\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP31 - Blablabla Fermat}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{Deleuze Julie}{Jocteur Tristan}



\subsection*{Niveau : Classes préparatoires }



\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{ Dictionnaire de physique} ; \textbf{Taillet, Villain, Febvre} & Définition rayon
\textit{Optique géométrique}, \textbf{BFR} & Base\\
\textit{Optique fondements blabla}, \textbf{Perez} & Calculs \\
\textit{Optique}, \textbf{Houard} & expérience et détails sur les mirages
\end{tabular}
% Vous avez vu cette commande badass pour ne pas mettre les footnotes dans les environements locaux ??

\tableofcontents
\pagebreak

\section*{Remarques sur les leçons précédentes}

\paragraph{2017} Les applications à des systèmes optiques réels sont trop souvent absentes de cette lecon.
\paragraph{2014} La lecon doit illustrer ce que le principe de Fermat apporte de plus que les lois de la réfraction et de la réflexion. Les analogies avec d'autres principes variationnels sont appréciées.

\paragraph{}Assez peu de retours mais la leçon de Sylvio avait plu mais trop longue (et il était préparé) donc je pense reprendre l'idée et tej des trucs (stigmatisme comme suggéré). Niveau application c'est soit mirages soit fibre optique. Moi perso je préfère mirages et en plus comme ça on peut ouvrir sur le fibre optique à gradient d'indice plus logiquement (c'est le principe d'un mirage donc plus logique dans cet ordre). Voilà juste faut bien dire que c'est une analogie et pas parler d'action pck c pas homogène à une action apparemment ça gêne des gens (y'en a qui ont des pb). Bon sinon niveau biblio c'est Perez et BFR mais en vrai c'est surtout du pompage sur Berthelard puis Benjamin et Lucas.

\section*{Introduction}

Les lois de l'optique géométrique quand on vous les as présentées elles sortaient un peu du cul. Rayon de propage en ligne droite. Ah bon bah si je fais l'expérience d'un laser dans un gradient d'eau salée c'est pas tout droit alors c n'importe quoi. Ok on va expliquer cela de manière élégante grâce à la puissance de la théorie.

\experience{Mirage}{Houard}{}{
Matériel:\\
- cuve étroite\\
- solution saline saturée\\
- eau\\
- seringue\\
- laser\\
- support boy
}

\section{Le principe de Fermat}

\subsection{Notion de rayons lumineux}

Le rayon lumineux est au centre de la description des phénomènes optiques par le biais de l'optique géométrique. Il matérialise la région de l'espace qui est traversée par la lumière par un pinceau très fin. Dans cette considération, on exclut tout phénomène de diffraction, ce qui amène à considérer une première hypothèse importante pour travailler en optique géométrique :
Si on note $D$ la plus petite dimension géométrique impliquée pour les obstacles et les diaphragmes que va rencontrer une radiation lumineuse de longueur d'onde $\lambda$, on peut négliger les phénomènes de diffraction si on vérifie la condition:
$\lambda \ll D$ Dans la pratique, les dimensions de systèmes optiques comme des lentilles ou des miroirs sont a de l'ordre de la dizaine de centimètres (voire du mètre pour des montages de grande envergure), tandis que la longueur d'onde la lumière visible est de l'ordre du micromètre. La condition est donc vérifiée
D'autre part, du point de vue de l'électromagnétisme, considérons le vecteur de Poynting pour le champ électromagnétique qu'est la lumière (je ferais bieng un petit schéma avec les trois vecteurs attention à l'orientation):
$$
\vec{\Pi}=\frac{\vec{E} \times \vec{B}}{\mu_{0}}
$$
Ce vecteur caractérise l'énergie transportée par l'onde électromagnétique. Dans le cas particulier d'une onde plane, le vecteur de Poynting est dirigé selon le vecteur d'onde $\vec{k}=\frac{2 \pi}{\lambda} \vec{u}_{k}$ :
$$
\vec{\Pi}=\frac{\varepsilon_{0} c\|\vec{E}\|^{2}}{2} \vec{u}_{k}
$$
Cela s'interprète comme le fait que l'énergie est transportée dans la direction de propagation de l'onde. On retrouve dans cette interprétation du vecteur de Poynting une idée du rayon lumineux. Ce dernier s'apparenterait à la trajectoire de l'énergie transportée par la lumière. On pourrait assimiler cette trajectoire à celle d'une particule qui transporterait cette énergie.

