<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP25 -- Ondes acoutsiques}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{Deleuze Julie}{Jocteur Tristan}



\subsection*{Niveau : jsp}

\subsection*{PrÃ©requis :}
\begin{itemize}
    \item Ondes acoustiques dans les fluides
\end{itemize}

\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Ondes}, \textbf{HprÃ©pa}&amp; Cours quali avec bons commentaires\\
\textit{Physique PC}, \textbf{Dunod}&amp; Je l'ai pas mais bien aussi\\
\textbf{LP}, \textbf{ClÃ©ments, Camille et Hroussille (les deux seuls qui "font" les instruments Ã&nbsp; vent).}



\end{tabular}
% Vous avez vu cette commande badass pour ne pas mettre les footnotes dans les environements locaux ??

\tableofcontents
\pagebreak

\section*{Remarques sur les leÃ§ons prÃ©cÃ©dentes}

\paragraph{2017} La contextualisation et des applications de la vie courante ne doivent pas Ãªtre oubliÃ©es dans cette lecon qui se rÃ©sume souvent Ã&nbsp; une suite de calculs. De plus, les fluides ne sont pas les seuls milieux dans lesquels les ondes acoustiques peuvent Ãªtre Ã©tudiÃ©es.
\paragraph{2014} Cette leÃ§on peut Ãªtre l'occasion de traiter les ondes acoustiques dans les fluides ou dans les milieux pÃ©riodiques, certes, mais elle peut aussi Ãªtre l'occasion de traiter les deux cas qui donnent lieu Ã&nbsp; des phÃ©nomÃ©nologies trÃ¨s diffÃ©rentes.

\paragraph{}Bon du coup le jury aimerait bien qu'on ne se limite pas qu'aux fluides... Ã‡a rajoute quand mÃªme Ã&nbsp; balle de calculs de dÃ©river le modÃ¨le acoustique puis l'approximation des milieux continus Ã&nbsp; partir de la chaÃ®ne harmonique, j'y crois assez peu pck Ã§a veut dire qu'on a rien le temps de discuter. Basiquement tout le monde fait les ondes acoustiques dans les fluides, trÃ¨s probablement pck c'est dans les livres de prÃ©pa donc forcÃ©ment bcp plus commode. Tant pis pour l'acoustique dans les solides, Ã§a sera des remarques pour dire qu'on sait qu'elles existent. Sinon ils veulent des applications donc on va leur en donner. Il faut Ãªtre rigoureux pour les hypothÃ¨ses, faire des OdG etc mais on n'a pas le temps pour parler des implications dans le cas oÃ¹ elles ne sont pas validÃ©es. Je suis pas fan de faire une partie viscositÃ© comme Corentin et Francis vu que le jury veut des applications pour moi il faut rÃ©ussir Ã&nbsp; faire les instruments Ã&nbsp; vent. Mais apparemment mÃªme pour arriver aux instruments Ã&nbsp; vent c'est pas facile (en mÃªme temps c'est l'ambition de faire un chapitre de prÃ©pa en 40~min). Mais bon on y croit ! Niveau biblio on suit pas mal le HprÃ©pa et le Dunod (le Cap prÃ©pa Thibierge dit qu'il faut s'en mÃ©fier alors je le crois). De toute faÃ§on c'est le genre de leÃ§on copier-coller d'un livre, il faut juste mettre au maximum des ODG, de la justification d'hypothÃ¨ses et des exemples. Pour l'expÃ©rience d'intro on peut en faire deux je trouve : la cloche sous vide que tout le monde fait (avec micro Ã&nbsp; l'intÃ©rieur) pour montrer que la propagation dÃ©pend bel et bien du milieu + Ã§a fait 2 en 1 pour quand on parlera des impÃ©dances, et mesurer une longueur d'onde avec le systÃ¨me Ã©metteur rÃ©cepteur. C'est l'idÃ©e de Hroussille et c'est cool je trouve pck Ã§a permet d'avoir un odg de la longueur d'onde (ce qui va nous servir pour nos approximations). CrÃ©er un tableau de comparaison avec les ondes EM semble bien. Francis l'ont fait. Je propose Ã§a :

\section*{Introduction}

DÃ©finition d'une onde acoustique. Ã‡a existe dans pleins de milieu mais on va se limiter aux gaz ici.

\experience{Mesure d'une longueur d'onde}{}{}{
Mesure de la cÃ©lÃ©ritÃ© du son dans lâ€™air avec le systÃ¨me d'Ã©metteur rÃ©cepteur Ã&nbsp; piezo.

\begin{itemize}
\item RÃ¨gle scotchÃ©e au solâ€”Bien mesurer la tempÃ©rature
\item On observe une longueur dâ€™onde dâ€™environ 1 cm et une vitesse dâ€™environ 340 m/s. Bien retenir ces ordres de grandeur qui nous seront utiles pour simplifier les Ã©quations parla suite.
\end{itemize}
}

\experience{Onde sonore dans une cloche Ã&nbsp; vide}{}{}{
Attention souvent on dit fout juste le buzzer sous la cloche et on dit quâ€™on nâ€™entend plus rien sous vide donc le son ne se propage pas... Câ€™est pas tout Ã&nbsp; fait vrai car on augmente aussi la rÃ©flexion sur le verre (cf. fin de leÃ§on) donc pour faire lâ€™expÃ©rience il faut bien foutre un micro DANS la cloche et observer Ã&nbsp; lâ€™oscillo.
}

\paragraph{}On a propagation d'une onde mÃ©canique qui dÃ©pend du milieu matÃ©riel.

