\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP49 - Oscillateurs, portraits de phase et non linéarités}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{Deleuze Julie}{Jocteur Tristan}

\subsection*{Niveau : L3}

\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Électronique expérimentale}, \textbf{Krob} &$\longrightarrow$ pour tous les aspects électroniques du VdP \\
\textit{BUP 774 \url{http://bupdoc.udppc.asso.fr/consultation/article-bup.php?ID_fiche=3036}},  &$\longrightarrow$ pour la construction du modèle de VdP.\\
\textit{Cours de Physique non-linéaire}, \textbf{Thierry Dauxois} &$\longrightarrow$ pour les études énergétiques et les études des différents régimes du VdP \\

\end{tabular}
% Vous avez vu cette commande badass pour ne pas mettre les footnotes dans les environements locaux ??

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}



\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Transformation quasi-statique
  \item Mécanique du point, Théorème de König
  \item Modèle cinétique du gaz parfait
  \item Grandeurs extensives et additives
\end{itemize}
\end{minipage}


\tableofcontents
\pagebreak



\section*{Remarques sur les leçons précédentes}

Bon après réflexion, même si c'est stylé et que ça peut donner des études de systèmes intéressants, pour une leçon de 40~min je pense que c'est mieux d'oublier l'analyse de stabilité linéaire (pts fixes, jacobienne, etc). L'étude de Van der Pol est tout aussi bien sans ça, et ça n'a pas d'intérêt particulier pour le pendule. Ca fait plus de temps pour bien expliquer le reste. C'est mon avis il vaut ce qu'il vaut. La leçon de Pascal est giga détaillée ça peut être utile si on sait pas trop quoi mettre dans les parties. \url{https://arah.fr/hroussille/agregation/Plans/plans_lecon_physique.pdf} est bien dans l'idée de la structure. Mais sinon toutes les leçons sont bonnes pour aller piocher dedans.

\section{Introduction}

Définition de linéaire. Y'a mille exemples d'intérêt. Dans l'actu : tous les modèles épidémio sont NL.

\textbf{Grosse question c on fait quoi comme manip ? Globalement quasi tout le monde fait le VdP IRL (sauf pascal). Par contre tout le monde ne fait pas le pendule. Perso je trouve ça dommage de pas l'utiliser une seule fois alors que c'est maxi-simple à automatiser comme acquisition un PdP qualitatif et ça montre qu'on gg un peu. Juste le faire pour un truc (par ex le cas linéaire) et après on fait le reste sur code}

\section{Vers le monde non-linéaire : le pendule simple}

\subsection{Portrait de phase linéaire}

\textit{On fait une démo énergétique ici car le raisonnement énergétique nous suit après, bonne idée de Camille}

\paragraph{}Nous allons tout d'abord nous intéresser au pendule simple. Considérons une masse $m$ plongé dans le champ de pesanteur terrestre, attachée à un point O par un fil de masse négligeable et de longueur $l$. On repère la position de la masse par l'angle à la verticale $\theta$ (Dessin au tableau). 

\paragraph{}L'énergie cinétique du pendule est celle d'un mouvement circulaire de rayon $l$ :

\begin{equation}
    E_c = \frac{1}{2}l\dot{\theta}^2
\end{equation}

La seule énergie potentielle mise en jeu est l'énergie potentielle de pesanteur qu'on prend nul lorsque le pendule est au repos :

\begin{equation}
    E_p = mgl(1-\cos{\theta})
\end{equation}

\paragraph{}En négligeant les frottements on applique donc le théorème de l'énergie mécanique :

\begin{equation}
    \frac{dE}{dt} = 0
\end{equation}

\begin{equation}
    \ddot{\theta} + \frac{g}{l}\sin{\theta} = 0
\end{equation}

\paragraph{}Cette équation différentielle est non linéaire. En l'état elle n'est pas solvable analytiquement. Toutefois si on fait l'approximation des petits angles on peut la linéariser et on obtient alors l'équation bien connu de l'oscillateur harmonique :

\begin{equation}
    \ddot{\theta} + \omega_0^2\theta = 0
\end{equation}

\paragraph{}Cette équation, vous savez la résoudre les yeux fermés et en tirer les équations horaires. Toutefois, je vous propose d'analyser le comportement de ce système d'une manière différente : en traçant son portrait de phase.

