\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP38 - Aspect corpusculaire du rayonnement, notion de photon}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{Lucas}


\subsection*{Niveau : L3}



\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Mécanique Quantique 1}, \textbf{Aslangul}\\
\textit{Physique Atomique 1}, \textbf{Cagnac}


\end{tabular}
% Vous avez vu cette commande badass pour ne pas mettre les footnotes dans les environements locaux ??

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Electromagnétisme
  \item Principe de l'induction
  \item Force de Lorentz et de Laplace
\end{itemize}
\end{minipage}


\tableofcontents
\pagebreak

\section*{Remarques sur les années précédentes}

Le jury veut une application assez récente. Attention, ne pas présenter les correspondance classique-quantique comme une preuve de quoique ce soit. L'enjeu de cette leçon est d'y mettre du réel physique, pas que des calculs théoriques alors on lésine pas sur les ODG par ex. Aussi, on recontextualise bien tout ce qu'on fait et pas d'erreur de vocabulaire du genre "parcours du photon". Enfin, c'est des notions tricky et y'a surement des trucs qui nous échappent alors bien lire la biblio et on ne dit rien si on n'est pas sur que c'est vrai (ex attention à la notion de spin). Volk dit aussi que ça sert à rien d'essayer de démontrer des trucs parce que c'est pas des démo si on part de la théorie classique (d'ailleurs on peut pas le démontrer là, c'est la vie faut se baser sur les expériences aussi des fois).

\paragraph{}Bon sinon jvpm oui je veux bien faire un truc original mais à un moment il faut avouer que c'est risqué d'essayer de présenter une application que personne a jamais essayé de présenter alors que y'en a des très cool (toute proportions gardées, moi ça me fait pas bander les atomes ULTRA froids et ULTRA confinés) qui marchent bien. Bon finalement voilà ma proposition

\paragraph{Biblio} Y'a des trucs à lire partout dans les années précédentes, la leçon de Pascal fait pleins de remarques cool, celle des cléments aussi. Par contre on est assez loin de Benjamin et Francis. Au niveau des livres ça a l'air d'être Cagnac et Aslangul pour les deux premières parties et Fox pour les applications.

\section*{Introduction}

sûrement un appel aux souvenirs de la notion de dualité OC.

\section{Naissance du concept de photon}

\subsection{Catastrophe ultraviolette et loi de Planck}

\textit{LP17}

Les études expérimentales du rayonnement d'équilibre thermique à la fin du 19e siècle on provoqué plusieurs tentatives de description théorique. La première est due à Rayleigh et Jeans. Si leur loi décrit bien le rayonnement d'équilibre thermique aux grandes longueurs d'onde, elle ne parvient pas à restituer la décroissance brutale de l'énergie aux petites longueur des résultats expérimentaux. À la place, la loi de Rayleigh-Jeans prédit une divergence de l'énergie quand $\lambda \rightarrow 0$. Leur erreur consistait à considérer le champ électromagnétique comme un ensemble d'oscillateurs harmoniques, d'énergie moyenne $k_B T$ donnée par le théorème d'équipartition de l'énergie. Planck parvint à obtenir une loi en accord avec l'expérience en 1900 en introduisant la quantification des niveaux d'énergie de ces oscillateurs harmoniques. Selon la loi de Planck, la densité spectrale d'énergie volumique s'exprime comme suit :

\begin{equation}
    u_\lambda(\lambda, T) = \underbrace{\dfrac{8\pi}{\lambda^4}}_{\text{densité volumique de modes}}\times\underbrace{\dfrac{hc}{\lambda}}_{\text{énergie d'un photon}}\times\underbrace{\dfrac{1}{\exp(\frac{hc}{\lambda k_B T})-1}}_{\text{statistique de Bose-Einstein}}
\end{equation}



Bien qu'il resta longtemps convaincu que ce n'était qu'une astuce de calcul sans réalité physique, sa découverte marqua l'avènement de la physique quantique. 

\transition{Cependant, la notion de quantum d’énergie n’a été introduite que comme un intermédiaire de calcul. Planck n’attachait pas de réalité physique à son hypothèse. En revanche, en 1905, Einstein interprète physiquement la quantification utilisée par Planck en introduisant le concept de photon afin d’expliquer l’effet photoélectrique, observé par Becquerel (1839), Hertz (1887) (PN Einstein 1925).}

\subsection{L'effet photoélectrique}

\textit{Cagnac p5}

\color{gray}Je suis partagé sur le fait de faire l'expérience en vrai plutôt qu'utiliser la simu de Camille... A tester IRL si on a le temps je pense pour voir à quel point ça marche.
Je pense qu'il est important que l'expérience ne constitue pas une preuve du caractère corpusculaire en soi ! c'est un indice ! (la vraie preuve c'est aspect et l'insécabilité mais bon la leçon est longue et l'expérience est moins incontournable je trouve).
\color{black}

\url{https://phet.colorado.edu/fr/simulation/photoelectric}

L'effet photoélectrique désigne l'émission d'électrons par un métal éclairé par un rayonnement électromagnétique, avec certaines caractéristiques que nous allons étudier.

