\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP11 - Gaz réels, gaz parfaits}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{Deleuze Julie}{Jocteur Tristan}



\subsection*{Niveau : jsp}



\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ \ }p{0.48\linewidth}}
\url{http://ressources.agreg.phys.ens.fr/static/Cours-TD/Hare/Cours2020.pdf} & Cours de Ulm\\
\textit{BUP 699}\\
\textit{Tout-en-un Physique PC}, \textbf{Sanz}\\
\textit{Mécanique quantique}, \textbf{Basdevant \& Dalibard}



\end{tabular}
% Vous avez vu cette commande badass pour ne pas mettre les footnotes dans les environements locaux ??

\tableofcontents
\pagebreak

\section*{Remarques sur les leçons précédentes}

\begin{itemize}
    \item \textbf{2017 :} Cette leçon est une leçon de physique et ne doit donc pas se limiter à des calculs. 
    \item \textbf{2015 :} Trop de candidats pensent que l’effet tunnel est spécifique à la physique quantique.
    \item \textbf{2011-2014 :} Dans le traitement de l’effet tunnel, les candidats perdent souvent trop de temps dans les calculs. Le jury invite les candidats à réfléchir à une présentation à la fois complète et concise sans oublier les commentaires physiques relatifs à la dérivation de la probabilité de transmission. Certains candidats choisissent d’aborder le cas de la désintégration alpha mais ne détaillent malheureusement pas le lien entre la probabilité de traversée d’une barrière et la durée de demi-vie de l’élément considéré. La justification des conditions aux limites est essentielle ! Le microscope à effet tunnel peut être un bon exemple d’application s’il est analysé avec soin (hauteur de la barrière, origine de la résolution transverse, . . .).
\end{itemize}


Je trouve ça bien d'introduire l'effet tunnel avec le microscope à effet tunnel comme l'ont fait Corentin et les Cléments ça permet de faire sentir les choses physiquement et de pas faire bjr barrière de potentiel. Vu la rq du jury qui dit que l'effet tunnel c pas que de la méca q je pense qu'il faut caser l'effet tunnel optique qqpart. Comme application les liaisons covalentes ya plus de physique que la radioactivité je trouve et on aura déjà fait pas mal de calculs pour la barrière de potentiel. Vaut mieux cibler une application et la faire à fond on dirait qu'il y a oas le temps pour les deux.


\section{Présentation de l'effet tunnel}

\subsection{Le microscope à effet tunnel}

\livre BUP 699, Sanz, cours Ulm

\paragraph{}Pour observer la matière à des échelles trop petites pour nos yeux on a d'abord eu recours à la microscopie optique. D'abord limitée par les problèmes d'aberrations chromatiques et géométriques, celle-ci s'est ensuite vue limitée par un phénomène plus fondamental : la diffraction. Cette nouvelle limite n'est pas contournable si l'on se restreint à des lentilles et des miroirs, il a donc fallu être créatif. Un exemple de dispositif permettant de contourner ce porblème est le microscope à effet tunnel. Là où la microscopie optique était limitée à une résolution d'environ 100~nm, la microscopie à effet tunnel permet d'atteindre une résolution latérale de l'ordre de l'angstrom et une résolution en profondeur de l'ordre de 0,1~$\angstrom$. Il permet donc littéralement de voir des atomes ! C'est comme ça que l'on s'est rendu compte que les atomes étaient oranges :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.3\textwidth]{atomes.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

Cette invention par Binnig et Rohrer date de 1984 et leur a valu le Prix Nobel en 1986. Mais alors comment cela fonctionne-t-il ?

