\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP39 -- Aspect ondulatoire de la matière. Notion de fonction d'onde}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{Deleuze Julie}{Jocteur Tristan}



\subsection*{Niveau : jsp}



\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Physique tout-en-un PC}, \textbf{Sanz}\\
\textit{Mécanique Qauntique I}, \textbf{Aslangul}\\
\textit{Mécanique Quantique}, \textbf{Basdevant}\\
\textit{Physique Quantique : Fondements}, \textbf{Le Bellac}\\
\textit{Quantique}, \textbf{Pérez}

\end{tabular}
% Vous avez vu cette commande badass pour ne pas mettre les footnotes dans les environements locaux ??

\tableofcontents
\pagebreak

\section*{Remarques sur les leçons précédentes}

\paragraph{2017} Un exposé sans présentation de l’équation de Schrödinger ne paraît pas raisonnable.
\paragraph{2015} Les dispositifs interférométriques avec les ondes de matière ne se résument par aux expériences du type fentes d’Young.

\paragraph{}Bon les (bons) plans se ressemblent tous mais quelques subtilités toutefois. Première question c'est l'ordre : historique ou pas ? En gros est-ce qu'on donne de Broglie avant la mise en évidence expérimentale ? Moi perso je suis pour, autant se coller à la réalité et je ne trouve pas ça moins pédagogique, c'est pas la première fois (et pas la dernière) où la théorie était en avance sur les expériences. On reprend donc le chemin historique de la vision quantique de la lumière -> De Broglie a l'idée de la matière. On donne sa théorie -> on la vérifie expérimentalement avec Davisson et Gerner. C'est quoi l'onde à l'origine de ces comportements ? Experience des fentes d'Young pour confirmer le caractère ondulatoire mais surtout montrer le côté probabiliste. Interprétation de Born, définition de la fonction d'onde. On revient sur les fentes pour expliquer les interférences : c'est exactement comme l'optique. Très bien et cette fonction d'onde évolue comment ? On donne l'équation de schrodinger. On peut l'interprêter en terme cinétique et potentiel mais l'amener avec les mains c'est trop bizarre pour moi, ça reste un postulat. Ensuite on réintroduit le paquet d'onde pour pouvoir faire le principe d'incertitude de Heisenberg. 

\paragraph{}Léo dit que ça serait cool de faire une application (genre marche ou puits) mais j'y crois pas du tout, même Thibierge avec 50~min avait ce plan sans applications. On reprend l'idée de Pauline (qui ne vient pas que d'elle) : on va faire une analogie quantique/optique tout du long.

\section*{Introduction}

On a quantifiak la lumière en particules, et si la matière c'était une onde ? Si sest vrai c très grave.

\section{Aspect ondulatoire de la matière}

\subsection{Relation de De Broglie}

\livre Sanz, p.793, Aslangul, p.273, Le Bellac p.20

\paragraph{}Dans la leçon précédente, nous avions montré par un raisonnement relativiste que l'on pouvait associé à un photon d'énergie $E$ une impulsion $p$ telle que :

\begin{equation}
    E = pc
\end{equation}

En remarquant que $E = \hbar\omega = \frac{hc}{\lambda}$ on avait alors fait correspondre l'impulsion de ce photon à la longueur d'onde du rayonnement associé :

\begin{equation}
    \lambda = \frac{h}{p}
\end{equation}

On avait alors associé à un phénomène compris initialement comme ondulatoire une impulsion à partir de sa longueur d'onde.

\paragraph{}En 1923, De Broglie propose dans sa thèse l'hypothèse selon laquelle cette relation est valable dans l'autre sens : on peut associer à des particules d'impulsion bien défini une longueur d'onde. C'est la relation de De Broglie :

\begin{equation}
    \lambda_{DB} = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}
\end{equation}

Dans cette hypothèse, la matière possède un comportement ondulatoire.

