{"id":337,"date":"2015-02-03T09:40:47","date_gmt":"2015-02-03T08:40:47","guid":{"rendered":"http:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/?p=337"},"modified":"2026-04-02T14:01:11","modified_gmt":"2026-04-02T12:01:11","slug":"test-des-contrastes-de-scheffe","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/perso.ens-lyon.fr\/lise.vaudor\/test-des-contrastes-de-scheffe\/","title":{"rendered":"Test des contrastes de Scheff\u00e9"},"content":{"rendered":"

\"plotLe\u00a0test de Scheff\u00e9 est un test qu’on applique souvent apr\u00e8s une ANOVA: on parle de test post-hoc<\/strong> (au m\u00eame titre, par exemple, qu’un test de Tukey). En effet, l’ANOVA \u00e0 1 facteur permet de mettre en \u00e9vidence (le cas \u00e9ch\u00e9ant) le fait qu’au moins un groupe a une moyenne diff\u00e9rente des autres<\/strong>. Si on a affaire \u00e0 3 groupes ou plus, une question se pose alors: quels sont les groupes diff\u00e9rents deux \u00e0 deux?<\/p>\n

Le test de Scheff\u00e9, en pratique:<\/h2>\n

\"plot<\/p>\n

Testons la significativit\u00e9 de l’effet de X sur Y \u00e0 travers une ANOVA:<\/p>\n