\paragraph{}L'idée est la suivante : on a un échantillon conducteur contenant des électrons que l'on va tenter d'arracher grâce à un champ électrique suffisamment intense :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{tunnel.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

Ce champ est créé par une différence de potentiel générée entre le substrat à étudier et une pointe conductrice très fine. On passe alors d'un profil énergétique de type marche infinie à un profil de type barrière :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{pointe.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\paragraph{}Dans le métal, les électrons sont dans un état assez stables, ils ont une énergie largement inférieure à la hauteur de la marche de potentiel entre le substrat et la pointe. D'un point de vue classique on comprend donc assez peu comment un électron pourrait passer du substrat à la pointe : quand on n'a pas assez d'énergie bah... on n'a pas assez d'énergie ! Si on fait une analogie avec la mécanique classique, si je laisse rouler une bille depuis le haut du Mont Blanc elle n'arrivera jamais à passer au-dessus du Mont Everest par conservation de l'énergie. Et pourtant on observe bien un courant. C'est comme si la bille passait à travers le Mont Everest : c'est l'effet tunnel. L'effet tunnel c'est lorsque qu'un objet physique parvient à franchir une barrière énergétique alors qu'il possède une énergie inférieure au sommet de la barrière.

\paragraph{}On ne peut cependant pas limiter cette définition à la physique quantique, en fait c'est plutôt un phénomène ondulatoire puisqu'on le retrouve aussi en optique. En effet on a un phénomène analogue dans le problème de la réflexion totale interne frustrée. \textbf{schémas au tableau}. Si une onde lumineuse se propageant dans un milieu d'indice $n$ rencontre une interface avec un milieu d'indice inférieur $n_0$, on sait que l'on a un angle limite d'incidence pour lequel on n'observe seulement un rayon réfléchi et on parle alors de réflexion totale. Toutefois si l'on remet non loin de cette première interface une seconde interface $n_0-n$ alors on observe une réapparition du rayon réfracté, comme s'il avait réussi à franchir la "barrière énergétique" entre les deux interfaces... On parle alors de réfraction totale interne frustrée.

\transition{Le fait que l'on observe l'effet tunnel sur des particules quantiques vient donc finalement de leur caractère ondulatoire que ce formalisme leur attribue avec la notion de fonction d'onde. Utilisons donc la mécanique quantique pour expliquer cet effet !}

\subsection{Franchissement d'une barrière de potentiel par effet tunnel}

\livre Sanz p1257, Basdevant p 71

\paragraph{}Afin d'expliquer cet effet tunnel de nos électrons, nous allons commencer par simplifier le problème en modélisant la barrière de potentiel entre le substrat et la pointe par une barrière de potentiel carrée :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{barriere.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

L'expression mathématique du potentiel est alors :

\begin{equation}
V(x)=\left\{\begin{aligned}
0 & \text { si }|x|>a / 2 \\
V_{0} & \text { si }|x|<a / 2
\end{aligned}\right.
\end{equation}

On se place donc dans le cas où l'énergie de la particule est telle que $E<V_0$. Comme on l'a mentionné précédemment, d'un point de vue classique la particule ne peut pas franchir cette barrière, elle est réfléchie ! Mais comme on l'a vu lorsque l'on a étudié le cas du puits de profondeur finie, la probabilité de présence d'une particule dans une région de potentiel classiquement interdite est faible mais pas totalement nulle... On a alors une première intuition de cet effet tunnel. Pour en avoir le coeur net, résolvons totalement le problème en déterminant tout simplement la fonction d'onde associée à la particule grâce à l'équation de Schrödinger :

\begin{equation}
\begin{array}{lll}
\text { Régions I et III } & : & \varphi^{\prime \prime}(x)+k^{2} \varphi(x) =0 \\
\text { Région II } & : & \varphi^{\prime \prime}(x)-q^{2} \varphi(x) =0
\end{array}
\end{equation}

avec 

\begin{equation}
k=\frac{\sqrt{2 m E}}{\hbar} \text { et } q=\frac{\sqrt{2 m\left(V_{0}-E\right)}}{\hbar}
\end{equation}

