\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{LP2020 -- Effet Doppler et applications}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{Deleuze Julie}{Jocteur Tristan}


\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{J'intègre PC-PC*}, \textbf{Sanz} & pour le début \\
\url{https://femto-physique.fr/optique/pdf/presentation-doppler.pdf}& eh mercé femto\\
\textit{Physique expérimentale}, \textbf{Jolidon}

\end{tabular}
% Vous avez vu cette commande badass pour ne pas mettre les footnotes dans les environements locaux ??

\noindent
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}

\subsection*{Prérequis}
\begin{itemize}[label=\ding{226}]
 \item Cinématique relativiste
\end{itemize}
\end{minipage}

\tableofcontents

\pagebreak

\section*{Remarques}

\paragraph{}

Bon ne pas faire que du relativiste, commencer par le radar avec l'expérience du Jolidon et élargissement spectral je trouve ça bien parce que les élèves y sont confrontés en TP (pas comme les atomes froids mdr), et une application relativiste c pas mal aussi la correction au GPS c cool.

\section*{Introduction}

Nous avons tous entendu un son de fréquence plus élevée lorsqu'une sirène vient vers nous et de fréquence plus basse lorsqu'elle s'en éloigne. En effetn quand un émetteur d'onde sinusoïdale est en mouvement par rapport à un récepteur, celui-ci attribue aux vibrations qu'il reçoit une fréquence différente de la fréquence émise : c'est l'effet Doppler. Cet effet est à la base du foctionnement des radars routier mais se rencontre aussi en astronomie, en médecine... L'objectif de cette leçon est d'expliquer cet effet et d'en présenter quelques applications.


\section{Effet Doppler classique}

\subsection{Présentation du phénomène}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.8\textwidth]{situation.png}
\end{figure}

\paragraph{}Dans un référentiel donné, une source $\mathbf{S}$ émet une onde à une fréquence $\nu_{0}$ et se déplace à la vitesse $\vec{v}_{s}$. Un récepteur $\mathbf{R}$ se déplace à la vitesse $\vec{v}_{r}$ et reçoit ces ondes avec une fréquence $\nu^{\prime}$. On notera $c$ la vitesse de propagation des ondes. On notera $\vec{u}$ le vecteur unitaire dirigé de la source vers le récepteur. On suppose la source et le récepteur classiques de sorte que $v_{r} \ll 3.10^{8}$ m/s et $v_{s} \ll 3.10^{8}$ m/s. Dans un premier temps on va considérer le récepteur immobile.

\paragraph{Effet du au mouvement de la source}

\begin{center}
    \begin{tabular}{ccc}
\hline Signal & émission & réception \\
\hline 1er bip & instant $t_{1}$ & $t_{1}^{\prime}=t_{1}+d_{1} / c$ \\
2ème bip & $t_{2}=t_{1}+T_{0}$ & $t_{2}^{\prime}=t_{2}+d_{2} / c$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

La période des bips recus est donc
$$
T^{\prime}=t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}=T_{0}+\frac{d_{2}-d_{1}}{c}
$$
Or on a
$$
\left\{\begin{array}{l}
d_{1}=S R\left(t_{1}\right) \\
d_{2}=S R\left(t_{2}\right) \simeq S R\left(t_{1}\right)+\left(t_{2}-t_{1}\right) \frac{\mathrm{d} S R}{\mathrm{~d} t}
\end{array}\right.
$$
De plus la vitesse de la source s'écrit
$$
\vec{v}_{s}=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{R S}}{\mathrm{~d} t}=-\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{S R}}{\mathrm{~d} t} \Longrightarrow \vec{v}_{s} \cdot \vec{u}=-\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{S R} \cdot \vec{u}}{\mathrm{~d} t}=-\frac{\mathrm{d} S R}{\mathrm{~d} t}
$$
Ainsi on a
$$
T^{\prime}=T_{0}\left(1-\frac{\vec{v}_{s} \cdot \vec{u}}{c}\right) \quad \Longrightarrow \quad \nu^{\prime}=\frac{\nu_{0}}{1-\frac{\vec{v}_{s} \cdot \vec{u}}{c}}
$$