\subsection{Notion de chemin optique}

Afin de déterminer cela, il va falloir un principe qui est le principe de Fermat. Il stipule que pour aller d'un point
A à un point $\mathrm{B}$, le chemin emprunté est le plus rapide. On rappelle que la vitesse de la lumière dans un milieu d'indice $\mathrm{n}$ vaut $v=\frac{c}{n} .$ On définit alors le chemin optique :
$$
(A B)=\int_{A}^{B} n \mathrm{~d} s
$$
tel que le temps que mette un rayon lumieux pour aller de $A$ à $B$ s'exprime simplement par $t=\frac{(A B)}{c}$. Le problème qui se pose est alors : comment minimiser cette grandeur. Dans la vie de tous les jours, un maître nageur en bord de côte peut se retrouver confronter à cette question.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.7\textwidth]{Sauveteur.PNG}
\end{figure}

En effet, le sauveteur qui veut aller sauver la personne qui se noie sait qu’il avance beaucoup moins vite dans l’eau que sur la plage (même si courir dans le sable c’est difficile). Il a donc tout intérêt à minimiser la distance à faire dans l’eau. Mais quel est le juste milieu ?

On comprend facilement que le chemin qui minimisera le chemin optique dépendra des indices rencontrés par le rayon. Ça peut même être plus subtil si le milieu de propagation n'est pas "régulier", par exemple si il présente des discontinuités d'indice entraînant des réflexions.

On observe que dans le cas d’une reflexion sur un miroir le trajet minimisant le temps de trajet et celui reliant A et B sans passer par le miroir (faire schéma shlag au tableau). Le rayon lumineux ne suit pas exactement un minium du chemin optique, il faut être un peut plus précis.

\subsection{Enoncé actuel du prinicpe de Fermat}

Le principe de Fermat s'énonce de la manière suivante : le chemin optique est  stationnaire.\\

On peut préciser ce que l'on entend par stationnaire : On considère un chemin $\mathcal{C}$ reliant deux points $A$ et $B$, et un chemin proche $\mathcal{C}^{\prime}$, obtenu en modifiant légèrement $\mathcal{C}$. Le chemin $\mathcal{C}$ est dit stationnaire si le chemin optique $\mathcal{C}$. est plus long que $\mathcal{C}$. Autrement dit, $(A B)_{\mathcal{C}} \leq(A B)_{\mathcal{C}^{\prime}}$
$A$

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.5\textwidth]{stationnaire.png}
\end{figure}\\

On veut minimiser le temps de trajet... Cela rappelle un autre problème de minimisation en physique, qui consiste aussi à minimiser une fonctionnelle :
Minimiser $\mathcal{S}=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \mathcal{L}(q, \dot{q}, t) \mathrm{d} t \Longrightarrow$ L'équation d'Euler-Lagrange : $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\partial \mathcal{C}}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}=0$
\begin{center}
    \begin{tabular}{c|c|c} 
& Mécanique & Optique géométrique \\
\hline Lagrangien & $\mathcal{L}=T-U$ & $n|\dot{\vec{r}}|$ \\
Action & $S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}(T-U) \mathrm{d} t$ & $S=\int_{A}^{B} n \mathrm{~d} s=\int_{t_{a}}^{t_{b}} n(\vec{r})|\dot{\vec{r}}| \mathrm{d} t$
\end{tabular}
\end{center}

Tout comme le principe de moindre action, le principe de Fermat est un principe variationnel.
Ici, $\mathcal{S}$ est directement le chemin optique. De la même manière que le principe de moi dre action donne accès aux équations du mouvement, le principe de Fermat va nous permettre de retrouver les lois de l'optique géométrique.