Les solutions sont alors de la forme :

\begin{equation}
\begin{array}{ll}
\text { Région I : } & \varphi(x)=A_{1} \exp (i k x)+B_{1} \exp (-i k x) \\
\text { Région II : } & \varphi(x)=A_{2} \operatorname{ch}(q x)+B_{2} \operatorname{sh}(q x) \\
\text { Région III : } & \varphi(x)=A_{3} \exp (i k x)+B_{3} \exp (-i k x)
\end{array}
\end{equation}

Dans la région I, la solution est la superposition d'une onde incidente et d'une onde réfléchie. Dans la région II, on a la superposition de deux ondes évanescentes et anti-évanescentes que l'on peut en toute généralité ré-écrire sous la forme d'un cosinus et d'un sinus hyperbolique. Enfin, dans la région III, la solution générale est encore une fois la superposition d'une onde progressive et d'une onde contra-progressive. Toutefois, en considérant la région III infinie dans le sens des x croissants sans aucune source quelconque de particules, aucune onde ne peut venir de l'infini et on impose alors naturellement $B_3=0$. Reste alors à raccorder ces trois solutions grâce aux conditions aux limites !

\paragraph{}Ici le potentiel présente des discontinuités finies aux interfaces, on a donc vu que cela correspondait à une condition de continuité non seulement de la fonction d'onde à l'interface mais aussi de sa dérivée. On a alors les relations suivantes :

\paragraph{}Continuité de $\varphi(x)$ en $-\frac{a}{2}$ :
$$
A_{1} \exp \left(-i \frac{k a}{2}\right)+B_{1} \exp \left(i \frac{k a}{2}\right)=A_{2} \operatorname{ch}\left(\frac{q a}{2}\right)-B_{2} \operatorname{sh}\left(\frac{q a}{2}\right)
$$
\paragraph{}Continuité de $\varphi(x)$ en $\frac{a}{2}$
$$
A_{3} \exp \left(i \frac{k a}{2}\right)=A_{2} \operatorname{ch}\left(\frac{q a}{2}\right)+B_{2} \operatorname{sh}\left(\frac{q a}{2}\right)
$$
\paragraph{}Continuité de $\varphi^{\prime}(x)$ en $-\frac{a}{2}$ :
$$
i k A_{1} \exp \left(-i \frac{k a}{2}\right)-i k B_{1} \exp \left(i \frac{k a}{2}\right)=-q A_{2} \operatorname{sh}\left(\frac{q a}{2}\right)+q B_{2} \operatorname{ch}\left(\frac{q a}{2}\right)
$$
\paragraph{}Continuité de $\varphi^{\prime}(x)$ en $\frac{a}{2}$
$$
i k A_{3} \exp \left(i \frac{k a}{2}\right)=q A_{2} \operatorname{sh}\left(\frac{q a}{2}\right)+q B_{2} \operatorname{ch}\left(\frac{q a}{2}\right) \text { . }
$$

\paragraph{}On a donc 4 équations pour 5 inconnues : il est possible d'exprimer toutes les inconnues par rapport à une seule d'entre elles. On va donc pouvoir étudier, pour une onde de probabilité incidente donnée, la probabilité de transmission et la probabilité de réflexion. Pour ce faire, on pose $\omega = \frac{E}{\hbar}$ et on a alors comme on l'a mentionné précédemment :

\begin{equation}
\begin{array}{ll}
\text { Onde incidente: } & \psi_{i}(x, t)=A_{1} \exp (i(k x-\omega t)), \\
\text { Onde réfléchie : } & \psi_{r}(x, t)=B_{1} \exp (-i(k x+\omega t)), \\
\text { Onde transmise: } & \psi_{t}(x, t)=B_{3} \exp (i(k x-\omega t))
\end{array}
\end{equation}

d'où les courants de probabilité associés :