\section{Ã‰quation de propagation}

\subsection{Approximation acoustique}

\livre Camille et HprÃ©pa

Nous considÃ©rons un fluide parfait et nous nÃ©glieons l'influence de la pesanteur. 


\paragraph{}Au repos, le fluide est caractÃ©risÃ© par:

\begin{itemize}
    \item une pression uniforme $P_{0}$,
    \item une masse volumique uniforme $\mu_{0}$
    \item une vitesse particulaire $\overrightarrow{v_{0}}$ que l'on considÃ©rera nulle ici.
\end{itemize}


L'onde sonore est une perturbation par rapport Ã&nbsp; cet Ã©tat d'Ã©quilibre qui se traduit par des variations des grandeurs prÃ©cÃ©dentes :

\begin{itemize}
    \item la pression $P(M, t)=P_{0}+P_{1}(M, t)$ avec $\left|P_{1}(M, t)\right| \ll P_{0}$,
    \item la masse volumique $\rho(M, t)=\rho_{0}+\rho_{1}(M, t)$ avec $\left|\rho_{1}(M, t)\right| \ll \rho_{0}$,
    \item la vitesse particulaire $\vec{v}(M, t)=\overrightarrow{v_{1}}(M, t)$ avec $\left\|\overrightarrow{v_{1}}(M, t)\right\| \ll V_{0}$ oÃ¹ $V_{0}$ est une vitesse que nous dÃ©terminerons plus tard
\end{itemize}


Les champs portant l'indice 1 ont en tout point du fluide une valeur moyenne temporelle nulle. On suppose Ã©galement que ces champs et leurs dÃ©rivÃ©es sont des infiniments petits du mÃªme ordre : on Ã©tudie la propagation d'une faible perturbation par rapport Ã&nbsp; l'Ã©quilibre, c'est l'approximation acoustique.

\paragraph{}Pour le moment, notre problÃ¨me est dÃ©crit par 5 variables scalaires. Ils nous faut donc 5 Ã©quations scalaires pour fermer le problÃ¨me. Pour simplifier le problÃ¨me nous allons nÃ©gliger les phÃ©nomÃ¨nes dissipatifs (thermique et de quantitÃ© de mouvement), c'est Ã&nbsp; dire considÃ©rer le fluide parfait, et nÃ©gliger l'influence de la pesanteur car elle est compensÃ©e par la pression hydrostatique. Le fluide parfait est dÃ©crit par l'Ã©quation d'Euler:
$$
\rho\left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v} \cdot \vec{\nabla}) \vec{v}\right)=-\vec{\nabla} P
$$
On peut la rÃ©Ã©crire :
$$
\left(\rho_{0}+\rho_{1}\right)\left(\frac{\partial \overrightarrow{v_{1}}}{\partial t}+\left(\overrightarrow{v_{1}} \cdot \vec{\nabla}\right) \overrightarrow{v_{1}}\right)=-\vec{\nabla} P_{1}
$$


Le fait de nÃ©gliger $\vec{v} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}} \rho_1$ devant $\frac{\partial \rho_1}{\partial t}$ n'est pas  Ã©vident car ici ce sont les dÃ©rivÃ©es partielles de $\rho_1$ qui interviennent. Cependant, lors de la linÃ©arisation d'Ã©quations faisant intervenir des dÃ©rivÃ©es, il est classique de ne garder que les termes d'ordre 1 de la fonction ainsi que de ses dÃ©rivÃ©es, l'approximation Ã©tant justifiÃ©e $a$ posteriori.

Dans le cas prÃ©sent, une analyse plus prÃ©cise de l'approximation peut Ãªtre rÃ©alisÃ©e sur une onde sonore monochromatique de pÃ©riode $T$ et de longueur d'onde $\lambda=c_{\mathrm{S}} T$. Dans ces conditions le terme :
\begin{itemize}
    \item $\frac{\partial \rho_1}{\partial t}$ est de l'ordre de $\frac{\mu}{T}=\frac{\rho_1 c_{\mathrm{S}}}{\lambda}$
    \item $\rho_{0} \operatorname{div}(\vec{v})$ de l'ordre de $\frac{\rho_{0} v}{\lambda}$;
    \item $\rho_1 \operatorname{div}(\vec{v})$ de l'ordre de $\frac{\rho_1 v}{\lambda}$;
    \item $\vec{v} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}} \rho_1$ de l'ordre de $\frac{\rho_1 v}{\lambda}$.
\end{itemize}


L'approximation "du premier ordre Â» ou linÃ©arisation nÃ©cessite donc, a priori, deux hypothÃ¨ses $|\rho_1| \ll \rho_{0}$ et $\mid \psi \ll c_{\mathrm{S}} .$ Ces deux hypothÃ¨ses sont en fait Ã©quivalentes comme nous plus tard.

\paragraph{}L'Ã©longation $\xi$ d'une tranche de fluide est de l'ordre de grandeur de $v T$. La condition $v \ll c_{S}$ s'Ã©crit aussi $\xi \ll \lambda$ : l'amplitude des oscillations du fluide est petite devant la longueur d'onde.