\transition{Le jury trouva cette idée farfelue mais néanmoins intéressante, et pour cause ! Elle fut validée par de nombreuses expériences par la suite dont l'expérience de Davisson et Germer.}

\subsection{Confirmation expérimentale}

\livre Basdevant p24

\paragraph{}Une mise en évidence historique du caractère ondulatoire de la matière est l'expérience de Davisson et Germer. En 1927, les deux physiciens mettent en évidence un phénomène de diffraction des électrons. Comment s'y sont-ils pris ?

\paragraph{}Davisson et Gerner ont en fait repris les idées de Debye et Scherrer (1919) en ce qui concernait la diffraction des rayons X pour sonder la matière. Petite piqûre de rappel : en envoyant des rayons X sur un cristal, les directions d'intensité maximale par rapport au rayon incident sont données par la loi de Bragg :

\begin{equation}
    \delta = n\lambda = 2d\sin\theta
\end{equation}

avec $d$ la distance entre deux plans réticulaires du cristal. La grande nouveauté c'est que, là où Debye et Scherrer utilisaient de rayons X, Davisson et Germer ont tenté l'expérience avec de la matière, en l'occurence des électrons !

\paragraph{}L'expérience est réalisée sur un cristal de Nickel. Pour atteindre des longueurs d'onde de De Broglie comparables à celles des rayons X, les électrons émis par effet thermoélectrique d'un filament de tungstène sont accélérés par une différence de potentiel $U$. On avait alors :

\begin{equation}
\lambda_{D B}=\frac{h}{\sqrt{2 m_{e} e U}}
\end{equation}

et donc :

\begin{equation}
2 d \sin (\theta)=p \lambda_{D B}=p \frac{h}{\sqrt{2 m_{e} eU}}
\end{equation}

Et c'est ce qu'ils ont observé ! Des pics d'intensité maximale du faisceau d'électron et qui ont permis de remonter à une valeur cohérente du paramètre de maille du Nickel (cohérente car même résultat que pour les rayons X). Le jet d'électron présente donc bien un comportement ondulatoire. Cette découverte extraordinaire (youhou) leur a valu le Prix Nobel en 1927. Et ce qui est chouette c'est qu'on peut la refaire sous vos yeux ébahis :

\experience{Diffraction des électrons sur le graphite}{}{}{
On a directement par approximation de petits angles : 

\begin{equation}
\frac{1}{D}=d \frac{\sqrt{2 m e}}{2 h L} \sqrt{U}
\end{equation}

On le fait en direct. On mesure les deux anneaux pour remonter aux deux distances. On fait varier la tension pour voir qu'on a la bonne dépendance.
}

Ici on a $U\sim1~kV$ donc on a $\lambda_{DB}\sim 40~pm$ on est donc bien comparable aux rayons X.

\transition{Ok donc toute la matière est une onde ? Pourquoi je m'en suis pas rendu compte avant ?}

\subsection{Régime quantique et régime classique}

\livre exos du Sanz 

\paragraph{}Encore une fois par analogie avec l'optique, on peut faire un parallèle entre la frontière optique géométrique/optique ondulatoire et mécanique classique/mécanique quantique : la longueur d'onde de De Broglie associée à la matière est à comparer à la taille caractéristique des obstacles du problème :

\begin{itemize}
\item Un homme de $80 \mathrm{~kg}$ courant à $5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ au travers d'une porte de $1 \mathrm{~m} . \lambda_{D B}=10^{-36} \mathrm{~m}$. Régime classique, heureusement pour le gadjo.
\item Une balle de fusil de 10 g allant à $350 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ dans le canon de $1 \mathrm{~cm}$ de diamètre $\lambda_{D B}=10^{-35} \mathrm{~m} .$ Régime classique, alors que ça va vite.
\item Un électron accéléré par une différence de potentiel de $3 \mathrm{kV}$ envoyé sur une poudre de graphite de distance interatomique 1 angstrom : $\lambda_{D B}=10^{-11} \mathrm{~m}$. Régime quantique, bah oui sinon on aurait rien vu.
\item Pour un gaz d'électrons, dans les CNTP, qui peut intervenir dans la modélisation des métaux, $\bar{\lambda}=12 \AA$ et $\bar{d}=1 \AA .$ La longueur d'onde de De Broglie est plus grande car l'électron est plus léger. Le gaz d'électrons est donc quantique, même à température ambiante ! On sent donc que le modèle de Drude il est un peu trop shlag.
\end{itemize}

