\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP48 -- Phénomènes de résonance dans différents domaines de la physique}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{Deleuze Julie}{Jocteur Tristan}



\subsection*{Niveau : jsp}



\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Physique tout-en-un première année}, \textbf{Sanz}\\
\textit{Mécanique PCSI-MPSI}, \textbf{Brasselet}\\
\textit{J’intègre PC}, \textbf{Sanz}\\
\url{http://bupdoc.udppc.asso.fr/consultation/article-bup.php?ID_fiche=14578}& BUP Corde de Melde\\
\textit{Mécanique}, \textbf{Landau}


\end{tabular}
% Vous avez vu cette commande badass pour ne pas mettre les footnotes dans les environements locaux ??

\tableofcontents
\pagebreak

\section*{Remarques sur les leçons précédentes}

\begin{itemize}
    \item \textbf{2015 :} Présenter l’exemple célèbre du pont de Tacoma n’est pas pertinent, sauf s’il s’agit d’effectuer une critique d’une interprétation erronée très répandue.
    \item \textbf{2010 :} L’analyse du seul circuit RLC est très insuffisante pour cette leçon. Le phénomène de résonance ne se limite pas aux oscillateurs à un degré de liberté.
    \item \textbf{2009 :} L’analyse du seul circuit RLC est très insuffisante pour cette leçon. 
    \item \textbf{2007,2008 :} Le jury regrette que les cavités résonantes soient rarement présentées. 
    \item \textbf{2006 :} L’aspect énergétique de la résonance est ignoré la plupart du temps. Trop sou- vent, la notion même de résonance n’est liée qu’à l’existence d’un maximum d’amplitude. Les applications dans le domaine microscopique sont rarement abordées
    \item \textbf{2003 :} La leçon porte sur l’étude de phénomènes de résonance dans différents domaines de la physique. Le candidat ne doit pas se limiter à l’électricité et à la mécanique. Il doit prendre soin de dégager les propriétés communes aux différents exemples présentés. Quel lien y a-t-il entre le circuit RLC et la résonance du sodium ? Titre jusqu’en 2001 : Phénomènes de résonance dans les systèmes linéaires. Exemples. 
    \item \textbf{1998 :} Il est bien entendu nécessaire d’insister sur la généralité du phénomène de résonance en physique et de ne pas cantonner l’exposé à un domaine unique (mécanique ou électricité). Les relations entre le comportement des systèmes forcés et les propriétés des mêmes systèmes, libres, doivent être soulignées, de même que les aspects énergétiques des phénomènes de résonance.
\end{itemize}

Ben c tout le temps pareil Jamy à part la dernière partie où c freestyle mais nous on va faire oscillations paramétriques (cf camille pour cette partie). Voir les Cléments ou Corentin pour le début.


\section{Étude du circuit RLC}

\subsection{Étude de l'intensité}
\livre Sanz p352 2e édition

\paragraph{}Nous allons considérer le circuit RLC suivant :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{RLCi.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

En appliquant la loi des mailles à ce circuit on a :

\begin{equation}
e=L \frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{~d} t}+R i+u_{C}
\end{equation}

Si on dérive et que l'on utilise la relation entre tension et courant pour le condensateur on obtient finalement :

\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}^{2} i}{\mathrm{~d} t^{2}}+\frac{R}{L} \frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{~d} t}+\frac{i}{L C}=\frac{1}{L} \frac{\mathrm{d} e}{\mathrm{dt}}
\end{equation}

On a alors une équation du second ordre sur le courant dans le circuit. La solution générale dans le cas d'une excitation sinusoïdale est la somme d'une solution de régime libre et d'un régime sinusoïdalement forcé. On s'intéressera ici seulement au régime permanent en oubliant le régime transitoire. On va alors chercher des solution sous la forme d'exponentielles complexes :

\begin{equation}
    i(t) = \underline{i}\exp{j\omega t}
\end{equation}

On obtient alors :

\begin{equation}
(j \omega)^{2} \underline{i}+\frac{R}{L} j \omega i+\frac{i}{L C}=\frac{1}{L} j \omega \underline{e} \quad \text { soit } \quad \underline{i}=\frac{\underline{e}}{R+j\left(L \omega-\frac{1}{C \omega}\right)}
\end{equation}

Si l'on pose :

\begin{equation}
    Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}
    ~~~~~~~~~~~~~
    \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}
\end{equation}

on a alors :

\begin{equation}
\underline{i}=\frac{\underline{e}}{R\left(1+j Q\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}-\frac{\omega_{0}}{\omega}\right)\right)}
\end{equation}

L'amplitude est le module de l'intensité complexe soit:
$$
I=|i|=\frac{E}{\sqrt{R^{2}+\left(L \omega-\frac{1}{C \omega}\right)^{2}}}=\frac{E}{R \sqrt{1+Q^{2}\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}-\frac{\omega_{0}}{\omega}\right)^{2}}}
$$
en notant $E$ l'amplitude de la tension sinusoidale imposée $e(t)$. On obtient alors l'évolution suivante du courant en fonction de la fréquence du forçage sinusoïdal :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{resoi.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

L'amplitude du courant traversant le circuit est donc maximale pour $\omega = \omega_0$. On dit alors que c'est une grandeur résonante.