\paragraph{}L'approximation acoustique est une approximation de grande longueur d'onde.

\paragraph{}On sait aussi que l'Ã©quation de conservation de la masse doit Ãªtre vÃ©rifiÃ©e :
$$
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\vec{\nabla} \cdot(\rho \vec{v})
$$
Nous pouvons nÃ©gliger $\rho_1 \operatorname{div}(\vec{v})$ devant $\rho_{0} \operatorname{div}(\vec{v})$, car $\rho_1$ est petit par rapport Ã&nbsp; $\rho$. $\rho_0$ est constant ce qui donne immÃ©diatement:
$$
\frac{\partial \rho_{1}}{\partial t}+\vec{\nabla} \cdot\left(\rho \overrightarrow{v_{1}}\right)
$$
Ceci nous fait 4 Ã©quations scalaires pour 5 inconnues : le problÃ¨me n'est pas fermÃ©. Il faut ajouter une derniÃ¨re Ã©quation. 



\transition{Il nous manque une Ã©quation pour fermer le problÃ¨me, comme d'hab on va faire une hypothÃ¨se}

\subsection{Approximation thermodynamique}

\livre HprÃ©pa p94


On va considÃ©rer que la transformation est rÃ©versible et adiabatique, donc isentropique, ce qui est cohÃ©rent avec l'hypothÃ¨se de fluide parfait qui nÃ©glige la dissipation thermique. Cette hypothÃ¨se nous donne une derniÃ¨re Ã©quation. En utilisant le coefficient de compressibilitÃ© isentropique :
$$
\chi_{\mathrm{S}}=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{\mathrm{S}}=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial P}\right)_{\mathrm{S}} \approx \frac{1}{\rho_{0}} \frac{\rho-\rho_{0}}{P-P_{0}},
$$
nous Ã©crirons Ã&nbsp; l'ordre 1 :
$$
\mu=\rho_{0} \chi_{\mathrm{S}} p
$$

Cette hypothÃ¨se d'adiabaticitÃ© des mouvements est acceptable si l'influence de la diffusion thermique dans le gaz est nÃ©gligeable. Par un raisonnement dimensionnel sur ce coefficient de diffusion thermique $D$ il est possible de quantifier l'hypothÃ¨se d'adiabaticitÃ© d'une onde sonore.

\paragraph{}L'ordre de grandeur du temps caractÃ©risant les transferts thermiques sur une distance Ã©gale Ã&nbsp; la longueur d'onde $\lambda$ est $\frac{\lambda^{2}}{D}$. Pour que l'Ã©volution soit adiabatique, il suffit que ce temps soit trÃ¨s supÃ©rieur Ã&nbsp; la pÃ©riode $T$ de l'onde soit $\frac{\lambda^{2}}{a} \gg T$. 

\paragraph{}Introduisons la vitesse du son $c_{\mathrm{S}}=\frac{\lambda}{T}, \lambda \gg \frac{a}{c_{\mathrm{S}}}$ ou $v \ll \frac{c_{\mathrm{S}}^{2}}{a} ;$ pour l'air dans
les conditions usuelles, $a \approx 2 \cdot 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-1}$ et $c_{\mathrm{S}} \approx 340 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{s}^{-1}$, d'oÃ¹ les
conditions $\lambda \gg 6.10^{-8} \mathrm{~m}$, ou $v \ll 6.10^{9} \mathrm{~Hz}$.


\paragraph{}
Cette hypothÃ¨se est encore largement valable pour les ondes ultrasonores crÃ©Ã©es par les Ã©metteurs piÃ©zoÃ©lectriques $(v&lt;10 \mathrm{MHz})$ utilisÃ©s en Ã©chographie.
\paragraph{}
La thÃ©orie cinÃ©tique des gaz permet de montrer que le rapport $\frac{a}{c_{\mathrm{S}}}$ est voisin du libre parcours moyen d'une molÃ©cule $\ell$, c'est-Ã&nbsp;-dire la distance moyenne entre deux chocs. La condition d'adiabaticitÃ© devient alors $\lambda \gg \ell$ ou $v \ll \frac{c_{S}}{\ell}$. Dans le cadre de la modÃ©lisation d'un gaz par un milieu continu, les longueurs caractÃ©ristiques des phÃ©nomÃ¨nes Ã©tudiÃ©s doivent Ãªtre grandes devant le libre parcours moyen. L'hypothÃ¨se $\lambda \gg \ell$ est donc incluse dans la modÃ©lisation par un fluide continu. Pour des longueurs d'onde plus faible $\lambda&lt;\ell$, la propagation d'une onde sonore dans ce milieu sera modÃ©lisÃ©e autrement.
\paragraph{}
L'hypothÃ¨se d'adiabaticitÃ© est donc correcte pour un milieu continu. Cependant ce n'est pas parce que le phÃ©nomÃ¨ne est Â« rapide Â» mais parce que la longueur d'onde est grande devant le libre parcours moyen des particules.