\begin{equation}
\begin{array}{ll}
\text { Onde incidente: } & \vec{j}_{i}=\frac{\hbar \vec{k}}{m}\left|\psi_{i}(x, t)\right|^{2}=\left|A_{1}\right|^{2} \frac{\hbar \vec{k}}{m}, \\
\text { Onde réfléchie: } & \vec{j}_{r}=-\frac{\hbar \vec{k}}{m}\left|\psi_{r}(x, t)\right|^{2}=-\left|B_{1}\right|^{2} \frac{\hbar \vec{k}}{m}, \\
\text { Onde transmise: } & \vec{j}_{t}=\frac{\hbar \vec{k}}{m}\left|\psi_{t}(x, t)\right|^{2}=\left|A_{3}\right|^{2} \frac{\hbar \vec{k}}{m}
\end{array}
\end{equation}

et donc les probabilité de réflexion et de transmission :

\begin{equation}
R=\frac{\left\|\vec{j}_{r}\right\|}{\left\|\vec{j}_{i}\right\|}=\frac{\left|B_{1}\right|^{2}}{\left|A_{1}\right|^{2}} \text { et } T=\frac{\left\|\vec{j}_{t}\right\|}{\left\|\vec{j}_{i}\right\|}=\frac{\left|A_{3}\right|^{2}}{\left|A_{1}\right|^{2}}
\end{equation}

Étant donné que seuls les rapports nous intéressent, les équations de continuité nous suffisent pour déterminer totalement ces coefficients (on passe la calcul car méga long et inutile, c'est de la matrice basically) :

\begin{equation}
\begin{aligned}
R &=\frac{\frac{V_{0}^{2}}{4 E\left(V_{0}-E\right)} \operatorname{sh}^{2}(q a)}{1+\frac{V_{0}^{2}}{4 E\left(V_{0}-E\right)} \operatorname{sh}^{2}(q a)} \\
T &=\frac{1}{1+\frac{V_{0}^{2}}{4 E\left(V_{0}-E\right)} \operatorname{sh}^{2}(q a)}
\end{aligned}
\end{equation}

On remarque alors essentiellement deux choses :

\begin{itemize}
    \item $T>0$ : la probabilité de transmission n'est jamais nulle, on a bien un effet tunnel possible !
    \item $R+T = 1$ : cool, la particule ne disparaît pas.
\end{itemize}

\paragraph{}On voit donc que la probabilité de transmission a une expression assez complexe mais on peut déjà la simplifier en notant l'apparition d'une longueur caractéristique :

\begin{equation}
\delta=\frac{1}{q}=\frac{\hbar}{\sqrt{2 m\left(V_{0}-E\right)}}
\end{equation}

aussi appelée de manière évidente longueur de pénétration. On peut alors regarder ce qu'il se passe lorsque l'épaisseur de la barrière $a$ est grande devant cette longueur de pénétration, on parle alors d'approximation de barrière épaisse :

\begin{equation}
T \sim \frac{16 E\left(V_{0}-E\right)}{V_{0}^{2}} \exp \left(-\frac{2 a}{\delta}\right)
\end{equation}

\textbf{Code Python} pour montrer les variations. Ce coefficient de transmission est donc très sensible à l'épaisseur de la barrière et à la masse de la particule.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.45\textwidth]{tunnelonde.png}
    \includegraphics[width=0.45\textwidth]{odgtunnel.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\paragraph{}Pour revenir sur la réflexion interne frustrée, lorsque l'on est en incidence supérieure à l'incidence de réflexion totale, l'onde transmise n'est pas strictement nulle mais évanescente comme on l'a montré dans le cours d'électromagnétisme. De la même manière on a une onde anti-évanescente au niveau de la deuxième interface par symétrie et donc on se retrouve en fait exactement dans le même cas qu'avec la particule ! L'effet tunnel est donc bien un phénomène plus ondulatoire que quantique (les walking droplets en sont un bon exemple, c'est la même chose mais avec des ondes de surface sur un fluide).

