<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP33 - InterfÃ©rences Ã&nbsp; deux ondes}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{Deleuze Julie}{Jocteur Tristan}



\subsection*{Niveau : Classes prÃ©paratoires }



\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Tout-en-Un PC-PC*}, \textbf{Sanz} &amp; Boh la base hein\\
\textit{Optique}, \textbf{Taillet} &amp; pour des dÃ©tails
\end{tabular}
% Vous avez vu cette commande badass pour ne pas mettre les footnotes dans les environements locaux ??

\tableofcontents
\pagebreak

\section*{Remarques sur les leÃ§ons prÃ©cÃ©dentes}

\paragraph{2016} Les approximations mises en Å“uvre dans les calculs de diffÃ©rence de marche doivent Ãªtre justifiÃ©es $a$ priori.
\paragraph{2015} L'exposÃ© doit permettre de prÃ©ciser clairement les contraintes particuliÃ¨res que l'optique impose aux dispositifs interfÃ©rentiels par rapport Ã&nbsp; d'autres domaines.
\paragraph{2014} Un interfÃ©romÃ¨tre comportant une lame sÃ©paratrice n'est pas obligatoirement utilisÃ© en diviseur d'amplitude. La notion de cohÃ©rence et ses limites doivent Ãªtre discutÃ©es.

\paragraph{}Dans le book, c'est le passage de Camille qui a eu 20. Basiquement elle a fait le plan classique et elle a pas eu le temps d'aborder la troisiÃ¨me partie (sur la cohÃ©rence). Tout le monde fait plus ou moins ce plan (InterfÃ©rences Ã&nbsp; deux ondes en gÃ©nÃ©ral, Fentes d'Young, Source rÃ©elle (cohÃ©rence)). Je propose de reprendre ce plan, il est naturel (et c'est comme Ã§a qu'il est fait dans les bouquins en gÃ©nÃ©ral).

\section*{Introduction}

\paragraph{}DÃ©finition d'interfÃ©rences. InterfÃ©rences observables facilement en acoustique et en ondes de surface mais on les observe bcp plus difficilement avec des ondes lumineuses. Manip quali des trous d'Young, on Ã©claire avec un laser on voit des interfÃ©rences mais si on Ã©claire avec une QI on voit que dalle.

\transition{Dans quelles conditions et pourquoi en voit-on ?}

\section{Conditions d'interfÃ©rences}

\subsection{DÃ©tection des ondes lumineuses}

\paragraph{}La premiÃ¨re question que l'on doit se poser pour comprendre ce phÃ©nomÃ¨ne d'interfÃ©rences c'est : qu'est-ce que l'on mesure lorsque l'on dÃ©tecte une figure d'interfÃ©rences ? (que ce soit avec notre oeil ou tout autre photorÃ©cepteur). En fait les photorÃ©cepteurs sont sensibles Ã&nbsp; la puissance surfacique transportÃ©e par l'onde lumineuse, dÃ©finie comme vous le savez Ã&nbsp; travers le vecteur de Poynting :

\begin{equation}
    \mathcal{P}(M,t) = \lVert\vec{\Pi(M,t)}\rVert \propto \lVert\vec{E(M,t)}\rVert^2
\end{equation}

\paragraph{}Il existe une grande variÃ©tÃ© de capteurs dÃ©finis par leur caractÃ©ristiques et notamment leur temps de rÃ©ponse :

\begin{equation}
\begin{array}{cc}
\text { Capteur } &amp; \text { Temps de rÃ©ponse } \\
\hline \text { Oeil } &amp; 0,06 \mathrm{~s} \\
\text { Plaque photographique } &amp; 10^{-3} \mathrm{~s} \\
\text { Photodiode } &amp; 10^{-6} \mathrm{~s}\\
\text { Photomultiplicateurs (top du top) } &amp; 10^{-10} \mathrm{~s}
\end{array}
\end{equation}

C'est une caractÃ©ristique trÃ¨s importante qui explique notamment le flou lorsque l'on prend en photo un objet bougeant trop rapidement : si le temps de rÃ©ponse du capteur de l'appareil photo est plus grand que le temps caractÃ©ristique du mouvement alors la puissance lumineuse mesurÃ©e est une moyenne, l'image n'est pas bien dÃ©fini dans le temps. \textbf{photo floue sur diapo}