\manip{\textbf{Résonance}
\paragraph{}Pour un système excité sinusoïdalement, une grandeur est en résonance lorsque son amplitude est maximale pour une certaine pulsation.
}

Ici on a résonance en courant à la pulsation $\omega_0$ et ce indépendemment du facteur de qualité Q.

\experience{Vérification expérimentale de la résonance en courant}{}{}{
On câble un RLC. On cherche la résonance en courant. On compare à al valeur théorique.
}

Toutefois, selon le facteur de qualité, l'allure de la résonance n'est pas toujours la même. On observe que plus le facteur de qualité est grand plus la résonance en courant est piquée.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{resoQ.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

On peut qualifier ce comportement en calculant la bande passante à -3~dB. Celle-ci correspond à la plage de fréquences pour laquelle on vérifie :

\begin{equation}
|\underline{i}(\omega)| \geqslant \frac{i_{\max }}{\sqrt{2}}
\end{equation}

Faisons le calcul. On cherche donc les pulsations $\omega$ telles que:
$$
\frac{E}{R \sqrt{1+Q^{2}\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}-\frac{\omega_{0}}{\omega}\right)^{2}}} \geqslant \frac{E}{\sqrt{2} R}
$$
soit:
$$
\begin{aligned}
& 1+Q^{2}\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}-\frac{\omega_{0}}{\omega}\right)^{2} \leqslant 2 \\
\Leftrightarrow & Q^{2}\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}-\frac{\omega_{0}}{\omega}\right)^{2}-1 \leqslant 0 \\
\Leftrightarrow &\left(Q\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)-\omega_{0} \omega\right)\left(Q\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)+\omega_{0} \omega\right) \leqslant 0
\end{aligned}
$$

D'après l'allure de la courbe $I(\omega)$, il suffit de chercher les pulsations $\omega_{1}$ et $\omega_{2}\left(>\omega_{1}\right)$ pour lesquelles l'égalité est satisfaite. La bande passante sera $\left[\omega_{1}, \omega_{2}\right] .$ On résout tout d'abord:
$$
Q \omega^{2}-\omega_{0} \omega-Q \omega_{0}^{2}=0
$$
Le discriminant vaut : $\Delta=\omega_{0}^{2}+4 Q^{2} \omega_{0}^{2}>0$, on a donc deux solutions réelles:
$$
\omega_{1,1}=\frac{\omega_{0}-\omega_{0} \sqrt{1+4 Q^{2}}}{2 Q} \quad \text { et } \quad \omega_{1,2}=\frac{\omega_{0}+\omega_{0} \sqrt{1+4 Q^{2}}}{2 Q}
$$
Seules les pulsations positives sont physiquement acceptables, on ne gardera donc que la solution $\omega_{1,2}=\omega_{1}$. Seules les pulsations positives sont physiquement acceptables, on ne gardera donc que la solution $\omega_{1,2}=\omega_{1}$.
De même, on résout :
$$
Q \omega^{2}+\omega_{0} \omega-Q \omega_{0}^{2}=0
$$
Les solutions de cette équation sont:
$$
\omega_{2,1}=\frac{-\omega_{0}-\omega_{0} \sqrt{1+4 Q^{2}}}{2 Q} \quad \text { et } \quad \omega_{2,2}=\frac{-\omega_{0}+\omega_{0} \sqrt{1+4 Q^{2}}}{2 Q}
$$
On ne garde que la solution positive $\omega_{2,2}=\omega_{2}$. Les limites de la bande passantes sont donc:
$$
\omega_{1}=\frac{-\omega_{0}+\omega_{0} \sqrt{1+4 Q^{2}}}{2 Q} \quad \text { et } \quad \omega_{2}=\frac{\omega_{0}+\omega_{0} \sqrt{1+4 Q^{2}}}{2 Q}
$$
La largeur de la bande passante est alors donnée par :
$$
\Delta \omega=\omega_{2}-\omega_{1}=\frac{\omega_{0}}{Q}=\frac{L}{R}
$$
On a alors finalement :

\begin{equation}
    Q = \frac{\omega_0}{\Delta\omega}
\end{equation}

On retrouve alors bien le fait que la résonance est d'autant plus piquée que le facteur de qualité est grand. On dit que la résonance est aiguë si la bande passante est faible et qu'elle est floue dans le cas inverse. On parle d'acuité de la résonance.

