<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP40 - Confinement d'une particule et Quantification de l'Ã©nergie}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{Deleuze Julie}{Jocteur Tristan}


\subsection*{Niveau : L3}



\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{MÃ©canique Quantique 1, Ch.6}, \textbf{Aslangul} &amp; Sur le spectre de raie et la quantification\\
\textit{AML : Cours de L3}, \textbf{Krako} &amp; Atome d'hydrogÃ¨ne\\
\textit{Physique atomique}, tome 2, \textbf{Cagnac} &amp; Sur l'expÃ©rience de Franck et Hertz
\end{tabular}
% Vous avez vu cette commande badass pour ne pas mettre les footnotes dans les environements locaux ??

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{PrÃ©requis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Ã‰quation de SchrÃ¶dinger
 \item Harmoniques sphÃ©riques
 \item Hamiltonien
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\subsection*{ExpÃ©riences}
	\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item Spectre d'une lampe Ã&nbsp; hydrogÃ¨ne
	\end{itemize}
\end{minipage}

\tableofcontents
\pagebreak

\section*{Rapports de jury}

\paragraph{2015} Cette leÃ§on peut Ãªtre lâ€™occasion de dÃ©velopper des arguments qualitatifs et des calculs simples permettant de donner des ordres de grandeur dans des domaines divers de la physique avant dâ€™envisager des applications Ã©laborÃ©es.

\paragraph{2016} Le lien entre le confinement et la quantification doit Ãªtre explicitÃ©.

\paragraph{2017} Cette leÃ§on est une leÃ§on de physique et ne doit donc pas se limiter Ã&nbsp; des calculs.

\section*{Remarques Ã&nbsp; la lecture des annÃ©es prÃ©cÃ©dentes}

\paragraph{}On a trÃ¨s souvent le plan type suivant :

\begin{enumerate}
    \item Approche expÃ©rimentale/historique (exp. de Hertz, Rydberg, Bohr,...)
    \item Origine par le principe de Heisenberg et puits carrÃ©(s) (parfois analogie avec Melde)
    \item Applications (ions colorÃ©s, atome d'hydrogÃ¨ne, oscillateur harmonique, ammoniac...)
\end{enumerate}

\paragraph{}On a pas mal de choix pour chaque partie, les leÃ§ons diffÃ¨rent par les applications et le choix du calcul, etc... La leÃ§on de Delphine Geyer est bien complÃ¨te pour les applications

\section{Mise en Ã©vidence expÃ©rimentale - 10 min}

\subsection{Spectre de raies de l'hydrogÃ¨ne}
\paragraph{} L'atome est constituÃ© de particules chargÃ©es (les Ã©lectrons) couplÃ©es au champ Ã©lectromagnÃ©tique extÃ©rieur. Ce couplage entraÃ®ne des Ã©changes d'Ã©nergie, qui se manifestent Ã&nbsp; nous par l'Ã©mission ou l'absorption de lumiÃ¨re. L'objectif de la spectroscopie atomique est de mesurer l'intensitÃ© Ã©mise ou absorbÃ©e en fonction de la longueur d'onde, dans l'espoir d'en tirer des informations sur la constitution de l'atome.

\paragraph{}Le modÃ¨le de Thomson dÃ©crivait l'atome comme un oscillateur harmonique de pulsation propre caractÃ©ristique de l'atome considÃ©rÃ©. Bien que les valeurs numÃ©riques Ã©taient du bon ordre de grandeur, une seule frÃ©quence caractÃ©ristique, donc une unique raie est en contradiction Ã©vidente avec les rÃ©sultats expÃ©rimentaux. Le modÃ¨le de Perrin dans lequel l'Ã©lectron spirale vers le noyau, ne fait guÃ¨re mieux en prÃ©disant un spectre continu. Aucun des deux principaux modÃ¨les existant au moment des premiÃ¨res observations de ces spectres de raies ne rend compte des rÃ©sultats expÃ©rimentaux.

\experience{Spectre d'une lampe Ã&nbsp; vapeur d'HydrogÃ¨ne}{}{5 min}{ 
Une lampe spectrale est constituÃ©e de vapeurs enfermÃ©es dans un tube Ã&nbsp; dÃ©charge. Le champ Ã©lectrique appliquÃ© ionise les atomes, qui Ã©mettent des Ã©lectrons accÃ©lÃ©rÃ©s qui bombardent les autres atomes, alors portÃ©s dans un Ã©tat excitÃ©; Le retour au niveau fondamental entraÃ®ne l'Ã©mission de lumiÃ¨re.