\begin{itemize}
    \item Si la source se dirige vers le récepteur :
$$
\vec{v}_{s} \cdot \vec{u}=v_{s} \quad \Longrightarrow \quad \nu^{\prime}=\frac{\nu_{0}}{1-\frac{v_{s}}{c}}
$$
La fréquence perçue est plus grande quand la source se rapproche
    \item Si la source s'éloigne du récepteur :
$$
\vec{v}_{s} \cdot \vec{u}=-v_{s} \quad \Longrightarrow \quad \nu^{\prime}=\frac{\nu_{0}}{1+\frac{V_{s}}{c}}
$$
La fréquence perçue est plus petite quand la source s'éloigne
\end{itemize}


\paragraph{}\textbf{ODG} Par exemple si une voiture roulant à 90 km/h émet un son de fréquence 600 Hz, l'observateur percevra un son de fréquence comprise entre 556 et 644 Hz (vitesse du son $c = 340$ m/s).

\paragraph{Effet du au mouvement du récepteur}


\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.8\textwidth]{situation_2.png}
\end{figure}

\begin{center}
    \begin{tabular}{ccc}
\hline Signal & émission & réception \\
\hline 1er bip & instant $t_{1}$ & $t_{1}^{\prime}=t_{1}+S R\left(t_{1}^{\prime}\right) / c$ \\
2ème bip & $t_{2}=t_{1}+T_{0}$ & $t_{2}^{\prime}=t_{2}+S R\left(t_{2}^{\prime}\right) / c$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

La période des bips recus est donc
$$
T^{\prime}=t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}=T_{0}+\frac{S R\left(t_{2}^{\prime}\right)-S R\left(t_{1}^{\prime}\right)}{c}=T_{0}+\frac{\left(t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}\right) \frac{\mathrm{d} S R}{\mathrm{~d} t}}{c}
$$
Par ailleurs,
$$
\frac{\mathrm{d} S R}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{S R} \cdot \vec{u}}{\mathrm{~d} t}=\vec{v}_{r} \cdot \vec{u}
$$
Ainsi on a
$$
T^{\prime}=\frac{T_{0}}{1-\frac{\vec{V}_{r} \cdot \vec{u}}{c}} \Longrightarrow \nu^{\prime}=\nu_{0}\left(1-\frac{\vec{v}_{r} \cdot \vec{u}}{c}\right)
$$

\begin{itemize}
    \item Si le récepteur se dirige vers la source :
$$
\vec{v}_{r} \cdot \vec{u}=-v_{r} \quad \Longrightarrow \quad \nu^{\prime}=\nu_{0}\left(1+\frac{v_{r}}{c}\right)
$$
La fréquence perçue est plus grande quand le récepteur se rapproche de la source
    \item Si le récepteur s'éloigne de la source :
$$
\vec{v}_{r} \cdot \vec{u}=v_{r} \quad \Longrightarrow \quad \nu^{\prime}=\nu_{0}\left(1-\frac{v_{r}}{c}\right)
$$
La fréquence perçue est plus petite quand la source s'éloigne
\end{itemize}

\paragraph{Formulation générale}

Soit une source en mouvement à la vitesse $v_{s}$ dans un référentiel émettant une onde de fréquence $\nu_{0}$. Un récepteur en mouvement à la vitesse $v_{r}$ mesurera une fréquence $\nu^{\prime}$ donnée par
$$
\nu^{\prime}=\nu_{0} \frac{1-\frac{\vec{v}_{r} \cdot \vec{u}}{c}}{1-\frac{\vec{v}_{s} \cdot \vec{u}}{c}}
$$
Si les vitesses sont faibles devant $c$, on pourra retenir
$$
\nu^{\prime}=\nu_{0}\left(1+\frac{\vec{v}_{s / r} \cdot \vec{u}}{c}\right)
$$
où $\vec{v}_{s / r}$ désigne la vitesse relative de la source par rapport au récepteur.