\paragraph{}On a étudié ici la résonance en courant du circuit mais on aurait aussi pu étudier la résonance d'autres grandeurs comme la tension aux bornes du condensateur et de la bobine. Dans ces cas là les calculs sont très similaires mais on a des résultats légèrement différents. Notamment, les pulsations de résonance ne correspondent pas exactement à la fréquence propre du circuit et la résonance n'est observée qu'à partir d'une certaine valeur du facteur de qualité.


\transition{La résonance d'une grandeur équivaut-elle à un transfert maximal de puissance, grandeur réellement pertinente pour transmettre un signal.}

\subsection{Étude énergétique}

\livre Sanz 1ere année p370, Brasselet p 120 

\paragraph{}Dans notre circuit, la puissance totale $e(t) i$ vaut:
$$
P_{G}=e(t) i=R i^{2}+\frac{d}{d t}\left(\frac{1}{2} L i^{2}\right)+\frac{d}{d t}\left(\frac{1}{2} C u_{c}^{2}\right)=P_{J}+P_{M}+P_{E}
$$
Comme nous nous situons dans un cas où nous somme en régime sinusoidale forcé, la moyenne de cette égalité sur un nombre entier de périodes donne (intensité et courant en quadrature de phase pour la bobine et le condensateur) :
$$
\left\langle P_{G}\right\rangle=\left\langle P_{J}\right\rangle
$$
Donc toute la puissance fournie par le générateur est dissipée par effet Joule. Or $R i^{2}=R i i *=R I^{2}$ donc:
$$
\left\langle P_{G}\right\rangle=\frac{E^{2}}{R} \frac{1}{1+Q^{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}}
$$
Cette fonction a donc un maximum en $x=1$. On dit donc que notre système résonne à $\omega=\omega_{0}$.

\manip{\textbf{Résonance d'un système}

\paragraph{}Un système excité sinusoïdalement est dit en résonance lorsque le transfert de puissance entre le générateur est l'oscillateur est maximal pour une certaine pulsation.

}

On peut montrer encore une fois que pour cette résonance du système on a la même bande passante que pour la résonance en courant.

\subsection{Analogie électromécanique}
\livre Sanz 1ere anneé p 388

\paragraph{}On peut développer une analogie entre le système masse-ressort présenté en introduction et le circuit RLC étudié ici :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{anal.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

Les deux systèmes résonnent à leur fréquence propre. La notion de résonance est transversale de par sa définition.

\transition{Dans cette partie, on a étudié en longueur la phénoménologie de la résonance à partir d’un exemple canonique. Ainsi, une résonance est caractérisée par deux paramètres : la fréquence de résonance et le facteur de qualité. La fréquence de résonance est la fréquence pour laquelle la réponse est la plus grande, c’est elle qui permet le maximum de transfert d’énergie du forçage vers l’oscillateur. Le facteur de qualité caractérise l’acuité de la résonance, c’est à dire le facteur d’amplification et la finesse de celle-ci. L’amplitude à la résonance est dictée par la dissipation du système : On a un transfert d’énergie qui est maximal, donc l’amplitude va augmenter jusqu’à ce que la dissipation soit assez forte pour compenser l’apport en énergie.
Pour l’instant, on a étudié un système canonique a une dimension. On peut se demander ce qu’il se passe lorsque l’on passe à lorsqu’il y a une infinité d’oscillateurs couplés, c’est le cas des cavité résonantes.}

\section{La cavite résonante, un oscillateur à une infinité de degrés de liberté}

\subsection{Oscillateurs couplés}

\livre lien unisciel

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.5\textwidth]{masseressort.png}
\end{figure}


\paragraph{}On écrit le principe fondamental de la dynamique pour la masse 1 puis pour la masse 2 et on a alors :

\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l}
m \frac{\mathrm{d}^{2} x_{1}}{\mathrm{~d} t^{2}}=-k x_{1}+k^{\prime}\left(x_{2}-x_{1}\right) \\
m \frac{\mathrm{d}^{2} x_{2}}{\mathrm{~d} t^{2}}=-k x_{2}+k^{\prime}\left(x_{1}-x_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation}

Les équations ne semblent alors pas aussi évidentes que dans le cas de l'oscillateur harmonique seul, on a ici deux coordonnées dont les évolutions temporelles sont interdépendantes : c'est le principe du couplage. Ce couplage reste toutefois ici linéaire (on a pas de produit $x_1x_2$) on va donc pouvoir s'en sortir !