\paragraph{}En fait, à chaque instant le système est entièrement caractérisé par sa position déduite de $\theta$ et sa vitesse déduite de $\dot{\theta}$. A chaque état on peut donc associer un point dans un repère $(\dot{\theta},\theta)$ appelé \textbf{plan de phase}. On peut alors représenter l'évolution d'un état au cours du temps en démarrant d'une certains condition initiale, il décrit alors une trajectoire appelée \textbf{trajectoire de phase}. L'ensemble des trajectoires possibles est le \textbf{portrait de phase} du système, il décrit son comportement global. 

\manip{\textbf{Tracé d'une oscillation}
\paragraph{}On trace une ellipse aux petits angles en direct avec Latis Pro
}

\transition{Peut-on retrouver cette trajectoire théoriquement ?}

\paragraph{}Dans le cas du pendule simple modélisé par l'oscillateur harmonique, en multipliant l'équation différentielle par $\dot{\theta}$ puis en intégrant, on obtient :

\begin{equation}
    \frac{\dot{\theta}}{C_0} + \frac{\omega_0^2 \theta}{C_0} = 1
\end{equation}

avec $C_0$ une constante dépendant des conditions initiales.

\paragraph{}On obtient donc une équation d'ellipse dont les dimensions dépendent des conditions initiales, ce qui est bien notre résultat expérimental initial. Plus on lâche le pendule avec une grande amplitude, plus l'ellipse qu'il parcourra dans le plan de phase sera grande et allongée. Si l'on trace les trajectoires de phases pour différentes conditions initiales on obtient alors le graphe suivant : Dessiner au tableau les ellipses, on garde le programme Python pour le non-linéaire et le dissipé jponse.

\paragraph{}A partir de là on peut faire quelques remarques générales sur les propriétés d'un portrait de phase :

\begin{itemize}
    \item Trajectoire fermée = périodique
    \item Déterminisme et non croisement : par déterminisme physique, un système dans un état n'a qu'une seule manière d'évoluer donc deux trajectoires distinctes ne peuvent se croiser.
    \item Symétrie et réversibilité : la réversibilité du temps se traduit par $y\xrightarrow[]{}-y$ ce qui correspond à une symétrie par rapport à l'axe des abscisses, c'est le cas ici.
\end{itemize}

C'est finalement simplement un changement de représentation de solutions mais nous verrons plus tard son réel intérêt dans le cas des systèmes plus complexes. D'ailleurs notre étude elle est bien jolie là mais elle est pas vraiment réelle... on est toujours limité par les petits angles de par l'exigeance de linéarité. Mais en fait ce qui est chouette, c'est que l'étude par portrait de phase elle n'exige pas la linéarité !

\manip{\textbf{Tracé d'une oscillation, la revanche}
\paragraph{}On trace une ellipse aux grands angles (mollo l'asticot comeme) en direct avec Latis Pro
}

Comment expliquer cette déformation ? Eh bien on va faire pareil !

\subsection{Effet non-linéaire}

\textit{Je trouve que la multiplication puis intégration pour avoir l'intégrale première du mouvement est un peu superflue parce qu'on a déjà établie l'équation énergétique (plus comme ça on sait que la constante c'est E)}

\paragraph{}Si on reprend l'équation énergétique déterminée précédemment :

\begin{equation}
    \frac{1}{2}l\dot{\theta}^2 + mgl(1-\cos{\theta}) = E
\end{equation}

On voit que c'est simplement une relation entre $\dot{\theta}$ et $\theta$ paramétrée par l'énergie. On a donc tout ce qu'il faut pour tracer le portrait de phase associé. \textbf{Code Python partie 1 de Camille}. On voit qu'on s'éloigne du modèle linéaire en augmentant l'énergie, on obtient une forme retrouvée lors de l'expérience. Si on trace l'ensemble des trajectoires possibles on obtient le portrait de phase suivant :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{portrait.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

On peut mettre ce portrait de phase en regard de l'équation énergétique adimensionnée pour mieux comprendre les différents types de trajectoires :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{potentiel.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\begin{itemize}
    \item Libration
    \item Oscillations
    \item Séparatrice
    \item Rotations
\end{itemize}

Le tracé du portrait de phase nous permet donc d'apréhender le comportement du pendule réel sans qu'on ait à devoir résoudre les équations du mouvement. La déformation des ellipses montre que le mouvement réel n'est plus sinusoïdal : la non-linéarité enrichit le spectre. On peut l'expliquer théoriquement et calculer la nouvelle "pseudo-période" attendue :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{Borda.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

Les non-linéarité ont donc ici deux effets principaux : non seulement une perte d'isochronisme mais aussi un enrichissement spectral.

