\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP46 - Propriétés macroscopiques des corps ferromagnétiques}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{Deleuze Julie}{Jocteur Tristan}


\subsection*{Niveau : jsp}



\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Matériaux et Applications}, \textbf{Trémolet}\\
\textit{Tout-en-un PSI}\\
\textit{EM4}, \textbf{BFR}\\
\textit{Electrotechnique PSI}, \textbf{Bréal}\\
\texit{Physique des objets du quotidien},\textbf{Ray}




\end{tabular}
% Vous avez vu cette commande badass pour ne pas mettre les footnotes dans les environements locaux ??

\tableofcontents
\pagebreak

\section*{Remarques sur les leçons précédentes}

\paragraph{2017} L’introduction des milieux linéaires en début de leçon n’est pas judicieuse.
\paragraph{2016} Un bilan de puissance soigné est attendu.
\paragraph{2015} Le principe de fonctionnement du circuit électrique utilisé pour présenter un cycle d’hystérésis doit être connu.

\paragraph{}Le plan est assez classique et il permet de répondre aux attentes du jury (tant qu'on s'assure d'avoir le temps de faire les applications). La notion de réluctance et la comparaison avec l'élec est un moyen cool d'expliquer la canalisation des lignes de champ (qui permet de faire la transition directe sur le transfo). Pour les applis bah je propose le disque dur et le paléomagnétisme (dans l'ordre qu'on veut, moi je trouve paléomagnétisme c'est plus stylé). Et sinon bah rien de très spécial. Les gens disent attention les domaines de Weiss c'est HS car microscopique donc je suis pour pas la faire mais faut être au point dessus bien sûr. Je trouve ça mieux d'intégrer le transformateur au début du grand II non ? Bon en fait autant le mettre au début des applications (ou pas le mettre en vrai c'est chiant le transfo)

\section*{Introduction}

\section{Description des corps ferromagnétiques}

\subsection{Équations de Maxwell}

\livre BFR p98 éventuellement mais autant faire direct à partir des leçons.

\paragraph{}On a montré dans les cours précédents que les équations de Maxwell dans les milieux magnétiques non polarisés s'écrivent :

\begin{equation}
\left\{\begin{array}{c}
\operatorname{div} \vec{B}=0 \\
\operatorname{rot} \vec{H}=\vec{j}_{\text {libres }} \\
\end{array}\right.
\end{equation}

avec $\vec{H}$ l'induction magnétique reliée au champ magnétique $\vec{B}$ via l'aimantation du matériau :

\begin{equation}
    \vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_{0}}-\vec{M}
\end{equation}

On rappelle que si l'on décompose le milieu magnétique en volumes mésoscopiques de volume dV et de moment magnétique total $d\vec{m}$ alors l'aimantation du matériau est définie comme :

\begin{equation}
    \vec{M} = \frac{d\vec{m}}{dV}
\end{equation}

Tout comme l'induction magnétique, l'aimantation s'exprime en $A.m^{-1}$.

\paragraph{}On a donc 6 équations (1 avec M$\Phi$, 2 avec MA et 3 avec la définition de l'induction) mais 9 inconnues (trois vecteurs), il nous manque donc des équations !

\transition{On va donc inventer une relation constitutive comme d'hab hein}

\subsection{Relations constitutives}

\livre Mauras p249

\paragraph{}On sait que l'aimantation varie avec l'induction, en se restreignant à l'étude des matériaux isotropes on peut supposer une relation de la forme :

\begin{equation}
    \vec{M} = \chi_m(\vec{H})\vec{H}
\end{equation}

On a alors plusieurs cas possibles :

\begin{itemize}
    \item La matériau est linéaire : $\chi_m$ ne dépend pas de $\vec{H}$ et on a alors une simple relation de proportionnalité. On différencie alors les matériaux diamagnétiques pour lesquels $\chi_m < 0$ et les matériaux paramagnétiques pour lesquels $\chi_m > 0$. En ordres de grandeurs on a $\chi_{para}\sim 10^{-6}-10^{-3}$ et $\chi_{dia}\sim 10^{-9}-10^{-6}$. Pour une induction nulle on a donc une aimantation nulle. Mais pourtant les aimants permanents ça existe bien !
    \item Le matériau est non linéaire. C'est le cas des matériaux ferromagnétiques : $\chi_m$ dépend de $\vec{H}$. Il est alors permis que pour une induction nulle on ait une aimantation non nulle ! En termes d'ordres de grandeur, la susceptibilité magnétique des matériaux ferromagnétiques est bien plus grande, allant de quelques centaines pour le fer (200) et le nickel (114) à une centaine de milliers pour le Permalloy (alliage fer-nickel-magnésium). 
\end{itemize}