\paragraph{}Le décalage spectral est le décalage relatif en fréquence ou en longueur d'onde. Pour les petites vitesses on a :
$$
\frac{\nu^{\prime}-\nu_{0}}{\nu_{0}}=\frac{\Delta \nu}{\nu_{0}}=\frac{\vec{v}_{s / r} \cdot \vec{u}}{c}
$$
\paragraph{}\textbf{Conséquences :}
\begin{itemize}
    \item Décalage spectral maximum quand $\vec{v}_{s / r} \| \vec{u}$.
    \item Pas de décalage spectrale transversal : $\Delta \nu=0$ quand $\vec{v}_{s / r} \perp \vec{d}$.
\end{itemize}


\subsection{Le radar}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.3\textwidth]{radar.png}
    \caption{Radar fixe}
\end{figure}

Fréquence utilisée : $\nu_{0}=24,125 \mathrm{GHz}$ (ondes centimétriques).
Décalage Doppler :
$$
v \sim 30 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{s}^{-1} \Longrightarrow \frac{\Delta \nu}{\nu_{0}} \sim \frac{2 v}{c} \sim 2.10^{-7}
$$
Radar fixe : $\alpha=25^{\circ}$.


\paragraph{} Les décalages en fréquence mis en jeu sont donc très faibles \textbf{devant la fréquence de l'onde émise}, donc difficile à mesurer avec précision. Or si on veut déterminer la vitesse de la source c'est justement à cette différence de fréquence qu'il faut accéder. Pour avoir accès à $\delta f$ on utilise le principe de détection synchrone.


\livre Jolidon ou Poly de TP Divers


Considérons un émetteur ultrasonore qui émet une onde à la fréquence $f$. Si cet émetteur se rapproche d'un récepteur à la vitesse $v$, la fréquence détectée par le récepteur vaut, par effet Doppler:
$$
f_{\text {mesurée }}=\frac{c_{\text {son }}}{c_{\text {son }}-v} f
$$
Pour une vitesse $v$ de l'émetteur de l'ordre de quelques $\mathrm{cm} / \mathrm{s}$, beaucoup plus faible que la vitesse du son $c_{\mathrm{son}}$, on peut alors développer cette expression au premier ordre et exprimer l'écart en fréquence du à l'effet Doppler:
$$
\delta f=f_{\text {mesurée }}-f \approx \frac{v}{c_{\text {son }}} f \ll f
$$
Cet écart en fréquence est trop faible pour pouvoir distinguer $f$ et $f_{\text {mesurée }}$ sur un oscilloscope. Nous allons alors réaliser une détection synchrone afin de mesurer $\delta f$.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.5\textwidth]{detection_synchrone.png}
\end{figure}


En termes fréquentiels, le signal final $v_{\mathrm{f}}(t)$ contient la partie basse fréquence du produit des tensions $v_{x}(t)=G v_{\mathrm{m}}(t) v_{\mathrm{p}}(t) .$ Supposons que $v_{\mathrm{p}}(t)$ est un signal de fréquence $f_{\mathrm{p}}$ et $v_{\mathrm{m}}(t)$ un signal de fréquence $f_{\mathrm{p}}+\delta f$. La fréquence de coupure du filtre $\bar{f}_{\mathrm{c}}$ est choisie telle que $\delta f<f_{\mathrm{c}}$ et le filtre lui-même est choisi pour couper en quasi-totalité la fréquence $2 f_{\mathrm{p}}+\delta f$. Le signal $v_{\mathrm{f}}(t)$ est donc un signal de fréquence $\delta f$.