}



\paragraph{} Les premiÃ¨res observations remontent Ã&nbsp; Ã…ngstrÃ´m en 1862. L'expÃ©rience montre que les atomes Ã©mettent un spectre de raies bien sÃ©parÃ©es, dont la donnÃ©e constitue en quelque sorte "l'empreinte digitale" de l'atome. Un peu plus tard, Balmer remarque que les 4 raies observÃ©es par Ã…ngstrÃ´m sur le spectre de l'hydrogÃ¨ne s'organise en sÃ©rie. C'est Rydberg qui propose une gÃ©nÃ©ralisation de ces sÃ©ries Ã&nbsp; toutes les transitions Ã©nergÃ©tiques de l'hydrogÃ¨ne : 
\begin{equation}
    \frac{1}{\lambda} = R_y \Big( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{p^2} \Big)
\end{equation}

$n$ indiquant le numÃ©ro de la sÃ©rie, et $p$ un entier $&gt;n$. Ritz Ã©tendra ce rÃ©sultat Ã&nbsp; tous les atomes en Ã©crivant :

\begin{equation}
    \frac{1}{\lambda_{n,p}} = R_y \Big( T_n - T_p) \Big) 
\end{equation}
oÃ¹ les $T$ dÃ©signent les termes spectraux de l'atome.
\paragraph{} Bohr proposera en 1913 la premiÃ¨re explication thÃ©orique quantitative Ã&nbsp; cette observation, en ajoutant des conditions de quantifications au modÃ¨le de Perrin.

\subsection{L'experience de Franck et Hertz}

\paragraph{} Une autre confirmation de la quantification de l'Ã©nergie a Ã©tÃ© donnÃ©e par l'expÃ©rience de Franck et Hertz sur les collisions entre les atomes et les Ã©lectrons, Ã&nbsp; l'origine des Ã©changes d'Ã©nergie dans une lampe Ã&nbsp; vapeur. L'interprÃ©tation de l'expÃ©rience est basÃ©e sur l'idÃ©e de collision inÃ©lastique entre un Ã©lectron et un atome, beaucoup plus massif donc considÃ©rÃ© comme stationnaire par rapport Ã&nbsp; l'Ã©lectron : 
\begin{itemize}
    \item Si la collision est Ã©lastique, alors l'Ã©lectron conserve son Ã©nergie cinÃ©tique au cours de la collision, seule la direction de la vitesse varie.
    \item En revanche si la collision est inÃ©lastique, l'Ã©lectron cÃ¨de une partie de son Ã©nergie cinÃ©tique, convertie en Ã©nergie potentielle de l'atome $W$.
\end{itemize}


Le dispositif expÃ©rimental est dÃ©crit par la figure \ref{FH}.



\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale = 0.4]{franck_Hertz.pdf}
    \caption{Dispositif expÃ©rimental de l'expÃ©rience de Franck et Hertz}
    \label{FH}
\end{figure}

\paragrap{} Le montage est constituÃ© de 3 Ã©lectrodes enfermÃ©es dans un tube qui contient de la vapeur de mercure. La premiÃ¨re Ã©lectrode est un filament chauffÃ© d'oÃ¹ sont Ã©mis des Ã©lectrons de vitesse nÃ©gligeable. La seconde Ã©lectrode est une grille, portÃ©e Ã&nbsp; un potentiel $V_g$ positif. Les Ã©lectrons sont donc accÃ©lÃ©rÃ©s vers la grille. Lorsqu'ils la traversent, ils ont reÃ§u de la part du champ Ã©lectrique un travail $eV_g$. En faisant varier $V_g$, on peut contrÃ´ler la vitesse donc l'Ã©nergie des Ã©lectrons qui vont entrer en collision avec les atomes de mercure. La derniÃ¨re Ã©lectrode est une plaque collectrice portÃ©e Ã&nbsp; un potentiel $V_p = V_g - \epsilon$ lÃ©gÃ¨rement infÃ©rieur Ã&nbsp; $V_g$ 

\begin{itemize}
    \item Si l'Ã©lectron n'a subi que des collisions Ã©lastiques entre le filament et la grille, il parvient Ã&nbsp; la grille avec une Ã©nergie cinÃ©tique $\frac{1}{2}mv^2 = eV_g$ non nulle et peut remonter la diffÃ©rence de potentiel entre la grille et la plaque $\epsilon$. Le flux d'Ã©lÃ©ctrons est alors converti en un courant $I$
    \item Si l'Ã©lectron a subi une collision inÃ©lastique, son Ã©nergie cinÃ©tique diminue brutalement de $W$ et l'Ã©lectron s'immobilise si $\frac{1}{2}mv^2 = W$. Il ne peut alors pas parvenir Ã&nbsp; la plaque.
\end{itemize}

On a ainsi sÃ©parÃ©s les Ã©lectrons qui ont perdu une partie de leur Ã©nergie par une collision inÃ©lastique des autres. L'expÃ©rience consiste Ã&nbsp; mesurer $I$ en fonction de la tension accÃ©lÃ©ratrice $V_g$. On observe le rÃ©sultat suivant : 