\paragraph{}Qu'en est-il des ondes lumineuses ? Pour une longueur d'onde comprise entre 400~nm et 800~nm, on a des frÃ©quences associÃ©es de l'ordre de $10^{15}$~Hz ce qui correspond Ã&nbsp; des temps caractÃ©ristiques de variations de l'ordre de $10^{-15}$~s ! C'est donc bien plus faible que le temps de rÃ©ponse de tous les dÃ©tecteurs prÃ©cÃ©demment citÃ©s. Ainsi, de la mÃªme maniÃ¨re qu'un appareil photo faisant une image floue d'un objet bougeant trop vite, les photodÃ©tecteurs ne perÃ§oivent qu'une moyenne sur des centaines de milliers (au mieux) de la puissance lumineuse. On dÃ©finit alors l'intensitÃ© lumineuse comme la grandeur de mesure rÃ©ellement pertinente :

\begin{equation}
    I(M) = \langle\mathcal{P}(M,t)\rangle \propto \langle\lVert\vec{E(M,t)}\rVert^2\rangle
\end{equation}

On comprend pourquoi les interfÃ©rences optiques sont statiques, contrairement Ã&nbsp; celles de la cuve Ã&nbsp; onde.

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{moyen.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\transition{Pour comprendre le phÃ©nomÃ¨ne d'interfÃ©rences il suffit donc d'Ã©tudier l'intensitÃ© rÃ©sultante de la superposition de deux ondes lumineuses}

\subsection{Superposition de deux ondes monochromatiques}

\paragraph{}Supposons que l'on ait deux sources $S_1$ et $S_2$ rayonnant des ondes monochromatiques reprÃ©sentÃ©es par les champs suivant :

\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{E}_{\mathbf{1}}(M, t) &amp;=\mathbf{E}_{\mathbf{1 0}} \cos \left(\omega_{1} t-\frac{\omega_{1}}{c}\left(S_{1} M\right)+\varphi_{10}(t)\right) \\
\mathbf{E}_{\mathbf{2}}(M, t) &amp;=\mathbf{E}_{\mathbf{2 0}} \cos \left(\omega_{2} t-\frac{\omega_{1}}{c}\left(S_{1} M\right)+\varphi_{20}(t)\right)
\end{aligned}
\end{equation}

On a ajoutÃ© ici aux termes classiques des phases $\phi_{10}$ et $\phi_{20}$ qui correspondent aux phases Ã&nbsp; l'Ã©mission en $S_1$ et $S_2$. En effet, rien ne dit que ces deux sources Ã©mettent des ondes en phase initialement ! Mais pourquoi cette dÃ©pendance temporelle ?

\paragraph{}Les processus d'Ã©mission lumineuse sont des processus quantiques et se font de maniÃ¨re intrinsÃ¨quement discrÃ¨te par Ã©mission de photons. On n'a donc en rÃ©alitÃ© pas une Ã©mission d'une onde sinusoÃ¯dale continue mais des Ã©missions successives de pleins de petits trains d'onde. Ces trains d'onde ont une durÃ©e caractÃ©ristique $\tau_c$ et une phase alÃ©atoire ce qui crÃ©er une dÃ©pendance temporelle alÃ©atoire dans les phases initiales au niveau des deux sources.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{trains.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\paragraph{}Essayons alors de calculer l'intensitÃ© rÃ©sultant de la superposition de ces deux ondes :

\begin{equation}
\begin{array}{l}
I \propto\left\langle\left(\mathbf{E}_{\mathbf{1}}+\mathbf{E}_{\mathbf{2}}\right)^{2}\right\rangle \\
I \propto \underbrace{\left\langle\mathbf{E}_{\mathbf{1}}{ }^{2}\right\rangle}_{I_{1}}+\underbrace{\left\langle\mathbf{E}_{\mathbf{2}}{ }^{2}\right\rangle}_{I_{2}}+\underbrace{2\left\langle\mathbf{E}_{\mathbf{1}} \cdot \mathbf{E}_{\mathbf{2}}\right\rangle}_{\text {interfÃ©rences }}
\end{array}
\end{equation}