\transition{Et ce qui est fort c'est qu'avec ça on peut presque tout redémontrer !}

\section{Les lois retrouvées de l'optique géométrique}

bête de titre tavu

\subsection{Propagation en milieu homogène}

\paragraph{}Dans le cas où la propagation se fait dans un milieu homogène, le chemin optique s'exprime simplement :

\begin{equation}
(A B)=n \int_{A}^{B} \mathrm{~d} s
\end{equation}

Appliquer le principe de Fermat revient donc simplement à minimiser la longueur de la trajectoire entre deux points. Ceci est bien sûr vérifié dans le cas d'une ligne droite (on peut le démontrer analytiquement mais cela a peu d'intérêt ici à part faire des calculs.). On retrouve donc le fait que, dans un milieu homogène (et isotrope), la lumière se propage en ligne droite.

\subsection{Principe de retour inverse}

\paragraph{}Un autre principe que l'on peut démontrer avec le principe de Fermat est le principe de retour inverse de la lumière :

\manip{Le trajet suivi par la lumière pour aller d'un point à un autre ne dépend pas du sens de propagation de la lumière.}

On considère désormais le trajet le trajet non pas $A \rightarrow B$ mais $B \rightarrow A$.
$$
L(B A)=\int_{B}^{A} n \mathrm{~d} s^{\prime}=\int_{A}^{B} n\left(-\mathrm{d} s^{\prime}\right)
$$
On note alors $\mathrm{d} s=-\mathrm{d} s^{\prime}$ l'élément curviligne orienté de $A$ vers $B .$ On trouve :
$$
L(B A)=\int_{A}^{B} n \mathrm{~d} s=L(A B)
$$

\paragraph{}Les deux chemins optiques étant égaux, l'extrêmalisation de l'un correspond donc bien à l'extrêmalisation de l'autre.

\transition{Tout ça c'est des résultats assez intuitifs, qu'en est-il des lois mathématiques ?}

\subsection{Lois de Snell-Descartes}

\textit{On peut aussi faire la version plus légère en calcul vectoriel mais perso je préfère avec les coordonnées ça montre mieux le principe variationnel}

\paragraph{}Le principe de Fermat permet également de démontrer les lois de Snell et Descartes. Prenons tout d'abord la loi de la réfraction :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{refraction.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

Calculons alors le chemin optique correspondant :

\begin{equation}
\mathscr{L}=n \sqrt{x^{2}+y_{0}^{2}+z^{2}}+n^{\prime} \sqrt{\left(x_{0}-x\right)^{2}+y_{0}^{2}+z^{2}}
\end{equation}

La condition de stationnarité $\partial \mathscr{L} / \partial x=0$ conduit à l'équation :
$$
n \frac{x}{A M}-n^{\prime} \frac{x_{0}-x}{M A^{\prime}}=0
$$

soit :

\begin{equation}
    n\sin{i} = n'\sin{i'}
\end{equation}

\paragraph{}La condition de stationnarité selon z, $\partial \mathscr{L} / \partial z=0$ conduit quant à elle à $z=0$, le rayon réfracté est donc contenu dans le plan incident. On retrouve alors de manière complète la loi de Snell et Descartes pour la réfraction.