\transition{On a des trajectoires à énergie constante ici mais en réalité on sait que les frottements ne peuvent être négligés que sur une certaine échelle de temps}

\subsection{Effet de la dissipation}

\paragraph{}En tenant compte de la dissipation on a l'équation suivante :

\begin{equation}
\ddot{x}+\frac{1}{\tau} \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=0
\end{equation}

Donner des exemples de systèmes réels régis par cette équation.

\paragraph{}Le tracé du portrait de phase donne alors les trajectoires suivantes \textbf{Code python de Pascal} en fonction du régime (pseudo-périodique, apériodique et critique) et donc de la valeur du facteur de qualité. Dans le cas PP, le système perd graduellement de l'énergie et donc on peut voir ça comme un déplacement sur les ellipses du Portrait de phase sans frottements vers une énergie nulle qui correspond à l'origine. Le systèmes spirale vers le point d'équilibre. Dans tous les cas, le système finit par atteindre le point O et y reste à l'équilibre, on parle alors d'attracteur.

\transition{U attracteur n'est pas forcément un point ! ça peut être une trajectoire par exemple !}

\section{Oscillation auto-entretenues}

Un système qui, tel une horloge, évolue indéfiniment de façon périodique doit recevoir de l’énergie pour compenser les phénomènes dissipatifs inévitables qui accompagnent son fonctionnement. Un tel système est appelé oscillateur entretenu.

\subsection{Vers l'équation de Van der Pol}

Tentons de proposer un modèle mathématique, le plus simplement possible, décrivant un oscillateur entretenu. Au cours de l’étude de l’oscillateur harmonique amorti, nous avons vu que, dans l’équation différentielle c’est le signe du coefficient $\alpha$ de $\dot{x}$ qui régit le sens des échanges énergétiques de l’oscillateur.

$$
\ddot{x}+\alpha \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=0
$$

Si $\alpha$ est toujours positif, le système décrit par l'équation différentielle est instable et l'amplitude des oscillations va diverger. S'il est toujours négatif, les oscillations vont être amorties. Il faut donc que $\alpha$ change de signe en fonction de $x$ : qu'il soit positif pour les petites oscillations pour permettent qu'elles croissent vers les oscillations qu'on désire entretenir, et qu'il soit négatif pour amortir les oscillations si elles sont trop grandes. La modélisation la plus simple est :
$$
\alpha(x)=\alpha_{0}\left(\frac{x^{2}}{x_{0}^{2}}-1\right)
$$

Après changement de variable, on obtient 

$$
\ddot{x}+\mu\left(x^{2}-1\right) \dot{x}+x=0
$$

On appelle l'oscillateur décrit par cette équation différentielle l'oscillateur de Van der Pol. L'entretien des oscillations nécessite l'introduction d'un amortissement non linéaire. 

\transition{Il est possible de réaliser un oscillateur de Van der Pol électrique. Utilisons le pour étudier son portrait de phase et observer la naissance des oscillations}


\subsection{Portrait de phase}

Le caractère non linéaire du circuit provient d'un élément non linéaire, de caractéristique cubique.

$$
U=-R_{0} I+b I^{3}
$$

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.8\textwidth]{element_NL.png}
    \caption{Élément non-linéaire}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.8\textwidth]{VdP.png}
    \caption{Oscillateur de Van der Pol}
\end{figure}


\experience{Portrait de phase de l'oscillateur de Van der Pol}{Poly elec}{pas lonteng}{ 
Utiliser l’oscillateur déjà monté P42.5, et utiliser une boîte à décade pour RNL. On peut visualiser la trajectoirede phase en mode XY de l’oscillo. Pour $R_{NL}> 17~\si{\kilo\ohm}$ il ne se passe rien car $\mu < 0$, mais en dessous de cette valeur, on voit apparaître des oscillations (trajectoire fermée). On peut montrer que l’oscillateur converge toujours vers ce cycle par exemple en ouvrant le circuit puis en le refermant.}

Peu importent les conditions initiales, le système converge vers le même cycle limite qui ne dépend donc que des caractéristiques de l'oscillateur.

