![\"\"](\"..\/..\/lise.vaudor\/Rfigures\/Mann_Whitney_U_test\/Lise_Vaudor_headband-1.png\")
\n Mise \u00e0 jour de ce billet: novembre 2020. => passage au
\ntidyverse pour la manipulation des tables de donn\u00e9es et les graphiques.
\n<\/small><\/p>\n
\n Mise \u00e0 jour de ce billet: novembre 2020. => passage au
\ntidyverse pour la manipulation des tables de donn\u00e9es et les graphiques.
\n<\/small><\/p>\nA quoi sert-il?<\/h1>\n
Le test U de Mann-Whitney<\/strong> (aussi appel\u00e9 test de la somme des rangs La p-value<\/strong> associ\u00e9e \u00e0 ce test va ainsi r\u00e9pondre \u00e0 la question Si les donn\u00e9es pour les deux groupes \u00e9taient issues d\u2019une m\u00eame Le test U de Mann-Whitney est souvent utilis\u00e9 comme solution alternative Consid\u00e9rons les donn\u00e9es suivantes:<\/p>\n On a ici des donn\u00e9es qui ne sont ni franchement nombreuses, ni Ici, la p-value est plus grande que 0.05: on ne parvient pas \u00e0 rejeter Le test U de Mann-Whitney calcule une p-value qui se base non pas sur Les distributions des rangs sont beaucoup moins affect\u00e9es par Repr\u00e9sentons les rangs des individus ainsi que l\u2019appartenance de ces Le test de Mann-Whitney peut se baser sur une m\u00e9trique W<\/em> (en lien avec Les nombres n<\/em>A<\/em><\/sub>(n<\/em>A<\/em><\/sub>\u2005+\u20051)\/2 et W<\/em> est ainsi d\u2019autant plus grand que les individus du groupe A pr\u00e9sente Alternativement, on pourrait consid\u00e9rer la m\u00e9trique U<\/em> (en lien avec la Calculons la m\u00e9trique W<\/em> pour nos donn\u00e9es:<\/p>\n On retrouve bien la valeur de W<\/em> (34) qui \u00e9tait indiqu\u00e9e en sortie du En l\u2019occurence, par construction on a toujours Supposons que le groupe A ne corresponde pas \u00e0 des rangs Pour r\u00e9pondre \u00e0 cette question nous allons simuler un grand nombre Nous calculerons pour chaque simulation la valeur de W<\/em>.<\/p>\n La distribution empirique de W nous permet de calculer la p-value Ici on veut en fait faire un test bilat\u00e9ral<\/strong> : notre hypoth\u00e8se nulle On s\u2019interroge ainsi non seulement sur la distribution de Or ces deux distributions sont en fait les m\u00eames\u2026 Vous pouvez le On peut ainsi retrouver la p-value fournie par le test:<\/p>\n Ci-dessus, j\u2019ai montr\u00e9 comment on peut recalculer \u201c\u00e0 la main\u201d la p-value Pour des valeurs de n<\/em>A<\/em><\/sub> et n<\/em>B<\/em><\/sub> relativement <\/p>\n Pour des \u00e9chantillons plus grands, on n\u2019a pas ce m\u00eame message d\u2019erreur Mise \u00e0 jour de ce billet: novembre 2020. => passage au tidyverse pour la manipulation des tables de donn\u00e9es et les graphiques. A quoi sert-il? Le test U de Mann-Whitney (aussi appel\u00e9 test de la somme des rangs de Wilcoxon ou plus simplement test de Wilcoxon) sert \u00e0 tester l\u2019hypoth\u00e8se selon laquelle la distribution des donn\u00e9es est la m\u00eame pour deux groupes. La p-value associ\u00e9e \u00e0 ce test va ainsi.. Read More<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[5],"tags":[],"class_list":["post-227","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-tous-les-posts"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/227","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=227"}],"version-history":[{"count":35,"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/227\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1540,"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/227\/revisions\/1540"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=227"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=227"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=227"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