\paragraph{}Pour la réflexion on peut faire exactement le même raisonnement en prenant A' de l'autre côté du dioptre on a alors simplement $\sin{i} = \sin{i'}$ soit $i = i'$ avec les conditions considérées et $z=0$. On retrouve alors les lois de Snell et Descartes pour la réflexion.\footnote{L'avantage du calcul sur les coorodonnées c'est que le calcul de la réflexion est direct, on ne passe rien sous le tapis comme les autres}

\transition{ça s'arrête pas là, on peut même dépasser sur l'optique ondulatoire !}

\subsection{Théorème de Malus}

\livre Perez

\paragraph{}Considérons un premier rayon lumineux, issu d'un point $A$, qui atteint une surface dioptrique $\mathcal{S}_{1}$ en $I_{1}$ :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{malus.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

Il passe par un point $B$ du milieu 2, situé sur la surface d'onde $\Sigma$. Un second rayon lumineux, issu de $A$ et voisin du premier, atteint la surface $\mathcal{S}_{1}$ en $I_{1}^{\prime} .$ Il passe par un point $B^{\prime}$ situé aussi sur $\Sigma$. Calculons la différence de chemin optique $\Delta L=\left(A I_{1}^{\prime} B^{\prime}\right)-\left(A I_{1} B\right)$. Puisque $L=n_{1} A I_{1}+n_{2} I_{1} B$, on a :
$$
\Delta L=n_{1} \mathbf{u}_{1} \cdot\left(\Delta \mathbf{I}_{1}-\Delta \mathbf{A}\right)+n_{2} \mathbf{u}_{2} \cdot\left(\Delta \mathbf{B}-\Delta \mathbf{I}_{1}\right)=-\left(n_{2} \mathbf{u}_{2}-n_{1} \mathbf{u}_{1}\right) \cdot \Delta \mathbf{I}_{1}+n_{2} \mathbf{u}_{2} \cdot \Delta \mathbf{B}
$$
car $\Delta \mathbf{A}=0$. Puisque $n_{2} \mathbf{u}_{2}-n_{1} \mathbf{u}_{1}=a \mathbf{N}$ d'après la loi de Snell-Descartes (formulation vectorielle, à mettre en pré-requis je dirais cra chiant à expliquer) et que $\Delta \mathbf{I}_{1}=\mathbf{I}_{1} \mathbf{I}_{1}^{\prime}$ est normal à $\mathbf{N}$, il vient :
$$
\Delta L=n_{2} \mathbf{u}_{2} \cdot \Delta \mathbf{B}
$$
Or $\Sigma$ est une surface d'onde, tout comme $A$ qui est une surface d'onde ponctuelle. Par conséquent, le chemin optique entre ces deux surfaces est le même et $\Delta L=0 .$ Il en résulte que $\mathbf{u}_{2}$ est normal à $\Delta \mathbf{B}$ et donc à $\Sigma$, les points $B$ et $B^{\prime}$ étant des points voisins qui appartiennent à $\Sigma$.

\paragraph{}Cette démonstration se généralise sans difficulté lorsque les rayons franchissent plusieurs surfaces dioptriques. Retenons, ce qui est contenu dans la théorie ondulatoire : 

\manip{Dans les milieux isotropes, les rayons lumineux sont normaux aux surfaces d'onde.}

\transition{D'accodacc mais en fait t'as rien expliqué par rapport à ton expérience introductive}

\section{Optique géométrique en milieu non homogène}

\subsection{Équation Eikonale}

\paragraph{}Pour un milieu inhomogène, on ne peut pas sortir l'indice de l'intégrale. On a alors comme on l'a vu précédemment :

\begin{equation}
L_{(A B)}=\int_{A}^{B} n \mathrm{~d} s=\int_{A}^{B} n(\vec{r}(t))|\dot{\vec{r}}| \mathrm{d} t
\end{equation}

l'équation d'Euler-Lagrange associée est :

\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\partial}{\dot{\partial} \dot{r}}(n|\dot{\overrightarrow{\vec{r}}}|)\right)=\frac{\partial}{\partial \vec{r}}(n|\dot{\vec{r}}|) \Longrightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(n \frac{\dot{\vec{r}}}{|\dot{\vec{r}}|}\right)=|\dot{\vec{r}}| \operatorname{grad} n
\end{equation}

En posant $ds = |\dot{\vec{r}}|dt$ il vient alors :

\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s}(n \vec{u})=\operatorname{grad}(n)
\end{equation}

avec $\vec{u} = \frac{d\vec{r}}{ds}$. C'est ce qu'on appelle l'équation Eikonale. C'est elle qui décrit la trajectoire des rayons lumineux en milieu inhomogène. De la même manière que l'on a fait une analogie du principe de Fermat avec la mécanique, on peut faire une analogie entre cette équation est le PFD.

