Le plan à Lyon est souvent le même, j'aime pas trop celui de Ulm. Valentin a mis son rapport de passage à l'oral blanc et le jury a bcp aimé. Dans l'idée il a le même contenu que les autres mais a un peu modifié le plan. Perso je le préférais avant (niveau équilibrage du temps c'est mieux d'après ses temps de passage). Le filtrage optique c'est chouette mais perso je trouve ça trop anachronique de le faire alors qu'on vient de présenter la TF et qu'on fait l'étude du RC après.. et on a déjà pleins de manip/codes. Donc en gros je reprendrais bien un plan style les Cléments. Pour la fin en application du filtrage on a le choix entre modulation/démodulation d'amplitude ou détection synchrone. Perso je suis pour la détection synchrone car la manip de l'effet Doppler + on aura plus de temps pour bien expliqué (expliquer la modulation/démodulation c'est plus long et on Valentin parlait déjà assez vite apparemment). En conclusion c'est pas une leçon nulle en fait ça va (ça reste une leçon d'agreg). Je propose donc le plan suivant (c'est assez long mais y'a des trucs qui peuvent se faire écourter au besoin) :

\section*{Introduction}

Les signaux c'est très important en physique (no shit). 

\experience{Pur vs riche}{}{}{
On acquiert le signal d'un diapason à l'oscilloscope. Parfait une signal sinusoïdal, easy de mesurer sa fréquence directement. On enregistre notre voix. Oula bcp plus compliqué là, comment faire ?
}


\section{Analyse spectrale}

\subsection{Signaux périodiques : décomposition en série de Fourier}

\livre Sanz PCSI chapitre 3

\paragraph{}Au début du $XIX^e$ sicèle, le physicien/mathématicien français Joseph Fourier découvre que tout signal périodique de fréquence $f_0$ peut se décomposer en une somme infinie de signaux sinusoïdaux de fréquence multiple de $f_0$ :

\begin{equation}
s(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n} \cos \left(2 \pi n f_{0} t\right)+b_{n} \sin \left(2 \pi n f_{0} t\right)\right]
\end{equation}
$a_{0}$ correspond à la valeur moyenne du signal tandis que les coefficients $a_{n}$ et $b_{n}$ peuvent être trouvés grâce au théorème de Fourier :

\begin{equation}
a_{n}=\frac{2}{T_{0}} \int_{0}^{T_{0}} s(t) \cdot \cos \left(2 \pi n f_{0} t\right) \cdot \mathrm{d} t \quad \text { pour } n \geqslant 1
\end{equation}

\begin{equation}
b_{n}=\frac{2}{T_{0}} \int_{0}^{T_{0}} s(t) \cdot \sin \left(2 \pi n f_{0} t\right) \cdot \mathrm{d} t \quad \text { pour } n \geqslant 1
\end{equation}

On décompose en fait juste le signal sur une base de fonctions, on calcule alors simplement les coefficients/poids associés à chaque fonction de la base (les cosinus et sinus) comme vous l'avez déjà fait en maths : on dit que l'on opère une décomposition en série de Fourier.

\paragraph{}Au niveau du vocabulaire :

\begin{itemize}
    \item $a_0$ est appelée composante continue, c'est la valeur moyenne du signal. On peut la voir comme le coefficient associé à un signal sinusoïdal de fréquence nulle.
    \item Le terme de la somme pour $n=1$ qui a donc la même fréquence que le signal est appelé fondamental.
    \item Les autres termes sont appelés harmoniques de rang n.
\end{itemize}

Pour décrire un signal, il est plus commode d'utiliser la forme:
$$
s(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \cos \left(2 \pi n F_{0} t+\varphi_{n}\right)
$$
avec
$$
c_{n}=\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}} \quad \text { et } \quad \varphi_{n}=\operatorname{Arctan}\left(-b_{n} / a_{n}\right)
$$
Ainsi, les coefficients $c_{n}$ représentent le poids de chaque harmoniques. On définit alors le spectre d'un signal comme la représentation de ces coefficients en fonction de la fréquence :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{spectrediscret.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