\transition{Ok une onde mais une onde de quoi en fait ??}

\section{Description : notion de fonction d'onde}

\paragraph{}Il nous manque en fait une notion importante pour comprendre la nature de cette onde. Voyons une petite expérience pour le mettre en lumière (suspense, qu'est-ce que c'est ?)

\subsection{Observation expérimentale}

\livre Basdevant p21

\paragraph{}A la vue de la parfaite correspondance entre diffraction d'ondes électromagnétiques et d'ondes de matière, on a testé d'autres phénomènes d'optique ondulatoire sur la matière et notamment le phénomène d'interférence avec le célèbre dispositif des fentes d'Young. Décrivons une de ces expériences menée par l'équipe de F. Shimizu en 1992 (et oui on a eu l'idée y'a super longtemps mais la réalisation pratique propre a mis du temps). Le dispositif utilisé est le suivant :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{shimizu.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

Basiquement on a un nuage de quelques millions d'atomes de néon refroidis par un piège magnéto-optique jusqu'au millikelvin. Celui-ci est relâché sans vitesse initial au-dessus d'une plaque percée de deux fentes parallèles de largeur 2~$\mu$m et séparées de 6~$\mu$m . Les atomes sont alors détectés après cette plaque sur une autre plaque située 85~cm en-dessous, chaque impact étant représenté par un point. Cette expérience peut être réalisée avec de nombreuses particules, notamment des électrons mais on obtient toujours le même résultat : \url{https://www.youtube.com/watch?v=ZUI3lhRje_0}

\paragraph{}Le point d'impact des atomes semble aléatoire : pour deux atomes préparés dans des conditions similaires on a des points d'impact différents. On a donc un aspect purement probabiliste du comportement des électrons. Toutefois lorsque l'on attend suffisamment longtemps, on voit que la loi de probabilité des impacts est loin d'être uniforme : on remarque une figure d'interférence exactement comme dans le cadre de l'optique ondulatoire !

\transition{C'est comme si la probabilité d'impact en sachant que l'électron était passé par la fente 1 interférait avec la probabilité d'impact en sachant que l'électron était passé par la fente 2...}

\subsection{Interprétation de Born}

\livre Sanz p1172 Aslangul p327

\paragraph{}Pour rendre compte de ces phénomènes aléatoires, il ne faut plus considérer les objets quantiques comme des particules ponctuelles mais comme des objets dont la localisation spatiale est incertaine. On a donc besoin d'un objet emplissant tout l'espace, comme les ondes, ce qui rationalise alors le phénomène d'interférences. Pour cela, Born propose d'associer à chaque particule une fonction d'onde $\Psi(x,t)$ telle que la probabilité de trouver cette particule dans un volume $dV$ de l'espace centré en $(x,t)$ est :

\begin{equation}
    dP = |\Psi(x,t)|^2dV
\end{equation}

$|\Psi(x,t)|^2$ est alors la densité de probabilité de présence associée à la particule. Comme toute loi de probabilité, celle-ci est normalisée :

\begin{equation}
    \int_{V}|\Psi(x,t)|^2dV = 1
\end{equation}

Attention, c'est bien un module carré car la fonction d'onde est a priori complexe. A ce titre, $\Psi(x,t)$ est appelée amplitude de probabilité. Elle contient toutes les informations relatives à la particules mais son interprétation physique vient de son module, ainsi, prise de manière isolée, l'ajout d'une phase globale arbitraire ne change en rien la physique du problème. 