\paragraph{}Le ferromagnétisme n'est observé que dans les structures cristallines (solides) à la différence du paramagnétisme et du diamagnétisme. On rappelle aussi que pour ces corps cristallins, le phénomène de ferromagnétisme n'est observé qu'en-dessous d'une certaine température appelée température de Curie. Au-delà de cette tempéarture le solide est paramagnétique. Si on regarde quelques ordres de grandeur :

\begin{equation}
T_{c}(F e)=1043 K ~~~~ T_{c}(N i)=631 K ~~~~ T_{c}(C o)=1400 K
\end{equation}

On remarque que la plupart des matériaux ferromagnétiques présentent une température de Curie supérieure à la température ambiante et il est donc facile d'observer ce comportement.

\manip{\textbf{Désaimantation d'un clou chauffé}
\paragraph{}On chauffe le clou hop il se désaimante.
}

En combinant la relation constitutive et la définition de l'induction magnétique on a alors :

\begin{equation}
    \vec{B} = \mu_0\mu_r\vec{H}
\end{equation}

avec :

\begin{equation}
    \mu_r = 1+\chi_m
\end{equation}

On appelle $\mu_r$ la perméabilité relative du milieu magnétique. Pour l'air on a naturellement $\mu_r = 4\pi.10^{-7}~H/m$ et pour le Permalloy $\mu_r = 0,15~H/m$.

\transition{Dans les milieux conducteurs on avait la relation constitutive $\vec{j} = \sigma\vec{E}$, ici elle est devenue $\vec{B} = \mu\vec{H}$, on va voir qu'on a en fait une analogie possible entre les circuits électriques et magnétiques}

\subsection{Notion de réluctance}

\livre Trémolet tome 2 p137

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{reluctance.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\paragraph{}Par analogie complète on peut donc définir une réluctance de la même manière que l'on définit une résistance dans les circuits électrique :

\begin{equation}
    \mathcal{R} = \int_\mathcal{C}\frac{dl}{\mu S}
\end{equation}

De la même manière qu'en électrocinétique le courant emprunte les chemins de résistances moindres, dans un circuit magnétique le flux emprunte les chemins de reluctance moindre. Or la reluctance étant d'autant plus faible que la perméabilité du milieu est grande on a $\mathcal{R}_{ferro} >> \mathcal{R}_{air}$. Les matériaux ferromagnétiques permettent donc de canaliser le flux magnétique. C'est une propriété très pratique comme on le verra par la suite.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{canal.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\transition{Ok chouette mais à part qu'elle est non linéaire on ne sait pas comment $\chi_m$ varie avec $\vec{H}$}

\section{Aimantation d'un corps ferromagnétique}

\subsection{Détermination expérimentale}

\livre Poly de TP mais surtout Précis p55 !

\paragraph{}Pour déterminer expérimentalement $\chi_m$ nous allons utiliser le dispositif suivant :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{ferrite.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

L'idée est alors de mesurer H et B présent dans le milieu. La géométrie du tore choisi est telle que les lignes de champs de $\vec{H}$ et de $\vec{B}$ sont des cercles concentriques et ces champs sont uniformes sur toute une section droite (conditions dans le Précis mais pas intéressantes ici). En appliquant un premier théorème d'Ampère dans le tore on a :

\begin{equation}
    H = \frac{N_1i_1+N_2i_2}{l} \propto v
\end{equation}

avec $l$ la longueur du circuit magnétique. Par ailleurs on suppose que $N_2i_2$ est négligeable devant $N_1i_1$. Cette condition est réalisée ici car on a une résistance de $33~\Omega$ au primaire et de $10~k\Omega$ au secondaire pour le même nombre de spires. On a alors :

\begin{equation}
    H = \frac{N_1v}{rl}
\end{equation}

Par conduction du flux magnétique on peut appliquer la loi de Faraday au niveau du secondaire :

\begin{equation}
u_{2}=-\frac{d \phi}{d t}=-N_{2} S \frac{d B}{d t} \propto \frac{d B}{d t}
\end{equation}

Si on ajoute alors le montage intégrateur en sortie on a :

\begin{equation}
w=\frac{N_{2} S}{R C} B
\end{equation}

Factuellement cette constante est assez chiante mais on va simplement l'annuler sur Latis-Pro grâce à nos compétences informatiques hors du commun (soustraction de moyenne). Pour tracer B=f(H) (à coefficients multiplicatifs près) on a donc simplement à mesurer $v$ et $w$ et calculer les champs grâce aux caractéristiques de notre système.