Supposons que nous ayons accès à un signal $v_{\mathrm{p}}(t)$, que nous qualifions de signal porteur, de la forme
$$
v_{\mathrm{p}}(t)=V_{\mathrm{p}} \sin \left(f_{\mathrm{p}} t\right)
$$
Par un phénomène physique quelconque, ici l'effet Doppler, la fréquence de ce signal se trouve modifiée. Ce signal modifié $v_{m}(t)$. que nous qualifions de signal modulé $^{(1)}$, est de la forme
$$
v_{\mathrm{m}}(t)=V_{\mathrm{m}} \sin \left[\left(f_{\mathrm{p}}+\delta f\right) t+\varphi\right]
$$
Si ces signaux sont sous forme électrique, on peut les multiplier grâce à un multiplieur de gain $G^{(2)} .$ Le signal en sortie est alors de la forme
$$
v_{\times}(t)=\frac{1}{2} G V_{\mathrm{p}} V_{\mathrm{m}}\left(\cos [\delta f t+\varphi]-\cos \left[\left(2 f_{\mathrm{p}}+\delta f\right) t+\varphi\right]\right)
$$
Appliquons ensuite à ce signal un filtre passe-bas judicieusement choisi tel que, d'une part, la fréquence $\delta f$ soit inférieure à la fréquence de coupure du filtre et que, d'autre part, la fréquence $2 f_{\mathrm{p}}+\delta f$ soit totalement coupée. En pratique, cela suppose de choisir un filtre suffisamment sélectif pour couper totalement la fréquence $2 f_{\mathrm{p}}+\delta f$ et de fréquence de coupure du filtre $f_{\mathrm{c}}$ telle que $\delta f<f_{\mathrm{c}} .$ Finalement, en notant $h(f)$ et $\phi(f)$ le module et la phase de la fonction de transfert du filtre, le signal filtré $v_{\mathrm{f}}(t)$ est de la forme
$$
v_{\mathrm{f}}(t)=\frac{1}{2} G V_{\mathrm{p}} V_{\mathrm{m}} h(\delta f) \cos [\delta f t+\phi(\delta f)+\varphi]
$$
Cette opération de filtrage permet de récupérer un signal sinusoidal de fréquence $\delta f$. On peut alors déduire la vitesse de l'émetteur à partir de cette fréquence. C'est ainsi que foncitonnent les radars. EN pratiue émetteur et récepteurs sont au même endroit : le récepteur aquiert l'onde émise par l'émetteur puis réfléchie par la voiture mobile.


\experience{Vroum vroum}{}{}{
On fait une mesure en un point et on compare à la vitesse donnée par les détecteurs.
}

\transition{Le calcul du décalage en fréquence par effet Doppler ne nécessite aucune hypothèse sur l'onde émise. C'est un phénomène ondulatoire, qu'on peut donc retrouver dans d'autres domaines de la physique comme l'optique.}

\subsection{Élargissement spectral par effet Doppler}

\paragraph{} Comme vous le savez, les atomes possèdent un spectre d'émission discret appelé spectre de raie caractéristique de l'élément : par exemple, l'hydrogène émet dans le visible les raies constituant la série de Balmer, correspondant aux transitions électroniques entre les niveaux excités et les niveaux $n=2$.


\paragraph{}Une raie spectrale n'est jamais purement monochromatique. Le profil d'une raie spectrale est donné par la courbe de Lorentz. La largeur naturelle est la largeur à mi-hauteur de la raie spectrale. Elle est liée à la durée de vie du niveau excité $\tau$ via la relation d'incertitude
d'Heinsenberg:
$$
\Delta E \times \tau=\hbar \quad \Longrightarrow \quad \tau=\frac{1}{2 \pi \Delta \nu_{1 / 2}}
$$
Ordre de grandeur $\tau \sim 10^{-8} \mathrm{~s}$, $\Delta \nu_{1 / 2} \sim 10 \mathrm{MHz}$


\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.3\textwidth]{lorentzienne.png}
\end{figure}
\paragraph{}Dans un gaz de température non nulle, les molécules ont des vitesses aléatoirement distribuées qui respectent la loi de Maxwell-Boltzmann
$$
N(v)=N(0) \mathrm{e}^{-\frac{m v^{2}}{2 k_{B}} T} \quad \text { avec } \quad k_{B}=R / \mathcal{N}_{a}=1,38.10^{-23} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{K}^{-1}
$$
Par effet Doppler ces atomes émettent une onde qui sera reçue par un observateur fixe avec une fréquence décalée
$$
\nu=\nu_{0}(1 \pm v / c) \Longrightarrow \quad v=\pm c \frac{\nu-\nu_{0}}{\nu_{0}}
$$
Or, l'intensité lumineuse émise à la fréquence $\nu$ est proportionnelle au nombre d'atomes ayant la vitesse $v$. Ainsi on trouve
$$
I(\nu)=I_{\max } \mathrm{e}^{-\frac{m c^{2}\left(\nu-\nu_{0}\right)^{2}}{2 k_{B} T \nu_{0}^{2}}}
$$