Le dispositif expérimental de mis en évidence de l'effet photoélectrique est le suivant : une plaque métallique est placée sous vide, qui constitue la cathode. Une autre électrode est placée en regard, destinée à recueillir les électrons elle joue donc le rôle d'anode. Elle est éclairée par une source lumineuse monochromatique. ON mesure le courant $I$ qui traverse la cellule en fonction du potentiel $V$ de l'électrode collectrice par rapport à la plaque.

\begin{itemize}
    \item Première caractéristique : l'émission d'électrons n'est possible que pour de courtes longueurs d'onde, ou de fréquences élevées. D'un point de vue classique on s'attendrait à ce que le débit d'électrons de dépende que de la puissance $P$ du faisceau éclairant la plaque.
    \item Deuxième caractéristique : lorsque que V est positive et suffisamment élevée, $I$ sature à une valeur constante $I_M$ (courant de saturation photoélectrique) qui est proportionnelle à $P$ (d'où l'utilisation d'une cellule photoélectrique pour mesurer une intensité lumineuse).
    \item Troisième caractéristique : lorsque $V$ diminue $I$ diminue aussi mais ne s'annule pas pour $V = 0$. Il s'annule pour $V_0<0$ dont le module représente la contre-tension maximale au delà de laquelle aucun courant ne passe car l'anode repousse les électrons. $V_0$ ne dépend que de $\nu$, et $V_0 \propto \nu$. 
\end{itemize}

Pour expliquer l'importance de la fréquence du rayonnement dans l'effet photoélectrique, Einstein a utilisé l'hypothèse de PLanck selon laquelle l'onde communique son énergie aux électrons sous forme de paquets ou quantum d'énergie appelés photons et valant $h\nu$

Concernant la fréquence seuil $\nu_S$, le seul provient du travail d'extraction nécessaire pour séparer l'électron de l'atome $W_S$. L'électron n'est arraché que si $h\nu\geqslant W_S = h\nu_S$.
Pour expliquer l'existence et la dépendance de la contre-tension remarquons que lorsque l'onde électromagnétique possède une fréquence $\nu\geqslant \nu_S$ alors l'énergie excédentaire est convertie en énergie cinétique : 

$$
h\nu = W_S + \frac{1}{2} mv^2
$$

Par conservation de l'énergie de l'électron entre la cathode et l'anode :

$$
e|V_0| = \frac{1}{2}mv^2 = h\nu - W_S = h(\nu - \nu_S)
$$

d'où la linéarité de $V_0$ par rapport à $\nu$.


\textbf{Ordre de grandeur} Pour le zinc, Ws = 4.33eV donc λs = 290nm, ce qui correspond bien à des rayonnements UV. Le photon optique a une énergie de l’ordre de 1 eV.

\color{gray} En fait on pourrait supposer le rayonnement classique et le détecteur quantique et réussir à expliquer l'effet photoélectrique... Mais la nature quantique des atomes n’a été mise en évidence que plus tard en 1914 par l’expérience de Franck et Hertz.\color{black}.


\section{Caractéristiques du photon}

\subsection{énergie et masse}
\textit{Aslangul 1 p129}

Comme vous l'avez déjà appris et comme l'experience de l'effet photoélectrique semble le confirmer, un photon de fréquence $\nu$ possède une énergie 

\begin{equation}
    E = h\nu
\end{equation}

Pour un photon optique, cela correspond à une énergie de 2~eV. Voir un flux lumineux comme un flux de photons n'est pas spécialement intuitif. Quantifions le flux lumineux incident du soleil pour fixer les idées : la Terre reçoit de la part du soleil un flux de puissance surfacique de l'ordre de $1~mW/mm^2$. La rétine étant de surface $1~mm^2$ reçoit donc en moyenne $10^{15}$ photons par seconde. Pas étonnant qu'on ne s'aperçoivent pas naturellement de ce caractère corpusculaire.

