![\"\"](\"..\/..\/lise.vaudor\/Rfigures\/Autocorrelation_series\/Lise_Vaudor_headband-1.png\")
<\/p>\n<\/p>\n
L’autocorr\u00e9lation (ou l’autocovariance) d’une s\u00e9rie fait r\u00e9f\u00e9rence au fait que dans une s\u00e9rie temporelle<\/strong> ou spatiale<\/strong>, la mesure d’un ph\u00e9nom\u00e8ne \u00e0 un instant t<\/em> peut \u00eatre corr\u00e9l\u00e9e<\/strong> aux mesures pr\u00e9c\u00e9dentes<\/strong> (au temps t<\/em>\u2005\u2212\u20051, t<\/em>\u2005\u2212\u20052, t<\/em>\u2005\u2212\u20053, etc.) ou aux mesures suivantes<\/strong> (\u00e0 t<\/em>\u2005+\u20051, t<\/em>\u2005+\u20052, t<\/em>\u2005+\u20053, …). Une s\u00e9rie autocorr\u00e9l\u00e9e est ainsi corr\u00e9l\u00e9e \u00e0 elle-m\u00eame, avec un d\u00e9calage<\/strong> (lag<\/em>) donn\u00e9<\/strong>.<\/p>\n Voici la d\u00e9finition math\u00e9matiques de l’autocovariance et de l’autocorr\u00e9lation pour une variable X<\/em>t<\/em><\/sub> de moyenne \u03bc<\/em> et d’\u00e9cart-type \u03c3<\/em>.<\/p>\n Autocovariance de X<\/em> pour un d\u00e9calage de k<\/em>:<\/p>\n Autocorr\u00e9lation de X<\/em> pour un d\u00e9calage de k<\/em>:<\/p>\n Consid\u00e9rons la s\u00e9rie suivante:<\/p>\n On peut calculer l’autocorr\u00e9lation de la s\u00e9rie (pour diff\u00e9rents d\u00e9calages k<\/em>) de la mani\u00e8re suivante:<\/p>\n Le graphique ainsi obtenu est un corr\u00e9logramme<\/strong>.<\/p>\n L’autocorr\u00e9lation est particuli\u00e8rement forte pour les d\u00e9calages 3, 6, et 9. (Et 0, mais \u00e7a ne signifie rien: l’autocorr\u00e9lation de la s\u00e9rie avec elle-m\u00eame -sans d\u00e9calage- est forc\u00e9ment de 1!).<\/p>\n V\u00e9rifions ci-apr\u00e8s que la s\u00e9rie est tr\u00e8s corr\u00e9l\u00e9e avec elle-m\u00eame pour un d\u00e9calage de 3:<\/p>\n On peut retrouver les r\u00e9sultats de la fonction La droite horizontale pointill\u00e9e sur le graphique issu de la fonction \u00ab\u00a0acf\u00a0\u00bb nous indique le seuil critique<\/strong> au-del\u00e0 duquel l’autocorr\u00e9lation est consid\u00e9r\u00e9e significative.<\/p>\n En effet, sous hypoth\u00e8se d’ind\u00e9pendance, la corr\u00e9lation crois\u00e9e de deux s\u00e9ries X<\/em> et Y<\/em> (de m\u00eame taille n<\/em>, et de m\u00eame moyenne et \u00e9cart-type) sera dans 95% des cas comprise dans l’intervalle<\/p>\n On peut le v\u00e9rifier comme suit:<\/p>\n Observons \u00e0 nouveau le corr\u00e9logramme. On a une forte autocorr\u00e9lation pour un d\u00e9calage de 3, de 6, de 9… Or l’autocorr\u00e9lation pour le d\u00e9calage de 6 et 9 pourrait tr\u00e8s bien \u00eatre une cons\u00e9quence de celle existant pour le d\u00e9calage de 3.<\/p>\n L’autocorr\u00e9lation partielle permet de mesurer l’autocorr\u00e9lation d’un signal pour un d\u00e9calage k<\/em> \u00ab\u00a0ind\u00e9pendamment\u00a0\u00bb des autocorr\u00e9lations pour les d\u00e9calages inf\u00e9rieurs.<\/strong><\/p>\n On v\u00e9rifie ici que les autocorr\u00e9lations observ\u00e9es aux d\u00e9calages 6 et 9 \u00e9taient un effet r\u00e9siduel de l’autocorr\u00e9lation pour un d\u00e9calage de 3.<\/p>\n Pour plus de renseignements sur l’autocorr\u00e9lation et (au sens tr\u00e8s large) sur l’analyse de s\u00e9ries temporelles, vous pouvez vous r\u00e9f\u00e9rer \u00e0 Cowpertwait and Metcalfe (2009) et Venables and Ripley (2002).