on remarque alors directement l'existence potentielle des interfÃ©rences : l'intensitÃ© rÃ©sultante n'est pas a priori la somme des intensitÃ©s. Ce phÃ©nomÃ¨ne est entiÃ¨rement contenu dans le troisiÃ¨me terme du dÃ©veloppement que l'on appelle terme d'interfÃ©rences. DÃ©veloppons le :

\begin{equation}
\langle\mathbf{E_{1}}\cdot \mathbf{E_{2}}\rangle=\left\langle\mathbf{E_{10}}\cdot \mathbf{E_{20}} \cos \left(\omega_{1} t-\frac{\omega_{1}}{c}\left(S_{1} M\right)+\varphi_{10}(t)\right) \cos \left(\omega_{2} t-\frac{\omega_{2}}{c}\left(S_{2} M\right)+\varphi_{20}(t)\right)\right\rangle
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{aligned}
\langle\mathbf{E_{1}}\cdot \mathbf{E_{2}}\rangle=\frac{1}{2} \mathbf{E_{10}}\cdot \mathbf{E_{20}}&amp;\Big\langle\left(\cos \left(\left(\omega_{1}+\omega_{2}\right) t-\frac{\omega_{1}\left(S_{1} M\right)+\omega_{2}\left(S_{2} M\right)}{c}+\left(\varphi_{10}(t)+\varphi_{20}(t)\right)\right)\right.\\
&amp;\left.+\cos \left(\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) t-\frac{\omega_{1}\left(S_{1} M\right)-\omega_{2}\left(S_{2} M\right)}{c}+\left(\varphi_{10}(t)-\varphi_{20}(t)\right)\right)\right)\Big\rangle
\end{aligned}
\end{equation}

\transition{InterfÃ©rences = terme non nul mais on a des cosinus c'est de moyenne nulle Ã§a... Ã&nbsp; moins que !}

\subsection{CohÃ©rence et formule de Fresnel}

\paragraph{}Dans le cas oÃ¹ les deux ondes peuvent donner lieu Ã&nbsp; des interfÃ©rences on dit qu'elles sont cohÃ©rentes. Si on Ã©tudie cette expression on remarque que trois conditions dites conditions d'interfÃ©rences doivent Ãªtre remplies pour que le terme d'interfÃ©rence ne s'annule pas.

\subsubsection{Polarisation}

\paragraph{}Tout d'abord le produit scalaire ne doit pas Ãªtre nul. Cette condition est rÃ©alisÃ©e dÃ¨s lors que les ondes ne sont pas polarisÃ©es de maniÃ¨re orthogonale.

\manip{Les polarisations doivent Ãªtre non orthogonales}

\subsubsection{Pulsation}

\paragraph{}Pour que les cosinus ne soient pas de moyenne nulle, il faut que ceux-ci aient une phase indÃ©pendante du temps. Cela mÃ¨ne donc tout d'abord Ã&nbsp; :

\manip{
\begin{equation}
    \omega_1 = \omega_2
\end{equation}}

les ondes doivent donc Ãªtre de mÃªme pulsation pour pouvoir interfÃ©rer.

\subsubsection{CohÃ©rence temporelle}

\paragraph{}Reste alors le terme dÃ©pendant des phases instantanÃ©es. Si $\phi_{10} \neq \phi_{20}$, i.e. les deux ondes ne proviennent pas du mÃªme train d'onde, alors le moyennage annule le cosinus et les ondes n'interfÃ¨rent donc pas. Pour qu'il y ait interfÃ©rence il faut donc que les ondes proviennent du mÃªme train d'onde. Cela n'est possible que si elles sont issues de la mÃªme source. Mais ce n'est pas une condition suffisante ! En effet, deux ondes issues d'une mÃªme source peuvent provenir de trains d'onde diffÃ©rents. On a dit qu'un train d'onde correspond Ã&nbsp; une certaine durÃ©e $\tau_c$ donc par propagation cela correspond Ã&nbsp; une certaine longueur $l_c$. Si la diffÃ©rence de chemin optique entre les deux ondes est supÃ©rieure Ã&nbsp; cette longueur de cohÃ©rence alors les deux ondes interfÃ©rant ne proviendront pas du mÃªme train d'onde ! 