\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[scale = 0.07]{Franck-Hertz_en.png}
    \caption{Courant gÃ©nÃ©rÃ© en fonction de la tension accÃ©lÃ©ratrice}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}
\begin{enumerate}
    \item Tant que $V_g$ reste assez faible, $I$ augmente rÃ©guliÃ¨rement avec $V_g$, les Ã©lectrons sont attirÃ©s de plus en plus rapidement vers la grille.
    \item Lorsque $V_g$ atteint $V_0 = 4,9$ V, $I$ chute brutalement : la majeure partie des Ã©lectrons s'arrÃªte en cours de route.
    \item Au-delÃ&nbsp; de $V_0$, $I$ recommence Ã&nbsp; croÃ®tre puis le mÃªme phÃ©nomÃ¨ne se rÃ©pÃ¨te Ã&nbsp; $2V_0$ et tous les multiples de $V_0$, ce qui correspond au cas de plusieurs collisions inÃ©lastiques successives.

\end{enumerate}

\paragrap{}Lâ€™observation de ces pics montre que les niveaux d'Ã©nergie des atomes sont quantifiÃ©s, ils ne peuvent adopter que des valeurs discrÃ¨tes. Les Ã©lectrons cÃ¨dent leur Ã©nergie par multiples entiers de $V_0$.
En entrant en collision avec lâ€™atome, lâ€™Ã©lectron peut lui transfÃ©rer son Ã©nergie et le porter de son niveau dâ€™Ã©nergie le plus bas (fondamental) Ã&nbsp; un niveau supÃ©rieur. Cela ne peut se produire que si lâ€™Ã©lectron incident a initialement une Ã©nergie supÃ©rieure ou Ã©gale Ã&nbsp; cette diffÃ©rence dâ€™Ã©nergie entre niveaux atomiques.
TÃ´t ou tard les atomes excitÃ©s doivent retomber au fondamental en Ã©mettant de lâ€™Ã©nergie sous forme lumineuse Ã&nbsp; une longueur dâ€™onde, qui est prÃ©cisÃ©ment lâ€™une des raies dâ€™Ã©mission du mercure :

\begin{equation}
    \lambda_0 = \frac{hc}{eV_0} = 2537 \text{Ã…}
\end{equation}

Cette expÃ©rience est la preuve directe de la quantification de l'Ã©nergie dans les atomes (prix Nobel 1925). IntÃ©ressons nous maintenant Ã&nbsp; l'explication thÃ©orique de la quantification.
\section{Le confinement comme origine de la quantification}

\paragraph{} Ce que nous allons essayer de montrer dans cette leÃ§on, c'est que c'est le confinement spatial des particules qui quantifie leur Ã©nergie. Par exemple, dans le cas des transitions Ã©lectroniques dans les atomes, les Ã©nergies des Ã©lectrons sont quantifiÃ©es du fait qu'ils sont confinÃ©s autour du noyau.

\subsection{Principe d'incertitude d'Heisenberg - 5 min}

\paragraph{}On peut avoir l'intuition de cela grÃ¢ce au principe d'incertitude de Heisenberg que vous avez pu voir prÃ©cÃ©demment. Celui-ci relie la variance sur la position et la variance sur l'impulsion de la maniÃ¨re suivante :

\begin{equation*}
    \Delta x\Delta p \geq \frac{\hbar}{2}
\end{equation*}

\paragraph{}On va considÃ©rer alors une particule confinÃ©e, comme un Ã©lectron autour d'un noyau par exemple. Pour rendre le raisonnement plus simple, on va modÃ©liser ce systÃ¨me par un Ã©lectron piÃ©gÃ© dans un puits de potentiel infini, dÃ©crit sur le schÃ©ma ici.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.45\textwidth]{puits_infini.pdf}
    \caption{Caption}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

Si on considÃ¨re que ce puits est de largeur $a$ alors la variance $\Delta x$ est bornÃ©e par $a$. Si on suppose, vraisemblablement l'impulsion est nulle en moyenne (que la particule se propage autant dans les deux directions avec les mains) alors on a :

\begin{equation}
    \sqrt{\langle p^{2} \rangle} \geq \frac{\hbar}{2a}
\end{equation}

L'Ã©nergie de la particule dans le puits Ã©tant sa seule Ã©nergie cinÃ©tique puisque $V=0$ dans la zone de confinement, on a :

\begin{equation}
    \langle E \rangle = \frac{\langle p^{2}\rangle}{2m} \geq \frac{\hbar^{2}}{8ma^{2}}
\end{equation}

\paragraph{}On voit alors que l'Ã©nergie moyenne minimale de la particule ne peut pas Ãªtre nulle. Le confinement induit nÃ©cessairement une Ã©nergie moyenne non nulle contrairement Ã&nbsp; l'intuition classique, il n'est pas possible de mettre une particule au repos dans un puits de potentiel. Ce rÃ©sultat tend donc Ã&nbsp; montrer que le confinement restreint l'accÃ¨s Ã&nbsp; certaines Ã©nergies mais nous n'avons pas encore vraiment mis en Ã©vidence leu quantification. Pour cela il va falloir Ãªtre un peu plus quantitatif.