\paragraph{}Cette densité de probabilité associée à une particule, si elle peut s'avérer définie précisément, n'enlève rien au caractère aléatoire d'une particule. On perd la notion de trajectoire d'une particule en mécanique quantique. Ce n'est qu'en réalisant un grand nombre d'expérience que l'on peut mettre en évidence la densité de probabilité :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{proba.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

On a donc un effet de moyennage qui ne va pas sans nous rappeler encore une fois le phénomène d'interférences lumineuses (parallèle sur le moyennage un peu risky ici, c'est pas trop comparable, c'est surtout pour faire la transition). On peut encore une fois faire un parallèle ici en remarquant que la grandeur observable (densité de probabilité dans le cas quantique, intensité dans le cas optique) correspond au carré d'une autre grandeur intrinsèque (la fonction d'onde dans le cas quantique, le champ électrique dans le cas optique).

\transition{Il semblerait alors qu'on ait tout ce qu'il nous faut pour décrire le phénomène d'interférences !}

\subsection{Retour sur les interférences}

\livre Basdevant p37 (euh bof, plutôt p24)

\paragraph{}Essayons de comprendre les interférences observées avec ce formalisme... Supposons que l'on connaisse l'amplitude de l'onde diffractée par la fente $S_{1}$ uniquement en tout point de l'écran $\psi_{1}$, et de même pour la source $S_{2}$ qui nous donne $\psi_{2}$. Lorsque l'électron est envoyé sur les fentes, il est impossible de savoir par quelle fente il est passé. La vision probabiliste nous dit donc de considérer qu'il est passé par les deux fentes à la fois ! (cela sera justifié en partie par la linéarité de l'équation de Schrödinger et donc le principe de superposition )
$$
\psi=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\psi_{1}+\psi_{2}\right)
$$
Le facteur $1 / \sqrt{2}$ provient de la normalisation. Attention la différence de phase entre $\psi_1$ et$\psi_2$ est ici essentielle, l'invariance par ajout de phase globale ne concerne que la fonction d'onde totale ! Alors la densité de probabilité après les fentes s'écrira
$$
\begin{array}{l}
|\psi|^{2}=\frac{1}{2}\left(\left|\psi_{1}\right|^{2}+\left|\psi_{2}\right|^{2}+\psi_{1} \psi_{2}^{*}+\psi_{1}^{*} \psi_{2}\right) \\
|\psi|^{2}=\frac{1}{2}\left(\left|\psi_{1}\right|^{2}+\left|\psi_{2}\right|^{2}+2 \operatorname{Re} \psi_{1} \psi_{2}^{*}\right) \\
|\psi|^{2} \neq \frac{1}{2}\left(\left|\psi_{1}\right|^{2}+\left|\psi_{2}\right|^{2}\right)
\end{array}
$$
Le dernier terme témoigne des interférences que l'on peut observer, il module le terme sans interférence qu'est $1 / 2\left(\left|\psi_{1}\right|^{2}+\left|\psi_{2}\right|^{2}\right) .$ C'est exactement pareil qu'en optique !

\paragraph{}Les expériences d'interférence des ondes de matière se sont multipliées depuis et on a même réussi à faire interférer de grosses molécules comme le fullerène (le ballon de foot à 60 carbones).

\transition{Rends le PFD}

\section{Évolution de la fonction d'onde}

\subsection{Équation de Schrödinger}

\livre Sanz p1125 Basdevant p33

C’est en 1925 qu’Erwin Schrödinger prend connaissance du travail de Louis
de Broglie. Dans une étonnante série de huit articles publiés en 1926, ce qu’on appelle la mécanique ondulatoire. Cette version de la théorie quantique est légèrement postérieure, du moins dans ses débuts, à la mécanique quantique, ou mécanique des matrices, de Heisenberg, Born, Jordan et Dirac. L’apport le plus marquant des travaux de Schrödinger réside dans la construction d’une équation d’onde régissant le comportement d’une particule placée dans un potentiel (ou un champ de forces). L’obtention des niveaux d’énergie comme phénomène d’ondes stationnaires se présente alors comme un problème mathématique bien posé, du même type que celui de la détermination d’ondes stationnaires avec des conditions aux limites données.