\transition{Ok on a assez shlagÃ© la rÃ©alitÃ© comme Ã§a, passons Ã&nbsp; la rÃ©solution}

\subsection{Ã‰quation de propagation}

\livre HprÃ©pa p96

Les Ã©quations linÃ©arisÃ©es dÃ©crivant l'Ã©volution d'un fluide parcouru par des ondes sonores (l'Ã©volution est donc isentropique) sont :
$\mid \begin{array}{ll}\frac{\partial \rho_1}{\partial t}+\rho_{0} \operatorname{div}(\overrightarrow{\boldsymbol{v}})=\mathbf{0} &amp; \text { (conservation de la masse) } \\ \boldsymbol{\rho}_{0} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}=-\overrightarrow{\operatorname{grad}} p &amp; \text { (Ã©quation du mouvement) } \\ \boldsymbol{\rho_1}=\boldsymbol{\rho}_{0} \chi_{\mathrm{S}} \boldsymbol{p} &amp; \text { (isentropie) }\end{array}$


Ã‰liminant la variable $\mu$ (qui n'intervient jamais dans les CL donc c elle qu'on Ã©limine), nous obtenons le systÃ¨me d'Ã©quations couplÃ©es ci dessous.

$$
\begin{array}{l}
\frac{\partial p}{\partial t}=-\frac{1}{\chi_{\mathrm{S}}} \operatorname{div}(\vec{v}) \\
\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}=-\frac{1}{\rho_{0}} \overrightarrow{\operatorname{grad}} p
\end{array}
$$

$$
\frac{\partial^{2} \rho_{1}}{\partial t^{2}}=\operatorname{div} \operatorname{grad} p_{1}=\Delta p_{1}=\rho_{0} \chi_{S} \frac{\partial^{2} p_{1}}{\partial t^{2}}
$$
On obtient alors une Ã©quation dite de D'ALEMBERT, comme pour la propagation d'une onde Ã©lectromagnÃ©tique dans le vide :
$$
\Delta p_{1}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} p_{1}}{\partial t^{2}}=0, \quad \text { avec } \quad c=\frac{1}{\sqrt{\rho_{0} \chi_{S}}}
$$

\paragraph{}\textbf{Remarques}
\begin{itemize}
    \item  $\overrightarrow{v_{1}}$ et $\rho_{1}$ vÃ©rifient la mÃªme Ã©quation
    \item Pour un gaz parfait lors d'une transformation isentrope:
$$
\begin{aligned}
p V^{\gamma}=\mathrm{cste} &amp; \Longrightarrow V^{\gamma} \mathrm{d} p+\gamma p V^{\gamma-1} \mathrm{~d} V=0 \\
&amp; \Longrightarrow \chi_{S}=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{S}=\frac{1}{\gamma p_{0}} \\
p=\frac{\rho R T}{M} &amp; \Longrightarrow \chi_{S}=\frac{M}{\gamma \rho_{0} R T} \\
&amp; \Longrightarrow c=\sqrt{\frac{\gamma R T}{M}} \\
\end{aligned}
$$
\end{itemize}
$\text { Donc avec } \gamma=1.4, R=8.314 \mathrm{~J} \cdot \mathrm{K}^{-1} \cdot \mathrm{mol}^{-1}, T=20^{\circ} \mathrm{C}, M=29 \cdot 10^{-3} \mathrm{~g} \cdot \mathrm{mol}^{-1}$ on a $c=343 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{s}^{-1}$ (et pour $T=25^{\circ} \mathrm{C}$, on a $\left.c=346 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)$

\begin{itemize}
   \item Dans des solides on prend $\chi_{S} \sim 1 / Y$ donc $c=\sqrt{\frac{Y}{\rho_{0}}}$ avec $Y=20 \cdot 10^{9}, \rho_{0}=$
    $$
     \cdot 10^{3} \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{-3} \text { dans le bÃ©ton } \rightarrow c=3100 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{s}^{-1}
    $$
    \item Dans l'eau, $c=1500 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{s}^{-1}$
\end{itemize}
    
Les Ã©quations que l'on a obtenu dans l'approximation acoustique sont des Ã©quations linÃ©aires (c'est un peu tout l'intÃ©rÃªt de cette approximation): on peut utiliser le formalisme complexe pour Ã©crire une solution en onde plane:
$P_{1}=P_{1,0} e^{i(\omega t-\vec{k} \cdot \vec{r})}$
Injecter cette solution dans l'Ã©quation de d'Alembert nous donne la relation de dispersion bien connue :
$$
\omega^{2}=c^{2} k^{2}
$$
Injecter cette solution dans l'Ã©quation d'Euler linÃ©arisÃ©e nous donne la relation de structure de l'onde sonore:
$$
\rho_{0} \frac{\vec{v}}{c}=P_{1} \overrightarrow{e_{k}} \quad \text { avec } \overrightarrow{e_{k}}=\frac{\vec{k}}{\|\vec{k}\|}
$$
donc l'onde sonore est une onde longitudinale.

\section{Aspect Ã©nergÃ©tiques}

\subsection{Bilan}

\livre HprÃ©pa p104

\paragraph{}Nous allons effectuer un bilan Ã©nergÃ©tique dans le cas des ondes acoustiques. A la maniÃ¨re des ondes Ã©lectromagnÃ©tiques, nous allons d'abord essayer de dÃ©finir un vecteur de Poynting. Pour cela, on considÃ¨re un volume $V$ de fluide dÃ©limitÃ© par une surface fermÃ©e $\Sigma$. 