\paragraph{Applications numÃ©riques Ã§a peut Ãªtre bien}


\subsection{Puits de potentiel infini - 10 min}

\begin{itemize}
    \item DÃ©finition du problÃ¨me
    \item Equation de SchrÃ¶dinger et conditions aux limites (bien insister sur le fait que c'est Ã§a qui quantifie)
    \item RÃ©solution
\end{itemize}

\paragraph{}Nous allons reprendre l'exemple prÃ©cÃ©dent de particule piÃ©gÃ©e dans un puits de potentiel infini. La particule Ã©tant quantique, son Ã©volution va obÃ©ir Ã&nbsp; l'Ã©quation de Heisenberg que vous connaissez :

\begin{equation}
i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\vec{r}, t)=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \Delta \psi(\vec{r}, t)+V(\vec{r}, t) \psi(\vec{r}, t)
\end{equation}

\paragraph{}Le potentiel considÃ©rÃ© Ã©tant indÃ©pendant du temps, nous allons chercher des solutions stationnaires sous la forme :

\begin{equation}
\psi(x, t)=\varphi(x) \mathrm{e}^{-i E t / \hbar}
\end{equation}

Cela va nous permettre de nous ramener Ã&nbsp; l'Ã©quation de SchrÃ¶dinger indÃ©pendante du temps :

\begin{equation}
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\mathrm{d}^{2} \varphi(x)}{\mathrm{d} x^{2}}+V(x) \varphi(x)=E \varphi(x)
\end{equation}

La zone de confinement de la particule Ã©tant de potentiel nul, l'Ã©quation se ramÃ¨ne simplement Ã&nbsp; :

\begin{equation}
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\mathrm{d}^{2} \varphi(x)}{\mathrm{d} x^{2}}=E \varphi(x)
\end{equation}

\paragraph{}Maintenant que nous avons l'Ã©quation diffÃ©rentielle, la question Ã&nbsp; se poser sont les conditions aux limites. La potentiel Ã©tant infini hors du puits, la particule ne peux pas y avoir accÃ¨s et on aura alors une fonctions d'onde nulle partout hors du puits. Quant aux conditions de continuitÃ©, la densitÃ© de proba Ã©tant conctinue, $\phi$ l'est aussi. Pour ce qui est de $\phi'$, on peut intÃ©grer entre a/2 + epsilon blablabla, $\phi$ est intÃ©grable donc si discontinuitÃ© finie Ã§a tend vers 0 sinon non et alors $\phi'$ est discontinue, c'est le cas ici.

\paragraph{}Il reste alors Ã&nbsp; rÃ©soudre l'Ã©quation de SchrÃ¶dinger. On pose $k$. Conditons aux limites. Facteur de normalisation qu'on calcule pas parce que flemme. On a alors des solutions discrÃ¨tes imposÃ©es par les conditions aux limites et donc le confinement. 

\begin{equation}
\varphi_{n}=A_{n} \sin \left(k_{n} x\right)=A_{n} \sin \left(n \pi \frac{x}{a}\right)
\end{equation}

Si on rÃ©injecte cette solution dans l'Ã©quation de SchrÃ¶dinger, on obtient alors les Ã©nergies suivantes associÃ©es :

\begin{equation}
E_{n}=n^{2} \frac{\pi^{2} \hbar^{2}}{2 m a^{2}} \quad(n=1,2,3, \ldots)
\end{equation}

\paragraph{}On retrouve alors bien un spectre discret d'Ã©nergie. Notamment, on retrouve le fait que la particule confinÃ©e dans le puits a une Ã©nergie minimale $E_{1} = \frac{\pi^{2} \hbar^{2}}{2 m a^{2}} $, proche de la valeur prÃ©dite par le principe d'incertitude de Heisenberg.

\paragraph{}Si l'on reprÃ©sente les solutions stationnaires obtenues on a les allures suivantes : Ã§a nous fait penser Ã&nbsp; la corde de Melde en effet, c'est pas la seule ressemblance. (pas d'inspi on verra demain)

