Cela peut \u00eatre par exemple:<\/p>\n\n\n\n
- \n
- des variations de temp\u00e9rature mesur\u00e9es toutes les 3h sur une ann\u00e9e<\/li>\n\n\n\n
- le niveau de la mer mesur\u00e9 toutes les heures sur quelques mois,<\/li>\n\n\n\n
- le flux de trafic routier mesur\u00e9 toutes les 10 minutes sur quelques jours<\/li>\n\n\n\n
- un niveau d’hormones mesur\u00e9 toutes les 10 minutes sur 48h.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
Ce genre de signaux r\u00e9sultant de processus qui s’expriment \u00e0 diff\u00e9rentes \u00e9chelles, il peut \u00eatre pertinent de le d\u00e9crire \u00e0 travers le temps<\/strong> mais aussi \u00e0 travers les \u00e9chelles<\/strong> (ou p\u00e9riodes) pour mieux les comprendre.<\/p>\n\n\n\n
Consid\u00e9rons par exemple la s\u00e9rie temporelle suivante: j’ai enregistr\u00e9 l’humeur de mon chat<\/strong> toutes les 10 minutes pendant 10 jours gr\u00e2ce \u00e0 une sonde ultra-perfectionn\u00e9e (et ultra-imaginaire).<\/p>\n\n\n\n
NB: Exceptionnellement, je montre ici des r\u00e9sultats de codes R sans montrer les codes eux-m\u00eames car les figures suivantes r\u00e9sultent d’un gros travail de mise en application shiny<\/strong>-. Pour l’instant, l’appli waveleT<\/strong> est disponible dans sa version 2016 -!- ici: https:\/\/isig-apps.ens-lyon.fr\/apps\/lvaudor\/waveleT\/<\/a>). Le repo github (avec le m\u00e9ga-commit correspondant \u00e0 sa mise en package et son organisation en modules golem) est ici: <\/em>https:\/\/github.com\/lvaudor\/waveleT<\/em><\/a>. Je reviendrai ici faire sa promotion et d\u00e9verser les \u00e9tats d’\u00e2me qui m’ont travers\u00e9e au cours de sa r\u00e9alisation \ud83d\ude40 quand sa nouvelle version -gol\u00e9mis\u00e9e et packagis\u00e9e- sera d\u00e9ploy\u00e9e…<\/em><\/p>\n\n\n\n
D\u00e9crire par les ondelettes continues<\/h1>\n\n\n\n
Voici donc une repr\u00e9sentation des humeurs de mon chat au cours de quelques jours du mois de juin 2024:<\/p>\n\n\n\n
\n ![\"\"](\"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Fig_Raw_y1.png\")
<\/a><\/figure>\n<\/figure>\n\n\n\nOn y devine des variations journali\u00e8res<\/strong>, att\u00e9nu\u00e9es certains jours, avec a priori des pics de bonne humeur entre 17h et 23h environ. (L’appli peut s’av\u00e9rer utile pour b\u00e9n\u00e9ficier d’un \u00ab\u00a0hover\u00a0\u00bb qui vous permet de situer les variations dans le temps en pla\u00e7ant la souris dessus ;-)).<\/p>\n\n\n\n
Si j’applique une transform\u00e9e d’ondelettes continues sur ce signal j’obtiens quelque chose comme \u00e7a:<\/p>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Fig_CWT_y1_type1_power.png\")
<\/a><\/figure>\n\n\n\nC’est flamboyant, c’est fascinant, c’est aussi l\u00e9g\u00e8rement effrayant peut-\u00eatre (surtout si par le pass\u00e9 vous avez tra\u00een\u00e9 dans des sessions poster de conf\u00e9rences o\u00f9 r\u00f4dent des physiciens pour qui ce genre de repr\u00e9sentation est limpide: \u00e7a peut laisser un trauma).<\/p>\n\n\n\n
En tout cas voil\u00e0 comment on peut interpr\u00e9ter ce graphique:<\/p>\n\n\n\n
- \n
- en x, on retrouve le temps<\/strong>: on couvre les quelques jours sur lesquels j’ai effectu\u00e9 des mesures sur mon chat<\/li>\n\n\n\n
- en y, on trouve des p\u00e9riodes<\/strong> (ici exprim\u00e9es en minutes). Donc un rythme journalier s’exprimera aux alentours de 24*60=1440 minutes. L\u00e0 encore, l’\u00e9chelle log2 sur l’axe des y rend le \u00ab\u00a0hover\u00a0\u00bb fourni par l’appli bien utile.<\/li>\n\n\n\n
- en \u00e9chelle color\u00e9e, on trouve la \u00ab\u00a0puissance\u00a0\u00bb (power) des coefficients d’ondelette. Elles correspondent grosso modo \u00e0 une mesure de la variance.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
Ici, on peut lire le graphique de cette mani\u00e8re: il y a des variations particuli\u00e8rement importantes dans le signal \u00e0 la p\u00e9riode 1440 min = 24h<\/strong> sur l’ensemble de la p\u00e9riode sauf les 8 et 9 juin (qui s’av\u00e8rent \u00eatre un samedi-dimanche): cela se voyait d\u00e9j\u00e0 sur le signal brut. Il y a aussi des variations \u00e0 une \u00e9chelle de 720 minutes (12h<\/strong>), et des variations (plus irr\u00e9guli\u00e8res peut-\u00eatre \u00e0 une \u00e9chelle entre 240 et 480 minutes (entre 4 et 8h<\/strong>).<\/p>\n\n\n\n
La puissance nous renseigne sur l’ampleur des variations<\/strong> et non sur leur nature<\/strong>. Si l’on repr\u00e9sente directement les coefficients d’ondelettes, on peut voir les variations positives et n\u00e9gatives:<\/p>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Fig_CWT_y1_type1_wavelet.png\")
<\/a><\/figure>\n\n\n\nJe peux ainsi constater que mon chat a un coup de mou<\/strong> quotidien <\/strong>(les jours de semaine) \u00e0 peu pr\u00e8s entre 9h et 17h<\/strong>, et un coup de mieux entre 19h et 7h du matin. Le week-end, son humeur est globalement meilleure (pas de coup de mou en journ\u00e9e). Peut-\u00eatre est-il heureux d’avoir du monde \u00e0 la maison?<\/p>\n\n\n\n