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{poyn.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

Calculons la puissance des forces de pression qu'exerce le fluide intÃ©rieur sur les particules sortant de $\Sigma$ :

$$
\mathrm{d} \vec{F}=P \mathrm{~d} \vec{S}=\left(P_{0}+p\right) \mathrm{d} \vec{S}
$$
la vitesse du fluide en ce point est $\vec{v}$, d'oÃ¹ :
$$
\mathscr{P}=\oiint_{\Sigma} P \vec{v} \cdot \mathrm{d} \vec{S}=\oiint_{\Sigma}\left(P_{0}+p\right) \vec{v} \cdot \mathrm{d} \vec{S}
$$
La valeur moyenne temporelle de la premiÃ¨re intÃ©grale :
$$
\oint_{\Sigma} P_{0} \vec{v} \cdot \mathrm{d} \vec{S}=P_{0} \oiint_{\Sigma} \vec{v} \cdot \mathrm{d} \vec{S}
$$
est nulle, car lors de la propagation d'une onde sonore, il n'y a pas de propagation de matiÃ¨re : ce n'est donc pas ce terme qui est responsable de la puissance cÃ©dÃ©e aux particules. Conventionnellement on prÃ©fÃ¨re alors faire disparaÃ®tre ce terme puisque l'on ne s'intÃ©ressera par la suite qu'Ã&nbsp; des valeurs moyennes. En conclusion:
$$
\langle\mathscr{P}\rangle=\oiint_{\Sigma} p \vec{v} \cdot \mathrm{d} \vec{S}
$$
La puissance cÃ©dÃ©e par le volume $V$ aux particules qui en sortent est Ã©gale au flux sortant du vecteur $\vec{\Pi}=p \vec{v}$. On voit alors un analogue au vecteur de Poynting Ã©lectromagnÃ©tique. On l'appelle vecteur desnitÃ© de puissance acoustique et il s'exprime naturellement en $W.m^{-2}$.

\paragraph{}En postulat l'existence d'une Ã©quation de conservation Ã©nergÃ©tique du mÃªme type que dans le cas de l'Ã©lectromagnÃ©tisme :

\begin{equation}
\frac{\partial e}{\partial t}=-d i v \vec{\Pi}
\end{equation}

on aimerait maintenant trouver la forme de la dnsitÃ© d'Ã©nergie volumique associÃ©e :

\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\partial e}{\partial t} &amp;=-\operatorname{div} \boldsymbol{\Pi}=-\operatorname{div}\left(p(M, t)\right) \mathbf{v}(M, t) \\
&amp;=-p \operatorname{div} \mathbf{v}-\operatorname{grad}\left(p\right) \cdot \mathbf{v} \\
&amp;=p\left(\frac{1}{\rho_{0}} \frac{\partial \rho}{\partial t}\right)+\left(\rho_{0} \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} \cdot \mathbf{v}\right) \quad \text { avec } \quad \rho=\rho_{0} \chi_{S} p \\
&amp;=\chi_{S} p \frac{\partial p}{\partial t}+\rho_{0} \mathbf{v} \cdot \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}
\end{aligned}
\end{equation}

On peut alors intÃ©grer en prenant la rÃ©fÃ©rence d'Ã©nergie nulle dans le cas sans perturbation :

\begin{equation}
e(M, t)=\frac{1}{2} \chi_{S} p{ }^{2}(M, t)+\frac{1}{2} \rho_{0} \mathbf{v}^{2}(M, t)
\end{equation}

Le deuxiÃ¨me terme s'interprÃ¨te assez facilement comme la densitÃ© d'Ã©nergie cinÃ©tique du fluide. Le premier terme, quant Ã&nbsp; lui, est plus dÃ©licat Ã&nbsp; interprÃ©ter. On dira qu'il s'agit du surcroÃ®t d'Ã©nergie interne associÃ© Ã&nbsp; la compressibilitÃ© du fluide (Ã‰tude complÃ¨te dans le HprÃ©pa paragraphe 2.4), on l'associera alors Ã&nbsp; une densitÃ© volumique d'Ã©nergie potentielle.

\paragraph{}Dans le cas d'une onde plane, on a montrÃ© :

\begin{equation}
\rho_{0} c\vec{v}=p \overrightarrow{e_{k}} \quad \text { avec } \overrightarrow{e_{k}}=\frac{\vec{k}}{\|\vec{k}\|}
\end{equation}

Si on calcule le vecteur de Poynting associÃ© on a alors :

\begin{equation}
    \vec{\Pi} = \frac{p^2}{\rho_0c} \vec{e}_k
\end{equation}

et pour la densitÃ© d'Ã©nergie volumique, en utilisant l'expression de la vitesse du son :

\begin{equation}
    e(M, t)=\frac{1}{2} \chi_{S} p{ }^{2}(M, t)+\frac{1}{2} \rho_{0} \mathbf{v}^{2}(M, t) = \chi_{S} p{ }^{2}(M, t)
\end{equation}

soit finalement :

\begin{equation}
    \vec{\Pi} = ce\vec{e}_k
\end{equation}

L'Ã©nergie se propage donc Ã&nbsp; la mÃªme vitesse que l'onde et dans la mÃªme direction. (le mÃªme raisonnement Ã©nergÃ©tique est supposÃ© avoir Ã©tÃ© dÃ©jÃ&nbsp; fait dans un cours prÃ©cÃ©dent)

\subsection{IntensitÃ© sonore}

\livre Sanz p952 pour les OdG des approximations

\paragraph{}Dans la vie de tous les jours on entend souvent parler d'intensitÃ© sonore ou de niveau sonore pour dÃ©finir la puissance d'un bruit, Ã&nbsp; quoi cela correspond-il ?