\nde Wilcoxon<\/strong> ou plus simplement test de Wilcoxon<\/strong>) sert \u00e0 tester
\nl\u2019hypoth\u00e8se selon laquelle la distribution des donn\u00e9es est la m\u00eame
\npour deux groupes<\/strong>.<\/p>\n
\nsuivante:<\/p>\n
\npopulation<\/strong>, quelle serait la probabilit\u00e9 que l\u2019on observe par hasard
\nune diff\u00e9rence de rangs(ou localisations) entre les deux groupes aussi
\nforte que celle observ\u00e9e sur les donn\u00e9es<\/strong>?<\/p>\n
\n\u00e0 l\u2019utilisation d\u2019un test de Student (t-test)<\/strong> dans le cas o\u00f9 les
\ndonn\u00e9es ne sont pas distribu\u00e9es selon une loi normale et\/ou dans le cas
\no\u00f9 les donn\u00e9es sont peu nombreuses. Il s\u2019agit en effet d\u2019un test
\nnon-param\u00e9trique<\/strong>, i.e.\u00a0un test qui ne repose pas sur une hypoth\u00e8se de
\ndistribution des donn\u00e9es.<\/p>\nUn exemple<\/h1>\n
library(tidyverse)\n\ntib=tibble(x=c(\"A\",\"A\",\"A\",\"A\",\"A\",\"A\",\"A\", \"A\" ,\n \"B\",\"B\",\"B\",\"B\",\"B\",\"B\"),\n y=c(1.5,6.3,2.4,4.1,1.2,5.3,15.2,10.6,\n 2.5,3.3,1.3,2.1,5.7,1.1))\nggplot(tib, aes(x=x, y=y))+\n geom_boxplot(aes(fill=x))+\n scale_fill_manual(values=c(\"A\"=\"pink\",\n \"B\"=\"lightsteelblue3\"))\n<\/code><\/pre>\n![\"\"](\"..\/..\/lise.vaudor\/Rfigures\/Mann_Whitney_U_test\/distribs_simples-1.png\")
<\/p>\n
\nfranchement normales.<\/p>\nComment faire un test U de Mann-Whitney sous R?<\/h1>\n
montest=wilcox.test(y~x, data=tib)\nmontest\n\n## \n## Wilcoxon rank sum test\n## \n## data: y by x\n## W = 34, p-value = 0.2284\n## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0\n<\/code><\/pre>\n
\nl\u2019hypoth\u00e8se selon laquelle les donn\u00e9es des deux groupes proviennent
\nd\u2019une m\u00eame distribution au seuil \u03b1<\/em>\u2004=\u20040.05.<\/p>\nSur quelle m\u00e9trique le test de Mann-Whitney se base-t-il?<\/h1>\n
\nles donn\u00e9es brutes, mais sur leurs rangs<\/strong>. Les rangs en question
\ncorrespondent \u00e0 l\u2019emplacement de chaque donn\u00e9e au sein de la s\u00e9rie<\/strong>
\nlorque cette s\u00e9rie est ordonn\u00e9e<\/strong> par ordre croissant.<\/p>\ntib=tib %>%\n mutate(rangs=rank(y))\ntib\n\n## # A tibble: 14 x 3\n## x y rangs\n## <chr> <dbl> <dbl>\n## 1 A 1.5 4\n## 2 A 6.3 12\n## 3 A 2.4 6\n## 4 A 4.1 9\n## 5 A 1.2 2\n## 6 A 5.3 10\n## 7 A 15.2 14\n## 8 A 10.6 13\n## 9 B 2.5 7\n## 10 B 3.3 8\n## 11 B 1.3 3\n## 12 B 2.1 5\n## 13 B 5.7 11\n## 14 B 1.1 1\n<\/code><\/pre>\n
\nl\u2019existence de valeurs extr\u00eames que ne le sont les distributions des
\nvaleurs brutes:<\/p>\nggplot(tib, aes(x=x, y=rangs))+\n geom_boxplot(aes(fill=x))+\n scale_fill_manual(values=c(\"A\"=\"pink\",\n \"B\"=\"lightsteelblue3\"))\n<\/code><\/pre>\n![\"\"](\"..\/..\/lise.vaudor\/Rfigures\/Mann_Whitney_U_test\/distribs_rangs-1.png\")
<\/p>\n
\nindividus aux deux groupes. Les individus du groupe A sont repr\u00e9sent\u00e9s
\nen rose, les individus du groupe B en bleu. Les pointill\u00e9s repr\u00e9sentent
