![\"plot](\"..\/..\/lise.vaudor\/Rfigures\/Ajustement_distribution_methode_des_moments\/headband.png\")
<\/p>\n<\/p>\n
Ce billet vise \u00e0 vous montrer comment ajuster un mod\u00e8le de distribution<\/strong> (par exemple une jolie \u00ab\u00a0cloche\u00a0\u00bb gaussienne) \u00e0 une distribution empirique (i.e. la distribution de vos donn\u00e9es telle que vous l’observez, par exemple en tra\u00e7ant l’histogramme<\/strong> correspondant).<\/p>\n Il existe plusieurs m\u00e9thodes possibles pour faire cela, dont la m\u00e9thode des moments dont je vais parler ici.<\/p>\n Consid\u00e9rons les donn\u00e9es disponibles ici<\/a><\/p>\n L’histogramme suivant montre la distribution empirique de la variable.<\/p>\n Nous allons essayer d’ajuster<\/strong> une loi de distribution normale<\/strong> (ou gaussienne) \u00e0 ces donn\u00e9es (i.e. nous allons \u00ab\u00a0caler\u00a0\u00bb la fameuse forme de cloche sur cette distribution).<\/p>\n Un mod\u00e8le de distribution normale pour la variable X<\/em> s’\u00e9crit ainsi:<\/p>\n C’est \u00e0 dire qu’un mod\u00e8le de distribution normale a deux param\u00e8tres:<\/p>\n La d\u00e9finition de la loi normale est telle que son esp\u00e9rance<\/strong> et sa variance<\/strong> -i.e. ses moments<\/strong> d’ordre 1 et 2- sont:<\/p>\n C’est \u00e0 dire que l’on s’attend \u00e0 ce que les donn\u00e9es aient une moyenne proche de \u03bc<\/em> et un \u00e9cart-type proche de \u03c3<\/em> (\u00ab\u00a0proche de\u00a0\u00bb et non \u00ab\u00a0\u00e9gal \u00e0\u00a0\u00bb car du fait du hasard d’\u00e9chantillonnage<\/strong> on n’observe pas exactement la valeur th\u00e9orique).<\/p>\n Par cons\u00e9quent, on peut supposer que la moyenne et l’\u00e9cart-type observ\u00e9s constituent une estimation possible de \u03bc<\/em> et \u03c3<\/em> (estimations que l’on distingue de la valeur r\u00e9elle du parm\u00e8tre par un chapeau, \u00ab\u00a0\\^\u00a0\u00bb):<\/p>\n Il s’agit ici d’une estimation des param\u00e8tre par la m\u00e9thode des moments<\/strong><\/p>\n Une loi normale ayant une telle moyenne et un tel \u00e9cart type a pour densit\u00e9 de probabilit\u00e9:<\/p>\n Voyons ce que nous donne cette estimation de la loi de distribution graphiquement:<\/p>\n On peut aussi examiner la diff\u00e9rence entre distribution empirique et mod\u00e8le de distribution th\u00e9orique \u00e0 l’aide de diagrammes quantile-quantile (ou q-q plots):<\/p>\n Les graphiques ci-dessus montrent que le mod\u00e8le de distribution normale ne s’ajuste pas tr\u00e8s bien aux observations. En effet, il y a une certaine asym\u00e9trie dans ces donn\u00e9es.<\/p>\n Nous allons maintenant ajuster une loi de distribution log-normale \u00e0 ces donn\u00e9es, pour tenter de rendre compte de l’asym\u00e9trie de la distribution.<\/p>\n Un mod\u00e8le de distribution log-normale pour la variable X<\/em> s’\u00e9crit ainsi:<\/p>\n C’est \u00e0 dire qu’un mod\u00e8le de distribution log-normale a deux param\u00e8tres:<\/p>\n Math\u00e9matiquement (par d\u00e9finition de cette loi gaussienne), l’esp\u00e9rance et la variance (i.e. les moments d’ordre 1 et 2) d’une telle loi sont:<\/p>\n On a ainsi un syst\u00e8me de deux \u00e9quations \u00e0 deux inconnues (\u03bc<\/em>l<\/em><\/sub> et \u03c3<\/em>l<\/em><\/sub>) qu’il est possible de r\u00e9soudre, de fa\u00e7on \u00e0 pouvoir exprimer \u03bc<\/em>l<\/em><\/sub> et \u03c3<\/em>l<\/em><\/sub> en fonction de l’esp\u00e9rance et de la variance de X.<\/p>\n … Bon, c’est possible, mais un peu compliqu\u00e9 pour qui aime rigoler. Nous allons donc ici plut\u00f4t utiliser une propri\u00e9t\u00e9 de la loi log-normale, qui est que:<\/p>\n C’est \u00e0 dire que l’on s’attend \u00e0 ce que les donn\u00e9es log-transform\u00e9es<\/em> aient une moyenne proche de \u03bc<\/em>l<\/em><\/sub> et un \u00e9cart-type proche de \u03c3<\/em>l<\/em><\/sub>.