\paragraph{}Vous avez déjà vu qu'une astuce courante pour découpler un système de deux équations peut être d'étudier les équations régissant la somme $s$ et la différence $d$ des deux fonctions. On a ici alors :

\begin{equation}
    m\frac{d^2s}{dt^2} = -ks
    ~~~~~~~~~~~~~
    m\frac{d^2d}{dt^2} = -(k+2k')d
\end{equation}

qui sont des équations d'oscillateurs harmoniques de pulsations $\omega_s = \sqrt{\frac{k}{m}}$ et $\omega_d=\sqrt{\frac{k+2k'}{m}}$ que l'on sait parfaitement résoudre. On a alors :

\begin{equation}
    s(t) = A_s\cos(\omega_st + \phi_s)
    ~~~~~~~~~~~~
    d(t) = A_d\cos(\omega_dt + \phi_d)
\end{equation}

et donc en repassant au système de coordonnées initial :

\begin{equation}
    x_1(t) = \frac{A_s}{2}\cos(\omega_st + \phi_s) + \frac{A_d}{2}\cos(\omega_dt + \phi_d)
\end{equation}

\begin{equation}
    x_2(t) = \frac{A_s}{2}\cos(\omega_st + \phi_s) - \frac{A_d}{2}\cos(\omega_dt + \phi_d)
\end{equation}

$\omega_s$ et $\omega_d$ sont les \textbf{modes propres} du système, c'est à dire les solutions de l'équation du mouvement qui respectent les conditions aux limites.


On revient aux oscillateurs couplés de translation et on suppose qu'une force $F_{m} \cos \omega t$ est appliquée sur la masse $1 .$ Les nouvelles équations du mouvement sont:
$$
\begin{array}{l}
m_{1} \ddot{x}_{1}=-k_{1} x_{1}+k_{2}\left(-x_{1}+x_{2}\right)+F_{m} \cos \omega t \\
m_{2} \ddot{x}_{2}=-k_{1} x_{2}-k_{2}\left(-x_{1}+x_{2}\right)
\end{array}
$$
La solution de ce système est, une fois le régime transitoire disparu, une solution harmonique forcée de pulsation $\omega .$ En se plaçant en notation complexe:

$$
\underline{x}_{1}=X_{1 m} e^{j \varphi_{1}} e^{j \omega x} \quad \text { et } \quad \underline{x}_{2}=X_{2 m} e^{j \varphi_{2}} e^{j \omega x}
$$
Il vient :
$$
\begin{array}{l}
m_{1}\left(-\omega^{2} \underline{x}_{1}\right)=-k_{1} \underline{x}_{1}+k_{2}\left(-\underline{x}_{1}+\underline{x}_{2}\right)+F_{m} e^{j \omega x} \\
m_{2}\left(-\omega^{2} \underline{x}_{2}\right)=-k_{1} \underline{x}_{2}-k_{2}\left(-\underline{x}_{1}+\underline{x}_{2}\right)
\end{array}
$$
Après calculs:
$$
\underline{x}_{1}=\frac{\left(k_{1}+k_{2}-m \omega^{2}\right) F_{m}}{\left(k_{1}+k_{2}-m \omega^{2}\right)^{2}-k_{2}^{2}} e^{j \omega x} \quad ; \quad \underline{x}_{2}=\frac{k_{2} F_{m}}{\left(k_{1}+k_{2}-m \omega^{2}\right)^{2}-k_{2}^{2}} e^{j \omega x}
$$


On trace les amplitudes maximales de $\mathrm{x}_{1}(\mathrm{t})$ et de $\mathrm{x}_{2}(\mathrm{t})$ en fonction de la pulsation de l'excitateur, :
$$
X_{1 m}=\left|\frac{\left(k_{1}+k_{2}-m \omega^{2}\right) F_{m}}{\left(k_{1}+k_{2}-m \omega^{2}\right)^{2}-k_{2}^{2}}\right| \quad ; \quad X_{2 m}=\left|\frac{k_{2} F_{m}}{\left(k_{1}+k_{2}-m \omega^{2}\right)^{2}-k_{2}^{2}}\right|
$$

On remarque qu'il y a résonances pour:

$$
\begin{array}{l}
\left(k_{1}+k_{2}-m \omega^{2}\right)^{2}-k_{2}^{2}=0 \quad \text { soit } \quad \\\omega=\omega_{1}=\sqrt{\frac{k_{1}}{m}} \quad \text { ou } \quad \omega=\omega_{2}=\sqrt{\frac{k_{1}+2 k_{2}}{m}}
\end{array}
$$


Ainsi, en l'absence de frottements, un système d'oscillateurs couplés entre en résonance lorsque la pulsation de l'excitateur est égale à l'une des pulsations propres du système couplé. 