\paragraph{}Les photons se déplaçant à la vitesse de la lumière, il est impératif de les traiter dans le cadre de la relativité d'Einstein. On peut donc ré-écrire leur énergie :

\begin{equation}
E=\sqrt{p^{2} c^{2}+m^{2} c^{4}}
\end{equation}

et donc :

\begin{equation}
h\nu=\sqrt{p^{2} c^{2}+m^{2} c^{4}}
\end{equation}

La fréquence associé à un rayonnement (et donc un photon) n'étant pas bornée inférieurement, on peut faire tendre cette énergie vers 0, or les termes en-dessous de la racine sont tous les deux positifs ou nuls donc cela implique $m^2c^4 = 0$ soit $m=0$ puisque $c$ est une constante. Un photon est donc nécessairement de masse nulle. Les preuves expérimentales arrivent à borner supérieurement cette masse jusqu'à $10^{-54}~kg$.

\subsection{Impulsion}

\paragraph{}Pour $m=0$ on a donc :

\begin{equation}
    p = \frac{h}{\lambda}
\end{equation}

On retrouve donc la loi de De Broglie. En étendant cette notion en vectoriel on a :

\begin{equation}
    \vec{p} = \hbar \vec{k}
\end{equation}

\paragraph{}On peut utiliser ce résultat et la notion corpusculaire du photon pour faire un calcul simple de la pression de radiation exercée sur un voile réfléchissant :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{press.jpeg}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

On retrouve alors le résultat classique déduit de la théorie de Maxwell ! Le rayonnement électromagnétique exerce donc une pression de radiation sur la matière. On peut l'utiliser pour propulser des engins spatiaux avec des voiles solaires. 

\begin{itemize}
\item ODG: Au niveau de la Terre, $P_{s u r f}=1 \mathrm{~mW} / \mathrm{mm}^{2}$ donc la pression exercée est de $P_{\text {surf }} / c \sim 10^{-5} \mathrm{~Pa} .$ \item ODG: NanoSail-D2 est une petite voile solaire de $10 \mathrm{~m}^{2}$ réalisée pour la NASA et qui a été lancée en 2011 . Elle subit une poussée de $0.1 \mathrm{mN}$. 
\item ODG: Une voile en aluminium de $640000 \mathrm{~m}^{2}$ et $2.5 \mathrm{~mm}$ d'épaisseur serait susceptible de transporte $2300 \mathrm{~kg}$ de charge utile sur Mars en 400 jours ou $1500 \mathrm{~kg}$ de charge utile sur Jupiter en 900 jours (source : Voiliers de l'espace, Louis Friedmann)
\end{itemize}

\subsection{Moment cinétique}

\textit{Cagnac p.311 pour une explicatio détaillée (trop pour tout dire je trouve) de l'expérience}

\paragraph{}Enfin, un dernière caractéristique que nous allons préciser est celle de moment cinétique. Le photon possède un moment cinétique qui prend les valeurs $+\hbar$ pour une polarisation circulaire droite et $-\hbar$ pour une polarisation circulaire gauche. On peut corroborer ce résultat avec l'expérience de Beth :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{Beth_simple.png}
    \caption{Représentation très schématisée de l'expérience de Beth}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\pargraph{}L'idée est la suivante : on fait passer un flux de photon polarisés droit à travers une lame demi-onde, on obtient donc en sortie un flux de photon polarisé gauche. Par conservation du moment cinétique, la lame reçoit un moment cinétique :

\begin{equation}
    L_z = 2\hbar
\end{equation}

Si on note $P$ la puissance associée au flux de photons on a donc durant dt :

\begin{equation}
    dL_z = \frac{P}{h\nu}dt2\hbar
\end{equation}

La plaque subit donc un moment :

\begin{equation}
    \Gamma_z = \frac{2P}{\omega}
\end{equation}

On peut éventuellement doubler cet effet en utilisant un miroir et une autre lame demi-onde. 

\paragraph{}\textbf{ODG} : Le couple exercé $\Gamma=4 P / \omega$ est très faible $: 10^{-15} N m,$ avec $P=0.1 W$ et $\omega=10^{15} s^{-1}$ Il faut prendre beaucoup de précautions expérimentales : pas de luière parasite, montage sous vide. Le fil de torsion choisit par Beth est un fil de quartz, de constante de torsion $10^{-12} \mathrm{N.m} / \mathrm{rad}$. L'angle observé est de l'ordre de $10^{-3} \mathrm{rad},$ ce qui est observable, et permet donc de justifier l'assertion que nous avons fait ici ! \textit{If the quarter-wave plate that polarises the light from the lamp is turned through $90^{\circ},$ so as to invert the sense of the circular polarisation, the effect changes sign.}

\paragraph{}Perso je ne parlerais pas de spin, c'est tricky et ça viendra très probablement dans les questions.