Dans le cas du signal du diapason, étant donné que le signal est directement une sinusoïde, le spectre présente un unique pic au niveau du fondamental. Mais si l'on prend un créneau par contre ? A priori ce signal ne ressemble absolument pas à une sinusoïde pourtant il est périodique donc d'après le théorème de Fourier on peut de décomposer en série de Fourier. En utilisant les formules précédentes pour les coefficients on peut calculer :

\begin{equation}
s(t)=\frac{4}{\pi} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{2 m+1} \sin \left(2 \pi(2 m+1) \frac{t}{T}\right)
\end{equation}

Vérifions cela numériquement : \textbf{Code Python}. On peut faire ça pour pleins d'autres signaux de formes très variées, on peut alors calculer facilement (ou pas) les fréquences qu'ils contiennent.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{exSF.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\transition{D'accord mais les signaux qu'on mesure en physique sont pas tout le temps périodiques}

\subsection{Signaux non périodiques : transformée de Fourier}

\livre pas de réf, juste les leçons

\paragraph{}Dans la décomposition en série de Fourier, l'écart entre deux harmoniques est égal à la fréquence du fondamental. Un signal non périodique correspondant à une fréquence tendant vers 0, il faut passer à une décomposition continue : c'est la transformée de Fourier. On décompose alors cette fois de la sorte :

\begin{equation}
F\{s(t)\}=S(f)=\int_{-\infty}^{+\infty} s(t) \cdot \mathrm{e}^{-j 2 \pi f t} \cdot \mathrm{d} t
\end{equation}

$F\{s(t)\}$ correspond au coefficient associé à la projection sur la composante harmonique $\mathrm{e}^{-j 2 \pi f t}$ : on appelle transformée de Fourier de $s(t)$ la fonction qui associe à une fréquence le coefficient de décomposition associé. C'est juste que cette fois-ci on est obligé d'intégrer de $-\infty$ à $+\infty$ puisque le signal n'est pas périodique. Le signal peut alors être reconstitué de la même manière que précédemment :

\begin{equation}
F^{-1}\{S(f)\}=s(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} S(f) \cdot \mathrm{e}^{j 2 \pi f t} \cdot \mathrm{d} f
\end{equation}

on parle alors d'opération de transformée de Fourier inverse.

\paragraph{}La transformée de Fourier possède certaines propriétés intéressantes qui en font un outil incontournable en physique :

\begin{itemize}
    \item C'est une opération linéaire
    \item $T F\left[\frac{d s}{d t}\right]=j \omega T F[s]$
    \item La transformée de Fourier d'un produit de convolution est le produit des transformées de Fourier et inversement.
\end{itemize}

Ce qui nous intéresse c'est comment l'énergie du signal se réparti au niveau du continuum de fréquences. Pour ça on définit le spectre du signal qui n'est rien d'autre que le module carré de la transformée de Fourier du signal :

\begin{equation}
    Sp(f) = |S(f)|^2
\end{equation}

Pour un signal sinusoïdal du type $S(t)=A \cos 2 \pi f_{0} t$, la transformée de Fourier associée est $\hat{S}(f)=\frac{A}{2 i}\left(\delta\left(f-f_{0}\right)-\delta\left(f+f_{0}\right)\right)$. Son spectre a alors la forme suivante :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{spectrediapason.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\experience{Transformée de Fourier de signaux réels}{}{}{
On fait la TF sur l'oscillo ou sur Latis pro du diapason et/ou de la voix.
}

On peut alors voir les fréquences (et leur proportion relative) présentent dans ma voix.

\paragraph{}Cette notion de transformée de Fourier ne se limite par ailleurs pas au domaine temporel, on peut la définir pour des signaux spatiaux par exemple. Cela peut s'avérer fortement utile pour résoudre certaines équations différentielles.

\transition{En réalité on a pas directement le signal qu'on veut}

\subsection{Réalité expérimentale : le bruit}

\textit{C'est une partie à passer vite, elle se tej si on pense pas avoir assez de temps : il faut avoir le temps de faire l'application}

\livre Cottet p175

\paragraph{}Eh oui ! En physique expérimentale (...) quand on fait une acquisition d'un signal il est rarement complètement isolé. On est en général perturbé par du bruit. Un bruit c'est un signal aléatoire parasite car mélangé au signal d'intérêt. Il peut être du au circuit en lui même, au capteur, etc et on parle alors de bruit interne. Mais il peut être aussi du simplement au milieu expérimental (bruit électronique par exemple) et on parle alors de bruit externe. Ce dernier peut-être réduit en isolant au maximum notre dispositif. On peut caractériser les bruits suivant le spectre qui leur est associé :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{color.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

Par exemple, le bruit blanc correspond au bruit thermique.