\paragraph{}On considère le mouvement d'une particule de masse $m$, en interaction avec l'extérieur via son énergie potentielle, notée $V(M, t)$ (par abus de langage, cette énergie potentielle sera aussi appelée potentiel). L'equation décrivant l'évolution dans l'espace et dans le temps de la fonction d'onde d'une particule quantique a été proposée par E. Schrödinger. Cette équation ne se démontre pas, elle est un postulat fondamental de la mécanique quantique. Elle s'écrit comme suit :
$$
i \hbar \frac{\partial \psi(M, t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \Delta \psi(M, t)+V(M, t) \psi(M, t)
$$
En une dimension et dans le cas d'un potentiel indépendant du temps, l'équation de Schrödinger prend la forme suivante :
$$
i \hbar \frac{\partial \psi(x, t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} \psi(x, t)}{\partial x^{2}}+V(x) \psi(x, t)
$$

\paragraph{}Cette équation est du premier ordre par rapport à la variable temporelle. Ainsi, si la fonction d'onde est complètement connue à un instant initial $t_{0}$, elle le sera à tout instant ultérieur. L'état de la particule quantique pourra alors être complètement déterminé à tout instant à partir d'un état initial connu, on dit que l'équation est déterministe. 


\paragraph{}On doit considérer que cette équation joue en mécanique ondulatoire le même rôle que la deuxième loi de Newton. Comme en mécanique classique, l'énergie potentielle peut être définie à une constante additive près. Si l'on pose $V^{\prime}(x)=V(x)+V_{0}$, où $V_{0}$ est constante réelle, alors c'est la fonction d'onde $\psi^{\prime}(x, t)=\psi(x, t) \exp \left(-i V_{0} t / \hbar\right)$ qui vérifie l'équation de Schrödinger écrite avec $V^{\prime}(x)$. Les deux fonctions d'onde $\psi(x, t)$ et $\psi^{\prime}(x, t)$ correspondent à la même probabilité de présence.

\paragraph{}Comme l'équation de Schrödinger est linéaire, on peut superposer des solutions pour construire d'autres solutions. Ainsi, si $\psi_{1}(x, t)$ et $\psi_{2}(x, t)$ sont deux solutions, alors
$$
\alpha_{1} \psi_{1}(x, t)+\alpha_{2} \psi_{2}(x, t)
$$
où $\alpha_{1}$ et $\alpha_{2}$ sont deux constantes complexes, est aussi une solution. Cette propriété est cruciale pour interpréter correctement le phénomène d'interférences, comme nous l'avons vu précédemment.

\subsection{Évolution d'une particule libre}

Comme on l'a dit, cette équation est linéaire, ce qui suppose que l'analyse de Fourier est applicable. Essayons d'analyser la propagation d'une particule libre sous forme d'onde plane. L'équationde Schrödinger donne:
$$
i \hbar(-i \omega)=\frac{\hbar^{2}}{2 m} k^{2}=\frac{p^{2}}{2 m}
$$
On retrouve donc $E=\hbar \omega$ en utilisant $p=\hbar k$ la relation de De Broglie. On peut aussi obtenir la vitesse de groupe et la vitesse de phase :
$$
\begin{array}{l}
v_{\Phi}=\frac{\omega}{k}=\frac{\hbar^{2}}{2 m} k \\
v_{g}=\frac{d \omega}{d k}=\frac{\hbar^{2}}{m}k
\end{array}
$$
On retrouve bien le résultat classique pour la vitesse de groupe. La propagation est cependant dispersive : l'analogie avec l'optique trouve ici sa limite puisque pour une onde se propageant dans le vide la propagation n'est pas dispersive.  De plus les solutions sous forme d'ondes planes  $\psi=\psi_0e^{i(\omega t-k x)}$,ne sont pas des solutions acceptables car non normalisables. Comme pour les ondes dans les autres domaines, il faut donc considérer un paquet d'onde.