\transition{Étudions les oscillations de ce cycle limite dans le régime faiblement non-linéaire. }

\subsection{Régime faiblement non-linéaire}

Dans le cas où $0<\mu<<1$ on observe des oscillations quasi-sinusoïdales à $\omega_0$. Ni la fréquence ni l'amplitude des oscillations ne dépendent de $\mu$ si il reste petit devant 1. Essayons de prévoir l'amplitude des oscillations en utilisant à nouveau un raisonnement énergétique :  

$$
x(t)=r \sin \omega_{0} t
$$
 Alors l’énergie du système est celle de l’oscillateur harmonique non-amorti :

 
\begin{aligned}
E &=\frac{1}{2} \dot{x}^{2}+\frac{1}{2} \omega_{0}^{2} x^{2} \\
\Longrightarrow \frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{~d} t} &=\ddot{x} \dot{x}+\omega_{0}^{2} \dot{x} x \\
\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{~d} t} &=\left(-\mu\left(x^{2}-1\right)-\omega_{0}^{2} x\right) \dot{x}+\omega_{0}^{2} \dot{x} x \\
\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{~d} t} &=\mu \dot{x}^{2}\left(1-x^{2}\right)
\end{aligned}

Or le système oscille sur son cycle limite et est donc stable : $\left\langle\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{~d} t}\right\rangle=0 \Longrightarrow\left\langle\dot{x}^{2}\right\rangle=\left\langle\dot{x}^{2} x^{2}\right\rangle$. La production d'énergie résultant de l'instabilité se trouve en moyenne exactement compensée par la dissipation due à la non-linéarité. En réinjectant les expressions de $x$ et $\dot{x}$ on obtient :

$$
\frac{1}{2} \omega_{0}^{2} r^{2}=\frac{1}{8} \omega_{0}^{2} r^{4} \Longrightarrow r=2
$$

L'amplitude des oscillations est donc bien indépendante de $\mu$ en régime faiblement non-linéaire.


\transition{Néanmoins, en augmentant $R_{NL}$ on observe que le cycle se déforme : le terme non linéaire augmente, on s'éloigne du comportement d'oscillateur harmonique.}


\subsection{régime fortement non linéaire}

Si cette fois-ci $\mu>>1$, et le cycle limite n'est plus elliptique (on le montre à l'oscillo). Ètudions ce cyle dans le plan de phase. On remarque que 

$$-x=\ddot{x}+\mu \dot{x}\left(x^{2}-1\right)=\frac{d}{d t}\left(\dot{x}+\mu\left[\frac{1}{3} x^{3}-x\right]\right)$$

On pose $$F(x)=\frac{1}{3} x^{3}-x, \quad w=\dot{x}+\mu F(x)$$, et on remarque que $$\dot{w}=\ddot{x}+\mu \dot{x}\left(x^{2}-1\right)=-x$$. et hop changement de variable $y=\frac{w}{\mu}$ et on obtient le système suivant :
$$
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=\mu[y-F(x)] \\
\dot{y}=-\frac{1}{\mu} x
\end{array}\right.
$$.

Ce ne sont pas exactement les variables conjuguées mais elle vont quand même nous aider à comprendre le cycle. On trace $F(x)$ dans le plan $(x,y)$ et c parti pour l'explication à la maing au tableau. 


\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[angle = 90, width = 0.8\textwidth]{cycle_NL.JPG}
    \caption{modèle pour le tableau}
\end{figure}

On parle d’oscillateur à relaxation car le cycle se déroule comme une alternance entre des phases de charge (lentes) et de décharge (relaxation). C’est également le principe des battements du coeur. Si le système est fortement non-linéaire, il n'oscillera probablement plus à $\omega_0$. On peut essayer d'approximer la période des oscillations. Les contributions des phases de charge sont les seules à prendre en compte et comme $\dot{y} \propto 1 / \mu$, on s’attend à ce que la période augmente avec μ.

\begin{aligned}
T &=T_{A B}+T_{B C}+T_{C D}+T_{D A} \\
T & \simeq 2 \int_{t_{A}}^{t_{B}} d t=2 \int_{x_{A}}^{x_{B}} \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x \\
\text { Or } \quad \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t} &=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=F^{\prime}(x) \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=\left(x^{2}-1\right) \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=-\frac{x}{\mu} \\
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} &=-\frac{x}{N} \frac{1}{x^{2}-1} \\
\text { Donc } \quad T &=\mu(3-2 \ln 2) \sim \mu
\end{aligned}

La période n'est plus indépendante de $\mu$, elle augmente avec μ. On peut remarquer que l’amplitudes des oscillations est fixée par la valeur maximale que $x$ peut prendre. Cette valeur est entièrement déterminée par $F(x)$, donc encore une fois, indépendante de $$\mu$ (le vérifier expérimentalement).


\section{Conclusion}

Bilan + pourquoi pas ouvrir sur les attracteurs (étrange pk pas) et le chaos si on se sent chaud.

\end{document}