\transition{Très bien on a maintenant les outils pour analyser un signal mais comment le récupérer en premier lieu ?}

\section{Numérisation d'un signal analogique}

\livre Sanz PSI chap 5

\paragraph{}Aujourd'hui on étudie les données expérimentales et donc les signaux avec l'outil numérique. L'enjeu est alors de passer d'un signal analogique à un signal numérique. Basiquement on ne peut pas récupére l'infinité du signal analogique, on ne peut en prendre que certains points. La question est alors de savoir quels sont les critères à respecter pour que notre signal numérisé soit le plus fidèle possible au signal analogique ?

\subsection{Quantification}

\livre Cottet p131

\paragraph{}Pour coder de l'information on utilise des bits et donc a fortiori des valeurs discrètes. Si on note $x(t)$ le signal à quantifier, $M$ sa valeur maximale et $m$ sa valeur minimale et $q$ le nombre de bits sur lequel on code l'information, alors l'écart entre deux valeurs discrètes attribuables est :

\begin{equation}
    p = \frac{M-m}{2^q-1}
\end{equation}

Le principe de la quantification est alors de mesurer le signal $x(t)$ à chaque instant retenu et de le comparer à ces valeurs discrètes possibles : on attribue alors au signal numérique la valeur attribuable la plus proche de la valeur du signal analogique. Ainsi, si on a attribué la valeur $Np$ à $x(t_i)$ on sait simplement :

\begin{equation}
N p-\frac{p}{2} \leqslant x(t_i)<N p+\frac{p}{2}
\end{equation}

On va donc perdre de l'information pendant la quantification. On a ajout d'une erreur $\epsilon$ par rapport au signal analogique :

\begin{equation}
    x_{num} = x_{an} + \epsilon
\end{equation}

Si l'on associe à cette erreur à la mesure une loi de probabilité uniforme dans l'intervalle considéré on peut alors calculer le moment d'ordre deux qui lui est associé :

\begin{equation}
E_{s p}\left[\varepsilon^{2}\right]=\int_{-\infty}^{+\infty} \varepsilon^{2} \cdot p(\varepsilon) \cdot \mathrm{d} \varepsilon=\frac{1}{p} \int_{-p / 2}^{p / 2} \varepsilon^{2} \cdot \mathrm{d} \varepsilon=\frac{p^{2}}{12}
\end{equation}

On peut alors montrer que cela correspond quasiment à l'ajout d'un bruit blanc de largeur spectrale $\left[0,\frac{f_e}{2}\right]$ et de puissance $\frac{p^2}{12}$ avec $f_e$ la fréquence à laquelle on quantifie le signal. La quantification bruite donc le signal et ce bruit est d'autant plus grand que le pas de quantification $p$ l'est, on a donc intérêt à le réduire. Sur les ordinateurs classiques on code toujours sur 32 ou 64 bits mais on peut choisir le calibre pour jouer sur p :

\experience{Acquisition sur Latis-Pro}{}{}{
Acquérir un mini-signal sur le calibre +10/-10 puis sur le calibre +0.2/-0.2 pour montrer la différence. (pk pas avec le diapason, le micro donne des mini signaux.
}

\transition{Mais d'ailleurs cette fréquence $f_e$ on la choisit comment ?}

\subsection{Échantillonnage}

\paragraph{}C'est le second enjeu de la numérisation d'un signal : choisir à quelle fréquence on quantifie la grandeur mesurée. On parle alors d'échantillonnage. De la même façon que pour la quantification, le pas d'échantillonnage est crucial. On se doute bien que si j'ai une grandeur qui fait une oscillation toutes les secondes, je ne vais pas bien reproduire mon signal si je prend une mesure toutes les heures. On a alors l'intuition que la fréquence d'échantillonnage doit être supérieure à la fréquence que l'on cherche à observer.