On a ici un système à deux degrés de liberté caractérisé par deux pulsations de résonance, coïncidence ? Non, ceci est généralisable : un système à N degrés de liberté possède N pulsations de résonance. En particulier, un système continu possède une infinité de degrés de liberté et donc une infinité de pulsations de résonance.

\subsection{La corde de Melde}

\livre Sanz PC Chap.25, BUP

\paragraph{}L'expérience de la corde de Melde est vue comme un milieu dans laquelle se propage une onde, et on impose à cette onde des conditions aux limites qui marquent sa quantification. En prenant une corde sans dissipation et attachée à ses deux bouts, on obtient alors les modes propres de la corde de fréquences $\nu_{n}=n \frac{c}{2 I}$ avec $\mathrm{L}$ longueur de la corde et $c=\sqrt{\frac{T}{\mu}}$ la vitesse de propagation. corde est lié aux deux qui l'entourent. On a donc un couplage linéaire entre une infinité d'oscillateur donc une infinité de modes propres. La corde est vue comme un oscillateur avec un nombre infini de degrés de liberté

\paragraph{}On excite la corde avec un pot vibrant, d'amplitude $\underline{a}$, on envoie donc une onde (plane progressive harmonique) qui se propage dans la corde par l'équation de D'Alembert, sans atténuation, sans dispersion, le déphasage en fonction de la position $\mathrm{x}$ due à la propagation est : $\phi_{x}=\frac{2 \pi}{\lambda} x .$ Il y a ensuite réflexion propagation de $\frac{2 \pi}{\lambda}(L-x)=\phi-\phi_{x}$ sur l'interface en $\mathrm{L}$, avec un coefficient $\mathrm{R}$ et un déphasage de $(-1) .$ On a ensuite un déphasage de $\phi-\phi_{x} .$ Il $\mathrm{y}$ a alors un déphasage de propagation de $\phi_{x}$ une réflexion de coefficient $-\mathrm{R}$ ' et propagation de $\phi_{x} .$ Donc si on regarde l'amplitude $\underline{y}(M):$
$$
\begin{aligned}
\underline{y}(M) &=\underline{a} e^{i \phi_{x}}-\underline{a} e^{i \phi_{x}} e^{i\left(\phi-\phi_{x}\right)} R e^{i\left(\phi-\phi_{x}\right)}+\underline{a} e^{i \phi_{x}} e^{i\left(\phi-\phi_{x}\right)} R e^{i\left(\phi-\phi_{x}\right)} e^{i \phi_{x}} R^{\prime} e^{i \phi_{x}}-\\
&=\underline{a} e^{i \phi_{x}}\left(1-R e^{2 i\left(\phi-\phi_{x}\right)}+R R^{\prime} e^{2 i \phi}-R^{2} R^{\prime} e^{2 i \phi} e^{2 i\left(\phi-\phi_{x}\right)}+R^{2} R^{2} e^{4 i \phi}+\ldots\right) \\
&=\underline{a} e^{i \phi_{x}}\left(\sum_{n} R^{n} R^{\prime n} e^{2 n i \phi}-R^{n+1} R^{\prime n} e^{2 n i \phi} e^{2 i\left(\phi-\phi_{x}\right)}\right) \\
&=\underline{a} e^{i \phi_{x}}\left(\sum_{n}\left(R R^{\prime} e^{2 i \phi}\right)^{n}-R e^{2 i\left(\phi-\phi_{x}\right)} \sum_{n}\left(R R^{\prime} e^{2 i \phi}\right)^{n}\right) \\
&=\underline{a} e^{i \phi_{x}}\left(1-R e^{2 i\left(\phi-\phi_{x}\right)}\right) \frac{1}{1-R R^{\prime} e^{2 i \phi}}
\end{aligned}
$$