qui est un rofil gaussien centré en $\nu_{0}$ et d'écart-type $\sigma$
$$
I_{\nu}=I_{\max } \mathrm{e}^{-\frac{\left(\nu-\nu_{0}\right)^{2}}{2 \sigma^{2}}}
$$
Largeur à mi-hauteur :
$$
\Delta \nu_{1 / 2}=\sqrt{8 \ln 2} \sigma=\nu_{0} \sqrt{\frac{8 \ln 2 k_{B} T}{m c^{2}}}
$$
D'où
$$
\frac{\Delta \nu_{1 / 2}}{\nu_{0}}=\frac{\Delta \lambda_{1 / 2}}{\lambda_{0}}=\sqrt{\frac{8 \ln 2 k_{B} T}{m c^{2}}}
$$
Les raies spectrales s'élargissent d'autant plus que la température est grande.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.3\textwidth]{elargissement.png}
\end{figure}
\paragraph{}\textbf{ODG :}
\begin{itemize}
    \item Transition atomique du laser rouge He-Ne $(T=400 \mathrm{~K}$ et $m=20$ uma $):$
$$
\lambda_{0}=632 \mathrm{~nm} \Longrightarrow \Delta \lambda_{1 / 2}=2 \mathrm{pm} \text { et } \Delta \nu_{1 / 2}=1500 \mathrm{MHz}
$$
C'est dans cet intervalle de fréquence que la cavité va sélectionner les modes du laser.
    \item Raie $\mathrm{H}_{\alpha}$ (raie rouge de la série de Balmer) du spectre solaire $(T=5700 \mathrm{~K}$ et $m=1$ uma $)$ :
$$
\lambda_{0}=656 \mathrm{~nm} \Longrightarrow \Delta \lambda_{1 / 2}=30 \mathrm{pm} \text { et } \Delta \nu_{1 / 2}=25 \mathrm{GHz}
$$
\end{itemize}

L'élargissement spectral des raies contient donc différentes informations physiques sur la source ($T$, $P$ si on prend en compte l'élargissement du à la pression) auxquelles on peut accéder par spectroscopie.

\transition{L'effet Doppler trouve de nombreuses applications en astrophysique. Le problème, c'est que les échelles de distance et de vitesses mises en jeu mettent en défaut l'hypothèse classique utilisée dans la première partie. Il faut prendre en compte les effets relativistes pour exprimer le décalage en fréquence.}


\section{Effet Doppler relativiste}

\subsection{Présentation du phénomène}

\paragraph{Rappels}

\paragraph{}On peut montrer que les postulats de la relativité restreinte (couplés à l'homogénéité de l'espace-temps), impliquent l'invariance de l'intervalle d'espace temps entre deux évènements par changement de référentiel entre deux référentiels galiléens: 

$$\Delta s^{2}=c^{2} \Delta t^{2}-\Delta \overrightarrow{\mathbf{r}}^{2}$$

Ce n'est donc plus la durée qui est conservée par changement de référentiel comme le supposait la mécanique galiléenne.

\paragraph{}Les transformations entre référentiels qui respectent cette contrainte sont appelées transformations de Lorentz et sont de la forme :  

$$
\left(\begin{array}{c}
c t^{\prime} \\
x^{\prime} \\
y^{\prime} \\
z^{\prime}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
\gamma & -\beta \gamma & 0 & 0 \\
-\beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
c t \\
x \\
y \\
z
\end{array}\right)
$$
Dans le cas d'une vitesse selon l'axe $\overrightarrow{\mathbf{e}}_{x}$ avec :
$$
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} \quad \text { et } \beta=\frac{v}{c}
$$

On peut notamment montrer grâce à ce résultat qu'un intervalle de temps entre deux évènement mesuré dans $\mathcal{R}$ et dans $\mathcal{R}'$ ne connera pas le même résultat, et que les deux valeurs seront données par

$$\Delta t = \gamma \Delta t'$$

Il faut donc prendre en compte cette modification, au moment où on calcule le temps entre les "bip".

