\documentclass[10pt,a4paper]{article}

\usepackage{agrphy}

\title{MP32 - Couplage des Oscillateurs}
\date{\today}

\begin{document}

\titre{Deleuze Julie}{Jocteur Tristan}



\subsection*{Niveau : Classes préparatoires }



\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Fascicule de TP Electromagnétisme, Partie Matériaux}, \textbf{Quelqu'un-e}\\
\textit{Fascicule de TP Optique, Partie Photorécepteurs}, \textbf{Quelqu'un-e}
\end{tabular}
% Vous avez vu cette commande badass pour ne pas mettre les footnotes dans les environements locaux ??

\tableofcontents
\pagebreak

\section*{Remarques sur les montages précédents}

\begin{itemize}
\item 2014 à 2017 : Les pendules utilisés dans le cadre de ce montage sont souvent loin d'être des pendules simples, et les candidats doivent en tirer les conclusions qui s'imposent. Les expériences de couplage inductif sont souvent difficiles à exploiter car les candidats ne maitrisent pas la valeur de la constante de couplage. Enfin, il n'est pas interdit d'utiliser plus de deux oscillateurs dans ce montage, ou d'envisager des couplages non linéaires, qui conduisent à des phénomènes nouveaux comme l'accrochage de fréquence, et ont de nombreuses applications.
Jusqu'en 2013 , le titre était: Oscillateurs couplés
\item 2013: Les pendules utilisés dans le cadre de ce montage sont souvent loin d'être des pendules simples. Enfin, les couplages non linéaires conduisent à des phénomènes nouveaux comme l'accrochage de fréquence, qui ont de nombreuses applications.
\item 2012 : Les candidats peuvent présenter des systèmes couplés simples, en mécanique, en électricité ... mais il faut analyser correctement les couplages pour éviter une mauvaise utilisation de formules toutes faites. Le jury met en garde les candidats contre l'utilisation de dispositifs dont la modélisation n'est pas comprise. 138
\item 2011 : Le jury met en garde les candidats contre l'utilisation de dispositifs dont la modélisation n'est pas comprise.
\item 2010: Les pendules utilisés dans le cadre de ce montage sont souvent loin d'être des pendules simples. D'autre part, il faut réaliser le montage correspondant aux équations que l'on écrit (ou l'inverse), sinon l'interprétation n'est pas correcte. Enfin, les couplages non-linéaires conduisent à des phénomènes nouveaux comme l'accrochage de fréquence, qui ont de nombreuses applications.
\item 2006 : Les systèmes propagatifs à constantes réparties n'ont leur place dans ce montage qu'à condition de faire référence explicitement au couplage lors de la manipulation présentée.
\item 2004: L'étude de la phase est trop souvent absente de ces montages alors qu'elle fournit des relations complémentaires non redondantes à celle de l'amplitude.
\item 1999: L'étude du couplage d'oscillateurs identiques ne permet pas de couvrir la totalité du sujet. Jusqu'en 1997, le titre était: Oscillations couplées.
\item 1997 : Dans l'étude de deux oscillateurs couplés, il ne faut pas s'appesantir sur la détermination des paramètres des oscillateurs indépendants, mais il faut plutôt considérer les deux régimes, oscillations libres et forcées. Il est aussi possible d'étendre l'étude à des oscillateurs comportant plus de deux degrés de libertés.
\end{itemize}

\paragraph{}Basiquement le jury a l'air chaud pour du couplage non linéaire. En fait c'est le montage de Sylvio et Lucas et des années de passage avant : on fait un couplage de circuit (inductif ou capacitif au choix mais apparemment le capacitif est une valeur plus sûre), puis oscillateurs mécanqiues avec videocom puis un couplage non linéaire d'élec. En plus c'est pratique le dernier truc c'est de la synchronisation alors l'ouverture est gratuite (métronomes, lucioles, etc...)

\section*{Introduction}

Oscillateur harmonique c un peu tout ce que la physique sait faire, or dans la vraie vie on est rarement isolé, que ce soit au niveau quantique ou à notre échelle.

\section{Couplage capacitif de circuits RLC}

\subsection{Accord des deux circuits}

\livre Poly d'Electronique p63

\paragraph{}On considère les deux circuits RLC oscillants. La tension $s$ aux borne de la résistance est caractérisée par l'équation différentielle:
$$
\frac{\partial^{2} s}{\partial t^{2}}+\frac{\omega_{0}}{Q} \frac{\partial s}{\partial t}+\omega_{0}^{2} s=\frac{\omega_{0}}{Q} \frac{\partial e}{\partial t}
$$
Avec $\omega_{0}^{2}=\frac{1}{L C}$ et $Q=\frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} .$ La fonction de transfert associée à ce système est:
$$
H(\omega)=\frac{1}{1+j Q\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}-\frac{\omega_{0}}{\omega}\right)} \text { et }\|H(\omega)\|=\frac{1}{\sqrt{1+Q^{2}\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}-\frac{\omega_{0}}{\omega}\right)^{2}}} \text { et } \tan (\varphi)=-Q\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}-\frac{\omega_{0}}{\omega}\right)
$$
On note $\omega$ la pulsation délivrée par le GBF. On est à la résonance quand $\omega=\omega_{0} .$ On remarque alors que $\varphi=0$