mymod=lm(Y~X)\nanova(mymod)\n\n## Analysis of Variance Table\n## \n## Response: Y\n##           Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  \n## X          2     61    30.7    2.55  0.087 .\n## Residuals 59    710    12.0                 \n## ---\n## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1\n<\/code><\/pre>\n
On rejette l’hypoth\u00e8se d’\u00e9galit\u00e9 de toutes les moyennes au seuil de \u03b1<\/em>\u2004=\u200410%.<\/p>\n
Il n’existe pas \u00e0 l’heure actuelle de test de Scheff\u00e9 sous R.<\/p>\n
(en fait, si, il y a une fonction scheffe.test dans un package qui s’appelle agricolae, mais il me semble apr\u00e8s l’avoir test\u00e9e qu’il y ait une petite erreur dans cette fonction, alors en attendant que son auteur la corrige -\u00e7a ne devrait pas \u00eatre bien long- on va faire comme s’il n’y avait rien…).<\/sup><\/sub><\/p>\n
Je vous propose d’utiliser une petite fonction que j’ai \u00e9crite (vous trouverez des explications sur le code dans le paragraphe suivant) et disponible ici<\/a>.<\/p>\n
Voici comment utiliser cette fonction:<\/p>\n
source(\"test_Scheffe_maison.R\")\nScheffe.test(X,Y,alpha=0.1)\n\n##     contrast sigma    LCI    UCI    pval\n## A-B   -2.555 1.133 -5.034 -0.076 0.08718\n## A-C   -0.868 1.014 -3.087  1.352 0.69507\n## B-C    1.688 1.161 -0.854  4.229 0.35448\n<\/code><\/pre>\n
Les r\u00e9sultats du test de Scheff\u00e9 montrent que la diff\u00e9rence de moyenne entre A et B est significative au seuil de \u03b1<\/em>\u2004=\u200410%<\/strong>. En revanche on n’est pas en mesure d’affirmer que B est diff\u00e9rent de C ou que A est diff\u00e9rent de C.<\/p>\n
Le test de Scheff\u00e9, en th\u00e9orie<\/h2>\n
Maintenant que vous avez vu comment (et pourquoi) effectuer un test de Scheff\u00e9, revenons \u00ab\u00a0en arri\u00e8re\u00a0\u00bb pour approfondir le principe de ce test.<\/p>\n
On consid\u00e8re r<\/em> groupes, et l’on d\u00e9finit \u03bc<\/em>i<\/em><\/sub> comme \u00e9tant la moyenne du groupe num\u00e9ro i<\/em>. Un contraste<\/em> se d\u00e9finit de la mani\u00e8re suivante:<\/p>\n
\n\nC=\\sum_{i=1}^r c_i\\mu_i\n\n<\/span><\/code><\/p>\n
avec<\/p>\n
\n\n\\sum_{i=1}^r c_i = 0\n\n<\/span><\/code><\/p>\n
Cela signifie que si l’on a trois groupes, on peut consid\u00e9rer (entre autres) les contrastes suivants:
\n\n\nC_{A-B}=\\mu_A-\\mu_B \\\\\n\nC_{A-C}=\\mu_B-\\mu_C \\\\\n\nC_{B-C}=\\mu_A-\\mu_C\n\n<\/span><\/code><\/p>\n
La valeur estim\u00e9e d’un contraste est simplement:
\n\n\n\\hat{C} = \\sum_{i=1}^r c_i\\bar{Y}_i\n\n<\/span><\/code>
\nDonc les estimations des trois contrastes qui nous int\u00e9ressent sont:<\/p>\n
\nestimated_mu=as.vector(tapply(Y,X,\"mean\"))\ncontrasts=c(estimated_mu[1]-estimated_mu[2],\n            estimated_mu[1]-estimated_mu[3],\n            estimated_mu[2]-estimated_mu[3])\n\nprint(contrasts)\n<\/code><\/pre>\n
## [1] -2.5551 -0.8675  1.6876<\/p>\n
La variance associ\u00e9e \u00e0 cet estimateur est:<\/p>\n
\n\ns_{\\hat{C}}^2 = \\hat{\\sigma}^2\\sum_{i=1}^r \\frac{c_i^2}{n_i}\n\n<\/span><\/code><\/p>\n
Donc l’\u00e9cart-type associ\u00e9e \u00e0 chacun des trois estimateurs consid\u00e9r\u00e9s est:<\/p>\n
n=as.vector(tapply(Y,X,\"length\"))\nN=sum(n)\nr=3\nestimated_sigma=sqrt(sum(mymod$residuals^2)\/(N-r))\nsigma_contrasts=c(sqrt(estimated_sigma^2*(1\/n[1]+1\/n[2])),\n                  sqrt(estimated_sigma^2*(1\/n[1]+1\/n[3])),\n                  sqrt(estimated_sigma^2*(1\/n[2]+1\/n[3])))\nprint(sigma_contrasts)\n\n## [1] 1.133 1.014 1.161\n<\/code><\/pre>\n
Ainsi il y a une probabilit\u00e9 de 1\u2005\u2212\u2005\u03b1 que C se trouve dans l’intervalle suivant:<\/p>\n
\n\n\\hat{C}\\pm s_{\\hat{C}}\\sqrt{(r-1)F_{\\alpha;r-1;N-r}}\n\n<\/span><\/code><\/p>\n
On peut donc calculer les intervalles de confiance comme suit:<\/p>\n
alpha=0.1\ndelta=sigma_contrasts*sqrt(2*qf(1-alpha,3-1,length(X)-3))\n\n\nresults=data.frame(round(contrasts,3),\n                   round(sigma_contrasts,3),\n                   round(contrasts-delta,3),\n                   round(contrasts+delta,3))\nrow.names(results)=c(\"A-B\",\"A-C\",\"B-C\")\ncolnames(results)=c(\"contrast\",\"sigma\",\"LCI\",\"UCI\")\n<\/code><\/pre>\n
Par ailleurs la statistique suivante:
\n\n\nT_{Scheffe}=\\frac{C^2}{(r-1)s_{\\hat{C}}^2}\n\n<\/span><\/code>
\nsuit une loi de Fisher sous hypoth\u00e8se que tous les contrastes sont nuls.<\/p>\n
On peut donc calculer les p-values comme suit:<\/p>\n
T_Scheffe=((contrasts^2)\/(sigma_contrasts^2))\/(3-1)\npvalues=1-pf(T_Scheffe, 3-1,length(X)-3)\nprint(data.frame(results,pvalues))\n\n##     contrast sigma    LCI    UCI pvalues\n## A-B   -2.555 1.133 -5.034 -0.076 0.08718\n## A-C   -0.868 1.014 -3.087  1.352 0.69507\n## B-C    1.688 1.161 -0.854  4.229 0.35448\n<\/code><\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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