Dans le cas où les vitesses sont relativistes, c'est-à-dire non négligeables devant $\mathrm{c}$, on doit utiliser la formule relativiste. II s'agit de la formule précédente multipliée par le facteur relativiste $\gamma$ défini
par
$$
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\left(v_{s} / r / c\right)^{2}}} \geq 1
$$
On écrira donc
Formule Doppler-Fizeau
$$
\nu^{\prime}=\gamma \nu_{0}\left(1+\frac{\vec{v}_{s / r} \cdot \vec{u}}{c}\right)
$$

\paragraph{} Cependant, à la différence de l'effet Doppler classique, on observe aussi un décalage si la source se déplace perpendiculairement à l'axe entre elle et le récepteur, car la dilatation du temps ne dépend pas d'une quelconque direction. Il faut toujours multiplier par $\gamma$ la durée entre les bips. On aura dans ce cas-là

$$\nu^{\prime}=\gamma \nu_{0}>\nu_{0}$$

Il y a apparition d'un effet Doppler transversal, qui n'a pas d'équivalent classique. 


\transition{Évaluons les décalages temporels des impulsions utilisées par le GPS induits par l'effet Doppler classique et relativiste}
\subsection{Correction au GPS}

\paragraph{}Dans un GPS, la localisation s'opère en comparant les horloges au sol et dans le satellite. Pour cela on suppose que ces horloges sont identiques et utilisent la même fréquence de référence. On veux savoir ce que modifie l'effet Doppler. On considère un sattelite GPS au dessus d'un récepteur.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.5\textwidth]{schema_gps.png}
    \caption{Schéma de principe}
\end{figure}

Si on considère un temps de mesure de 1s pour le GPS, l'erreur induite par effet Doppler sur la mesure de temps de propagation s'écrit:
$$
\begin{array}{c}
\delta t_{e r}=\frac{\Delta \nu}{\nu} t_{m e s} \\
\delta t_{e r}=\frac{v}{c} \cos (\phi) t_{m e s}=3.1 \times 10^{-6} \mathrm{~s} \\
\phi_{\mathrm{H}}=\arccos \frac{R_{0}}{R_{0}+h_{\mathrm{c}}}=1,3285 \mathrm{rad}
\end{array}
$$

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 0.5\textwidth]{angle.png}
    \caption{Angle induisant l’erreur maximale}
\end{figure}


avec : $v=3874.6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ et $c=299792458 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ et $\cos (\phi)=\frac{R_{0}}{R_{0}+h_{c}}=0.24$.
Cela est énorme, en effet une erreur $\delta t$ sur le temps entraîne une erreur $\delta l=c \delta t=929 \mathrm{~m}$ ce qui est énorme.
On peut commparer à ce qu'on obtient en prenant en compte les effets relativiste:
$$
\frac{\Delta \nu_{R R}}{\nu}=\sqrt{1-\beta^{2}}-1
$$
On en déduit
$$
\delta t_{e r}=\left(\sqrt{1-\beta^{2}}-1\right) t_{m e s}=8.35 \times 10^{-11} \mathrm{~s}
$$
C'est beaucoup plus petit et sa prise en compte permet de réduire une erreur de l'ordre de $\delta l=c \delta t=2.5 \mathrm{~cm}$. Enfin on peut évoquer le fait qu'on pourrait également corriger les effet de la relativité générale (la gravité agit comme une accélération à prendre en compte dans les calculs) qui donne une erreur de l'ordre de $15 \mathrm{~cm}$
\section*{Conclusion}


Doppler (refroidissement atomes)








\end{document}