\nla moyenne des rangs pour chacun des groupes<\/p>\ntib_summary=tib %>% \n group_by(x) %>% \n summarise(loc=mean(rangs),\n .groups=\"drop\")\n\nggplot(tib %>% mutate(xx=0),\n aes(x=xx,y=rangs))+\n geom_point(aes(col=x), pch=15, size=4)+\n geom_hline(data=tib_summary,\n aes(yintercept=loc, col=x))+\n scale_color_manual(values=c(\"A\"=\"pink\",\n \"B\"=\"lightsteelblue3\"))+\n guides(x=\"none\")+xlab(\"\")\n<\/code><\/pre>\n![\"\"](\"..\/..\/lise.vaudor\/Rfigures\/Mann_Whitney_U_test\/rangs-1.png\")
<\/p>\n
\nla d\u00e9nomination \u201ctest de Wilcoxon\u201d) qui correspond \u00e0
\n\n\nW=W_A=\\sum_{i=1}^{n}\\mathbf{1}_A R_i-n_A(n_A+1)\/2\n\n<\/span><\/code>
\nOn peut aussi d\u00e9finir W<\/em>B<\/em><\/sub> :
\n\n\nW_B=\\sum_{i=1}^{n}\\mathbf{1}_B R_i-n_B(n_B+1)\/2\n\n<\/span><\/code>
\nn<\/em> correspond \u00e0 l\u2019effectif total, n<\/em>A<\/em><\/sub> l\u2019effectif du
\ngroupe A, n<\/em>B<\/em><\/sub> l\u2019effectif du groupe B<\/em>, et
\nR<\/em>i<\/em><\/sub> correspond au rang du i-i\u00e8me individu.<\/p>\n
\nn<\/em>B<\/em><\/sub>(n<\/em>B<\/em><\/sub>\u2005+\u20051)\/2 correspondent en fait \u00e0 ce
\nque serait la somme des rangs si tous les individus du groupe A
\n(respectivement B) avaient les rangs 1,2,3,\u2026.,n<\/em>A<\/em><\/sub>
\n(respectivement 1,2,3,\u2026,n<\/em>B<\/em><\/sub>).<\/p>\n
\ndes rangs \u00e9lev\u00e9s au sein de l\u2019ensemble des individus.<\/p>\n
\nd\u00e9nomination \u201ctest U de Mann-Whitney\u201d) qui correspond \u00e0:
\n\n\nU=min(W_A,W_B)<\/span>
\n<\/code>
\nCette m\u00e9trique est quant \u00e0 elle d\u2019autant plus faible que l\u2019un ou l\u2019autre
\ndes groupes pr\u00e9sente des rangs bas.<\/p>\ntib_summary=tib %>% \n group_by(x)%>% \n summarise(n=n(),\n loc=mean(rangs),\n SR_0=n*(n+1)\/2,\n SR=sum(rangs),\n W=SR-SR_0,\n .groups=\"drop\")\ntib_summary\n\n## # A tibble: 2 x 6\n## x n loc SR_0 SR W\n## <chr> <int> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>\n## 1 A 8 8.75 36 70 34\n## 2 B 6 5.83 21 35 14\n<\/code><\/pre>\n
\ntest de Mann-Whitney r\u00e9alis\u00e9 ci-dessus.<\/p>\n
\n\n\nW_A+W_B=n_An_B\n\n<\/span><\/code>
\nOn peut le v\u00e9rifier ici:<\/p>\ntib_summary %>% \n summarise(sum(W),\n prod(n),\n .groups=\"drop\")\n\n## # A tibble: 1 x 2\n## `sum(W)` `prod(n)`\n## <dbl> <dbl>\n## 1 48 48\n<\/code><\/pre>\nA quoi la p-value correspond-elle?<\/h1>\n
\nparticuli\u00e8rement \u00e9lev\u00e9s dans la s\u00e9rie<\/strong>. Dans ce cas, les rangs observ\u00e9s
\npour A sont comme \u201cattribu\u00e9s au hasard\u201d. Quelle est alors la
\ndistribution de W<\/em>?<\/p>\n
\nd\u2019\u00e9chantillons au hasard<\/strong><\/p>\n\n
\nn<\/em>A<\/em><\/sub>\u2005+\u2005n<\/em>B<\/em><\/sub>\u2004=\u200414<\/li>\n
\nappartenant au groupe A<\/li>\n
\nappartenant au groupe B<\/li>\n<\/ul>\nniter=10000\nvecteur_W=rep(NA,niter)\nfor (i in 1:niter){\n tib_sim=tib %>% \n # On r\u00e9attribue au hasard les rangs aux donn\u00e9es\n # (i.e. aux diff\u00e9rents groupes):\n mutate(r_sim=sample(rangs,n(),replace=F)) %>% \n group_by(x) %>% \n # On calcule la statistique correspondant \u00e0\n # la somme des rangs observ\u00e9s SR_i\n summarise(n=n(),\n SR_0=n*(n+1)\/2,\n SR_i=sum(r_sim),\n .groups=\"drop\") %>%\n # On calcule la statistique W\n mutate(Wsim=SR_i-SR_0)\n # On r\u00e9cup\u00e8re W_A pour l'it\u00e9ration,\n # et on la stocke dans vecteur_W\n vecteur_W[i]=tib_sim %>% filter(x==\"A\") %>% pull(Wsim)\n}\n\nhist(vecteur_W,freq=F,\n col=\"lemonchiffon\",\n main=\"distrib. de W sous hypoth\u00e8se nulle\")\nabline(v=tib_summary %>% filter(x==\"A\") %>% pull(W), lty=3,lwd=3, col=\"red\")\n<\/code><\/pre>\n![\"\"](\"..\/..\/lise.vaudor\/Rfigures\/Mann_Whitney_U_test\/hist_W-1.png\")