<\/p>\n Cowpertwait, Paul S. P, and Andrew V Metcalfe. 2009. Introductory Time Series with R<\/em>. New York: Springer-Verlag. http:\/\/dx.doi.org\/10.1007\/978-0-387-88698-5<\/a>.<\/p>\n Venables, W. N, and Brian D Ripley. 2002. Modern Applied Statistics with S<\/em>. New York: Springer. http:\/\/www.myilibrary.com?id=18937<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" D\u00e9finition L’autocorr\u00e9lation (ou l’autocovariance) d’une s\u00e9rie fait r\u00e9f\u00e9rence au fait que dans une s\u00e9rie temporelle ou spatiale, la mesure d’un ph\u00e9nom\u00e8ne \u00e0 un instant t peut \u00eatre corr\u00e9l\u00e9e aux mesures pr\u00e9c\u00e9dentes (au temps t\u2005\u2212\u20051, t\u2005\u2212\u20052, t\u2005\u2212\u20053, etc.) ou aux mesures suivantes (\u00e0 t\u2005+\u20051, t\u2005+\u20052, t\u2005+\u20053, …). Une s\u00e9rie autocorr\u00e9l\u00e9e est ainsi corr\u00e9l\u00e9e \u00e0 elle-m\u00eame, avec un d\u00e9calage (lag) donn\u00e9. 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![\"\"](\"..\/..\/lise.vaudor\/Rfigures\/Autocorrelation_series\/serie_x-1.png\")
<\/p>\nresult_acf=acf(x)\n<\/code><\/pre>\n![\"\"](\"..\/..\/lise.vaudor\/Rfigures\/Autocorrelation_series\/acf-1.png\")
<\/p>\nprint(data.frame(result_acf$lag,result_acf$acf)[1:10,])\n\n## result_acf.lag result_acf.acf\n## 1 0 1.000000000\n## 2 1 -0.058671812\n## 3 2 -0.070941755\n## 4 3 0.834912500\n## 5 4 -0.003573716\n## 6 5 -0.094295738\n## 7 6 0.701497697\n## 8 7 0.027054973\n## 9 8 -0.143765876\n## 10 9 0.585117703\n<\/code><\/pre>\nplot ( 1:length(x), x,type=\"l\")\npoints((1:length(x))-3,x,type=\"l\",col=\"red\")\n<\/code><\/pre>\n![\"\"](\"..\/..\/lise.vaudor\/Rfigures\/Autocorrelation_series\/verif_autocorr-1.png\")
<\/p>\nacf<\/code> \u00e0 la main (par exemple, ici, pour un d\u00e9calage k<\/em>\u2004=\u20043), de la mani\u00e8re suivante:<\/p>\nn=100\nk=3\nmu_estim=mean(x)\nsigma_estim=sd(x)\nx1=x[(k+1): 100 ]\nx2=x[ 1 :(100-k)]\ngamma_k3=mean((x1-mu_estim)*(x2-mu_estim))*((n-k)\/(n))\nrho_k3=gamma_k3\/(sigma_estim^2)\n# r\u00e9sultat obtenu \"\u00e0 la main\":\nprint(rho_k3)\n\n## [1] 0.8265634\n\n# r\u00e9sultat obtenu via l'utilisation de la fonction acf:\nresult_acf_k3=result_acf$acf[which(result_acf$lag==3)]\nprint(result_acf_k3)\n\n## [1] 0.8349125\n<\/code><\/pre>\nSignificativit\u00e9<\/h2>\n
$$[-\\frac{1.96}{\\sqrt(n)},\\frac{1.96}{\\sqrt(n)}]$$\n<\/code><\/pre>\nn=100\nmu=mu_estim\nsigma=sigma_estim\ngamma=rep(NA,1000)\nfor (i in 1:1000){\n x1=rnorm(n,mu,sigma)\n x2=rnorm(n,mu,sigma)\n gamma[i]=mean((x1-mu)*(x2-mu))\/(sigma^2)\n}\n# quantiles d'ordre 2.5% et 97.5% de gamma (x et y sont ind\u00e9pendants):\nquantile(gamma,c(0.025,0.975))\n\n## 2.5% 97.5% \n## -0.2073450 0.1881062\n\n# valeur critique propos\u00e9es par la fonction acf:\nprint(1.96\/sqrt(n))\n\n## [1] 0.196\n<\/code><\/pre>\nAutocorr\u00e9lation partielle<\/h2>\n
result_pacf=pacf(x)\n<\/code><\/pre>\n![\"\"](\"..\/..\/lise.vaudor\/Rfigures\/Autocorrelation_series\/pacf-1.png\")
<\/p>\nprint(data.frame(result_pacf$lag,result_pacf$acf)[1:10,])\n\n## result_pacf.lag result_pacf.acf\n## 1 1 -0.058671812\n## 2 2 -0.074641079\n## 3 3 0.833557643\n## 4 4 0.147011978\n## 5 5 -0.037987995\n## 6 6 0.009651406\n## 7 7 -0.024764942\n## 8 8 -0.134581704\n## 9 9 -0.034975492\n## 10 10 0.094532964\n<\/code><\/pre>\nR\u00e9f\u00e9rences<\/h2>\n