\paragraph{}Pour essayer de qualifier un peu plus cet effet, prenons l'exemple d'un disque blanc en rotation à la fréquence $f$ possédant une partie noire. On le prend en photo à la fréquence $f_e$. Commençons avec une fréquence d'échantillonnage $f_e = 8f$, on obtient alors :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Te8.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

On peut donc identifier le mouvement du disque, sa vitesse et son sens de rotation. Dans le cas où l'on prend $f_e = 2f$ on obtient :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{Te2.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

On observe toujours le mouvement du disque, on peut calculer sa vitesse de rotation mais pas son sens ! Si maintenant on prend $f_e = \frac{4}{3}f$ on observe ceci :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{Te4.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

On dirait alors que le disque tourne dans l'autre sens et que sa vitesse de rotation est trois fois plus faible ! Le signal n'a alors plus rien à voir avec le signal réel. On parle alors de sous-échantillonnage. La fréquence d'échantillonnage minimale semble donc se situer au double de la fréquence à observer.

\paragraph{}Ce résultat se généralise au travers du théorème de Nyquist-Shannon que l'on admettra :

\manip{Un signal est correctement représenté à partir de ses échantillons si la fréquence d'échantillonnage est supérieure à deux fois la fréquence maximale de son spectre.}

Le critère de Shannon est alors :

\begin{equation}
    f_e > 2f_{max}
\end{equation}

\paragraph{}En fait, de la même manière que le spectre d'un signal périodique est discret (série de Fourier), le spectre d'un signal discret est périodique et son fondamental ça va être la fréquence d'échantillonnage ! (on peut faire le calcul si on veut mais c'est déjà super long)

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{spectrepli.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

Pour pouvoir observer l'entièreté d'un des spectres il ne faut pas qu'ils se recouvrent et on doit alors avoir :

\begin{equation}
    f_e > 2f_{max}
\end{equation}

On retrouve le critère de Shannon ! En cas de sous-échantillonnage, les spectres se recouvrent : on parle alors de repliement spectral. On ne peut alors pas reconstituer le signal d'origine.

\paragraph{}Un autre point important que l'on a un peu occulté est le fait que, dans la définition de la transformée de Fourier, l'intégrale doit se faire de $-\infty$ à $+\infty$. Or dans la vie, on ne va pas prendre une mesure qui dure un temps infini ! On la prend pendant un certain temps $\Delta t$. Cette largeur temporelle est directement reliée à la largeur fréquentielle d'un pic à la manière de l'inégalité temps-fréquence de Heisenberg.

\begin{equation}
    \Delta f = \frac{1}{\Delta t}
\end{equation}

Ainsi, plus on fait une acquisition longue d'un signal, plus le spectre que l'on pourra en faire sera résolu en fréquence. Dans les machines que l'on utilise, la transformée de Fourier et donc les spectres sont calculés par un algorithme numérique qui duplique automatiquement le signal acquis qui a alors une période $\Delta t$ on a donc une discrétisation du spectre de période $\frac{1}{\Delta t}$ : plus le temps d'acquisition est long, plus l'intervalle fréquentiel entre deux point du spectre calculé est resserré.

\paragraph{}On peut étudier tous ces effets sur ce petit code incroyable ! \textbf{Code Python}

\transition{On sait donc caractériser un signal de manière spectrale, mais ce qui est chouette c'est qu'on peut agir sur ce spectre !}

\section{Traitement analogique}

\subsection{Filtrage}

Nous avons déjà utilisé des systèmes qui permettent de modifier un signal en retirant à son spectre certaines fréquences : ce sont les filtres, caractérisés par leur fonction de transfert reliant le signal à la sortie du filtre et le signal à son entrée. Les filtres auxquels nous allons nous intéresser présentent les propriétés suivantes


\paragraph{}\textbf{Système linéaire :}
 On dit d'un système qu'il est linéaire si la sortie est liée linéairement à l'entrée : \\
$\qquad \mathcal{H}\left(x_{1}+\lambda x_{2}\right)=\mathcal{H}\left(x_{1}\right)+\lambda \mathcal{H}\left(x_{2}\right)$


On peut dans ce cas décomposer $\mathcal{H}$ sous forme de coefficients $h\left(t, t^{\prime}\right)$ (matrice continue) de sorte que
$$
y(t)=\int_{\mathbb{R}} h\left(t, t^{\prime}\right) x\left(t^{\prime}\right) \mathrm{d} t^{\prime}
$$


\paragraph{}\textbf{Invariant dans le temps}
On dit d'un système qu'il est invariant dans le temps lorsque la sortie de $x(t-\tau)$ est $\mathcal{H}(x)(t-\tau)$.
Un retard de l'entrée implique ce même retard dans la sortie. C'est le cas de tous les composants qui n'ont pas de temps initial interne.