\paragraph{}On dÃ©finit l'intensitÃ© sonore comme la valeur moyenne de la norme du vecteur de Poynting :

\begin{equation}
    I = \langle||\vec{\Pi}||\rangle
\end{equation}

D'un point de vue humain, on dÃ©finit le seuil d'audibilitÃ© comme $I_0 = 10^{-12}~W.m^{-2}$ et le seuil de douleur Ã&nbsp; $I_m = 1~W.m^{-2}$. On rappelle que l'oreille humaine est sensible Ã&nbsp; des frÃ©quences allant de 20~HzV Ã&nbsp; 20~kHz, on parle alors d'ondes sonores. VÃ©rifions si dans cette gamme nos approximations sont bien vÃ©rifiÃ©e, notamment celle sur les variations de la force volumique de pesanteur et celle sur la viscositÃ© que l'on a un peu passÃ©es sous le tapis :

\paragraph{}\textit{J'ai pas le J'intÃ¨gre alors je vais faire les OdG moi-mÃªme.}

\paragraph{}On suppose une onde plane de frÃ©quence $\nu=4000~Hz$ se propageant dans l'air avec une intensitÃ© du seuil de douleur $I = I_0$. Par moyennage on a alors : 

\begin{equation}
    I = \frac{p^2}{2\rho_0c}
\end{equation}

ce qui nous donne alors :

\begin{equation}
    p \sim 30~Pa &lt;&lt; P_0
\end{equation}

\begin{equation}
    v \sim 10~cm/s &lt;&lt; c
\end{equation}

\begin{equation}
    \rho \sim 1.10^{-4}~kg/m^3 &lt;&lt; \rho_0
\end{equation}

et donc :

\begin{equation}
\left\|\frac{\rho_{0} \partial_{t} \vec{v}}{\rho \vec{g}}\right\| \sim 10^6
\end{equation}

l'hypothÃ¨se des variations de la force volumique pesanteur est bien justifiÃ©e.

\begin{equation}
    Re = \frac{UL}{\nu} \sim 0,2
\end{equation}

avec $L$ l'amplitude du mouvement des particules fluides. LÃ&nbsp; c'est un peu plus discutable en fait, on a clairement pas un Ã©norme Reynolds... Mais bon le modÃ¨le marche quand mÃªme, Ã§a rajoute juste un effet de dissipation.

\paragraph{}L'intensitÃ© sonore variant sur un trÃ¨s grand nombre d'ordres de grandeur, on utilise en gÃ©nÃ©ral plutÃ´t le niveau sonore qui s'exprime en dÃ©cibels :

\begin{equation}
I_{D B}=10 \log \left(\frac{I}{I_{0}}\right)
\end{equation}

Il faut alors prendre garde, si les intensitÃ©s s'additionnent (hors phÃ©nomÃ¨nes interfÃ©rentiels) pas les niveaux sonores !

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.3\textwidth]{odgdB.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\paragraph{Remarques} Les seuils d'audibilitÃ© et de douleur dÃ©pendent de la frÃ©quence !

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{seuils.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

De quoi ils parlent avec le truc qui fait mal aux narines ??

\transition{Ouais mais si les ondes acoustiques se propagent partout, pk quand on est dans l'eau on entend rien de dehors ?}

\section{Transmission et RÃ©flexion}

\subsection{ImpÃ©dance acoustique}

\livre leÃ§ons des autres mais aussi HprÃ©pa p109

\paragraph{}Si l'on rÃ©-Ã©crit la relation de structure des ondes acoustiques planes on a :

\begin{equation}
\rho_{0} c\vec{v}=p \overrightarrow{e_{k}} \quad \text { avec } \overrightarrow{e_{k}}=\frac{\vec{k}}{\|\vec{k}\|}
\end{equation}

Les grandeurs se propageant sont couplÃ©es par une constante... Comme dans le cas de la tension et de l'intensitÃ© dans le cÃ¢ble coaxial. Par analogie on dÃ©finit alors l'impÃ©dance acoustique du milieu :

\begin{equation}
Z \equiv \frac{p_{1}}{\left\|\overrightarrow{v}\right\|}=\rho_{0} c=\sqrt{\frac{\rho_{0}}{\chi_{S}}}
\end{equation}

L'analogie avec la propagation dans le cÃ¢ble coaxial est alors la suivante :

\begin{equation}
\begin{array}{l}
\overrightarrow{v} \leftrightarrow i \\
p \leftrightarrow u \\
\rho_{0} \leftrightarrow \Gamma \\
\chi_{S} \leftrightarrow \Lambda
\end{array}
\end{equation}

On insiste bien sur le fait que cette forme de l'impÃ©dance n'est valable que dans le cas des ondes planes !