<\/p>\n Par cons\u00e9quent, les estimations par la m\u00e9thode des moments sont:<\/p>\n Une loi log-normale ayant ces deux valeurs de param\u00e8tres a pour densit\u00e9 de probabilit\u00e9:<\/p>\n Voyons ce que nous donne cette estimation de la loi de distribution graphiquement(on conserve la distribution normale en bleu pour comparaison):<\/p>\n Et le diagramme quantile-quantile (ou q-q plots):<\/p>\n Ce billet vise \u00e0 vous montrer comment ajuster un mod\u00e8le de distribution (par exemple une jolie \u00ab\u00a0cloche\u00a0\u00bb gaussienne) \u00e0 une distribution empirique (i.e. la distribution de vos donn\u00e9es telle que vous l’observez, par exemple en tra\u00e7ant l’histogramme correspondant). Il existe plusieurs m\u00e9thodes possibles pour faire cela, dont la m\u00e9thode des moments dont je vais parler ici. Consid\u00e9rons les donn\u00e9es disponibles ici x=read.csv(paste(dat.path,\u00a0\u00bbdata_vraisemblance.csv\u00a0\u00bb,sep=\u00a0\u00bb\u00a0\u00bb),sep=\u00a0\u00bb;\u00a0\u00bb)$x head(x) ## [1] 132.5 194.8 179.0 108.7 112.5.. Read More<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[5],"tags":[],"class_list":["post-187","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-tous-les-posts"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/187","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=187"}],"version-history":[{"count":38,"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/187\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":225,"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/187\/revisions\/225"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=187"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=187"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=187"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}x=read.csv(paste(dat.path,\"data_vraisemblance.csv\",sep=\"\"),sep=\";\")$x\nhead(x)\n\n## [1] 132.5 194.8 179.0 108.7 112.5 160.5\n<\/code><\/pre>\nhist(x, col=\"pink\")\n<\/code><\/pre>\n![\"plot](\"..\/..\/lise.vaudor\/Rfigures\/Ajustement_distribution_methode_des_moments\/histogramme.png\")
<\/p>\nUn exemple: mod\u00e8le de distribution normale<\/h1>\n
$$X \\sim \\mathcal{N}(\\mu,\\sigma)$$\n<\/code><\/pre>\n\n
$$E(X)=\\mu \\\\\n Var(X)=\\sigma^2\n $$\n<\/code><\/pre>\n $$\\hat\\mu=\\bar{X}=\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n X_i \\\\\n \\hat\\sigma=\\sqrt{\\frac{1}{n-1}\\sum_{i=1}^n (X_i-\\bar{X})^2}\n $$\n<\/code><\/pre>\nhat_mu=mean(x)\nhat_sigma=sd(x)\nprint(hat_mu)\n\n## [1] 166.6\n\nprint(hat_sigma)\n\n## [1] 73.48\n<\/code><\/pre>\nxtheo=-100:600\nytheo=dnorm(xtheo, hat_mu,hat_sigma)\n<\/code><\/pre>\nhist(x, col=\"pink\", prob=T)\npoints(xtheo,ytheo, col=\"lightslateblue\",type=\"l\", lwd=2)\n<\/code><\/pre>\n![\"plot](\"..\/..\/lise.vaudor\/Rfigures\/Ajustement_distribution_methode_des_moments\/histogramme_et_fit_loi_normale.png\")
<\/p>\nquantiles_theoriques=qnorm((1:length(x))\/length(x),hat_mu,hat_sigma)\nqqplot(quantiles_theoriques,x)\nabline(a=0,b=1, col=\"lightslateblue\")\n<\/code><\/pre>\n![\"plot](\"..\/..\/lise.vaudor\/Rfigures\/Ajustement_distribution_methode_des_moments\/qqplot_loi_normale.png\")
<\/p>\nUn exemple: mod\u00e8le de distribution log-normale<\/h1>\n
$$X \\sim log\\mathcal{N}(\\mu_l,\\sigma_l)$$\n<\/code><\/pre>\n\n
$$\n E(X)=exp(\\mu_l+{\\sigma_l}^2\/2) \\\\\n Var(X)=(exp(\\sigma_l^2)-1)exp(2\\mu_l+{\\sigma_l}^2)\n $$\n<\/code><\/pre>\n $$X \\sim log\\mathcal{N}(\\mu_l,\\sigma_l) \\Leftrightarrow log(X) \\sim \\mathcal{N}(\\mu_l,\\sigma_l)$$\n<\/code><\/pre>\nhat_mu_l=mean(log(x))\nhat_sigma_l=sd(log(x))\nprint(hat_mu_l)\n\n## [1] 5.027\n\nprint(hat_sigma_l)\n\n## [1] 0.4324\n<\/code><\/pre>\nxtheo=-100:600\nytheo_l=dlnorm(xtheo, hat_mu_l,hat_sigma_l)\n<\/code><\/pre>\nhist(x, col=\"pink\", prob=T)\npoints(xtheo,ytheo, col=\"lightslateblue\",type=\"l\", lwd=2)\npoints(xtheo,ytheo_l, col=\"palevioletred\",type=\"l\", lwd=2)\n<\/code><\/pre>\n![\"plot](\"..\/..\/lise.vaudor\/Rfigures\/Ajustement_distribution_methode_des_moments\/histogramme_et_fit_loi_log_normale.png\")
<\/p>\nquantiles_theoriques=qlnorm((1:length(x))\/length(x),hat_mu_l,hat_sigma_l)\nqqplot(quantiles_theoriques,x)\nabline(a=0,b=1, col=\"palevioletred\")\n<\/code><\/pre>\n![\"plot](\"..\/..\/lise.vaudor\/Rfigures\/Ajustement_distribution_methode_des_moments\/qqplot_loi_log_normale.png\")
<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"