On a alors une amplitude
$$
A^{2}=\|\underline{y}\|^{2}=a^{2} \frac{(1-R)^{2}+a R \sin ^{2}\left(\phi-\phi_{x}\right)}{\left(1-R R^{\prime}\right)^{2}+4 R R^{\prime} \sin ^{2}(\phi)}
$$
\paragraph{}On obtient ainsi la valeur de l'amplitude de vibration à n'importe quelle position de la corde quelle que soit la pulsation d'excitation. On trouve les noeuds pour $\phi-\phi_{x}=p \pi$ et les ventres pour $\phi-\phi_{x}=(2 p+1) \frac{\pi}{2}$, et on a ainsi les amplitudes maximales :
$$
A_{\text {ventre }}^{2}=a^{2} \frac{(1+R)^{2}}{\left(1-R R^{\prime}\right)^{2}+4 R R^{\prime} \sin ^{2}(\phi)}
$$
\paragraph{}On a donc résonance pour $\sin \phi=0$, soit $L=n \lambda_{n}=n \frac{c}{\nu_{n}}$. On trouve donc que dans ce cas, les fréquences de résonances sont les fréquences propres (on a négligé la dissipation). On voit que dans le cas où on néglige la dissipation, c'est la perte par transmission qui limite l'amplitude de la résonance On peut aussi définir le facteur de qualité (\livre BUP) $Q=\frac{n \pi \sqrt{R R^{\prime}}}{1-R R^{\prime}} .$ 

\paragraph{}On peut en tirer les conclusions que $\mathrm{Q}$ est d'autant plus grand que : 

\begin{itemize}
    \item RR' est voisin de 1 (c'est une confirmation des idées générales sur les rapports entre atténuation et acuité de résonance);
    \item que $\mathrm{n}$ est élevé, c'est-à-dire que la corde est longue par rapport à $\lambda$.
\end{itemize} 



Montrer en calculant l'énergie qu'on a un transfert d'énergie maximal quand on excite les modes propres : les modes propres et les modes de résonance sont ici identiques (ce n'est plus le cas si on néglige la dissipation).

\subsection{Cavité de Fabry-Pérot}
\livre Houard p.235 Brébec p.96


\paragraph{}On peut ramener le Fabry-Pérot à deux miroirs parallèles l’un à l’autre de transmission t et de réflexion r. Le principe est le même, le forçage se fait par l’envoi d’une onde électromagnétique sur la cavité. L’onde va ensuite faire des aller-retour dans la cavité, et on obtient la même phénoménologie. 

\paragraph{}Pour simplifier les expressions, on considère que les miroirs sont dans le vide $n=1$, et que l'incidence est normale, d'amplitude $s_{i}$. Le déphasage entre deux rayons successifs est donc : $\Delta \Phi=2 k n l \cos \theta=2 k l$. Entre deux rayons successifs, on a donc la relation : $s_{m+1}=\left(r^{2}\right) s_{m-1} e^{j \Delta \Phi}$ D'où : $s_{m}=t^{2}\left(r^{2} e^{j \Delta \Phi}\right)^{m} s_{i}$ L'amplitude sortante est donc :
$$
s_{t}=\sum_{m=0}^{+\infty} s_{m}=s_{i} t^{2} \sum_{m=0}^{+\infty}\left(r^{2} e^{j \Delta \Phi}\right)^{m}=\frac{s_{i} t^{2}}{1-r^{2} e^{j} \Delta \Phi}
$$
donc l'intensité en sortie de la cavité est:
$$
I_{t}=\left|s_{t}\right|^{2}=I_{i} \frac{(1-R)^{2}}{1+R^{2}-2 R \cos \Delta \Phi}
$$
où $R=r^{2}$ et $T=1-R=t^{2}$ (ok car vide). Donc la transmittance de la cavité est:

$$
T=\frac{I_{t}}{I_{i}}=\frac{1}{1+\frac{4 R}{(1-R)^{2}} \sin ^{2} k l}
$$
Plutôt que le facteur de qualité, pour une cavité résonnante on définit la finesse $\mathcal{F}=\frac{\Delta \phi}{\delta \Phi}$, qui est le rapport de l'écart entre deux pics $(2 \pi)$ et la largeur à mi-hauteur de ces pics. Un développement limité autour d'un pic $\Phi=2 p \pi+\epsilon: I \simeq \frac{I_{0}}{1+\frac{M \epsilon^{2}}{4}}$ soit $\delta \Phi=\frac{4}{\sqrt{M}}$ et donc
$$
\mathcal{F}=\frac{\pi \sqrt{M}}{2}=\frac{\pi \sqrt{R}}{1-R}
$$
$\mathrm{OdG}:$ Pour $\mathrm{R}=0.8, \mathrm{~F}=14$, et pour $\mathrm{R}=0.99, \mathrm{~F}=313 .$ Une faible augmentation de $\mathrm{R}$ permet ainsi un fort gain en finesse. 

En sortie, on obtient donc seulement les pulsations résonantes de la cavité. Si on envoie un rayon incliné, il ressortira pour chaque angle la où les pulsations sont résonantes. Cela permet de séparer le doublet du sodium par exemple.

On notera que la finesse des meilleures cavités Fabry-Pérot est actuellement de l'ordre de 100000.