\paragraph{}Nous allons voir que, comme dans le cas du cÃ¢ble coaxial, on peut relier ces notions d'impÃ©dance Ã&nbsp; la notion de rÃ©flexion et de transmission. Pour ce faire, nous avons besoin de dÃ©terminer les conditions limites vÃ©rifiÃ©es par les grandeurs se propageant au niveau d'une interface entre deux milieux.

\paragraph{}Pour la vitesse, les deux milieux Ã&nbsp; l'interface sont collÃ©s donc on a continuitÃ© du dÃ©placement et donc de la vitesse. Pour Ãªtre plus gÃ©nÃ©ral, dans le cas d'une propagation en section variable, ce n'est pas la vitesse qui est continue mais le dÃ©bit volumique !

\paragraph{}Pour la pression, on peut imaginer la mise en place d'un piston Ã&nbsp; l'interface :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{piston.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

on applique alors le PFD sur le piston de masse M :

\begin{equation}
M a(t)=S\left[p_{1}\left(x_{0}, t\right)-p_{2}\left(x_{0}, t\right)\right]
\end{equation}

L'accÃ©lÃ©ration du piston est celle du fluide, elle est donc finie. Ainsi si on fait tendre M vers 0 alors le produit Ma(t) tendra lui aussi vers 0, impliquant ainsi la continuitÃ© de la pression Ã&nbsp; l'interface.

\paragraph{}Calculons alors les coefficients de rÃ©flexion et de transmission en pression.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{schemref.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\begin{equation}
r=\frac{p_{r}}{p_{i}}=-\frac{v_{r}}{v_{i}} \quad t=\frac{p_{t}}{p_{i}}=\frac{Z_{2}}{Z_{1}} \frac{v_{t}}{v_{i}}
\end{equation}

On a alors :

\begin{equation}
    p_r = rp_i
    ~~~~~~~~~~
    p_t = tp_i
\end{equation}

\begin{equation}
    v_r = -rv_i
    ~~~~~~~~~~
    v_t = \frac{Z_1}{Z_2}tv_i
\end{equation}

Les deux relations de continuitÃ© donnent alors :

\begin{equation}
r=\frac{Z_{2}-Z_{1}}{Z_{1}+Z_{2}} \quad t=\frac{2 Z_{1}}{Z_{1}+Z_{2}}
\end{equation}

et les deux coefficients de transmission et rÃ©flexion en puissance :

\begin{equation}
R=\frac{\left\|\Pi_{r}\right\|}{\left\|\Pi_{i}\right\|}~~~~~~~~~~~~ T=\frac{\left\|\Pi_{t}\right\|}{\left\|\Pi_{i}\right\|}
\end{equation}

\begin{equation}
R=r^{2}=\frac{\left(Z_{1}-Z_{2}\right)^{2}}{\left(Z_{1}+Z_{2}\right)^{2}} ~~~~~~~~~~~~~ T=\frac{Z_{1}}{Z_{2}} t^{2}=4 \frac{Z_{1} Z_{2}}{\left(Z_{1}+Z_{2}\right)^{2}}
\end{equation}

On voit alors que :

\begin{itemize}
    \item Pour des impÃ©dances Ã©gales, on a une transmission totale : c'est l'adaptation d'impÃ©dance. C'est pour cela que l'on met du gel en Ã©chographie sinon on a une mauvaise adaptation entre l'Ã©metteur et le corps !
    \item Pour des impÃ©dances trÃ¨s diffÃ©rentes on a presque tout qui est rÃ©flÃ©chi ! C'est notamment le cas au niveau d'une interface eau-air. Pour l'eau on a $Z\sim2.10^6~USI$ alors que pour l'air $Z\sim 400~USI$... Donc quelqu'un dans l'eau entendra trÃ¨s mal quelqu'un qui parle dans l'air. Ce principe est notamment mis Ã&nbsp; profit dans la conception du double vitrage. Et d'ailleurs c'est aussi ce qu'on a observÃ© dans l'expÃ©rience d'intro.
\end{itemize}

\subsection{Application aux instruments Ã&nbsp; vent}

\livre HprÃ©pa p112 mais apparemment il y a un tableau rÃ©capitulatif bien dans le Dunod. On peut aussi voir la correction de l'Ã©preuve A 2009 mais rien de bcp plus que le HprÃ©pa si ce n'est l'influence des trous.

\textit{On va pas avoir le temps de faire grand chose je pense donc aller Ã&nbsp; l'essentiel, on met Melde en prÃ©-requis comme Ã§a l'analogie est directe}


\paragraph{}Nous avons vu que la rÃ©flexion d'une onde plane progressive monochromatique sur une terminaison parfaite peut conduire Ã&nbsp; la formation d'ondes stationnaires dont les nÅ“uds et les ventres, alternÃ©s, sont distants de $\frac{\lambda}{4}$ (deux nÅ“uds, ou deux ventres, successifs Ã©tant distants de $\frac{\lambda}{2}$ ). En pratique, pour obtenir une propagation rectiligne d'ondes sonores planes, nous serons gÃ©nÃ©ralement amenÃ©s Ã&nbsp; les confiner Ã&nbsp; l'intÃ©rieur d'une conduite, que nous choisirons de section constante pour simplifier notre Ã©tude.
Les impÃ©dances acoustiques terminales $Z$ parfaites que nous pourrons aisÃ©ment rÃ©aliser correspondent Ã&nbsp; :

\begin{itemize}
\item $Z=0:$ tuyau dont l'extrÃ©mitÃ© est ouverte Ã&nbsp; l'air libre (nÅ“ud de surpression).
\item $Z=+\infty$ : tuyau dont l'extrÃ©mitÃ© est fermÃ©e (nÅ“ud de dÃ©bit).
\end{itemize}