\transition{Bon ok mais du coup le microscope dans tout ça ?}

\subsection{Retour sur le microscope à effet tunnel}
\livre Sanz p1258

\paragraph{}Dans le cas du microscope à effet tunnel, les électrons transmis provoque donc une circulation de courant proportionnel à leur probabilité de transmission soit environ :

\begin{equation}
I=I_{0} \exp \left(-\frac{2 d}{\delta}\right)
\end{equation}

avec $I_0$ qui dépend d'autres paramètres, dont la tension appliquée entre la sonde et le substrat. Pour récupérer un courant mesurable il va donc falloir s'approcher très près puisque la décroissance avec les distance est exponentielle ! Presque tout le courant passe par l'extrêmité de la pointe donc la localisation (et donc la résolution transversale) du courant tunnel sera d'autant meilleure que la pointe est fine. Finalement on doit donc :

\begin{itemize}
    \item Avoir une pointe très fine, dont l'extrêmité est constituée d'un seul atome.
    \item L'approcher fortement du substrat, à moins d'un nanomètre typiquement.
    \item être capable de contrôler le déplacement de cette pointe de manière ultra-précise, donc avec des piezo.
    \item éliminer toutes les vibrations susceptibles de perturber la mesure.
\end{itemize}

Les tensions utilisées vont du milivolt au volt et les courants du picoampère au nanoampère. En pratique il y a deux manière de réaliser le profil spatial d'un conducteur : soit on s'asservit en courant et on mesure la distance (topographie) soit on fixe la pointe à un endroit du plan et on la descend vers le substrat à U fixé pour observer la variation de courant associée (spectroscopie) et on a alors un renseignement plus riche (notamment sur la composition chimique). Avec ces techniques on arrive à observer des atomes blablabla on l'a déjà dit.

\transition{Okay mais l'effet tunnel c'est pas si anecdotique que ça, c'est à l'origine de trucs bien plus fondamentaux comme la liaison covalente}

\section{Effet tunnel dans la matière : la liaison covalente}

\paragraph{}Le partage d'électron représenté par une liaison covalente peut être interprété par un effet tunnel. Nous allons voir que cet permet d'expliquer la stabilité d'une molécule.\\


\livre Cohen p.412 + Basdevant p.97 Juste pour justifier la modélisation\\
\livre Basdevant p.93 + Le Bellac p.169 + Sanz PC p.1220, 1264 Pour la résolution.

\subsection{Modélisation}
\paragraph{}Prenons la molécule (ionisée) $H_{2}^{+}$, constituée de deux protons $p_{1}$ et $p_{2}$ et d'un électron. Du fait de leur grande masse, on peut considérer les deux protons comme fixes (c'est l'approximation de Born-Oppenheimer); la distance entre les deux protons n'est donc pas une variable mais un paramètre du problème, que l'on note $2b$. Quand les deux protons sont très loin l'un de l'autre, l'électron forme un atome d'hydrogène avec l'un des deux protons, et l'autre reste isolé sous forme d'ion H$^+$. Si les deux protons se rapprochent, l'électron va pouvoir "sauter" de l'un à l'autre.

Comment l'énergie potentielle $V$ de la molécule varie-t-elle en fonction de la coordonnée $x$ de l'électron selon qui relie les deux protons ? Pour la position d’équilibre $x = b$, $V(x)$ passe par un minimum.
Si nous obligeons $x$ à diminuer, l’ énergie croît, passe par un maximum $V_0$ pour $x = 0$, état instable pour lequel les charges sont séparées. Si $x$ devient négatif, les deux protons étant identiques on se rapproche d'un autre minimum pour $x = -b$ et l’énergie $V(x)$ est symétrique par rapport à l’origine : $V(x) = V(-x)$.
Dans la suite, nous allons remplacer le potentiel réel par un potentiel carré. La situation où les deux protons sont infiniment éloignés correspond à deux puits infinis, ici la possibilité du saut est matérialisée par une barrière de hauteur finie.