Par ailleurs, pour l’interpr\u00e9tation des p\u00e9riodes 12h et 4-8h<\/strong>, je peux vous fournir une information compl\u00e9mentaire: le distributeur automatique de mon chat lui a distribu\u00e9 une ration chaque jour \u00e0 6h, 10h, 18h, et 22h<\/strong>. Visiblement, mon chat est de meilleure humeur quand il a le ventre plein. Mais la fr\u00e9quence \u00e0 laquelle le distributeur am\u00e9liore de fa\u00e7on apparente son humeur varie non seulement par son param\u00e9trage -les croquettes tombent \u00e0 4h d’intervalle \u00e0 certains moments, \u00e0 8h d’intervalle \u00e0 d’autres- et selon l’\u00e9v\u00e9nement que l’on consid\u00e8re et sa dur\u00e9e -i.e., en quelque sorte, sa \u00ab\u00a0forme\u00a0\u00bb- : le fait d’avoir les croquettes qui tombent -dur\u00e9e 30 secondes- et le fait d’avoir le ventre plein -dur\u00e9e a priori plus importante-. Ainsi, m\u00eame pour une une causalit\u00e9 claire (d’autant plus claire \u00e0 vrai dire que j’ai simul\u00e9 le jeu de donn\u00e9es pour que l’humeur de mon chat r\u00e9ponde aux horaires du distributeur de croquettes) il peut \u00eatre d\u00e9licat de d\u00e9crire le signal en temps-fr\u00e9quence<\/strong> (ou temps-p\u00e9riode<\/strong>). Certaines p\u00e9riodicit\u00e9s sautent aux yeux, d’autres moins.<\/p>\n\n\n\n
D\u00e9composer par les ondelettes discr\u00e8tes<\/h1>\n\n\n\n
Voil\u00e0 qui m’am\u00e8ne \u00e0 une autre mani\u00e8re d’utiliser les ondelettes<\/strong> pour comprendre\/d\u00e9crire ce qui se passe dans un signal temporel.<\/p>\n\n\n\n
La figure suivante montre le signal \u00ab\u00a0d\u00e9bruit\u00e9\u00a0\u00bb pour tous les niveaux scalaires inf\u00e9rieures \u00e0 une p\u00e9riodicit\u00e9 de 24h<\/strong>. On y voit parfaitement le rythme quotidien des humeurs de mon chat.<\/p>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Fig_modwt_mra_y1_LS.png\")
<\/a><\/figure>\n\n\n\nTechniquement, ce signal d\u00e9bruit\u00e9 est reconstitu\u00e9 via une analyse multi-r\u00e9solution par les ondelettes discr\u00e8tes<\/strong> L\u00e0 encore, je vous renvoie \u00e0 mon appli waveleT<\/strong> qui permet de param\u00e9trer l’ondelette-m\u00e8re et les niveaux scalaires de votre choix facilement.<\/p>\n\n\n\n
Si je veux \u00eatre capable d’examiner les variations dans mon signal \u00e0 une \u00e9chelle interm\u00e9diaire<\/strong> (pour d\u00e9m\u00ealer, par exemple, ce qui se passe aux \u00e9chelles temporelles entre 4 et 12h) je peux s\u00e9lectionner des niveaux scalaires inf\u00e9rieurs:<\/p>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/Fig_modwt_mra_y1_MS.png\")
<\/a><\/figure>\n\n\n\nIl devient ainsi possible de consid\u00e9rer les variations du signal qui rel\u00e8vent uniquement d’une certaine p\u00e9riode<\/strong>, en excluant ici le bruit<\/strong> (variations sur les p\u00e9riodes les plus courtes) et les variations sur la p\u00e9riode de 24 heures et plus<\/strong>. Il s’agit d’un r\u00e9sultat qui reste descriptif, mais qui a le m\u00e9rite de faciliter la description et l’interpr\u00e9tation des variations d’un signal complexe.<\/p>\n\n\n\n
P.S.: le chat orange chez qui j’ai v\u00e9cu pendant 13 ans n’est plus \ud83d\udc94 . Que ce post soit un hommage vibrant \u00e0 ce qu’il a accompli (quoique inconsciemment) pour la science et un t\u00e9moignage \u00e9mu de l’importance qu’il accordait \u00e0 ce qui compte vraiment \ud83d\ude3d.<\/em><\/p>\n\n\n\n
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A quoi peuvent vous servir les transform\u00e9es d’ondelettes? A part briller en soci\u00e9t\u00e9 si vous avez la chance de comprendre de quoi il retourne, je veux dire? Eh bien, les transform\u00e9es d’ondelettes peuvent servir \u00e0 d\u00e9crire et comprendre des signaux \u00e0 des \u00e9chelles vari\u00e9es: elles sont donc particuli\u00e8rement utiles si l’on s’int\u00e9resse \u00e0 un signal de type s\u00e9rie temporelle pouvant \u00eatre soumis \u00e0 des variations p\u00e9riodiques. Cela peut \u00eatre par.. Read More<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[5],"tags":[],"class_list":["post-1425","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-tous-les-posts"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1425","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1425"}],"version-history":[{"count":11,"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1425\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1441,"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1425\/revisions\/1441"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1425"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1425"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1425"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
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