\paragraph{}Dans le cas de la corde de Melde, pour deux extrÃªmitÃ©s fixÃ©es, nous avions montrÃ© que les oscillations libres peuvent se dÃ©composer en harmoniques de frÃ©quences multiples du fondamental :

\begin{equation}
    \nu = \frac{c}{2L}
\end{equation}

Dans le cas des ondes acoustiques et du tuyau constant on peut envisager deux cas.

\subsubsection{Tuyaux symÃ©triques}

\paragraph{}Dans ce cas les deux extrÃ©mitÃ©s sont du mÃªme type (ouvert-ouvert ou fermÃ©-fermÃ©). La condition de quantification est la mÃªme que dans le cas de la corde de Melde : la longueur du tube correspond Ã&nbsp; un nombre entier de demi-longueur d'onde.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{ouvertpuvert.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

On a donc des modes propres de frÃ©quences :

\begin{equation}
\nu_{1}=\frac{c}{2 L}, \nu_{2}=2 \nu_{1}, \nu_{3}=3\nu_{1}, \ldots, \nu_{n}=n \nu_{1}, \ldots
\end{equation}

\subsubsection{Tuyaux asymÃ©triques}

\paragraph{}Cette fois on a une extrÃ©mitÃ© qui correspond Ã&nbsp; un noeud de dÃ©bit et l'autre qui correspond Ã&nbsp; un ventre de dÃ©bit. La condition de quantification devient donc:
$$
L=n \frac{\lambda}{2}-\frac{\lambda}{4}=\left(n-\frac{1}{2}\right) \frac{c}{2 \nu} .
$$
Les harmoniques prÃ©sents dans la sÃ©rie de Fourier des oscillations libres du gaz auront pour frÃ©quences:
$$
\nu_{1}^{\prime}=\frac{c}{4 L}, \nu_{2}^{\prime}=3 \nu_{1}^{\prime}, \nu_{3}^{\prime}=5 \nu_{1}^{\prime}, \ldots, \nu_{n}^{\prime}=(2 n-1) \nu_{1}^{\prime}, \ldots
$$

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{asym.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\subsubsection{Instruments de musique}

\paragraph{}Le musicien qui souffle dans son instrument provoque des vibrations Ã&nbsp; l'une des extrÃ©mitÃ©s du tube de rÃ©sonance de son instrument. Diverses techniques permettent d'obtenir au bout du tube un vibreur qui va entretenir les oscillations propres de la colonne gazeuse contenue dans le corps de l'instrument.

\paragraph{}Pour des instruments Ã&nbsp; embouchure de flÃ»te, l'Ã©coulement turbulent de l'air de part et d'autre du biseau provoque le dÃ©collement pÃ©riodique de tourbillons d'air, produisant des vibrations excitatrices filtrÃ©es par la cavitÃ© rÃ©sonante (tube de l'instrument). L'ouverture au niveau du biseau Ã©tant assez importante, cette extrÃ©mitÃ© du tube de l'instrument se comporte approximativement comme une extrÃ©mitÃ© libre.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.3\textwidth]{flute.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}



\paragraph{}D'autres instruments possÃ¨dent une anche (hautbois, clarinette, ...) que le souffle de l'instrumentiste fait vibrer. Dans d'autres encore (clairon, cor, ...), ce sont les lÃ¨vres du musicien qui sont mises en vibration. L'extrÃ©mitÃ© excitatrice est alors assimilÃ©e Ã&nbsp; une extrÃ©mitÃ© fermÃ©e.

\paragraph{}L'autre extrÃ©mitÃ© des instruments Ã&nbsp; vent est gÃ©nÃ©ralement ouverte, nous l'assimilerons donc Ã&nbsp; une extrÃ©mitÃ© libre. Dans ces conditions, le son Ã©mis par les instruments Ã&nbsp; embouchure de flÃ»te comporte les frÃ©quences:
$$
\nu_{1}=\frac{c}{2 L}, \nu_{2}=2 \nu_{1}, \nu_{3}=3\nu_{1}, \ldots, \nu_{n}=n \nu_{1}, \ldots
$$
alors qu'un instrument Ã&nbsp; anche ne produira que des harmoniques impairs:
$$
\nu_{1}^{\prime}=\frac{c}{4 L}, \nu_{2}^{\prime}=3 \nu_{1}^{\prime}, \nu_{3}^{\prime}=5 \nu_{1}^{\prime}, \ldots, \nu_{n}^{\prime}=(2 n-1) \nu_{1}^{\prime} \ldots
$$
Les timbres (rÃ©partitions des harmoniques) de ces deux types d'instruments seront donc trÃ¨s diffÃ©rents mÃªme  s'ils ont la mÃªme longueur.

\section*{Conclusion}

Les instruments c'est plus complexe qu'un tube juste. Role trÃ¨s important de la tempÃ©rature.






\end{document}</pre></body></html>