\experience{Tracé d'un cycle d'hystérésis}{}{}{
MP Milieux magnétiques. Pour justifier la fréquence choisie je ne vois pas trop. La ferrite est un ferrimagnétique, microscopiquement c'est donc différent d'un ferro mais en macro c'est pareil. Notamment la ferrite est pas conductrice donc on aura pas de pertes cuivre. Si on travaillait avec un ferro comme le fer il aurait fallu se placer à des plus faibles fréquences (100~mHz) sinon on a trop de pertes cuivres. (tout ça est expliqué dans le Poly, perso je le garderais pour les questions et je parlerais pas du choix de fréquence ici).
}

\subsection{Description du cycle d'hystérésis}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{cyclehyst.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

On peut alors faire plusieurs remarques importantes :

\begin{itemize}
\item On voit un cycle d'hystérésis : la valeur de $B$ dépend de l'histoire du matériau
\item Pour des grands $H$, la relation devient affine, la pente théorique est de $\mu_{0}$.
\item Quand l'excitation extérieure est nulle, $H=0$, on remarque que le champ $B$ créé par le matériau est non nul, c'est une propriété caractéristique d'un matériau ferromagnétique. 
\item Quand le cycle est le plus grand possible, $B(H=0)=B_{r}$ est appelé champ rémanent. Pour annuler le champ $B$, il faut appliquer un champ $H_{c}$ non nul appelé champ coercitif
\end{itemize}

Il peut être intéressant de tracer $M$ en fonction de $H$ pour faire apparaître la dépendance de $\chi_{m}$ en
$H .$ Pour cela, avec $\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_{0}}-\vec{M}$, on trace $\frac{B}{\mu_{0}}-H=M(H)$ en fonction de $\mathrm{H}$. On remarque une saturation de l'aimantation du matériau correspondant à une aimantation à saturation $M_{s}$. On peut alors définir l'aimantation rémanente d'où la possibilité de faire des aimants permanents et la nécessité de les faire dans des matériaux ferromagnétiques. Enfin on peut aussi définir un champ coercitif $H_{c}^{M}$ pour annuler l'aimantation, légèrement différent de $H_{c}$.

\paragraph{}En fonction de la taille du cycle on différencie deux types de matériaux :

\begin{itemize}
    \item Les matériaux durs : ils ont un fort champ coercitifs et donc un cycle d'hystérésis large. C'est le cas de l'acier
    \item Les matériaux doux : ils ont un faible champ coercitif. En dehors de la saturation on est quasiment linéaire. C'est le cas du fer doux (no shit).
\end{itemize}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{ODGMAG.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\transition{On va montrer que l'hystérésis conduit à une perte de puissance}

\subsection{Bilan de puissance}

\livre Précis p64, BFR p188.

\paragraph{}La puissance instantanée consommée au primaire est (en notant $R_{1}$ la résistance des fils de l'enroulement primaire):
$$
P_{p}(t)=u_{p}(t) i_{p}(t) \text { avec } u_{p}(t)=R_{1} i_{p}(t)-e_{1}=R_{1} i_{p}(t)+N_{1} \frac{\mathrm{d} \phi_{1}}{\mathrm{~d} t}
$$
Donc :
$$
\begin{array}{c}
P_{p}=R_{1} i_{p}^{2}(t)+N_{1} i_{p}(t) \frac{\mathrm{d} \phi_{1}}{\mathrm{~d} t}
\end{array}
$$
Or:
$$
\begin{array}{c}
i_{p}(t)=\frac{2 \pi r_{e} H(t)}{N_{1}} \text { et } N_{1} \frac{\mathrm{d} \phi_{1}}{\mathrm{~d} t}=N_{1} S \frac{\mathrm{d} B(t)}{\mathrm{d} t} \text { alors } \\
P_{p}(t)=R_{1} i_{p}^{2}(t)+2 \pi r_{e} S H(t) \frac{\mathrm{d} B(t)}{\mathrm{d} t}
\end{array}
$$
La puissance moyenne est donc :
$$
\left\langle P_{p}(t)\right\rangle=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} P_{p}(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} R_{1} i_{p}^{2}(t) \mathrm{d} t+2 \pi r_{e} S \frac{1}{T} \int_{0}^{T} H(t) \mathrm{d} B(t)
$$
où $T$ est la période de la tension excitatrice.