\transition{Pour faire apparaître une résonance, il est possible de faire varier les caractéristiques du système plutôt que la fréquence d'excitation : ce sont les oscillation paramétriques}

\section{Résonance paramétrique}

\livre BUP 661, Landau, MP31, Landau
\url{http://www.agregation-physique.org/images/annales/2019/cps2019.pdf}\\
\url{http://www.agregation-physique.org/images/annales/2019/cpc2019.pdf}
\subsection{Présentation du phénomène}

\paragraph{}On appelle résonance paramétrique le processus qui consiste à agir périodiquement sur l'un au moins des paramètres qui déterminent la fréquence propre d'un oscillateur, pour engendrer puis entretenir des oscillations dont il est le siège. C'est un phénomène notamment exploité avec l'encensoir de Saint Jacques de Compostelle, qu'on peut approximer par un pendule simple. 
\url{https://www.youtube.com/watch?v=Xb_uJMvwgxE}


\paragraph{}La corde, dont une extrémité est nouée à l’encensoir, s’enroule d’abord autour d'un tambour et redescend vers le sol. Quand l’encensoir et la corde passent par la position verticale, les hommes tirent sur la corde qui  soulève ainsi l’encensoir d’environ trois mètres. Les tireurs relâchent la même longueur de corde lorsque l’encensoir atteint le point d’amplitude maximale. En variant la longueur de la corde à laquelle est pendu l'encensoir, les tireurs augmentent l'énergie mécanique du pendule, comme un enfant sur une balançoire qui s'accroupit et se relève cycliquement pour se balancer plus fort. Cette amplification, qui consiste à faire varier un paramètre d'un oscillateur, s'appelle amplification paramétrique. Dans le cas de l'encensoir, lorsque la longueur de la corde varie, la tension de la corde exerce un travail; le travail est positif et augmente l'énergie quand la corde est raccourcie, négatif dans le cas contraire. L'énergie fournie au pendule au cours d'une période d'allongement/raccourcissement correspond au bilan du travail de la tension au cours de ces deux mouvements. 




\subsection{Naissance des oscillations}

\paragraph{}
Un modèle considère que l'action des tireurs a pour effet de faire varier quasi-sinusoidalement la distance entre l'extrémité O du pendule et le point fixe A, point lié à la cathédrale dont le référentiel sera considéré galiléen. Dans ce modèle la longueur OM est constante et sera notée $l$. On néglige encore le poids de la corde et la masse du point $\mathrm{M}$ est celle, notée $m$, de l'encensoir. Le modèle est représenté sur la figure $8 .$ On notera, en utilisant le vecteur unitaire $\vec{e}_{z}: \overrightarrow{\mathrm{AO}}=z_{\mathrm{O}}(t) \vec{e}_{z}=a \cos \left(\omega_{f} t\right) \vec{e}_{z}$

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.5\textwidth]{ensensoir.png}
\end{figure}

\paragraph{}On peut écrire le théorème du moment cinétique pour l'encensoir dans le référentiel non galiléen, d'origine $\mathrm{O}$ en translation par rapport au référentiel de la cathédrale. Cela suppose alors de considérer en plus du poids $\overrightarrow{\mathrm{P}}$ et de la tension du fil $\overrightarrow{\mathrm{T}}$, la force d'inertie d'entraînement appliquée au point $\mathrm{M}$ qui s'exprime ici $\vec{f}_{\mathrm{ie}}=-m \vec{a}(\mathrm{O})=-m \ddot{z}(\mathrm{O}) \vec{e}_{z}=+m \omega^{2} a \cos \left(\omega_{f} t\right) \vec{e}_{z} .$ On applique le théorème $\mathrm{du}$
moment cinétique dans ce référentiel en calculant les moments en O soit:
$$
\frac{\mathrm{d} \vec{\sigma}_{0}}{\mathrm{~d} t}=\overrightarrow{\mathrm{OM}} \wedge\left(\overrightarrow{\mathrm{P}}+\overrightarrow{\mathrm{T}}+\vec{f}_{\mathrm{ie}}\right)
$$
avec $\vec{\sigma}_{0}=\overrightarrow{\mathrm{OM}} \wedge m \vec{v}$ où $\vec{v}$ est la vitesse de $\mathrm{M}$ dans le référentiel soit $\vec{v}=l \dot{\theta} \vec{e}_{\theta} .$ On obtient, en remarquant que le moment de la tension est nul,
$$
m l^{2} \ddot{\theta} \vec{e}_{y}=-m g l \sin \theta \vec{e}_{y}-m l a \omega_{f}^{2} \cos \left(\omega_{f} t\right) \sin \theta \vec{e}_{y}
$$
soit
$$
\ddot{\theta}+\frac{g}{l}\left(1+\frac{a \omega_{f}^{2}}{g} \cos \left(\omega_{f} t\right)\right) \sin \theta=0
$$
ce qui est le résultat demandé avec $\omega_{0}^{2}=\frac{g}{l}$ et $h=\frac{a \omega_{f}^{2}}{g}$. Pour un pendule simple la solution $\theta=0$ correspond à une position d'équilibre stable. On va étudien dans la suite la modification éventuelle de cette stabilité consécutive à la présence d'un facteur dépendant du temps dans l'équation différentielle régissant l'évolution de $\theta$. On s'intéresse donc aux mouvements de faible
amplitude autour de $\theta=0 .$ On écrit dans ces conditions $\sin \theta \simeq \theta$ pour obtenir l'équation de Mathieu:
$$
\ddot{\theta}+\omega_{0}^{2}\left(1+h \cos \left(\omega_{f} t\right)\right) \theta=0
$$