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{solutions_infini.pdf}
    \caption{Caption}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\subsection{Analogie classique - 5 min}
\paragrap{} Ces rÃ©sultats montrent que la quantification s'exprime simplement en fonction du nombre d'onde $k$ dÃ©fini par $E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$, comme $ka = n\pi$. La quantification des Ã©nergies est ici un phÃ©nomÃ¨ne Ã©lÃ©mentaire d'ondes stationnaires. Ce n'est pas un phÃ©nomÃ¨ne purement quantique mais ondulatoire : on peut l'observer dans le cas d'une corde de Melde, ou avec les ondes Ã©lectromagnÃ©tique dans un guide d'ondes.
\\
\begin{center}
    \begin{tabular}{c|c|c}
     &amp; Corde de Melde &amp; Fonction d'onde  \\
     \hline
     Solution stationnaire &amp; amplitude &amp; densitÃ© de probabilitÃ© de prÃ©sence \\
      &amp;$y(x,t) = f(x)g(t)$ &amp; \phi(x,t) = \psi(x)\exp(\frac{-iEt}{\hbar})\\[5pt]
     Ã‰quation d'onde &amp; $f'' + kf = 0$ &amp; $\psi''+k \psi = 0$\\[5pt]
     Vecteur d'onde &amp; $k = \frac{\omega}{c}$ &amp; $k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}$\\[5pt]
     Conditions limites &amp; $f(0) = f(a) = 0$ &amp; $\psi(0) = \psi(a) = 0$ \\[5pt]
     Quantification &amp; $k_n = \frac{n\pi}{L}$ &amp; $k_n = \frac{n\pi}{L}$ 
    \end{tabular}
\end{center}


\paragrap{} On remarque que dans le cas d'une fonction d'onde stationnaire, l'Ã©volution temporelle se traduit simplement par un facteur de phase. De plus, dans le cas quantique la quantification du nombre d'onde entraÃ®ne la quantification de l'Ã©nergie, alors que l'Ã©nergie des modes de la corde de Melde peut Ãªtre quelconque.

\paragraph{}Toutefois notre modÃ¨le simple prÃ©dit que plus on monte en Ã©nergie, plus les niveaux s'Ã©loignent les uns des autres, or d'aprÃ¨s Rydberg c'est l'inverse qui se passe...

\section{Vers des systÃ¨mes quantiques rÃ©els}

\subsection{Puits carrÃ© fini - 5 Ã&nbsp; 10min}

\paragraph{}Afin de se tourner vers des systÃ¨mes plus rÃ©alistes, nous allons lever des simplifications faites dans le modÃ¨le du puits infini. La plus Ã©vidente semble Ãªtre celui d'un potentiel infini qui n'est pas physiquement acceptable. On va donc maintenant considÃ©rer un puits de mÃªme largeur $a$ mais de profondeur $V_{0}$. 

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{dessin-1.pdf}
    \caption{Caption}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

On peut alors sÃ©parer l'espace en trois rÃ©gions distinctes : une rÃ©gion I et une rÃ©gion III oÃ¹ rÃ¨gne un potentiel constant $V_{0}$ et une rÃ©gion II de potentiel nul. Comme dans le cas l'interaction gravitationnelle, suivant l'Ã©nergie de la particule considÃ©rÃ©e, nous allons avoir des Ã©tats liÃ©s, lorsque $E&lt;V_{0}$ ou des Ã©tats de diffusion lorsque $E&gt;V_{0}$. Pour un Ã©tat de diffusion, la particule n'est pas confinÃ©e et on s'intÃ©ressera donc seulement aux Ã©tats liÃ©s pour lesquels le confinement est imposÃ© par $E&lt;V_{0}$.

\paragraph{}La particule vÃ©rifie alors les Ã©quations de SchrÃ¶dinger suivantes dans chaque rÃ©gion :

\begin{equation*}
    -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \psi_{I}}{\partial x^{2}} + (V_{0}-E)\psi_{I}} = 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
    -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \psi_{II}}{\partial x^{2}} -E\psi_{II}} = 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
    -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \psi_{III}}{\partial x^{2}} + (V_{0}-E)\psi_{III}} = 0
\end{equation*}

En posant alors :

\begin{equation*}
    k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}
    ~~~~~~~~~
    q = \frac{\sqrt{2m(V_{0}-E)}}{\hbar}
\end{equation*}

Ces Ã©quations du second ordre se rÃ©solvent simplement :

\begin{equation*}
    \psi_{I}(x) = A\exp{qx} + B\exp{-qx}
\end{equation*}
\begin{equation*}
    \psi_{II}(x) = C\sin{kx} + D\cos{kx}
\end{equation*}
\begin{equation*}
    \psi_{III}(x) = E\exp{qx} + F\exp{-qx}
\end{equation*}

La fonction d'onde devant Ãªtre normalisable, une divergence n'est pas physiquement acceptable :

\begin{equation*}
    \psi_{I}(x) = A\exp{qx}
\end{equation*}
\begin{equation*}
    \psi_{II}(x) = C\sin{kx} + D\cos{kx}
\end{equation*}
\begin{equation*}
    \psi_{III}(x) = F\exp{-qx}
\end{equation*}

\paragraph{}La diffÃ©rence principale par rapport au puits infini vient alors des conditions aux limites. En effet, les discontinuitÃ©s du potentiel Ã©tant finies, ce sont cette fois $\psi$ et $\psi'$ qui sont continues aux interfaces. Si on exprime les conditions de raccords entre les fonctions d'onde en $x=-\frac{a}{2}$ et $x=\frac{a}{2}$ on a alors les Ã©quations suivantes :

\begin{equation*}
    ka\cot{ka}=-qa
\end{equation*}
\begin{equation*}
    ka\tan{ka}=qa
\end{equation*}

Ces deux conditions ne sont pas vÃ©rifiables simultanÃ©ment et sÃ©parent donc deux types de solutions : les solutions paires et les solutions impaires.