\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.4\textwidth]{potentiel.png}
\end{figure}



\subsection{Solutions}
\paragraph{} Dans ce potentiel indépendant du temps, on peut chercher des solutions stationnaires dont la partie spatiale vérifie : 

\begin{equation}
    \frac{\text{d}^2\psi}{\text{d}x^2} + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(x)) = 0
\end{equation}

Compte tenu des conditions limites de la fonction d'onde, on aboutit à deux modes propres différents,  un symétrique et un antisymétrique :

\begin{align}
    \text{région G} : &\; \psi(x) = \pm \lambda \sin{(b +\frac{a}{2}+x)} \\
    \text{région M} : &\; \psi(x) =  \left\{
    \begin{array}{ll}
        \mu \cosh{(Kx)} & \text{solution symétrique} \\
        \mu \sinh{(Kx)} & \text{solution antisymétrique}
    \end{array}\\
    \text{région D :}&\; \psi(x) = \pm \lambda \sin{(-b -\frac{a}{2}+x)}
\right.
\end{align}
où $k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$ et $K = \frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}$. Remarquons que la fonction d'onde est non nulle dans la région centrale, contrairement à la prédiction de la mécanique classique. La particule va ainsi pouvoir passer d'un puit à l'autre : c'est l'effet tunnel.
 
La continuité de la fonction et de sa dérivée aux points $x=\pm(b-a / 2)$ donne les conditions :
 
 \begin{itemize}
     \item $\tan k a=-\frac{k}{K} \operatorname{coth} K(b-a / 2)$ pour une solution symétrique $\psi_{S}$,
     \item $\tan k a=-\frac{k}{K} \tanh K(b-a / 2)$ pour une solution antisymétrique $\psi_{A} .$
 \end{itemize}


Pour simplifier et comprendre la physique du problème à l'aide de calculs simples, plaçons-nous dans le cas où l'énergie $E$ est très petite vis-à-vis de la hauteur $V_{0}$ de la barrière $E \ll V_{0}$, soit $K \sim \sqrt{2 m V_{0}} / \hbar \gg k$. Supposons également que la largeur de la barrière est suffisamment grande pour que $K \Delta \gg 1$ où $\Delta=2 b-a$ est la largeur de la barrière. Ces hypothèses sont satisfaites dans le cas de la molécule d'ammoniac. On a alors:
$$
\tan k a \simeq-\frac{k}{K}\left(1 \pm 2 e^{-K \Delta}\right)
$$
où le signe $+$ correspond à $\psi_{S}$, le signe $-$ à $\psi_{A} .$ Cette équation permet $\mathrm{de}$ calculer les valeurs quantifiées de $k a$. Ces valeurs apparaissent sur la construction graphique de la figure $4.9$, comme les abscisses des intersections des arcs successifs de $y=\tan k a$ avec deux droites $y=-\varepsilon_{A} k a$ et $y=-\varepsilon_{S} k a .$ Ces intersections sont situées au voisinage de $k a \sim \pi .$ Les deux constantes $\varepsilon_{A}$ et $\varepsilon_{S}$ sont:
$$
\varepsilon_{A}=\frac{1}{K a}\left(1-2 e^{-K \Delta}\right) \quad \varepsilon_{S}=\frac{1}{K a}\left(1+2 e^{-K \Delta}\right) .
$$
Elles sont proches l'une de l'autre et telles que $\varepsilon_{A}<\varepsilon_{S} \ll 1$, puisque $K a \gg$ $k a \sim \pi$


\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.7\textwidth]{graphique.png}
    \caption{(a) Détermination graphique des niveaux d'énergie dans le double puits; (b) on voit que les deux premiers niveaux d'énergie sont abaissés par rapport à l'énergie du fondamental d'un puits simple $G$ ou $D\left(E_{0} \rightarrow E_{0}^{\prime}\right)$, et qu'il y a un « clivage tunnel » entre ces deux niveaux $\left(E_{0}^{\prime} \rightarrow E_{A}\right.$ et $\left.E_{S}\right) \mid$}
\end{figure}