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{coh.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\manip{
Les ondes doivent provenir de la mÃªme source et vÃ©rifier :
\begin{equation}
    \delta &lt; l_c
\end{equation}
}

\paragraph{}Chaque source lumineuse possÃ¨de sa longueur de cohÃ©rence temporelle caractÃ©ristique :

\begin{equation}
\begin{array}{cc}
\text { Source } &amp; \text { Longueur de cohÃ©rence } \\
\hline \text { Laser He-Ne (TP) } &amp; 30 \mathrm{~cm} \\
\text { Laser plus balÃ¨ze } &amp; \text { jusqu'au km! } \\
\text { Source random } &amp; 0.6 \mu \mathrm{m}
\end{array}
\end{equation}

plus on a une grande cohÃ©rence temporelle moins on aura de mal Ã&nbsp; faire des interfÃ©rences.

\paragraph{}Si on se place dans le cas oÃ¹ toutes les conditions sont vÃ©rifiÃ©es on obtient alors la formule de Fresnel donnant l'intensitÃ© rÃ©sultant de la superposition de ces deux ondes cohÃ©rentes :

\begin{equation}
I=I_{1}+I_{2}+2 \sqrt{I_{1} I_{2}} \cos \left(2 \pi \frac{\delta}{\lambda}\right)
\end{equation}

avec $\delta$ la diffÃ©rence de chemin optique appelÃ©e diffÃ©rence de marche. On retrouve alors le rÃ©sultat que vous avez vu au lycÃ©e : l'intensitÃ© est maximale pour $\delta = n\lambda$ et on parle alors d'interfÃ©rences (totalement) constructives et elle est minimale pour $\delta = \left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda$,on parle alors d'interfÃ©rences (totalement) destructives. Attention, l'Ã©nergie totale est conservÃ©e, elle est juste redistribuÃ©e spatialement !

\transition{Comment fait-on en pratique pour vÃ©rifier tout Ã§a ?}

\section{Les fentes d'Young}

\subsection{Dispositif expÃ©rimental et observations}

\paragraph{}Pour vÃ©rifier toutes ces conditions de cohÃ©rence, l'astuce est d'utiliser une seule source que l'on subdivise en deux sous-sources. On remplit alors directement la condition de cohÃ©rence sur la polarisation et la pulsation. Pour ce qui est de la cohÃ©rence temporelle, tant que l'on considÃ¨re des diffÃ©rences de marche infÃ©rieures Ã&nbsp; la longueur de cohÃ©rence de la source on peut observer des interfÃ©rences. Une maniÃ¨re de subdiviser une source primaire en deux sources secondaires est de le faire grÃ¢ce au dispositif des fentes d'Young :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{young.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\paragraph{}Pour le rÃ©aliser expÃ©rimentalement devant vous, on utilise comme source un laser que l'on considÃ©rera monochromatique. On s'affranchit ainsi des potentiels problÃ¨mes de cohÃ©rence temporelle. \textbf{Donner les dimensions du montage qu'on aura fait}

\experience{Fentes d'Young}{}{}{
Fentes d'Young avec laser et fente source, le plus simple possible on veut Ãªtre pÃ©dagogique ici.
}

La figure d'interfÃ©rence est alors constituÃ©e de franges rectilignes rÃ©guliÃ¨rement espacÃ©es.

\transition{Peut-on prÃ©dire les caractÃ©ristiques de cette figure par le calcul ?}

\subsection{Mise en Ã©quation}

\paragraph{}Les fentes sont considÃ©rÃ©es comme infiniment fines et de longueur infinie. Calculons la diffÃ©rence de marche associÃ©e en remarquant que $D&gt;&gt;x,y,a$ :

\begin{equation}
S_{1} M=\sqrt{D^{2}+(x+a / 2)^{2}+y^{2}} \approx D\left(1+\frac{x^{2}+y^{2}+a x}{2 D}\right)
\end{equation}

\begin{equation}
S_{2} M=\sqrt{D^{2}+(x-a / 2)^{2}+y^{2}} \approx D\left(1+\frac{x^{2}+y^{2}-a x}{2 D}\right)
\end{equation}

d'oÃ¹ finalement :

\begin{equation}
    \delta(x) = \frac{ax}{D}
\end{equation}

et donc une intensitÃ© rÃ©sultante d'aprÃ¨s la formule de Fresnel :

\begin{equation}
I(x)=2 I_{0}\left(1+\cos \frac{2 \pi a x}{\lambda D}\right)
\end{equation}