<\/p>\n
\ncorrespondant au test de l\u2019hypoth\u00e8se \u201cA n\u2019a pas une localisation
\nparticuli\u00e8rement \u00e9lev\u00e9e\u201d.<\/p>\nwilcox.test(y~x,alternative=\"less\", data=tib)\n\n## \n## Wilcoxon rank sum test\n## \n## data: y by x\n## W = 34, p-value = 0.9094\n## alternative hypothesis: true location shift is less than 0\n\nprint(length(which(vecteur_W>=montest$statistic))\/niter)\n\n## [1] 0.1167\n<\/code><\/pre>\n
\n\u201cla distribution des donn\u00e9es est la m\u00eame pour les deux groupes\u201d
\ncorrespond en fait \u00e0 deux sous-hypoth\u00e8ses:<\/p>\n\n
\nune localisation particuli\u00e8rement \u00e9lev\u00e9e\u201d)<\/li>\n<\/ul>\n
\nW<\/em>A<\/em><\/sub> mais aussi sur la distribution de W<\/em>B<\/em><\/sub>.<\/p>\n
\nv\u00e9rifier comme suit:<\/p>\nlayout(matrix(1:2,nrow=1))\nvecteur_W_A=vecteur_W\nvecteur_W_B=tib_summary %>% mutate(prodn=prod(n)) %>% pull(prodn)-vecteur_W_A\n\nhist(vecteur_W_A,freq=F,\n col=\"lemonchiffon\",\n main=\"distrib. de W_A\")\nhist(vecteur_W_B,freq=F,\n col=\"lemonchiffon\",\n main=\"distrib. de W_B\")\n<\/code><\/pre>\n![\"\"](\"..\/..\/lise.vaudor\/Rfigures\/Mann_Whitney_U_test\/hist_W_A_W_B-1.png\")
<\/p>\nprint(2*length(which(vecteur_W>=montest$statistic))\/niter)\n\n## [1] 0.2334\n\nprint(montest$p.value)\n\n## [1] 0.2284382\n<\/code><\/pre>\nComment R calcule-t-il la p-value?<\/h1>\n
\nfournie par le test. En fait, pour des valeurs de n<\/em>A<\/em><\/sub> et
\nn<\/em>B<\/em><\/sub> assez \u00e9lev\u00e9es, la distribution de W est
\napproximativement normale (R n\u2019a pas besoin d\u2019effectuer des simulations,
\ncomme nous l\u2019avons fait, pour calculer la p-value).<\/p>\n
\nfaibles, les p-values sont tabul\u00e9es<\/strong> (c\u2019est-\u00e0-dire que pour des
\nvaleurs n<\/em>A<\/em><\/sub> et n<\/em>B<\/em><\/sub> faibles, R a en m\u00e9moire
\nles quantiles de la distribution de W). Cependant, de la m\u00eame mani\u00e8re
\nque dans nos simulations ci-dessus, ces p-values ont \u00e9t\u00e9 calcul\u00e9es en
\nsupposant qu\u2019il n\u2019y avait pas d\u2019ex-aequos<\/strong> (i.e.\u00a0pour calculer ces
\nquantiles, il a \u00e9t\u00e9 suppos\u00e9 que les rangs \u00e9taient 1,2,3,\u2026.,n, et non,
\npar exemple, 2,2,2,3,4,5,\u2026,n). C\u2019est la raison pour laquelle R affiche
\ndes Warnings dans le cas o\u00f9<\/p>\n\n
tib=tibble(x=c(\"A\",\"A\",\"A\",\"A\",\n \"B\",\"B\",\"B\",\"B\",\"B\",\"B\"),\n y=c(1.5,6.3,6.3,2.7,\n 2.5,3.3,1.3,2.1,5.7,1.1))\n\nwilcox.test(y~x, data=tib)\n\n## Warning in wilcox.test.default(x = c(1.5, 6.3, 6.3, 2.7), y = c(2.5, 3.3, : cannot compute exact p-value with ties\n\n## \n## Wilcoxon rank sum test with continuity correction\n## \n## data: y by x\n## W = 18, p-value = 0.2395\n## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0\n<\/code><\/pre>\n
\ncar la p-value est calcul\u00e9e en se basant sur l\u2019approximation normale:<\/p>\ntib=tibble(x=c(rep(\"A\",50) , rep(\"B\",50)),\n y=c(rlnorm(50,3,2), rlnorm(50,4,2))) %>% \n # repetition des 10 premieres valeurs => ex-aequos\n mutate(y=c(y[11:20],y[11:100])) \nwilcox.test(y~x, data=tib)\n\n## \n## Wilcoxon rank sum test with continuity correction\n## \n## data: y by x\n## W = 1045, p-value = 0.1586\n## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0\n<\/code><\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"