\paragraph{}Le premier terme est la puissance Joule $P_{J}$ consommée dans la résistance d'entrée:
$$
P_{J}=R_{1} I_{p}^{2}
$$
où $I_{p}$ est la valeur efficace du courant $i_{p}(t)$.

\paragraph{}Le second terme est appelé pertes fer. $2 \pi r_{e} S$ est le volume $V$ du tore. Le produit $H(t) \mathrm{d} B(t)$ est l'aire sous le courbe $H(B)$, donc $A=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} H(t) \mathrm{d} B(t)$ est l'aire comprise à l'intérieur du cycle. Finalement:
$$
P_{f}=\frac{V A}{T}
$$
L'aire du cycle d'hystérésis représente à un facteur numérique près l'énergie volumique dissipée lors d'un cycle.

\paragraph{}Pour des applications industrielles où le cycle est parcouru de nombreuses fois (comme les transformateurs qu'on va voir juste après) on a donc intérêt à utiliser des matériaux les plus doux possibles. Par contre si l'on veut créer des aimants permanents on aura plus intérêt à utiliser des matériaux durs !

\paragraph{}Dans les matériaux ferromagnétiques conducteurs (pas comme la ferrite donc) comme le fer, le champ magnétique variable transporté va créer des courants de Foucault qui correspondent à des pertes par effet Joule. Elles font partie des pertes fer. Afin de les minimiser on feuillette le matériau en empilant des tôles de moins d'1~mm d'épaisseur séparées par des couches isolantes.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{feui.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}


\section{Applications}

\subsection{Le modèle du transformateur parfait}

\livre J'intègre PSI p682 (c'est aussi fait dans celui de PCSI)


\paragraph{Hypothèses du transformateur parfait}

\begin{itemize}
    \item il n'y a aucune ligne de champ magnétique en dehors du matériau (toujours d'après l'analogie avec la résistance électrique)
    \item on rapelle que les matériaux étudiés sont supposés NON-linéaires (sinon pas d'aimantation permanente), homogènes et isotropes
    \item la perméabilité magnétique relative $\mu_{r}$ du ferro est supposée infinie d'où $\mu \longrightarrow \infty$ la résistance électrique des enroulements est nulle
\end{itemize}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.6\textwidth]{transfo.png}
    \caption{Schéma d'un transformateur - L'enroulement primaire de $n_{1}$ spires est relié à la source d'alimentation qui impose $u_{1} .$ L'enroulement secondaire est composé de $n_{2}$ spires. On note $\phi$ le flux du champ magnétique dans le matériau. Schéma tiré du fascicule de TP}
\end{figure}

\paragraph{}Par les lois des mailles et de Faraday, on a
$$
-u_{1}=e_{1}=-n_{1} \frac{d \phi}{d t} \text { et } u_{2}=e_{2}=n_{2} \frac{d \phi}{d t}
$$
d'où $\frac{u_{1}}{u_{2}}=\frac{n_{2}}{n_{1}}=m$ où l'on définit $m$ le rapport de transformation comme $m=\frac{n_{2}}{n_{1}}$

\paragraph{}Si on applique le théorème d'Ampère sur une ligne de champ magnétique à l'intérieur du ferro, on a
$$
\oint_{\mathcal{C}} \vec{H} \cdot \vec{d} l=n_{1} i_{1}-n_{2} i_{2}
$$

Or on a la relation $\vec{B}=\mu \vec{H}$, et la prise en compte d'un flux fini $\phi=\vec{B} \cdot \vec{S}$ implique un champ $B$ fini Avec $\mu \longrightarrow \infty$, on a alors $H \longrightarrow 0 .$ On en tire alors $n_{1} i_{1}=n_{2} i_{2}$ d'où $\frac{i_{2}}{i_{1}}=\frac{i_{1}}{i_{2}}=\frac{1}{m} .$ Ceci se déduit $\mathrm{du}$
théorème d'Ampère appliqué dans le matériau
$$
n_{1} i_{1}-n_{2} i_{2}=H l
$$

On vérifie alors facilement que $u_{1} i_{1}=u_{2} i_{2}$, toute la puissance est transmise du primaire au secondaire Un des intérêts de ce montage est de pouvoir modifier la tension à puissance fixée. Ainsi, à $m<1$. on a $u_{1}=m u_{2}<u_{2}$, on parle ici d'élévateur de tension et dans le cas contraire d'abaisseur de tension.