\section{Applications récentes}

\subsection{Refroidissement par effet Doppler}

\textit{Fox p241}

\paragraph{}\textbf{Motivation} : pouvoir observer la condensation de Bose-Einstein dans des gaz, réservée jusque là aux physicien-nes de la matière condensée.

\paragraph{}Le principe de refroidissement d'atomes par la lumière s'explique par la notion d'impulsion des photons. On en propose un mécanisme simple MAIS approché (l'idée ici est de rester qualitatif, si on veut voir les limites, go Fox y'a des calculs un peu plus compliqués).

\paragraph{}Comme vous le savez déjà, la vitesse des atomes constituant un gaz atomique est directement relié à sa température par la notion de vitesse quadratique moyenne :

\begin{equation}
v^{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3 k_{\mathrm{B}} T}{m}}
\end{equation}

Refroidir un gaz c'est donc essentiellement diminuer la vitesse des atomes qui le composent. Pour ce faire on peut utiliser la force mécanique qu'exerce un faisceau laser sur la matière (à mettre en parallèle avec la pression de radiation) pour ralentir leur mouvement. Si à température ambiante la vitesse quadratique moyenne est de l'ordre de quelques centaines de $m.s^{-1}$, le refroidissement par laser permet de diminuer cette vitesse d'environ 4 ordres de grandeur pour descendre à des température de l'ordre du $\mu K$.

\paragraph{}Au premier abord la notion de refroidissement laser peut paraître contre-intuitive, on pourrait penser que le laser réchauffe le gaz et donc augmente la vitesse des atomes. L'astuce est en fait de se placer dans une configuration spécifique où la fréquence du laser n'est pas choisie au hasard.

\paragraph{}En effet, on choisit celle-ci proche de la résonance avec une fréquence associée à une transition énergétique atomique. On va faire un modèle 1D sur un axe Ox pour expliquer le principe. 

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{laser1.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

On considère un atome en mouvement selon +x avec une vitesse $v_x$ et un laser se propageant dans le sens inverse avec une fréquence $\nu_L$ proche d'une fréquence de transition atomique $\nu_0$
$$
\nu_{\mathrm{L}}=\nu_{0}+\delta
$$

Dans le référentiel de l'atome, il perçoit une fréquence laser déformée par effet Doppler selon :
$$
\nu_{\mathrm{L}}^{\prime}=\nu_{\mathrm{L}}\left(1+\frac{v_{x}}{c}\right)=\left(\nu_{0}+\delta\right)\left(1+\frac{v_{x}}{c}\right) \approx \nu_{0}+\delta+\frac{v_{x}}{c} \nu_{0}
$$

Pour $\delta$ bien choisi, i.e. 

\begin{equation}
\delta=-\nu_{0} \frac{v_{x}}{c}=-\frac{v_{x}}{\lambda}
\end{equation}

On a résonance pour les atomes se déplaçant en contre-sens du laser. Mais l'avantage réside dans le fait que les autres atomes se propageant dans une direction opposée (ou même quelconque mais ici on est en 1D) ne satisfont pas cette condition de résonance :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.3\textwidth]{spectres.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

On n'interagit alors sélectivement avec une direction. Quel est l'effet alors ? Basiquement l'atome accordé absorbe le photon et donc subit une variation d'impulsion selon la conservation :

\begin{equation}
\Delta p_{x}=-\frac{h}{\lambda}
\end{equation}

On a donc bien une diminution de la vitesse selon x. Une fois le photon absorbé, l'atome est excité et il va ré-émettre par émission spontanée mais c'est pas un problème car l'émission est isotrope et donc en moyenne de contribution nulle (attention ici on occulte l'émission stimulée). 

\paragraph{}En notant $\tau$ le temps de vie radiatif, l'atome subit alors une force résultante (j'enlève le facteur 2 car n'apporte rien ici je trouve) :

\begin{equation}
F_{x}=\frac{\mathrm{d} p_{x}}{\mathrm{~d} t} \sim \frac{\Delta p_{x}}{\tau}=-\frac{h}{\lambda \tau}
\end{equation}

\paragraph{}On finit bien évidemment par être limité par la largeur de raie d'absorption à comparer avec l'écart en fréquence causé par l'effet Doppler. On trouve alors qualitativement la température limite de refroidissement en comparant l'énergie thermique de l'atome et l'énergie de radiation (abus de langage, c'est la largeur mais t'as capté) :

\begin{equation}
k_{\mathrm{B}} T_{\min } \sim h \Delta \nu
\end{equation}

puis par relation temps-fréquence :

\begin{equation}
T_{\min } \sim \frac{\hbar}{k_{\mathrm{B}} \tau}
\end{equation}

NB : c'est un calcul quali mais très proche de la réalité.