\subsection{Niveaux d'énergie}



Désignons par $k_{S}$ et $k_{A}$ les deux valeurs, voisines, de $k$ correspondant aux deux premiers états propres $\psi_{S}$ et $\psi_{A}$ de plus faible énergie. La construction graphique de la figure $4.9$ montre que :


\begin{itemize}
    \item Les deux quantités $k_{S}$ et $k_{A}$ sont légèrement inférieures à $\pi / a$, valeur du premier nombre d'onde pour le puits $G$ (ou le puits $D$ ) de largeur $a$, supposé infiniment profond qui correspond à la situation où les protons sont infiniment éloignés
    \item La quantité $k_{S}$ est légèrement inférieure à $k_{A} ;$ par conséquent les énergies respectives des deux niveaux les plus bas :
$$
E_{S}=\hbar^{2} k_{S}^{2} / 2 m \quad E_{A}=\hbar^{2} k_{A}^{2} / 2 m
$$
sont telles que $E_{S}<E_{A}$
\end{itemize}

\url{https://phet.colorado.edu/en/simulation/bound-states}

Dans notre approximation $(K \gg k, K a \gg 1)$ on vérifiera que :
$$
k_{S} \sim \frac{\pi}{a\left(1+\varepsilon_{S}\right)} \quad k_{A} \sim \frac{\pi}{a\left(1+\varepsilon_{A}\right)},
$$
avec $\varepsilon_{S}$ et $\varepsilon_{A} \ll 1 .$ En utilisant les calculs précédents, on obtient l'énergie moyenne $E_{0}^{\prime}=\left(E_{A}+E_{S}\right) / 2:$
$$
E_{0}^{\prime} \simeq \frac{\hbar^{2} \pi^{2}}{2 m a^{2}}\left(1-\frac{2}{K a}\right)
$$
On obtient pour le clivage $E_{A}-E_{S}$ des deux niveaux :
$$
E_{A}-E_{S} \equiv 2 A \simeq \frac{\hbar^{2} \pi^{2}}{2 m a^{2}}\left[\frac{1}{\left(1+\varepsilon_{A}\right)^{2}}-\frac{1}{\left(1+\varepsilon_{S}\right)^{2}}\right]
$$
avec :
$$
A \simeq \frac{\hbar^{2} \pi^{2}}{2 m a^{2}} \frac{4 e^{-K \Delta}}{K a} .
$$

\paragraph{}\textbf{ODG :} 
 $2 A \sim$ $10^{-4} \mathrm{eV}$. Tandis que l'on a typiquement $K a \sim \pi$ \livre Basdevant $p .98$ et $E_{0} \sim 1 \mathrm{eV}$ \livre $L P 40$ donc $E_{0}-E_{0}^{\prime} \sim 0.5 \mathrm{eV}$

\paragraph{Influence des paramètres de la barrière} \livre Sanz p1220
Avec la simulation, on peut observer que la séparation des niveaux d’énergie est d’autant plus importante que la barrière est basse et fine.
C'est cohérent avec les calculs : puisque $K$ est approximativement égal à $\sqrt{2 m} V_{0} / \hbar$ dans notre approximation, nous voyons que $A$ décroit exponentiellement quand la largeur $\Delta$, ou la hauteur $V_{0}$, de la barrière de potentiel intermédiaire augmentent. On note également que $A=0$ dans la limite classique $\hbar \rightarrow 0$.

\paragraph{Interprétation pour la liaison covalente}
On revient au début : deux noyaux infiniment éloignés = électron localisé au voisinage d’un noyau
Noyaux suffisamment proches = effet tunnel non négligeable, couplage des deux puits, clivage tunnel des niveaux d’énergie. L'état le plus stable est l'état symétrique, dans lequel l'électron "appartient" aux deux noyaux à la fois.
\paragraph{}L'effet tunnel permet donc d'expliquer l'effet stabilisant de la liaison covalente = mise en commun d’électrons.



\end{document}