\experience{Mesure d'un rapport de transformation}{}{}{
Ou pas si on a la flemme.
}

\subsection{Stockage de l'information}

\livre Physique des objets du quotidien p100 mais surtout Trémolet p315 à 330

\paragraph{Principe} Un disque dur est constitué d’un ensemble de plateaux recouverts d’une couche ferromagnétique qui stocke les données sous forme binaire. Support d’enregistrement en ferro dur comme ça leur champ est difficilement modifié (on fait des aimants permanents) donc on conserve bien l’information.


\paragraph{Lecture/Écriture}
Initialement le matériau n'a été exposé à aucun champ magnétique donc l'aimantation est aléatoire dans le plateau, donc nulle en moyenne. Si on applique un champ magnétique, les domaine s'oriente selon le champ imposé, créant des zones d'aimantation uniforme. La tête d'écriture est composé d'un élément de fer doux enroulé dans un bobinage. Suivant le courant électrique qui traverse le bobinage, cette tête d'écriture modifie le champ magnétique local pour écrire soit un 1, soit un 0, à la surface du disque. Pour lire, le même matériel est utilisé, mais dans l’autre sens. Aucun courant n'est imposé dans le bobinage de la tête, c'est le mouvement du champ magnétique local qui engendre aux bornes de la tête un potentiel électrique qui dépend de la valeur précédemment écrite, on peut ainsi lire un 1 ou un 0. Il faut minimiser l’effet mémoire de la tête de lecture. On utilise donc un ferromagnétique doux.


\paragraph{}En fait, pour maximiser le stockage de données, chaque bit est codé sur une zone très petite et le courant induit est alors très faible donc une autre technique est utilisée pour la lecture : la magnétorésistance géante (Prix Nobel en 2007).

\transition{L'aimantation rémanente d'un matériau ferromagnétique permet de stocker de l'information, c'est le même principe qui permet d'étudier l'histoire du champ magnétique terrestre.}


\subsection{Paléomagnétisme}

\livre Trémolet tome 2 p397

\paragraph{Paléomagnétisme :} étude des variations du champ magnétique terrestre sur des échelles de temps allant de qques milliers d'années à qques milliards d'années. Le paléomagnétisme s'appuie sur l'étude de l'aimantation des roches magnétiques qui se sont déposées sur des couches sédimentaires à différentes époques, en gardant la trace de l'orientation et de l'amplitude du champ magnétique ambiant $\left(\mathrm{ODG}: 10^{-4} T\right)$.

Des roches de basalte, contenant de la magnétite $\left(F e_{3} O_{4}\right.$, matériau ferromagnétique), de forment à l'issue de la dérive des continents au fond des océans. La température de Curie de la magnétite étant de $580^{\circ} \mathrm{C}$, on a apparition du ferromagnétisme à température ambiante. Au contact de l'au des océans, la lave passe en dessou de sa température de Curie et les domaines vont s'orienter dans le sens du champ magnétique terrestre. On postule que l'aimantation est parallèle et de même sens que le champ magnétique terrestre 

\paragraph{}Ces observations peuvent être exploitées pour déterminer:
\begin{itemize}
    \item l'intensité et la direction du champ ;
    \item l'âge de la roche si on connait $B_{t e r}=f(t)$;
    \item le mouvement subi par la roche depuis l'instant $t_{0}$ et la direction de $B_{\text {ter }}\left(t_{0}\right)$.
\end{itemize}

\paragraph{}Comme il existe d'autres techniques de datation des roches, on peut remonter à l'historique des variations du champ magnétique terrestre! Ces résultats ont permis, entre autres, d'apporter dans les années 60 une preuve supplémentaires de la dérive des continents.



\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = \textwidth]{paleo.png}
\end{figure}
\paragraph{}\textbf{ODG}

Inversion du champ magnétique terrestre tous les 750000 ans environ, l'inversion en elle-même prendrait
$\sim 1000$ ans (les plus vieux planchers océaniques ont 180 Ma d'années).


\paragraph{}\textbf{Origine du champ magnétique terrestre} 
Le champ magnétique terrestre est produit par des effets dynamo au sein du noyau de fer liquide.

\section*{Conclusion}

Clairement une des applications passera en ouverture, on met celle qu'on veut.


\end{document}