\paragraph{}Pour un SLIT, l'entrée et la sortie sont liées par une fonction de proportionnalité dans l'espace de Fourier :  $$\hat{y}(f)=\hat{\mathcal{H}}(f) \hat{x}(f)$$
En effet, on a toujours :
$$\mathcal{H}\left[t^{\prime} \rightarrow x\left(t^{\prime}\right)\right](t)=\int h\left(t, t^{\prime}\right) x\left(t^{\prime}\right) \mathrm{d} t^{\prime}$$
Et pour un SLIT, le décalé du filtré est égal au filtré du décalé
$$
\begin{aligned}
\mathcal{H}\left[t^{\prime} \rightarrow x\left(t^{\prime}\right)\right](t-\tau) &=\mathcal{H}\left[t^{\prime} \rightarrow x\left(t^{\prime}-\tau\right)\right](t) \\
\Longrightarrow \int \int h\left(t-\tau, t^{\prime}\right) x\left(t^{\prime}\right) \mathrm{d} t^{\prime}&=\int h\left(t, t^{\prime}\right) x\left(t^{\prime}-\tau\right) \mathrm{d} t^{\prime} \\
\Longrightarrow h\left(t-\tau, t^{\prime}\right) x\left(t^{\prime}\right) &=h\left(t, t^{\prime}\right) x\left(t^{\prime}-\tau\right)
\end{aligned}
$$
En particulier en prenant $t^{\prime}=0$ on trouve $h(t, \tau)=h(t-\tau) .$ Donc $y$ devient un produit de convolution de $x$ et $h$ et ainsi leurs TF sont bien liées par une fonction de propotionnalité.

\paragraph{} C'est pour cette raison qu'on passe en régime sinusoïdal forcé en électrocinétique pour résoudre une équation différentielle. La relation entre l'entrée et la sortie s'exprime plus simplement dans le domaine de Fourier et permet de faire apparaître la fonction de transfert, qui fait clairement apparaître les effets du filtre sur le spectre.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.8\textwidth]{filtres.png}
\end{figure}

Pour les caractériser on utilise souvent $G_\text{dB}(\omega) = 20\log H(\omega)$. En traçant $G_\text{dB}(\omega)$, on obtient le diagramme de Bode en gain, schématisé ici pour différents types de filtres.

\begin{itemize}
    \item Le passe-bas atténue les hautes fréquences, supérieures à une fréquence de coupure $f_c$ caractéristique du filtre. Il peut servir à débruiter un signal, le bruit correspondant souvent à des variations rapides du signal donc à des hautes fréquences.
    \item De même, le passe-haut atténue les basses fréquences. Il peut servir à couper la composante continue d'un signal par exemple.
    \item Le filtre passe-bande atténue les fréquences hors d'un intervalle $[f_{c1}, f_{c2}]$. Il peut servir à sélectionner un canal de transmission de l'information dans le cas de la modulation.
    \item Le filtre coupe-bande peut servir à éliminer un bruit parasite sur une certaine gamme de fréquence, il est plus rarement utilisé.
\end{itemize}

Les diagrammes précédents sont schématiques : en réalité le gain varie bien-sur de manière continue, plus ou moins rapidement selon l'ordre du filtre. Étudions un filtre simple : le passe-bas d'ordre 1, réalisable en branchant une résistance et un condensateur en série.

\experience{Diagramme de Bode d'un RC}{}{}{
Diagramme de Bode d'un RC par la méthode de la réponse indicielle.
}


\transition{ça sert même dans la vraie vie}

\subsection{Application : radars et détection synchrone}

\livre Jolidon ou Poly de TP Divers


Considérons un émetteur ultrasonore qui émet une onde à la fréquence $f$. Si cet émetteur se rapproche d'un récepteur à la vitesse $v$, la fréquence détectée par le récepteur vaut, par effet Doppler:
$$
f_{\text {mesurée }}=\frac{c_{\text {son }}}{c_{\text {son }}-v} f
$$
Pour une vitesse $v$ de l'émetteur de l'ordre de quelques $\mathrm{cm} / \mathrm{s}$, beaucoup plus faible que la vitesse du son $c_{\mathrm{son}}$, on peut alors développer cette expression au premier ordre et exprimer l'écart en fréquence du à l'effet Doppler:
$$
\delta f=f_{\text {mesurée }}-f \approx \frac{v}{c_{\text {son }}} f \ll f
$$
Cet écart en fréquence est trop faible pour pouvoir distinguer $f$ et $f_{\text {mesurée }}$ sur un oscilloscope. Nous allons alors réaliser une détection synchrone afin de mesurer $\delta f$.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.5\textwidth]{detection_synchrone.png}
\end{figure}