\paragraph{}De plus, de par la dÃ©finitions de $k$ et $q$ on a :

\begin{equation*}
    (ka)^{2} + (qa)^{2} = \frac{2ma^{2}V_{0}}{\hbar^{2}}
\end{equation*}

Les $k$ correspondant aux solutions peuvent donc Ãªtre lus graphiquement par l'intersection des courbes de conditions aux limites et de celle fixÃ©e par la hauteur du puits :

\textbf{graphe interactif avec Ã©volution des points d'intersection avec $V_{0}$}

\paragraph{}Comme on le voit, on retrouver une quantifications des Ã©nergies dues au confinement. On remarque aussi que plus le puits de potentiel est profond plus on a d'Ã©tats liÃ©s. 

\paragraph{}Si l'on compare les solutions Ã&nbsp; celles dans le cas du puits infini, on voit que l'on a une allure similaire avec un dÃ©bordement de la fonction d'onde sur l'extÃ©rieur du puits. Dire que les Ã©nergies trouvÃ©es sont plus faibles, logique car on est moins localisÃ© (la dÃ©pendance de E en a et m aura dÃ©jÃ&nbsp; Ã©tÃ© discutÃ©e dans le cas du puits de potentiel infini)
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{fini.pdf}
    \caption{Caption}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\subsection{Atome d'hydrogÃ¨ne 5 Ã&nbsp; 10min}

\paragraph{}En rÃ©alitÃ©, aucune variation de potentiel n'est assez abrupte pour Ãªtre modÃ©lisÃ©e parfaitement par un puits carrÃ©, et mÃªme si ces modÃ¨les permettent de comprendre certains phÃ©nomÃ¨nes, ils ne sont pas suffisant pour dÃ©crire la spectroscopie atomique, qui est un Ã©lÃ©ment fondateur de la thÃ©orie quantique. Afin de conclure cette leÃ§on, on propose donc d'exposer comment il est possible de dÃ©montrer la loi phÃ©nomÃ©nologique de Rydberg en rÃ©solvant le problÃ¨me de l'atome d'hydrogÃ¨ne.

\paragraph{}L'atome d'hydrogÃ¨ne n'est ni plus ni moins qu'un Ã©lectron en prÃ©sence d'un proton. Afin de traiter correctement ce problÃ¨me Ã&nbsp; deux corps on dÃ©finit comme d'habitude la position et l'impulsion du centre de masse comme suit :

\begin{equation}
\vec{R}=\frac{m_{1} \vec{r}_{1}+m_{2} \vec{r}_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \quad \vec{P}=\vec{p}_{1}+\vec{p}_{2}
\end{equation}

et la position et l'impulsion relative de l'Ã©lectron par rapport au noyau :

\begin{equation}
\vec{r}=\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2}, \quad \vec{p}=\frac{m_{2} \vec{p}_{1}-m_{1} \vec{p}_{2}}{m_{1}+m_{2}}
\end{equation}

le hamiltonien du systÃ¨me soumis Ã&nbsp; un potentiel coulombien s'Ã©crit alors :

\begin{equation}
H=\frac{\vec{P}^{2}}{2 M}+\frac{\vec{p}^{2}}{2 \mu}-\frac{q^{2}}{\left(4 \pi \epsilon_{0}\right) r}
\end{equation}

\paragraph{}On voit alors qu'il se sÃ©pare en deux contributions : un hamiltonien du centre de masse et un hamiltonien liÃ© au mouvement relatif. Ã‰tant donnÃ© que les deux jeux d'opÃ©rateurs (du centre de masse et relatifs) commutent, ces deux termes sont indÃ©pendants et on va donc s'intÃ©resser par la suite simplement au mouvement relatif dÃ©crit par $h_{rel}$. En se plaÃ§ant dans la base des positions on a $p = -i\hbar\nabla$ et donc le hamiltonien s'Ã©crit alors :

\begin{equation}
h=-\frac{\hbar^{2}}{2 \mu} \vec{\nabla}^{2}-\frac{q^{2}}{\left(4 \pi \epsilon_{0}\right) r}
\end{equation}

\paragraph{}On reconnaÃ®t alors ici une Ã©quation de SchrÃ¶dinger indÃ©pendante du temps avec un potentiel coulombien et une masse effective de la particule Ã©gale Ã&nbsp; la masse rÃ©duite du systÃ¨me. En utilisant l'expression du laplacien en coordonnÃ©es sphÃ©riques en fonction du moment cinÃ©tique le hamiltonien se rÃ©-Ã©crit alors :

\begin{equation}
h=-\frac{\hbar^{2}}{2 \mu} \frac{1}{r} \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} r+\frac{\vec{l}^{2}}{2 \mu r^{2}}-\frac{q^{2}}{\left(4 \pi \epsilon_{0}\right) r}
\end{equation}