\paragraph{}Enjeu pratique : il faut changer la fréquence pour s'accorder avec le refroidissement. Ca s'appelle le refroidissement par balayage de fréquence.

\transition{En pratique, un laser ne suffit pas, ne serait-ce que parce que l'on ne ralentit que dans une direction !}

NB : en fait proche de la condition limite il faut un deuxième laser même en 1D (voir p248)

\subsection{Piègeage magnéto-optique, partie tampon}
\textit{Fox p253}

\paragraph{}Avec un laser comme ça on va pas aller bien loin car on ne ralentit qu'une direction. En pratique on met donc 6 lasers, 2 en regard par direction, ce qui permet donc de ralentir toutes les directions. Toutefois, ça ne les confine en aucun cas, pour les condenser un un point on va utiliser un champ magnétique.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{piegemag.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\paragraph{}On utilise un champ magnétique quadripolaire (Cf schéma) dont l'expression est donnée comme suit :

\begin{equation}
\boldsymbol{B}=B^{\prime}(x \hat{\mathbf{i}}+y \hat{\mathbf{j}}-2 z \hat{\mathbf{k}})
\end{equation}

soit en module :

\begin{equation}
B=B^{\prime}\left(x^{2}+y^{2}+4 z^{2}\right)^{1 / 2}
\end{equation}

Par effet Zeeman, les atomes acquiert donc une énergie :

\begin{equation}
E=g_{J} \mu_{\mathrm{B}} B M_{J}
\end{equation}

Donc les atomes à $M_J$ positifs sont confinés au centre et ceux à $M_J$ négatif sont expulsés. Le piège a une profondeur énergétique de l'ordre de $\mu_B B$ soit 0,67~K pour 1~T c'est pourquoi on ne peut piéger que des atomes très froids : le dispositif laser est essentiel même juste pour confiner.

NB : on peut évoquer que c'est ce qu'il y a dans les horloges atomique fontaine de jsp quoi mais je pense qu'il faut être au point dessus si on veut l'évoquer.

\section{Conclusion}

Ouverture sur les manips à photon unique jponse et surtout aux détecteurs de photons uniques (projet biblio de L2 (-c-) )

\section{Questions}
\begin{itemize}
    \item Dans l'intro construction historique : pr toi la description corpusculaire commence avec le photon et Einstein ou avant ? Newton a tenté, grains de lumière qui suivent la mécanique, de couleurs différentes mdr.
    \item fréquence seuil de l'effet photoélectrique, pk c'est pas logique d'un pt de vue classique ? Pt de vue ondulatoire en fait
    \item Qu'introduit Einstein dans l'effet photoélectrique ? Travail d'extraction déjà connu (ionisation), Einstein a repris l'idée de Planck des échanges quantifiés mais avec un pt de vue corpusculaire
    \item Autres expériences avec le caractère corpusculaire ? Expériences de Kimbel ? Expériences à photon unique
    \item Relation $E =h\nu$ traduit-elle la dualité onde/corpuscule ou juste le caractère corpusculaire ? Notion de fréquence qui fait le lien
    \item et avec $p =h/\lambda$ ? notion de longueur d'onde 
    \item Relations de De Broglie avant ou après Einstein ? un peu après ad hoc à vérifier 
    \item nb de photons reçus par l'oeil c'est quelle surface qui compte ? La pupille 
    \item AN $10^{15}$ comparer à un seuil de détection de l'oeil ? $\approx 15$ photons par seconde par photorécepteur
    \item Justification ondulatoire de la pression de radiation ?
    \item interprétation de la notion de polarisation pour 1 photon ? On parle souvent d'hélicité et pas de spin parce que la mass est nulle et interdit le spin nul;
    \item Partie refroidissement : justifier le DL (gaz à T ambiante non relativiste, c un DL à l'ordre 2 en fait )
    \item D'où provient la largeur de la raie d'basorption ? Plusieurs effet mais pour un atome seul, c'est surtout le temps de transfert radiatif prop à l'inverse à la largeur spectrale.
    \item Et le laser il est monochromatique ? Oscillateur avec un grand facteur de qualité
    \item On tend vers quelle forme de profil de raie pour des atome ralentis ?
    \item piège magnétoptique ? 
\end{itemize}

\section{Remarques}

\begin{itemize}
    \item Leçon bien équilibrée et bien timée gg bg.
    \item attention à dire ondulatoire et pas classique
    \item joli l'animation
    \item expérience qui montrent le photon : se renseigner sur les expériences à photon unique c'est ça la preuve irréfutable.
    \item 
\end{itemize}
\end{document}