En termes fréquentiels, le signal final $v_{\mathrm{f}}(t)$ contient la partie basse fréquence du produit des tensions $v_{x}(t)=G v_{\mathrm{m}}(t) v_{\mathrm{p}}(t) .$ Supposons que $v_{\mathrm{p}}(t)$ est un signal de fréquence $f_{\mathrm{p}}$ et $v_{\mathrm{m}}(t)$ un signal de fréquence $f_{\mathrm{p}}+\delta f$. La fréquence de coupure du filtre $\bar{f}_{\mathrm{c}}$ est choisie telle que $\delta f<f_{\mathrm{c}}$ et le filtre lui-même est choisi pour couper en quasi-totalité la fréquence $2 f_{\mathrm{p}}+\delta f$. Le signal $v_{\mathrm{f}}(t)$ est donc un signal de fréquence $\delta f$.

Supposons que nous ayons accès à un signal $v_{\mathrm{p}}(t)$, que nous qualifions de signal porteur, de la forme
$$
v_{\mathrm{p}}(t)=V_{\mathrm{p}} \sin \left(f_{\mathrm{p}} t\right)
$$
Par un phénomène physique quelconque, ici l'effet Doppler, la fréquence de ce signal se trouve modifiée. Ce signal modifié $v_{m}(t)$. que nous qualifions de signal modulé $^{(1)}$, est de la forme
$$
v_{\mathrm{m}}(t)=V_{\mathrm{m}} \sin \left[\left(f_{\mathrm{p}}+\delta f\right) t+\varphi\right]
$$
Si ces signaux sont sous forme électrique, on peut les multiplier grâce à un multiplieur de gain $G^{(2)} .$ Le signal en sortie est alors de la forme
$$
v_{\times}(t)=\frac{1}{2} G V_{\mathrm{p}} V_{\mathrm{m}}\left(\cos [\delta f t+\varphi]-\cos \left[\left(2 f_{\mathrm{p}}+\delta f\right) t+\varphi\right]\right)
$$
Appliquons ensuite à ce signal un filtre passe-bas judicieusement choisi tel que, d'une part, la fréquence $\delta f$ soit inférieure à la fréquence de coupure du filtre et que, d'autre part, la fréquence $2 f_{\mathrm{p}}+\delta f$ soit totalement coupée. En pratique, cela suppose de choisir un filtre suffisamment sélectif pour couper totalement la fréquence $2 f_{\mathrm{p}}+\delta f$ et de fréquence de coupure du filtre $f_{\mathrm{c}}$ telle que $\delta f<f_{\mathrm{c}} .$ Finalement, en notant $h(f)$ et $\phi(f)$ le module et la phase de la fonction de transfert du filtre, le signal filtré $v_{\mathrm{f}}(t)$ est de la forme
$$
v_{\mathrm{f}}(t)=\frac{1}{2} G V_{\mathrm{p}} V_{\mathrm{m}} h(\delta f) \cos [\delta f t+\phi(\delta f)+\varphi]
$$
Cette opération de filtrage permet de récupérer un signal sinusoidal de fréquence $\delta f$. On peut alors déduire la vitesse de l'émetteur à partir de cette fréquence. C'est ainsi que foncitonnent les radars. EN pratiue émetteur et récepteurs sont au même endroit : le récepteur aquiert l'onde émise par l'émetteur puis réfléchie par la voiture mobile.


\experience{Vroum vroum}{}{}{
On fait une mesure en un point et on compare à la vitesse donnée par les détecteurs.
}

\section*{Conclusion}

Détection synchrone pour la démodulation en amplitude.

\section{Commentaires}

\begin{itemize}
    \item Si on n'a pas le temps (ce qui risque fortement d'arriver ici) de bien expliquer les SLIT on peut faire comme Camille ou Benjamin en définissant juste directement la fonction de transfert
\end{itemize}



\end{document}