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.3\textwidth]{rlc.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\experience{Accordement}{Poly d'Electronique p63}{}{
Commencer par construire deux circuits RLC série : le premier composé d'une bobine $L_{1}$ d'environ $10~\mathrm{mH}$ $\mathrm{P} 60.20$, d'un condensateur $C_{1}$ d'environ $10 ~\mathrm{nF}$ et d'une résistance $R=50 ~\Omega ;$ et le second d'une bobine $L_{2}$ d'environ $10~ \mathrm{mH}$ $\mathrm{P} 60.20$, d'une boîte à décades pour $C_{2}$ $\mathrm{P} 58.17$ et d'une résistance $R=50~\Omega .$ On peut les faire sur deux plaquettes différentes pour clarifier le montage. Appliquer au circuit 1 une tension sinusoïdale $1 \mathrm{~V}$ et $10 \mathrm{kHz}$ avec un GBF. Observer à l'oscilloscope la tension excitatrice $e$ et la tension aux bornes de la résistance $s$ en mode XY. Faire varier la fréquence de telle sorte à avoir une droite en XY. On est alors à la résonance (puisque la phase de la fonction de transfert est nulle à la résonance), mesurer cette fréquence à l'oscilloscope. Ne pas changer la fréquence. Alimenter le circuit 2 à la place du circuit 1 . Faire varier la capacité pour obtenir à nouveau une droite en XY. Les deux oscillateurs sont accordés et on a alors $L_{1} C_{1}=L_{2} C_{2}$.
}

\subsection{Couplage des deux circuits}

\paragraph{}On couple alors les deux circuits comme suit :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.3\textwidth]{rlccouple.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

Les calculs donnent alors les fréquences propres du système :

\begin{equation}
w_{\text {antisym }}^{2}=\frac{1}{L C} \quad \text { et } \quad w_{\text {sym }}^{2}=\frac{1}{L C}\left(1+2 \frac{C}{\Gamma}\right)
\end{equation}

On définit la constante de couplage du système :

\begin{equation}
    K = \frac{C}{\Gamma}
\end{equation}

\paragraph{}Pour K grand on parle de couplage serré et pour K petit on parle de couplage lâche.

\experience{Analyse spectrale du couplage}{}{}{
On réalise le circuit et on fait un diagramme de Bode par réponse indicielle pour plusieurs constantes de couplage. On trace alors sur Regressi les pulsations carrées en fonction de la constante de couplage. On en tire L à comparer avec le RLC-mètre.

\begin{itemize}
    \item Points : 25000
    \item Te : 1~$\mu$s
    \item Total : 25~ms
\end{itemize}
}

\paragraph{Remarques}

\begin{itemize}
    \item Latis Pro pue la merde niveau résolution.
    \item Le but ici n'est pas de mesurer L, mais de vérifier la loi !
    \item Attention aux boîtes à capacité.
\end{itemize}

\transition{Ok mais deux c'est un peu réducteur, qu'est-ce qu'il se passe si on en a plus ?}

\section{Pendules pesants et degrés de liberté}

\paragraph{}En fait on a autant de modes propres que de degrés de liberté. Étudions un couplage mécanique de 4 oscillateurs, on s'attend donc à 4 modes propres.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{pendulescouples.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\paragraph{}La résolution analytique\footnote{C'est exactement la formule des énergies pour un polyène dans la théorie de Hückel, logique on doit avoir un déterminant tri-bande ici aussi vu que interaction entre les deux plus proches voisins} permet d'établir la formule suivante :

\begin{equation}
\omega_{p}^{2}=\Omega_{0}^{2}+4 \Omega_{1}^{2} \sin ^{2}\left(\frac{p \pi}{10}\right)
\end{equation}