\paragraph{}On remarque alors que l'intensitÃ© est maximale pour :

\begin{equation}
\frac{2 \pi a x}{\lambda D}=2 p \pi \Leftrightarrow x_{p}=\frac{\lambda D}{a} p
\end{equation}

et on a appelle $p$ l'ordre d'interfÃ©rence associÃ© Ã&nbsp; la frange brillante correspondante. De maniÃ¨re analogue, un ordre d'interfÃ©rence demi-entier correspond Ã&nbsp; une frange sombre. 

\paragraph{}La rÃ©partition d'intensitÃ© ne dÃ©pend donc bien que de $x$ (franges rectilignes) et deux franges brillantes sont sÃ©parÃ©es par une distance constante. On appelle cette distance interfrange et on a ici :

\begin{equation}
    i = \frac{\lambda D}{a}
\end{equation}

\experience{Mesure de l'interfrange}{}{}{
On mesure l'interfrange Ã&nbsp; la rÃ¨gle et on compare avec la valeur thÃ©orique. Puis on la fait Ã©voluer qualitativement en dÃ©plaÃ§ant l'Ã©cran et en changeant de bifente.
}

\paragraph{}Un autre paramÃ¨tre qui permet de dÃ©finir une figure d'interfÃ©rences est son contraste :

\begin{equation}
C=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}
\end{equation}

ici on a donc thÃ©oriquement un contraste de 1, c'est le maximum ! Cela signifie que l'on distingue trÃ¨s bien les franges sombres des franges brillantes. Dans le cas oÃ¹ l'on aurait un contraste de 0, cela signifie que la figure est uniforme ! 

\transition{On ouvre la fente source, on voit que le contraste diminue... C'Ã©tait pas dans le modÃ¨le Ã§a...}

\section{Source rÃ©elle}

\subsection{CohÃ©rence spatiale}



Ici, on considÃ¨re que notre source nâ€™est plus ponctuelle mais Ã©tendue. CommenÃ§ons par souligner quâ€™Ã©tendre la source dans la direction orthogonale Ã&nbsp; lâ€™alignement des trous ne change pas la figure dâ€™interfÃ©rence. On peut donc remplacer les trous par des fentes afin de simplement augmenter lâ€™intensitÃ©. Lâ€™Ã©talement qui nous intÃ©resse maintenant est celui dans la direction des fentes.

On modÃ©lise une source Ã©tendue par plusieurs petites sources ponctuelles incohÃ©rentes entre elles. CommenÃ§ons par voir comment est modifiÃ©e la figure si dÃ©place simplement la source initiale dâ€™une distance $X$. Câ€™est facile, on a dÃ©jÃ&nbsp; fait les calculs, câ€™est exactement la mÃªme chose mais Ã&nbsp; gauche.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.8\textwidth]{trous.pdf}
\end{figure}

Ainsi il vient que
$$
\delta=\frac{a x}{D}+\frac{a X}{L}=\frac{a}{D}\left(x+\frac{D}{L} X\right)
$$
Donc on retrouve la mÃªme interfrange $i=\frac{\lambda D}{a} \ldots$ La figure d'interfÃ©rence est juste dÃ©calÃ©e de $\frac{D}{L} X$. On commence Ã&nbsp; comprendre alors que si on ajoute pleins de petites sources ponctuelles comme Ã§a, on additionne des figures d'interfÃ©rence shiftÃ©es les unes par rapport au autres... On risque alors de perdre les belles franges :o