\subsection{Principe d'incertitude de Heisenberg}

\livre Pérez p109 

Une solution physique normalisable se mettra donc sous la forme 

$$
\psi(\Vec{r},t) = \frac{1}{(2\pi)^3}\int g(\Vec{k})\exp{i(\Vec{k}.\Vec{r}-\omega(\Vec{k})t}\text{d}^3\Vec{k}
$$
Cette solution possède une extension non nulle dans le domaine des impulsions, donnée par $g(\Vec{k})$, pour donner une solution d'extension finie dans le domaine spatial. Essayons d'établir un lien entre ces deux quantités. 
$$
\begin{aligned}
p\psi &= \frac{1}{(2\pi)^3}\int g(\Vec{k})\hbar\Vec{k}\exp{i(\Vec{k}.\Vec{r}-\omega(\Vec{k})t)}\text{d}^3\Vec{k}\\
&= -(i\hbar\Vec{\nabla_{\Vec{r}})}\frac{1}{(2\pi)^3}\int g(\Vec{k})\exp{i(\Vec{k}.\Vec{r}-\omega(\Vec{k})t}\text{d}^3\Vec{k}
\end{aligned}
$$

\paragraph{}D'autre part par définition et dans l'hypothèse que les valeurs moyennes sont nulles (on peut toujours s'y ramener par un changement de variable) :

$$
(\Delta r)^2 = \int \text{d}^3\Vec{r} r^2 |\psi(\Vec{r})|^2 \quad \text{et}\quad 
(\Delta p)^2 = \int \text{d}^3\Vec{r} p^2 |\psi(\Vec{r})|^2
 = \int \text{d}^3\Vec{r} \hbar^2 |\overrightarrow{\nabla}_{\overrightarrow{r}}\psi(\Vec{r})|^2
$$

or d'après l'inégalité de Cauchy-Schwartz
$$
\left \vert \int \text{d}^3\Vec{r} f^*(\Vec{r}) g(\Vec{r})\right\vert^2 \leq \int \text{d}^3\Vec{r} |f(\Vec{r})|^2 \int \text{d}^3\Vec{r} |g(\Vec{r})|^2
$$

donc 

$$
\left \vert \underbrace{\int \text{d}^3\Vec{r} (\Vec{r}\psi^*)(\overrightarrow{\nabla_{\overrightarrow{r}}}\psi)}_I\right\vert^2 \leq \frac{1}{\hbar^2}(\Delta r)^2(\Delta p)^2
$$

Par IPP on a (les termes de bords sont nuls, dériver $r\psi$ et intégrer $\nabla \psi$).
$$
\begin{aligned}
I &= -\int \text{d}^3\Vec{r} \psi^*\psi - \int \text{d}^3\Vec{r}(\Vec{r}\psi).(\overrightarrow{\nabla}_{\overrightarrow{r}}\psi^*)\\
& = -1 -I^*
\end{aligned}
$$

donc 2Re($I$) = -1. Or $\vert I\vert \geq $ Re($I$) donc  $\frac{1}{\hbar^2}(\Delta r)^2(\Delta p)^2 \geq \vert I\vert^2 \geq \text{Re}(I)^2 = \frac{1}{4}$

\paragraph{}D'où 

$$
\Delta r\Delta p \geq \frac{\hbar}{2}
$$

C'est le principe d'incertitude de Heisenberg.

\paragraph{}\textbf{Exemple :} Balle de golf de $50 \mathrm{~g}$, on imagine que je connaisse sa vitesse au $\mathrm{mm} / \mathrm{s}$ près ( ce qui est déjà bien précis), alors l'incertitude sur sa position dans le cas de la 'saturation' d'Heisenberg vaut $10^{-32} \mathrm{~m}$. C'est évidemment inatteignable expérimentalement (taille d'un atome : $10^{-10} \mathrm{~m}$ ) donc ça n'a pas d'impact dans notre vie normale, la notion de trajectoire a toujours du sens.