La théorie de Floquet des équations linéaires à coefficients périodiques montre que les solutions de l'équation de la forme approchée de l'équation sont du type
$$
\theta(t)=e^{\mu \omega_{0} t} \cdot \mathrm{F}(t)
$$
où $\mu$ est une constante et $\mathrm{F}(t)$ est une fonction périodique de pulsation $\frac{\omega_{f}}{2} .$ Pour un coefficient $h \mathrm{nul}$, la solution de l'équation d'évolution de $\theta$ est du type $\theta_{0} \cos \left(\omega_{0} t+\varphi_{0}\right) .$ On utilise ici un calcul de perturbations pour $h \ll 1$ tout en respectant la théorie de Floquet en cherchant une solution de la forme
$$
\theta(t)=\theta_{1} e^{\mu \omega_{0} t} \cos \left(\frac{\omega_{f}}{2} t+\varphi\right)
$$
En injectant cette solution dans l'équation obtenue on obtient
$$
\mu^{4}+2 \mu^{2}\left(1+\mathrm{U}^{2}\right)+\left(\mathrm{U}^{2}-1\right)^{2}-\frac{h^{2}}{4}=0 \quad \text { en posant } \quad \mathrm{U}=\frac{\omega_{f}}{2 \omega_{0}}$$

\paragraph{}L'instabilité apparait quand l'amplitude de $\theta(t)$ est croissante donc dès que $\mu>0$ est une racine possible de l'équation bicarrée précédente. On constate sur cette équation bicarrée que la somme des racines $\left(\right.$ en $\left.\mu^{2}\right)$ de cette équation est négative alors que le produit des racines vaut $\left(\mathrm{U}^{2}-1\right)^{2}-\frac{h^{2}}{4}$. Si ce produit est positif, la somme des racines étant négatives, les deux racines $\mu_{1}^{2}$ et $\mu_{2}^{2}$ seront négatives donnant des valeurs de $\mu$ imaginaires pures qui ne conduiront pas à une instabilité, l'amplitude restant alors bornée. Le risque provient d'un produit de racines négatif. Alors les deux racines seront de signe opposé et il existera une racine telle que $\mu^{2}>0$ qui peut donner une valeur réelle positive pour $\mu$ conduisant à l'instabilité. Cette instabilité peut donc apparaitre lorsque ce produit de racines est négatif soit pour
$$
h^{2}>h_{c}^{2}=4\left(\mathrm{U}^{2}-1\right)^{2}
$$


\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.6\textwidth]{courbe_1.png}
    \caption{Courbe $h_{c}=2\left|\mathrm{U}^{2}-1\right|$}
\end{figure}

Avec $h=\frac{a \omega_{f}^{2}}{g}$, on relie l'amplitude de l'excitation $a$ au paramètre $h$. On constate sur le diagramme précédent que pour des valeurs de $\omega_{f}$ proches de $2 \omega_{0}$ (c'est à dire U proche de 1), il suffit d'une petite valeur de $h$ (donc de $a$ ) pour atteindre le domaine instable et donc déclencher l'instabilité. Par contre quand $\omega_{f}$ s'éloigne de $2 \omega_{0}$ alors il faut une amplitude d'excitation de plus en plus importante pour déclencher l'instabilité. On remarque aussi qu'avec ce modèle, pour $\omega_{f}=2 \omega_{0}(\mathrm{U}=1)$, l'instabilité prend naissance pour toute excitation d'amplitude non nulle aussi faible soit-elle. Il s'agit bien d'un phénomène de résonance de l'amplitude des oscillations, à la fréquence $2\omega_0$.

\experience{Résonance paramétrique d'un pendule}{MP31}{}{}
\end{document}