\paragraph{}Pause, c'est lourd ce qu'on vient de faire vrr. Il convient alors de remarquer que l'hamiltonien obtenu commute avec l'opÃ©rateur moment cinÃ©tique, puisque ce dernier n'agit que sur les coordonnÃ©es angulaires. Cette propriÃ©tÃ© nous pousse alors Ã&nbsp; rechercher des solutions sous la forme suivante : 

\begin{equation}
\psi(\vec{r})=\psi(r, \theta, \phi)=R(r) Y_{l m}(\theta, \phi)
\end{equation}

Avec Y les harmoniques sphÃ©riques, fonctions propres de l'opÃ©rateur moment cinÃ©tique telles que :

\begin{equation}
\vec{l}^{2} Y_{l m}(\theta, \phi)=\hbar^{2} l(l+1) Y_{l m}(\theta, \phi)
\end{equation}

Si l'on utilise cette dÃ©finition et que l'on injecte cette forme dans l'Ã©quation on obtient alors l'Ã©quation radiale : 

\begin{equation}
\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 \mu} \frac{1}{r} \frac{d^{2}}{d r^{2}} r+\frac{\hbar^{2} l(l+1)}{2 \mu r^{2}}-\frac{q^{2}}{\left(4 \pi \epsilon_{0}\right) r}\right] R(r)=e R(r)
\end{equation}

\paragraph{}Cette Ã©quation se rÃ©sout analytiquement mais nous garderons sa rÃ©solution, un peu longue, pour un TD. Le rÃ©sultat principal que nous retiendrons est le suivant : la condition de confinement de la particule, qui Ã©quivaut Ã&nbsp; la normalisabilitÃ© de la partie radiale, Ã©carte l'infinitÃ© de solution Ã&nbsp; l'Ã©quation radiale pour n'en garder qu'un ensemble dÃ©nombrable, indicÃ©s par un entier n, que l'on appellera nombre quantique principal. Ici encore, c'est le confinement qui amÃ¨ne Ã&nbsp; la quantification des solutions. Les Ã©nergies de ces parties radiales sont alors de la forme suivante :

\begin{equation*}
    E_{n} = -\frac{E_{H}}{2n^{2}}
\end{equation*}

avec 

\begin{equation}
E_{\mathrm{H}}=\frac{m_{\mathrm{e}} q^{4}}{\hbar^{2}\left(4 \pi \epsilon_{0}\right)^{2}} \quad 4,36.10^{-18} \mathrm{~J}=27,21 \mathrm{eV}
\end{equation}

\paragrap{}Les Ã©nergies de l'atome d'hydrogÃ¨ne ne dÃ©pendent donc que du numÃ©ro quantique principal et avec une dÃ©pendance quadratique inverse. Si l'on calcule l'Ã©cart Ã©nergÃ©tique entre deux niveaux indicÃ©s par les nombres quantiques n et p, et que l'on utilise la relation $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ on a :

\begin{equation*}
    \frac{1}{\lambda} = \frac{E_{H}}{2hc}\left(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{p^{2}}\right)
\end{equation*}

\paragraph{}Application numÃ©rique, on retrouve bien la loi phÃ©nomÃ©nologique. Dire qu'on a pas non plus rÃ©solu l'atome d'H, notamment on n'a pas pris en compte les effets relativistes.

\section{Conclusion}

Bilan + ouverture sur les polyÃ©lectroniques et les molÃ©cules diatomiques : l'atome d'H est le seul solvable analytiquement.

\begin{equation}
    E_{n} \propto -\frac{1}{n^{2}}
\end{equation}

\begin{equation}
    M = m_{1}+m_{2}
\end{equation}

\begin{equation}
    \mu = \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}
\end{equation}

\begin{equation}
    \Delta = \frac{1}{r}\partial^{2}_{r}r - \frac{L^{2}}{\hbar^{2}r^{2}}
\end{equation}

\section{Questions}
\begin{itemize}
    \item Pour les raies de la lampe au Cadmium, pourquoi n'a-t-on pas directement eu la quantification de l'Ã©nergie lors des premiÃ¨res observations ? {\color{bleufonce}Parce qu'on avait pas la formule d'Einstein $E = h\nu$.}
    
    \item D'oÃ¹ provient la diffÃ©rence d'intensitÃ© des raies ? {\color{bleufonce} C'est aussi quantique mais plus compliquÃ© il faut Ã©tudier les interactions Ã©lectron-matiÃ¨re}
    
    \item Quelles sont les failles du modÃ¨le de Bohr ? {\color{bleufonce}L'Ã©lectron se trouve sur des orbites entiÃ¨rement dÃ©terminÃ©es $\Delta r = 0$ ce qui contredit l'inÃ©galitÃ© de Heisenberg. Il faut utiliser la reprÃ©sentation par une fonction d'onde et prendre en compte le spin.}
    
    \item Quels sont les autres modÃ¨les de l'atome et leurs limites ?
    