Pour mener le calcul complet, on modÃ©lise la source Ã©tendue de taille $X \in[-b / 2, b / 2]$ par plusieurs sources de taille $\mathrm{d} X$ et de densitÃ© en intensitÃ© $\frac{I_{0}}{b} \mathrm{~d} X$ uniforme. On considÃ¨re qu'elles sont toutes incohÃ©rentes entre elles, ce qui permet d'additionner leurs figures d'interfÃ©rences:
$$
I(x)=\int_{-b / 2}^{b / 2} 2 \frac{I_{0}}{b} \mathrm{~d} X\left(1+\cos 2 \pi\left(\frac{a x}{\lambda D}+\frac{a X}{\lambda L}\right)\right)
$$
On mÃ¨ne le calcul tmtc...
$$
I(x)=2 I_{0}\left(1+\operatorname{sinc} \frac{\pi a b}{\lambda L} \cos 2 \pi \frac{a x}{\lambda D}\right)
$$
On retrouve la mÃªme forme que prÃ©cÃ©demment, mais avec un terme de contraste devant le cosinus...


\textbf{DÃ©finition :} 
On dÃ©finit le contraste comme la grandeur adimensionnÃ©e 
$$\qquad C=\left|\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}\right|$$ 
il caractÃ©rise l'amplitude des variations d'intensitÃ© : il est maximal et Ã©gal Ã&nbsp; 1 lorsque les franges sont parfaitement distinguables. Au contraire, il est nul si la figure est uniforme.

Alors dans ce cas, le contraste vaut:
$$
C=\left|\operatorname{sinc} \frac{\pi a b}{\lambda L}\right|
$$
On remarque donc qu'il est maximal lorsque la source est ponctuelle $b=0 .$ Puis il diminue mais remonte un peu plus tard... Bref tout Ã§a est plus clair sur le programme python!

\subsection{CohÃ©rence temporelle}


De mÃªme, on peut revenir sur lâ€™hypothÃ¨se monochromatique, puisquâ€™on sait quâ€™en vrai, la lumiÃ¨re peut Ãªtre composÃ©e de plusieurs longueurs dâ€™onde. 

Il faut s'intÃ©resser au processus mÃªme d'Ã©mission lumineuse. La raison pour laquelle on ne peut pas avoir une lumiÃ¨re rigoureusement monochromatique :

\begin{itemize}
    \item Elargissement par effet Doppler Ã&nbsp; cause de l'agitation thermique (gaussien),
    \item par choc (lorentzien) pour les lampes haute pression surtout,
\end{itemize}

\textbf{Ordres de grandeur}
Pour la lumiÃ¨re visible, la frÃ©quence est de l'ordre de $10^{15} \mathrm{~Hz}$. L'Ã©largissement spectral du Ã&nbsp; l'effet Doppler est de $10^{9} \mathrm{~Hz}$, l'Ã©largissement du aux collisions dans une lampe Ã&nbsp; faible pression vaut $10^{8} \mathrm{~Hz}$, et la largeur naturelle due Ã&nbsp; la durÃ©e de vie des niveaux vaut $10^{8} \mathrm{~Hz}$.\\

Ces phÃ©nomÃ¨nes vont provoquer un Ã©largissement de la raie spectrale de notre source avec une largeur caractÃ©ristique $\Delta n u$, et qui se traduit dans le domaine temporelle en une fluctuation de l'amplitude du signal avec un temps caractÃ©ristique $\tau_{C} .$ Si on se ramÃ¨ne Ã&nbsp; notre formalisme du "train d'onde" de tout Ã&nbsp; l'heure, la durÃ©e du train d'onde $\tau_{C}$ est reliÃ© Ã&nbsp; la largeur spectrale $\Delta \nu \sim \frac{1}{\tau_{C}}$ Comment dÃ©terminer la consÃ©quence sur la figure d'interfÃ©rences?\\



On voit que chaque longueur dâ€™onde a sa propre figure dâ€™interfÃ©rence... La somme de ces figures va donc donner Ã©galement un brouillage, un peu particulier.

\textbf{Remarque :} cette fois-ci, les sources Ã&nbsp; diffÃ©rents $\lambda$ sont forcÃ©ment incohÃ©rentes puisque par dÃ©finition elle ne sont pas Ã&nbsp; la mÃªme pulsation ! On peut donc bien additionner les figures dâ€™interfÃ©rence.