\paragraph{}On pose ds = nda et on a alors :

\begin{equation}
\frac{d}{d s}\left(n \frac{d \mathbf{r}}{d s}\right)=\frac{1}{n} \frac{d^{2} \mathbf{r}}{d a^{2}}
\end{equation}

soit finalement :

\begin{equation}
\frac{d^{2} \mathbf{r}}{d a^{2}}=\frac{1}{2} \nabla n^{2}
\end{equation}

On reconnaît alors une équation fortement similaire au PFD pour une particule fictive de masse unité et un potentiel $U = - \frac{1}{2}\nabla n^2$. On montre alors que les rayons vont se courber vers les indices croissants.

\transition{Comment le voit-on dans la nature ?}

\subsection{Mirages}

\livre Perez pour le calcul

\paragraph{}Les mirages peuvent s'expliquer par cette effet de déviation vers les indices croissants. Ce phénomène est en fait du à des gradients de température dans l'atmosphère à proximité du sol lorsque celui-ci est très chaud ou très froid. L'indice d'un gaz dépendant de sa température, cela va créer un gradient d'indice capable de courber les rayons lumineux. Il existe alors deux types de mirages : les mirages supérieurs (sur l'eau) et les mirages inférieurs (dans le désert) \textbf{schéma au tableau}.

\paragraph{}On peut mettre ce phénomène en équation. Pour un faible gradient de température et donc une faible variation de masse volumique, on peut utiliser la loi de Gladstone $\rho \propto n-1$ pour postuler une dépendance affine de l'indice avec l'altitude :

\begin{equation}
n(z)=a z+b
\end{equation}

\paragraph{}On a :
$$
\vec{\nabla} n=\frac{d}{d s}\left(n(z) \frac{d \vec{r}}{d s}\right)
$$
Cherchons le gradient d'indice:
$$
\frac{\partial\left(n^{2}\right)}{\partial z}=2 n \frac{\partial n}{d z}=a
$$
Donc:
$$
\vec{\nabla} n=\left(0,0, \frac{a}{2 n}\right)
$$
En notant $\theta$ l'angle que fait le rayon avec la verticale:
$$
\frac{d \vec{r}}{d s}=(\sin \theta, 0, \cos \theta)
$$
Selon $\mathrm{x}$ on a :
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{ds}}(n \sin \theta)=0
$$
Selon z:
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s}(n \cos \theta)=\frac{a}{2 n}
$$
Avec $\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{dz}{dx}$,
$$
\frac{d}{d s}(n(z) \cos \theta)=\frac{d}{d s}\left(n(z) \sin \theta \frac{d z}{d x}\right)=n(z) \sin \theta \frac{d}{d s}\left(\frac{d z}{d x}\right)=n(z) \sin \theta \frac{d}{d x}\left(\frac{d z}{d x}\right) \frac{d x}{d s}=n(z) \sin ^{2} \theta \frac{d^{2} z}{d x^{2}}
$$
Ce qui donne :
$$
\frac{d^{2} z}{d x^{2}}=\frac{a}{2 n^{2}(z) \sin ^{2} \theta}=\frac{a K}{2}
$$
La trajectoire est donc une parabole qui se courbe selon le signe de a et donc le gradient de température.

\section*{Conclusion}

On peut alors ouvrir sur les fibres à gradient d'indice.




\end{document}