\subsection{Confinement d'une particule}


\paragraph{}Nous allons reprendre l'exemple précédent de particule piégée dans un puits de potentiel infini. La particule étant quantique, son évolution va obéir à l'équation de Heisenberg qu'on vient d'étudier :

\begin{equation}
i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\vec{r}, t)=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \Delta \psi(\vec{r}, t)+V(\vec{r}, t) \psi(\vec{r}, t)
\end{equation}

\paragraph{}Le potentiel considéré est indépendant du temps. On peut chercher des solutions stationnaires, on peut montrer qu'elles seront alors sous la forme :

\begin{equation}
\psi(x, t)=\varphi(x) \mathrm{e}^{-i E t / \hbar}
\end{equation}

Cela va nous permettre de nous ramener à l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

\begin{equation}
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\mathrm{d}^{2} \varphi(x)}{\mathrm{d} x^{2}}+V(x) \varphi(x)=E \varphi(x)
\end{equation}

La zone de confinement de la particule étant de potentiel nul, l'équation se ramène simplement à :

\begin{equation}
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\mathrm{d}^{2} \varphi(x)}{\mathrm{d} x^{2}}=E \varphi(x)
\end{equation}

\paragraph{}Maintenant que nous avons l'équation différentielle, la question à se poser sont les conditions aux limites. La potentiel étant infini hors du puits, la particule ne peux pas y avoir accès et on aura alors une fonctions d'onde nulle partout hors du puits. Quant aux conditions de continuité, la densité de proba étant conctinue, $\phi$ l'est aussi, donc on obbtient des condictions aux limites nulles comme dans le cas d'une corde de Melde.

\paragraph{}Avec les conditions limites on arrive aux solutions suivantes.

\begin{equation}
\varphi_{n}=A_{n} \sin \left(k_{n} x\right)=A_{n} \sin \left(n \pi \frac{x}{a}\right)
\end{equation}

Si on réinjecte cette solution dans l'équation de Schrödinger, on obtient alors les énergies suivantes associées :

\begin{equation}
E_{n}=n^{2} \frac{\pi^{2} \hbar^{2}}{2 m a^{2}} \quad(n=1,2,3, \ldots)
\end{equation}

\paragraph{}On retrouve alors bien un spectre discret d'énergie. Notamment, on retrouve le fait que la particule confinée dans le puits a une énergie minimale $E_{1} = \frac{\pi^{2} \hbar^{2}}{2 m a^{2}} $, proche de la valeur prédite par le principe d'incertitude de Heisenberg.


\paragrap{} Ces résultats montrent que la quantification s'exprime simplement en fonction du nombre d'onde $k$ défini par $E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$, comme $ka = n\pi$. La quantification des énergies est ici un phénomène élémentaire d'ondes stationnaires. Ce n'est pas un phénomène purement quantique mais ondulatoire : on peut l'observer dans le cas d'une corde de Melde, ou avec les ondes électromagnétique dans un guide d'ondes.
\\
\begin{center}
    \begin{tabular}{c|c|c}
     & Corde de Melde & Fonction d'onde  \\
     \hline
     Solution stationnaire & amplitude & densité de probabilité de présence \\
      &$y(x,t) = f(x)g(t)$ & \phi(x,t) = \psi(x)\exp(\frac{-iEt}{\hbar})\\[5pt]
     Équation d'onde & $f'' + kf = 0$ & $\psi''+k \psi = 0$\\[5pt]
     Vecteur d'onde & $k = \frac{\omega}{c}$ & $k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}$\\[5pt]
     Conditions limites & $f(0) = f(a) = 0$ & $\psi(0) = \psi(a) = 0$ \\[5pt]
     Quantification & $k_n = \frac{n\pi}{L}$ & $k_n = \frac{n\pi}{L}$ 
    \end{tabular}
\end{center}


\paragrap{} On remarque que dans le cas d'une fonction d'onde stationnaire, l'évolution temporelle se traduit simplement par un facteur de phase. De plus, dans le cas quantique la quantification du nombre d'onde entraîne la quantification de l'énergie, alors que l'énergie des modes de la corde de Melde peut être quelconque.




\section*{Conclusion}





\end{document}