avec 

\begin{equation}
\Omega_{0}=\sqrt{\frac{g}{L}}
~~~~~~~~~~~
\Omega_{1}=\sqrt{\frac{k}{M}}
\end{equation}

\paragraph{}Dans notre cas on s'attend aux quatre pulsations suivantes (avec les données du fascicule, à voir si on a le temps de remesurer tout ça...) :

\begin{equation}
\begin{aligned}
\omega_{1,4}^{2} &=\Omega_{0}^{2}+\frac{1}{2}(3-\sqrt{5}) \Omega_{1}^{2}=2,05 H z \\
\omega_{2,4}^{2} &=\Omega_{0}^{2}+\frac{1}{2}(5-\sqrt{5}) \Omega_{1}^{2}=3,64 H z \\
\omega_{3,4}^{2} &=\Omega_{0}^{2}+\frac{1}{2}(3+\sqrt{5}) \Omega_{1}^{2}=4,94 H z \\
\omega_{4,4}^{2} &=\Omega_{0}^{2}+\frac{1}{2}(5+\sqrt{5}) \Omega_{1}^{2}=5,78 H z
\end{aligned}
\end{equation}

\experience{Mesure des fréquences propres du système}{}{}{
On utilise la caméra du dispositif VidéoCom. On se place a environ $1 \mathrm{~m}$ des pendules. La caméra doit repérer la position des masses grâce aux bandes réfléchissantes collées sur les masses. (Lancer le logiciel VidéoCom Mouvements. Dans le menu Réglage et l'onglet Généralités indiquer le raccordement choisi (USB) dans Raccord Série, puis dans l'onglet Spécifications sélectionner la période d'échantillonnage $\delta t$ la plus basse possible.) Déplacer une des masses et commencer une acquisition (1min pour voir tous les effets et 30s pour garder que les phénomènes linéaires). Clic droit FFT. On peut remonter aux pulsations. On trace $\omega_p^{2}=f\left(\sin ^{2}\left(\frac{p \pi}{2(N+1)}\right)\right) .$ On trouve alors $\Omega_{0}$ et $\Omega_{1}$ que l'on compare aux valeurs théoriques si on a eu le temps de mesurer les paramètres du système.
}

\subsection{Nombre de dégrés de liberté}

\paragraph{}Pour confronter notre assertion précédente, on supprime un degré de liberté.

\experience{Disparition d'un mode}{}{}{
On bloque une des masses avec une pince. On voit la disparition d'un mode dans la TF.
}

\subsection{Oscillations forcées}

\paragraph{}On peut exciter préférentiellement chaque mode (système "linéaire" donc l'énergie injectée dans un mode y reste en théorie).

\experience{Identification des modes}{}{}{
On excite au pot vibrant et on montre qualitativement le comportement retrouvé de chaque mode. on amplifie le GBF avec le P48.8.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{modes.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}
}

\transition{Revenir sur la propriété linéaire. Ici en fait c'est vrai qu'aux petits angles et dans la nature en général on est souvent non linéaire}

\section{Couplage non linéaire d'oscillateurs}

\livre BUP 815

\paragraph{}Un phénomène retrouvé dans les couplages non linéaire d'oscillateurs est la synchronisation (ne peut pas exister en linéaire). On propose de le mettre en évidence ici. L'oscillateur de nous allons étudier est le suivant :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{nonlin1.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

C'est un comparateur à hystérésis suivi d'un intégrateur inverseur. La tension de saturation est $\pm V_{\text {sat }}$. On note:
$$
k=R_{a} / R_{b}
$$
La fréquence des oscillations est donnée par la relation :
$$
f=\frac{1}{2 R C \cdot \ln (1+2 k)}
$$
Si $k<<1$ alors la fréquence s'écrit :
$$
f=\frac{1}{4 k R C}
$$

\paragraph{}C'est un multivibrateur astable donc en sortie de l'intégrateur on a un triangle et en sortie du comparateur on a un créneau.

\experience{Oscillateurs isolés}{}{}{
Câbler les deux oscillateurs indépendemment les uns des autres avec :

\begin{itemize}
    \item $R_a = 1~k\Omega$
    \item $R_a = 10~k\Omega$
    \item $C = 1~\mu F$
    \item $R_1 = 6,2~k\Omega$
    \item $R_2 = 8,2~k\Omega$
\end{itemize}

On observe les deux premiers signaux à l'oscilloscope, on explique. On observe alors les deux autres, on voit qu'ils sont désaccordés.
}

\paragraph{}On couple alors le tout de la manière suivante :

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{nonlineaire.png}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

\paragraph{}En fonction des résistances de couplage et des écarts en fréquence, on a différents modes de couplages possibles :

\begin{itemize}
    \item Mode 1 : $\dot{x}_1$ est en avance.
    \item Mode 2 : $\dot{x}_2$ est en avance.
    \item Instable ou autre
\end{itemize}

\paragraph{}Une limite du mode 1 correspond au cas où les créneaux ne sont plus déphasés, le mécanisme de synchronisation ne peut plus se faire. Cela correspond théoriquement aux valeurs limite de couplage :

\begin{equation}
\frac{1}{R_{12}}=\frac{1}{R_{21}}+\frac{1}{R_{2}}-\frac{1}{R_{1}}
\end{equation}

\experience{Détermination d'une courbe limite dans l'espace des paramètres}{}{}{
On part de $R_{21} = 10~k\Omega$ et on aumgente progressivement $R_{12}$ jusqu'à voir la désynchronisation des deux oscillateurs. On note alors $R_{C1}$ la valeur de $R_{12}$ correspondante. On augmente alors $R_{21}$ de $5~k\Omega$ en $5~k\Omega$ pour délimiter cette courbe. On trace alors $\frac{1}{R_{C1}} = f(\frac{1}{R_{21}}$ et on s'attend à une droite de pente 1 et d'ordonnée à l'origine comparable à la valeur théorique.
}

\paragraph{Remarques} Bien lire le BUP pour le principe, il existe d'autres courbes de stabilité délimitant le mode 1 mais on n'a pas le temps de tout faire.

\end{document}