\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.8\textwidth]{coherence_temporelle.pdf}
\end{figure}


On remarque que si on s'Ã©loigne trop du centre, les couleurs se rÃ©additionnent mais ce ne sera jamais un vrai blanc puisqu'il manque Ã©galement certaines couleurs. On dit que c'est un blanc d'ordre supÃ©rieur.\\
Si on utilise un LASER ou une lampe spectrale, chaque raie est trÃ¨s fine, mais la lumiÃ¨re n'est jamais vraiment monochromatique. Pour plus de dÃ©tail sur l'Ã©largissement des raies, voir LP37 - absorption Ã©mission. On peut calculer quantitativement quel effet a un Ã©talement de $\Delta \nu$ autour de $\nu$ (crÃ©neau) :
$$
\begin{array}{l}
I(x)=\int_{\nu_{0}-\Delta \nu / 2}^{\nu_{0}+\Delta \nu / 2} 2 \frac{I_{0}}{\Delta \nu} \mathrm{d} \nu\left(1+\cos \frac{2 \pi \nu}{c} \frac{a x}{D}\right) \\
I(x)=2 I_{0}\left(1+\operatorname{sinc} \frac{\pi a x \Delta \nu}{c D} \cos 2 \pi \frac{a x}{\lambda D}\right)
\end{array}
$$

De la mÃªme faÃ§on, on voit apparaÃ®tre un terme de contraste, mais cette fois-ci, ce contraste dÃ©pend de l'espace! C'est ce qu'on expliquait plus haut. De plus, plus le pic est fin, plus ce terme de contraste s'Ã©tale (cas critique $\Delta \nu=0 \Longrightarrow C=1)$.

On a donc un brouillage pour $\frac{a x \Delta \nu}{c D}=1$ i.e. pour $\delta=c / \Delta \nu .$ On peut donc dÃ©finir un temps $\tau_{C}=1 / \Delta \nu$ qu'on appelle temps de cohÃ©rence et une distance $L_{C}=c \tau_{C}$ qu'on appelle longueur de cohÃ©rence : il faut $\delta&lt;L_{C}$ pour avoir interfÃ©rences. 


\textbf{ODG} : Laser $L_{C}=30 \mathrm{~cm}$, et lampe spectrale $L_{C}=1 \mathrm{~cm}$

De maniÃ¨re plus physique, on peut faire le lien entre ce calcul et le modÃ¨le des trains d'ondes de la section prÃ©cÃ©dente. On note $\tau_{C}=1 / \Delta \nu$ le temps de cohÃ©rence de la source. Le calcul prÃ©cÃ©dent nous a montrÃ© que les franges se brouillent des que
$\delta \sim c \tau r$
Si on note $L_{C}=c \tau_{C}$ la longueur de cohÃ©rence, on voit que la diffÃ©rence de marche entre les deux rayons interfÃ©rant ne peut excÃ©der $L_{C} .$ Comment cela se justifie-t-il? On a vu que la largeur spectrale d'une source Ã©tait due Ã&nbsp; la durÃ©e finie des trains d'onde. Dans ce dispositif Ã&nbsp; division du front d'onde, des trains d'ondes sont successivement Ã©mis par la source primaire, puis paratagÃ©s entre les deux voies. Deux trains d'onde successifs Ã©tant incohÃ©rents entre eux, il ne peut y avoir interfÃ©rences sur l'Ã©cran qu'entre les deux divisions du mÃªme train d'ondes. Le temps de cohÃ©rence $\tau_{C}$ s'identifie alors Ã&nbsp; la durÃ©e du train d'ondes et $L_{C}$ Ã&nbsp; sa longueur; si $\delta&gt;L_{C}$, ce sont deux trains d'onde diffÃ©rents qui interfÃ¨rent, donc il y a perte de cohÃ©rence. Ce mÃªme raisonnement aussi la rÃ©apparition des franges une fois le premier brouillage passÃ©.

\section*{Conclusion}

InerfÃ©romÃ¨tres Ã&nbsp; division d'amplitude.



\section*{Retours}

\begin{itemize}
    \item Trouver une ref pour les manips... - C'est juste laser + bifente
    \item Pour moi Ã§a sert Ã&nbsp; rien d'introduire le contraste aussi tÃ´t vu qu'il vaut 1 - c'est pour la transition justement
\end{itemize}




\end{document}
</pre></body></html>