    \item Dans l'expÃ©rience de Franck et Hertz pourquoi le courant continue-t-il d'augmenter avec la tension accÃ©lÃ©ratrice ? {\color{bleufonce}On continue d'avoir des Ã©lectrons qui passent.}
    
    \item Peut-on observer d'autres transitions avec cette expÃ©rience ? {\color{bleufonce}Oui ils ont pu observer la deuxiÃ¨me.}
    
    \item Quel est l'ordre de grandeur de la transition observÃ©e ?
    
    \item Qu'est ce qui change pour l'Ã©quation de SchrÃ¶dinger quand on passe en 3D ?
    
    \item Pourquoi peut-on se restreindre aux Ã©tats stationnaires dans le cas du puits ? {\color{bleufonce}Le potentiel est indÃ©pendant du temps.}
    
    \item Pourquoi $\phi$ ou $\phi '$ sont elles continues selon les conditions limites ? {\color{bleufonce}Mentionner le courant de probabilitÃ©.}
    
    \item Pourquoi se rÃ©duit-on directement aux $E&gt;0$ dans le cas du puits ?
    
    \item Entre les modes symÃ©triques/antisymÃ©triques lesquels sont les plus stables ?
    
    \item Pourquoi assimiler l'atome de Bohr Ã&nbsp; un puits infini ? {\color{bleufonce}Le potentiel Coulombien est en $\frac{1}{r}$.}
    
    \item Quand peut on dire qu'un puits est infini ? {\color{bleufonce}Il faut comparer la profondeur du puits de potentiel Ã&nbsp; l'Ã©nergie de la particule.}
    
    \item La quantification est une caractÃ©ristique ondulatoire mais qu'est ce qui est propre Ã&nbsp; la mÃ©canique quantique ? {\color{bleufonce}La quantification des Ã©nergies accessibles, amenÃ©e par $E=h\nu$.}
    
    \item Comment rapidement simplifier la forme des solutions du puits fini compte-tenu de la forme du potentiel (pair) ?
    
    \item Qu'est ce qui se passe avec les Ã©tats de diffusion ?
    
    \item Quel est l'effet de la chaleur/du travail sur l'occupation des niveaux d'Ã©nergie ?
    
    \item Qu'est ce qui caractÃ©rise la facilitÃ© d'un Ã©lectron Ã&nbsp; passer d'un niveau Ã&nbsp; un autre ? {\color{bleufonce}Sa masse effective.}
    
    \item Peut on voir la particule dans la barriÃ¨re du puits fini ? Oui c'est l'effet tunnel. Un analogie expÃ©rimentale ? {\color{bleufonce}La rÃ©flexion totale frustrÃ©e.}
    
    \item Proposer une application concrÃ¨te et technologique de ces confinements. {\color{bleufonce}Les atomes artificiels.}
    
    \item Quelle est la diffÃ©rence entre l'effet de peau et l'effet tunnel d'un point de vue Ã©nergÃ©tique ? 
    
\end{itemize}

\section{Commentaires}

\begin{itemize}
    \item Bon usage des diapos pour les calculs, ils ne sont pas importants il y a beaucoup de sens physique Ã&nbsp; dÃ©velopper dans cette leÃ§on.
    \item La manip en dÃ©but de leÃ§on est bien, penser Ã&nbsp; expliquer que le modÃ¨le de Bohr marche par hasard.
    \item C'est bien de passer par l'inÃ©galitÃ© de Heisenberg pour introduire la quantification.
    \item Bien expliquer pourquoi on se restreint au cas stationnaire.
    \item l'analogie avec la corde de Melde aurait pu venir dÃ¨s le dÃ©but.
    \item Tracer soit $\psi$ soit son module mais harmoniser les graphes (on perd de l'info du la symÃ©trie du mode en traÃ§ant le module).
    \item Expliquer qu'une fois qu'on est plus dans un Ã©tat liÃ© il y a un continuum d'Ã©nergie.
    \item Ã‡a serait bien de traiter le puits fini, comme Ã©tape pour traiter ensuite les atomes. On peut penser Ã&nbsp; traiter la liaison chimique comme application (2 puits finis cÃ´te Ã&nbsp; cÃ´te), Ã§a permet d'Ã©viter les gros calculs de l'atome d'HydrogÃ¨ne.
    \item Quand on traite l'atome d'HydrogÃ¨ne bien insister sur le fait que le confinement vient de l'attraction du noyau.
    
\end{itemize}
\end{document}

</pre></body></html>